概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學13-第一章第三節(jié)(概率統(tǒng)計)

第一章隨機事件與概率

1.3頻率與概率第一章隨機事件與概率

1.3頻率與概率

內(nèi)容簡介:通過借助于熟悉的頻率及其性質(zhì),引出概率的統(tǒng)計定義,建立概率的公理化定義,在此概念基礎上,研究概率的有限可加性、差事件和對立事件的概率計算公式、概率加法公式等重要理論。1.3.1提出問題

1.大量的重復試驗后,事件發(fā)生的可能性有大有小,怎樣來認識和刻畫它？

2.頻率，我們比較熟悉。它和概率有關系嗎?可以給我們哪些啟示呢？1.3.3預備知識

1.頻數(shù),頻率,擲幣試驗的頻率.

我們觀察一項隨機試驗所發(fā)生的各個事件,就其一次具體的試驗而言,每一事件出現(xiàn)與否都帶有很大的偶然性,似乎沒有規(guī)律可言.

但是在大量的重復試驗后,就會發(fā)現(xiàn):某些事件發(fā)生的可能性大些,另外一些事件發(fā)生的可能性小些,而有些事件發(fā)生的可能性大致相同.1.3.3問題分析

比如,一個箱子中裝有100只產(chǎn)品,其中95只是合格品,5只是次品.從其中任意拿出一只,則拿到合格品的可能性就比拿到次品的可能性大.假如這100只產(chǎn)品中的合格品與次品都是50只,則拿到合格品與拿到次品的可能性就大致相同.

所以,一個事件發(fā)生的可能性大小是它本身所固有的一種客觀的度量.很自然,人們希望用一個數(shù)來描述事件發(fā)生的可能性大小,而且事件發(fā)生可能性大的,這個數(shù)就大;事件發(fā)生可能性小的,這個數(shù)就小.

為此,我們引入熟悉的“頻率”的概念,它描述了事件在多次試驗中發(fā)生的頻繁程度,進而引出表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標——概率.

定義1

在相同的條件下，進行了n次試驗,在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)；比值

稱為事件A發(fā)生的頻率,并記為fn(A).

1.頻率引例

在同樣條件下,多次拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,考察“正面朝上”的次數(shù),這個試驗在歷史上曾經(jīng)有多人做過,得到如表1-2所示的數(shù)據(jù).表1-2

擲硬幣試驗數(shù)據(jù)

頻率0.50774096180640羅曼諾夫斯基0.50051201224000皮爾遜0.5016601912000皮爾遜0.508020484040蒲豐出現(xiàn)正面次數(shù)nA(頻數(shù))投擲次數(shù)n實驗者

上例中頻率在0.5附近擺動,n增大時,逐漸穩(wěn)定于0.5.實驗者資料

頻率具有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1

非負性:

0≤fn(A)≤1.性質(zhì)2規(guī)范性:設Ω為必然事件,則fn(Ω)=1.

經(jīng)驗表明：雖然n次試驗中,事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA不確定,事件A的頻率不確定,但當試驗次數(shù)充分多時,事件A出現(xiàn)的頻率在一個常數(shù)附近擺動.用這個常數(shù)來表示事件A發(fā)生的可能性大小比較恰當.這是我們下面將給出概率統(tǒng)計定義的客觀基礎.性質(zhì)3可加性:若A,B互不相容,則

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B).2.概率的統(tǒng)計定義

定義2在試驗條件不變的情況下，重復作n次試驗，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近擺動，則稱這個常數(shù)p為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率，記作P(A).即P(A)=p.

數(shù)P(A)就是在一次試驗中對事件A發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)量描述.我們習慣稱定義2是概率的統(tǒng)計定義.例如,在引例中就可以用0.5來描述擲一枚勻質(zhì)硬幣“正面朝上”出現(xiàn)的可能性大小.用概率的統(tǒng)計定義來估計概率的方法,在過去和現(xiàn)在解決了不少問題,但它們

在理論上存在缺陷,在應用上也有局限性.

例如,在實際問題中往往無法滿足概率統(tǒng)計定義中要求的試驗次數(shù)的“充分大”,也不清楚試驗次數(shù)應該大到什么程度,因此概率的統(tǒng)計定義不能作為數(shù)學意義上的定義.講評“頻率”與“概率”的區(qū)別：

(1)事件的頻率與概率有著本質(zhì)區(qū)別:頻率具有隨機波動性,是一個變數(shù);而概率是一個常數(shù),具有客觀性.

(2)概率的統(tǒng)計定義只是一種描述,它指出了事件的概率是客觀存在的,隨著試驗次數(shù)的增加,頻率在概率附近擺動.因此,在實際問題中,當試驗的次數(shù)n很大時,頻率通常作為概率的近似值.1.3.4建立理論

定義3設E是隨機試驗,Ω是E的樣本空間,若對于E的每一隨機事件A,有確定的實數(shù)P(A)與之對應,如果集合函數(shù)P(·)滿足下列條件：

(1)非負性：對于每一事件A,有0≤P(A)；

(2)規(guī)范性：對必然事件Ω,

有P(Ω)=1；

(3)可列可加性：對于兩兩互不相容的可列無窮多個事件A1,A2,…,An,…,

有

P

(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…(1.3.1)

則實數(shù)P(A)稱為事件A的概率.

1.概率的公理化定義

對上面講過的“頻率”定義、“概率統(tǒng)計”定義都滿足這個定義中的條件要求,它們都是這個一般定義范圍內(nèi)的特殊情形.在第五章中將證明,當試驗次數(shù)n→∞時頻率fn(A)在一定的意義下接近于概率P(A).因此,我們更有理由將概率P(A)用來表征事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小.令An=,n=1,2,…,則

概率的一些重要性質(zhì):

證2.概率重要性質(zhì)

=并且AiAj=(i≠j,i,j=1,2,…).由概率的可列可加性得P()=由概率的非負性知P()≥0,因此,由上式得到

P()=0.性質(zhì)4

P()=0.

性質(zhì)5(加法公式)對于兩兩互不相容的n個事件A1,A2,…,An,則有

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(1.3.2)

證令An+1=An+2=…=,由假設即得

AiAj=(i≠j,i,j=1,2,…).P(A1∪A2∪…∪An)==P(A1)+P(A2)+…+P(An),(1.3.2)式得證.

講評:

關鍵詞是兩兩互不相容.一般情形見(1.3.10)式.由概率的可列可加性(1.3.1)得

性質(zhì)6(差事件概率)設A,B為兩個事件,若A

B,則有P(B－A)=P(B)－P(A).(1.3.6)

講評:關鍵詞是A

B.否則不成立.這里隱含

P(A)≤P(B).如若P(A)=,P(B)=,

則P(B)-P(A)=

一般情形是概率減法公式

P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB).

由AB知B=A∪(B－A),且A(B－A)=,由概率的有限可加性(1.3.2)得到

P(B)=P(A)+P(B－A),移項,(1.3.6)式得證.

證

推論1(保序性)若AB,則

P(A)≤P(B).

證

由概率的非負性,得P(B－A)≥0.

由(1.3.6)式得到

P(A)≤P(B).

性質(zhì)7

對于任意事件A,都有P(A)≤1.

證

因為對于任意事件A,都有A

Ω,由概率的保序性和規(guī)范性,得P(A)≤P(Ω)=1.

可見,對于任意事件A,概率的有界關系為

0≤P(A)≤1.

因為A∪

=Ω,由規(guī)范性和有限可加性(3.2)得到1=P(Ω)=P(A∪)=P(A)+P().

移項,得到所證等式.

性質(zhì)8(對立事件的概率)設是A的對立事件,則有

P()=1－P(A).

(1.3.8)

證

性質(zhì)9(概率加法公式)對于任意的事件A,B,有

P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB).(1.3.9)證因為A∪B=A∪(B－AB),且A(B－AB)=,及ABB,

由有限可加性(1.3.3)和概率減法公式(1.3.5)得到

P(A∪B)=P(A)+P(B－AB)=P(A)+P(B)－P(AB).

推論2對任意的事件A,B,

有P(A∪B)≤P(A)+P(B).

證

注意

加法公式在計算兩個事件和的概率時經(jīng)常使用.兩個事件的加法公式面積解釋由性質(zhì)9

(1.3.9)式得證.

對于n個事件A1,A2,…,An有關系式P(A1∪A2∪A3∪…∪An)

+…+(-1)n+1

P(A1A2…An).(1.3.10)推廣：n個事件A1,A2,…,An有關系式

特別地,設A1,A2,A3是三個事件,P(A1∪A2∪A3)－P(A1A2)－P(A1A3)－P(A2A3)+P(A1A2A3)

(1.3.11)式(1.3.11)是三個事件和的概率加法公式.則有

=

P(A1)+P(A2)+P(A3)

如果A1,A2,A3兩兩互斥,則得到三個事件和的加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3).

講評:對于一般情形,當事件A1,A2,…,An兩兩互斥時,有加法公式(1.3.2),即

講評:

本題的作用是訓練用概率的性質(zhì)計算概率.常用公式有:(1)對立事件概率公式(2)加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).

例2

已知P(AB)=0.5,P(C)=0.2,

P=0.4,求解

=1-[0.5+(1-0.2)-0.4]=0.1.

1.3.5方法應用

設A,B,C分別表示{居民訂購A,B,C

報}事件,由題設知(1)

P(只訂A及B報的)

==P(AB-C)=P(AB-ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.1-0.03=0.07.

例1.3.1

某城市共發(fā)行A,B,

C三種報紙.

調(diào)查表明,居民家庭中訂購C報的占30%,

同時訂購A,B兩報的占10%,同時訂購A報和C報或者B報和C報的各占8%,5%,三種報紙都訂的占3%.今在該城中任找一戶,問:(1)該戶只訂A和B兩種報紙的概率是多少?

(2)該戶只訂C報的概率為多少?解

講評:

易混點是“同時訂購A報和B報”與“只訂A報和B報”.常用性質(zhì)

P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB),而不是

P(A-B)=P(A)-P(B).

(2)

P(只訂C報的)=

=P(C-(A∪B))=P(C-C(A∪B))=P(C)-P(AC∪BC))=P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ABC)]=0.3-(0.08+0.05-0.03)=0.2.1.3.6內(nèi)容小結(jié)提出問題

1.大量的重復試驗后,事件發(fā)生的可能性有大有小,怎樣來認識和描述