2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題五十：與新定義或新定理有關(guān)的閱讀理解(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題五十：與新定義或新定理有關(guān)的閱讀理解典例分析例.（2022青島中考）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用，分別表示和的面積．則，∵∴．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，D是的邊上的一點(diǎn)．若，則__________；（2）如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點(diǎn)．若，，，則__________，_________；（3）如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點(diǎn)，若，，，則__________．專題過關(guān)1.（2022嘉興中考）小東在做九上課本123頁(yè)習(xí)題：“1：也是一個(gè)很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點(diǎn)P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交線段AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．小東稱點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”．（1）你贊同他的作法嗎？請(qǐng)說明理由．（2）小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連結(jié)CP，點(diǎn)D為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的上方，構(gòu)造DPE，使得DPE∽CPB．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求∠CPE的度數(shù)．②如圖4，DE分別交CP，CB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)D為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD＜AD），猜想：點(diǎn)N是否為線段ME的“趣點(diǎn)”？并說明理由．2．（2022常州中考）（8分）如圖，點(diǎn)A在射線OX上，OA＝a．如果OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤360）到OA′，那么點(diǎn)A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，則點(diǎn)A′的位置可以表示為（3，37°）；（2）在（1）的條件下，已知點(diǎn)B的位置用（3，74°）表示，連接A′A、A′B．求證：A′A＝A′B．3.（2022北京中考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)；②連接交線段于點(diǎn)求證：（2）的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）4．（2022常州中考）（10分）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若△OAB≌△OCD，則點(diǎn)O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．（1）正方形不存在“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；（2）如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，連接AC，求AC的長(zhǎng)；（3）在四邊形EFGH中，EH∥FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求的值．5.（2022鄭州外國(guó)語(yǔ)三模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過點(diǎn)P分別作，，的垂線，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，（依據(jù)1）∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴．（依據(jù)2）又∵，∴．同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．（2）請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整．（3）善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．6.（2022河南西平一模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在⊙O上（不與點(diǎn)A、B、C重合），過點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過程：

如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．（2）善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，．請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．7.（2022河南桐柏一模）學(xué)習(xí)過“圓內(nèi)接四邊形”后，劉老師布置了課后閱讀“認(rèn)識(shí)托勒密”，小明讀了托勒密的生平、貢獻(xiàn)，對(duì)“托勒密定理”很感興趣，并進(jìn)行了下列的研究，請(qǐng)完成他的研究．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．已知：如圖1，______．求證：______．證明：如圖2，作，交BD于點(diǎn)E，……∴∽，∴，……∴∽，∴，∴．（1）請(qǐng)幫小明寫出已知和求證，并完成證明過程；（2）如圖3，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于，，求對(duì)角線BD長(zhǎng)．8.（2022河南社旗一模）請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)AI-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是弧ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是弧ABC的中點(diǎn)，…任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于，D為弧AC上一點(diǎn)，，于點(diǎn)E，，連接AD，則△DAB的周長(zhǎng)是___________．9.（2022河南商水二模）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)在直線上，且，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型．（1）如圖2，中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)．求證：；（2）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，，，，，求點(diǎn)到邊的距離；（3）如圖4，在中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)．若，，，求的值．10.（2022平頂山三模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．

阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．小明同學(xué)運(yùn)用“截長(zhǎng)法”和三角形全等來證明，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，

任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊內(nèi)接于⊙O，，D為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出的周長(zhǎng)．11.（2022平頂山二模）閱讀下面的材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：在1815年某雜志上刊登了這樣一個(gè)命題：如圖，圓O中的弦AB的中點(diǎn)為G，過點(diǎn)G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一．任務(wù)：（1）如圖1，AB為⊙O的任一弦．①若G為弦AB的中點(diǎn)，連接OG，則OG與AB的位置關(guān)系為______；②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）下面是“蝴蝶定理”的證明過程（部分），請(qǐng)補(bǔ)充完整．證明：過O作OM⊥FC于點(diǎn)M，ON⊥DE于點(diǎn)N，連接OP，OQ，MG，NG，OG，由任務(wù)（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，即，又，取PO的中點(diǎn)O′，在四邊形MOGP中，∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四點(diǎn)在以O(shè)′為圓心的一個(gè)圓上，∴∠1=∠2（同弧所對(duì)的圓周角相等），同理：∠3=∠4，___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________12.（2022焦作一模）歐幾里得，古希臘數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書．他在第Ⅲ卷中提出這樣一個(gè)命題：“由已知點(diǎn)作直線切于已知圓”．如圖，設(shè)A是已知點(diǎn)，小圓O為已知圓．具體作法是：以O(shè)為圓心，為半徑作大圓O，連接交小圓O于點(diǎn)B，過B作，交大圓O于點(diǎn)C，連接，交小圓O于點(diǎn)D，連接，則是小圓O的切線．為了說明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”的過程．已知：如圖，點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D分別在以O(shè)為圓心的同心圓上，_________．求證：___________．證明：13.（2022河南滑縣一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過點(diǎn)P分別作，，垂線，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，（依據(jù)1）∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴．（依據(jù)2）又∵，∴．同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．（2）請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整．（3）善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．14.（2022鄭州一模）閱讀與思考，請(qǐng)閱讀下列科普材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圖算法圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量．比如想知道10攝氏度相當(dāng)于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)系：得出，當(dāng)時(shí)，．但是如果你的溫度計(jì)上有華氏溫標(biāo)刻度，就可以從溫度計(jì)上直接讀出答案，這種利用特制的線條進(jìn)行計(jì)算的方法就是圖算法．再看一個(gè)例子：設(shè)有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯(lián)后的電阻值是多少？我們可以利用公式求得的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法直接得出結(jié)果：我們先來畫出一個(gè)的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長(zhǎng)度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點(diǎn)連成一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并聯(lián)后的電阻值．圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進(jìn)行計(jì)算的測(cè)量制圖人員，往往更能體會(huì)到它的優(yōu)越性．任務(wù)：（1）請(qǐng)根據(jù)以上材料簡(jiǎn)要說明圖算法的優(yōu)越性；（2）請(qǐng)用以下兩種方法驗(yàn)證第二個(gè)例子中圖算法的正確性：①用公式計(jì)算：當(dāng)，時(shí)，的值為多少；②如圖，在中，，是的角平分線，，，用你所學(xué)的幾何知識(shí)求線段的長(zhǎng)．15.（2022太原二模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．有趣的布羅卡爾點(diǎn)和布羅卡爾角1816年法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)了“布羅卡爾點(diǎn)”，但是他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，這一特殊點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者——法國(guó)軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字將其命名．他的這一發(fā)現(xiàn)引起一大批數(shù)學(xué)家的興趣，一時(shí)形成了一股研究“三角形幾何”的熱潮．關(guān)于布羅卡爾點(diǎn)的研究與推廣以代數(shù)計(jì)算為主，充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的聯(lián)系．定義：如圖1，若內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則稱P為的布羅卡爾點(diǎn)．若設(shè)，則稱為布羅卡爾角．人們研究發(fā)現(xiàn)，等邊三角形只有一個(gè)布羅卡爾點(diǎn)．任務(wù)：（1）等邊三角形的布羅卡爾點(diǎn)是這個(gè)三角形的______心；（2）若設(shè)等邊三角形的面積為S，邊長(zhǎng)為a，布羅卡爾角為，求證：；（3）如圖2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一個(gè)布羅卡爾點(diǎn)，滿足，，求的值．16.（2022鄂州中考）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，F(xiàn)H=2OH=1．（1）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請(qǐng)分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，．（2）【技能訓(xùn)練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；（4）【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿足：＝＝．后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出△HME的面積值．17．（2022遂寧中考）（9分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱該點(diǎn)為“黎點(diǎn)”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎點(diǎn)”．（1）求雙曲線y＝上的“黎點(diǎn)”；（2）若拋物線y＝ax2﹣7x+c（a、c為常數(shù)）上有且只有一個(gè)“黎點(diǎn)”，當(dāng)a＞1時(shí)，求c的取值范圍．18．（2022常州中考）（8分）第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME﹣14）會(huì)徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3745．八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0～7共8個(gè)基本數(shù)字．八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的舉辦年份．（1）八進(jìn)制數(shù)3746換算成十進(jìn)制數(shù)是2022；（2）小華設(shè)計(jì)了一個(gè)n進(jìn)制數(shù)143，換算成十進(jìn)制數(shù)是120，求n的值．19.（2022河北中考）發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．驗(yàn)證：如，為偶數(shù)，請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．探究：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．20.（2022赤峰中考）閱讀下列材料定義運(yùn)算：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．例如：；．完成下列任務(wù)（1）①_________；②_________（2）如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，．求這兩個(gè)函數(shù)的解析式．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題五十：與新定義或新定理有關(guān)的閱讀理解典例分析例.（2022青島中考）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用，分別表示和的面積．則，∵∴．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，D是的邊上的一點(diǎn)．若，則__________；（2）如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點(diǎn)．若，，，則__________，_________；（3）如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點(diǎn)，若，，，則__________．【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】（1）由圖可知和是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)和等高三角形的性質(zhì)可求得；（3）根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得．【小問1詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC，則，∵AE=AE，∴．【小問2詳解】解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．【小問3詳解】解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022嘉興中考）小東在做九上課本123頁(yè)習(xí)題：“1：也是一個(gè)很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點(diǎn)P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交線段AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．小東稱點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”．（1）你贊同他的作法嗎？請(qǐng)說明理由．（2）小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連結(jié)CP，點(diǎn)D為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的上方，構(gòu)造DPE，使得DPE∽CPB．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求∠CPE的度數(shù)．②如圖4，DE分別交CP，CB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)D為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD＜AD），猜想：點(diǎn)N是否為線段ME的“趣點(diǎn)”？并說明理由．【答案】（1）贊同，理由見解析，（2）①，②點(diǎn)N是線段ME的“趣點(diǎn)”，理由見解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明再利用從而可得結(jié)論；（2）①由題意可得：再求解證明從而可得答案；②先證明可得再證明從而可得結(jié)論．【小問1詳解】證明：贊同，理由如下：等腰直角三角形ABC，∴點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”．【小問2詳解】①由題意可得：DPE∽CPB，D，A重合，②點(diǎn)N是線段ME的“趣點(diǎn)”，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD＜AD），而同理可得：點(diǎn)N是線段ME的“趣點(diǎn)”．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，理解新定義的含義，掌握特殊的幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2022常州中考）（8分）如圖，點(diǎn)A在射線OX上，OA＝a．如果OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤360）到OA′，那么點(diǎn)A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，則點(diǎn)A′的位置可以表示為（3，37°）；（2）在（1）的條件下，已知點(diǎn)B的位置用（3，74°）表示，連接A′A、A′B．求證：A′A＝A′B．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的位置定義，即可得出答案；（2）畫出圖形，證明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】（1）解：由題意，得A′（a，n°），∵a＝3，n＝37，∴A′（3，37°），故答案為：（3，37°）；（2）證明：如圖：∵A′（3，74°），B（3，74°），∴∠AOA′＝37°，∠AOB＝74°，OA＝OB＝3，∴∠A′OB＝∠AOB﹣∠AOA′＝74°﹣37°＝37°，∵OA′＝OA′，∴△AOA′≌△BOA′（SAS），∴A′A＝A′B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，新定義題目，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2022北京中考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)；②連接交線段于點(diǎn)求證：（2）的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）①先根據(jù)定義和求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②延長(zhǎng)ON至點(diǎn)，連接AQ，利用AAS證明，得到，再計(jì)算出OA，OM，ON，即可求出；（2）連接PO并延長(zhǎng)至S，使，延長(zhǎng)SQ至T，使，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)得出NM為的中位線，推出，得出，則．【小問1詳解】解：①點(diǎn)Q如下圖所示．∵點(diǎn)，∴點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，∴點(diǎn)，在坐標(biāo)系內(nèi)找出該點(diǎn)即可；②證明：如圖延長(zhǎng)ON至點(diǎn)，連接AQ，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖所示，連接PO并延長(zhǎng)至S，使，延長(zhǎng)SQ至T，使，∵，點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，又∵，∴OM∥ST，∴NM為的中位線，∴，，∵，∴，∴，在中，，結(jié)合題意，，，∴，即長(zhǎng)的最大值與最小值的差為．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的平移，對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點(diǎn)間距離，中位線的性質(zhì)及線段的最值問題，第2問難度較大，根據(jù)題意，畫出點(diǎn)Q和點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．4．（2022常州中考）（10分）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若△OAB≌△OCD，則點(diǎn)O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．（1）正方形不存在“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；（2）如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，連接AC，求AC的長(zhǎng)；（3）在四邊形EFGH中，EH∥FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求的值．【分析】（1）根據(jù)“等形點(diǎn)”的定義可知△OAB≌△OCD，則∠OAB＝∠C＝90°，而O是邊BC上的一點(diǎn)．從而得出正方形不存在“等形點(diǎn)”；（2）作AH⊥BO于H，由△OAB≌△OCD，得AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，設(shè)OH＝x，則BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可；（3）根據(jù)“等形點(diǎn)”的定義可得△OEF≌△OGH，則∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，再由平行線性質(zhì)得OE＝OH，從而推出OE＝OH＝OG，從而解決問題．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠OAB＝∠C＝90°，∵O是邊BC上的一點(diǎn)．∴正方形不存在“等形點(diǎn)”，故答案為：不存在；（2）作AH⊥BO于H，∵邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”，∴△OAB≌△OCD，∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，∵BC＝12，∴BO＝7，設(shè)OH＝x，則BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，解得，x＝3，∴OH＝3，∴AH＝4，∴CO＝8，在Rt△CHA中，AC＝＝＝4；（3）如圖，∵邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，∴△OEF≌△OGH，∴∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，∵EH∥FG，∴∠HEO＝∠EOF，∠EHO＝∠HOG，∴∠HEO＝∠EHO，∴OE＝OH，∴OH＝OG，∴OE＝OF，∴＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，理解新定義，并能熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.（2022鄭州外國(guó)語(yǔ)三模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過點(diǎn)P分別作，，的垂線，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，（依據(jù)1）∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴．（依據(jù)2）又∵，∴．同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．（2）請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整．（3）善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．【答案】（1）①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可；（2）利用直角三角形斜邊上中線性質(zhì)證明點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C和點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)分別共圓，再說明∠FEP+∠DEP=180°，可證明結(jié)論；（3）連接PA，PB，PC，利用HL證明Rt△PBD≌Rt△PCF，從而得出結(jié)論．【小問1詳解】①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；【小問2詳解】如圖（1），連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE、QF，則EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°，又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，∴∠DBP=∠DEP，∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上；【小問3詳解】如圖，連接．∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明Rt△PBD≌Rt△PCF是解題的關(guān)鍵．6.（2022河南西平一模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在⊙O上（不與點(diǎn)A、B、C重合），過點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過程：

如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．（2）善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，．請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．【答案】（1）①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④等量代換（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等進(jìn)行求解即可；（2）如圖，連接PA，PB，PC，只需要證明即可證明結(jié)論．【小問1詳解】解：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④等量代換；【小問2詳解】證明：如圖，連接PA，PB，PC．

∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴．∴，．又∵，，∴．∴（HL）．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦，圓周角的關(guān)系，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等等等，正確作出輔助線和熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7.（2022河南桐柏一模）學(xué)習(xí)過“圓內(nèi)接四邊形”后，劉老師布置了課后閱讀“認(rèn)識(shí)托勒密”，小明讀了托勒密的生平、貢獻(xiàn)，對(duì)“托勒密定理”很感興趣，并進(jìn)行了下列的研究，請(qǐng)完成他的研究．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．已知：如圖1，______．求證：______．證明：如圖2，作，交BD于點(diǎn)E，……∴∽，∴，……∴∽，∴，∴．（1）請(qǐng)幫小明寫出已知和求證，并完成證明過程；（2）如圖3，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于，，求對(duì)角線BD長(zhǎng)．【答案】（1）已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于；求證：；證明見解析．（2）【解析】【分析】（1）理解題意，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等證明．（2）連接AD、AC，正五邊形分割出的三個(gè)三角形全等，再由托勒密定理即可求出．【小問1詳解】已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于，求證：，證明：如圖2，作，交BD于點(diǎn)E，∵∴，∴∴．∵∴．∵∴即，∴∴，∴．【小問2詳解】在圖3中，連接AD、AC．∵五邊形ABCDE是正五邊形∴∴設(shè)．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由托勒密定理可得：即，解得，（舍去）∴對(duì)角線BD的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓和四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于理解題意，明確同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明．8.（2022河南社旗一模）請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)AI-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是弧ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是弧ABC的中點(diǎn)，…任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于，D為弧AC上一點(diǎn)，，于點(diǎn)E，，連接AD，則△DAB的周長(zhǎng)是___________．【答案】（1）見解析（2）2＋4【解析】【分析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD＝GD，即可得出答案；（2）首先證明△CBF≌△CAD（SAS），進(jìn)而得出CF＝CD，AD+DE＝BE，進(jìn)而求出BE和AB的長(zhǎng)即可得出答案．【小問1詳解】證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中∵∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，∴△MBG是等腰三角形又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD；【小問2詳解】）解：如圖4，截取BF＝AD，連接CF，CD，∵△ABC是等邊三角形∴BC＝AC，∠CBF＝∠CAD，∠ABC＝60°，在△CBF和△CAD中∵∴△CBF≌△CAD（SAS），∴CF＝CD，∠BCF＝∠ACD＝∠ABD＝15°∴△CDF是等腰三角形，∵CE⊥BD，∴FE＝DE，∠BCE＝90°則AD+DE＝BE，∵∠ABD＝15°∴∠CBE＝∠ABC－∠ABD＝45°∴∠BCE＝90°－∠CBE＝45°∴△BCE是等腰直角三角形∴BE＝CE＝2，BC＝∴AD+DE＝BE＝2，AB＝BC＝2∴△DAB的周長(zhǎng)＝AB＋AD+DE＋BE＝2＋4故答案為：2＋4【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．9.（2022河南商水二模）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)在直線上，且，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型．（1）如圖2，中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)．求證：；（2）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，，，，，求點(diǎn)到邊的距離；（3）如圖4，在中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)．若，，，求的值．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“AAS”證明即可；（2）過作于點(diǎn)，過作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可根據(jù)“AAS”證即可求解；（3）過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可得，由平行四邊形ABCD易證，故，由相似三角形的性質(zhì)可求．【小問1詳解】證明：∵，，∴．∵，，∴，，∴．又∵，∴．【小問2詳解】解：如圖，過作于點(diǎn)，過作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴，即點(diǎn)到邊的距離為．【小問3詳解】解：如圖，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴．∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.（2022平頂山三模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．

阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．小明同學(xué)運(yùn)用“截長(zhǎng)法”和三角形全等來證明，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，

任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊內(nèi)接于⊙O，，D為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出的周長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）的周長(zhǎng)為【解析】【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）首先證明，進(jìn)而得出，以及，進(jìn)而求出BE的長(zhǎng)即可得出答案．【小問1詳解】證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．

∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴．又∵，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖3，截取，連接AF，AD，CD．

則．∵是等邊三角形，∴，在和中，∴，∴．∵，∴，則．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．11.（2022平頂山二模）閱讀下面的材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：在1815年某雜志上刊登了這樣一個(gè)命題：如圖，圓O中的弦AB的中點(diǎn)為G，過點(diǎn)G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一．任務(wù)：（1）如圖1，AB為⊙O的任一弦．①若G為弦AB的中點(diǎn)，連接OG，則OG與AB的位置關(guān)系為______；②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）下面是“蝴蝶定理”的證明過程（部分），請(qǐng)補(bǔ)充完整．證明：過O作OM⊥FC于點(diǎn)M，ON⊥DE于點(diǎn)N，連接OP，OQ，MG，NG，OG，由任務(wù)（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，即，又，取PO的中點(diǎn)O′，在四邊形MOGP中，∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四點(diǎn)在以O(shè)′為圓心的一個(gè)圓上，∴∠1=∠2（同弧所對(duì)的圓周角相等），同理：∠3=∠4，___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【答案】（1）①OG⊥AB；②AG=BG，理由見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）①利用“SSS”證明△AGO≌△BGO，即可解決問題；②利用“HL”證明Rt△AGO≌Rt△BGO，即可解決問題；（2）證明△MGC∽△NGE，推出∠1=∠4，∠2=∠3，利用“SAS”證明△PGO≌△QGO，即可證得PG=QG．【小問1詳解】解：①OG⊥AB；連接OA、OB，∵G為弦AB的中點(diǎn)，∴AG=BG，在△AGO和△BGO中，，∴△AGO≌△BGO(SSS)，∴∠AGO=∠BGO=90°，即OG⊥AB；②AG=BG，理由如下，連接OA、OB，

∵OG⊥AB，∴∠AGO=∠BGO=90°，在Rt△AGO和Rt△BGO中，，∴Rt△AGO≌Rt△BGO(HL)，∴AG=BG；【小問2詳解】補(bǔ)充如下：∵，又，∴△MGC∽△NGE，∴∠1=∠4，∴∠2=∠3，在△PGO和△QGO中，，∴△PGO≌△QGO(SAS)，∴PG=QG．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．12.（2022焦作一模）歐幾里得，古希臘數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書．他在第Ⅲ卷中提出這樣一個(gè)命題：“由已知點(diǎn)作直線切于已知圓”．如圖，設(shè)A是已知點(diǎn)，小圓O為已知圓．具體作法是：以O(shè)為圓心，為半徑作大圓O，連接交小圓O于點(diǎn)B，過B作，交大圓O于點(diǎn)C，連接，交小圓O于點(diǎn)D，連接，則是小圓O的切線．為了說明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”的過程．已知：如圖，點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D分別在以O(shè)為圓心的同心圓上，_________．求證：___________．證明：【答案】，是小圓O切線，證明見解析【解析】【分析】通過證明三角形全等即可得到，從而證明切線．【詳解】已知：如圖，點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D分別在以O(shè)為圓心的同心圓上，求證：是小圓O的切線證明：∵點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D分別在以O(shè)為圓心的同心圓上，∴．在和中,∴，∴，∵，∴，∴，∵是小圓O的切線．【點(diǎn)睛】本題考查切線的證明，找準(zhǔn)判斷切線的三個(gè)因素是解題的關(guān)鍵．13.（2022河南滑縣一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過點(diǎn)P分別作，，垂線，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）：如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，（依據(jù)1）∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴．（依據(jù)2）又∵，∴．同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．（2）請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整．（3）善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．【答案】（1）①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可；（2）利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C和點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)分別共圓，再說明∠FEP+∠DEP=180°，可證明結(jié)論；（3）連接PA，PB，PC，利用HL證明Rt△PBD≌Rt△PCF，從而得出結(jié)論．【小問1詳解】①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；【小問2詳解】如圖（1），連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE、QF，則EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°，又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，∴∠DBP=∠DEP，∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上；【小問3詳解】如圖，連接．∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，以及圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明Rt△PBD≌Rt△PCF是解題的關(guān)鍵．14.（2022鄭州一模）閱讀與思考，請(qǐng)閱讀下列科普材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圖算法圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量．比如想知道10攝氏度相當(dāng)于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)系：得出，當(dāng)時(shí)，．但是如果你的溫度計(jì)上有華氏溫標(biāo)刻度，就可以從溫度計(jì)上直接讀出答案，這種利用特制的線條進(jìn)行計(jì)算的方法就是圖算法．再看一個(gè)例子：設(shè)有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯(lián)后的電阻值是多少？我們可以利用公式求得的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法直接得出結(jié)果：我們先來畫出一個(gè)的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長(zhǎng)度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點(diǎn)連成一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并聯(lián)后的電阻值．圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進(jìn)行計(jì)算的測(cè)量制圖人員，往往更能體會(huì)到它的優(yōu)越性．任務(wù)：（1）請(qǐng)根據(jù)以上材料簡(jiǎn)要說明圖算法的優(yōu)越性；（2）請(qǐng)用以下兩種方法驗(yàn)證第二個(gè)例子中圖算法的正確性：①用公式計(jì)算：當(dāng)，時(shí)，的值為多少；②如圖，在中，，是的角平分線，，，用你所學(xué)的幾何知識(shí)求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）圖算法方便；直觀；或不用公式計(jì)算即可得出結(jié)果等；（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解問題；（2）①利用公式可直接把，代入求解即可；②過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由題意易得，則有，，然后可得為等邊三角形，則，所以可得，最后利用相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：答案不唯一，如：圖算法方便；直觀；或不用公式計(jì)算即可得出結(jié)果等．（2）①解：當(dāng)，時(shí)，，∴．②解：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15.（2022太原二模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．有趣的布羅卡爾點(diǎn)和布羅卡爾角1816年法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)了“布羅卡爾點(diǎn)”，但是他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，這一特殊點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者——法國(guó)軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字將其命名．他的這一發(fā)現(xiàn)引起一大批數(shù)學(xué)家的興趣，一時(shí)形成了一股研究“三角形幾何”的熱潮．關(guān)于布羅卡爾點(diǎn)的研究與推廣以代數(shù)計(jì)算為主，充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的聯(lián)系．定義：如圖1，若內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則稱P為的布羅卡爾點(diǎn)．若設(shè)，則稱為布羅卡爾角．人們研究發(fā)現(xiàn)，等邊三角形只有一個(gè)布羅卡爾點(diǎn)．任務(wù)：（1）等邊三角形的布羅卡爾點(diǎn)是這個(gè)三角形的______心；（2）若設(shè)等邊三角形的面積為S，邊長(zhǎng)為a，布羅卡爾角為，求證：；（3）如圖2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一個(gè)布羅卡爾點(diǎn)，滿足，，求的值．【答案】（1）答案不唯一，如內(nèi)、外、中、重等．（2）證明見解析（3）6【解析】【分析】（1）本小題答案不唯一，可以先猜想，再證明，比如根據(jù)題意，△ABC是等邊三角形，可知∠PAC=∠PCB=∠PBA=30°，得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，所以∠PCA=∠PBC=∠PAB=30°，即可證明P是∠ABC、∠BCA、∠BAC的角平分線的交點(diǎn)所以P是△ABC的內(nèi)心.（2）由材料可知，等邊三角形布羅卡爾角為．求．根據(jù)三角函數(shù)求得等邊三角形一邊上的高為．根據(jù)三角形面積公式即可求得；（3）由是等腰直角三角形，得到，，，再證明．得到．求出，進(jìn)而求得，，即可求解．【小問1詳解】根據(jù)題意，可知∠PAC=∠PCB=∠PBA=30°，∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，∴∠PCA=∠PBC=∠PAB=30°，∴P是∠ABC、∠BCA、∠BAC的角平分線的交點(diǎn)∴P是△ABC的內(nèi)心.【小問2詳解】證明：由材料可知，等邊三角形布羅卡爾角為．∴．∵等邊三角形的面積為S，邊長(zhǎng)為a，∴等邊三角形一邊上的高為．∴．又∵，∴．【小問3詳解】∵是等腰直角三角形，，∴，．∵，∴．又∵，∴．∴．∵，∴，，∴的值為6．【點(diǎn)睛】本題是屬于三角形的幾何綜合題型，也是壓軸題，較難，內(nèi)容有等邊三角形的性質(zhì)，內(nèi)心，外心，等邊三角形角平分線，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合，求三角形的面積，以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟悉并靈活利用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.（2022鄂州中考）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，F(xiàn)H=2OH=1．（1）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請(qǐng)分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，．（2）【技能訓(xùn)練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；（4）【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿足：＝＝．后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出△HME的面積值．【答案】（1）（0，），，（2），4）或（，4）（3）（4）或【解析】【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；（2）先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，然后代入到拋物線解析式中求解即可；（3）如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，證明△FDB∽△FHC，推出，則，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，從而求出，證明△AEF∽△BDF，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求解即可；（4）如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過點(diǎn)M作MN⊥l于N，則MN=MF，先證明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），則，求出，然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出，則；同理可求當(dāng)點(diǎn)E