3.2函數(shù)的基本性質(zhì) 講義（知識(shí)點(diǎn)+考點(diǎn)+練習(xí)）-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)增函數(shù)與減函數(shù)的定義前提條件：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I條件?x1，x2∈D，x1<x2條件圖示都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)結(jié)論f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增特殊情況當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減思考1所有的函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性嗎？舉例說(shuō)明．思考2在增函數(shù)和減函數(shù)定義中，能否把“任意x1，x2∈I”改為“存在x1，x2∈I”？舉例說(shuō)明．思考3?x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0，則y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明原因．二、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．三、函數(shù)的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：?x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)思考1若函數(shù)f(x)≤M，則M一定是函數(shù)的最大值嗎？思考2若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值分別是多少？四、求函數(shù)最值的常用方法1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大(小)值．2．運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域．3．運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性：(1)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個(gè)．五、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱思考具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有何特點(diǎn)？六、用奇偶性求解析式如果已知函數(shù)的奇偶性和一個(gè)區(qū)間[a，b]上的解析式，求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．七、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性1．若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調(diào)遞增，即在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致(相同)．2．若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調(diào)遞減，即在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反．思考若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，那么它在區(qū)間[－b，－a]∪[a，b]上單調(diào)遞增嗎？

考點(diǎn)一性質(zhì)法求單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)【例1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為A． B． C． D．【練1】(2020·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高二期中(文))函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B． C． D．考法二定義法求單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)【例2】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))求證：函數(shù)f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函數(shù).【練2】(2020·全國(guó)高一)利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)．考法三圖像法求單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)【例3】(2020·全國(guó)高一)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)f(x)＝3|x|；(2)f(x)＝|x2＋2x－3|．【練3】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖是定義在區(qū)間，上的函數(shù)，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？考法四利用單調(diào)性求參數(shù)【例4】(2020·開(kāi)魯縣第一中學(xué)高二期末(文))函數(shù)在上是減函數(shù)．則()A． B． C． D．【練4】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．考法五奇偶性的判斷【例5】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝2x＋；(2)f(x)＝2－|x|；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝.【練5】(2019·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)．考法六利用奇偶性求解析式【例6】(1)(2020·陜西渭濱.高二期末(文))已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，。(2)已知函數(shù)在R上為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式是______．【練6】(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，________．考法七利用奇偶性求參數(shù)【例7】如果定義在區(qū)間[3?a,?5]上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則【練7】(2020·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高二期末(文))已知函數(shù)，若，則的值為()A． B． C． D．考法八單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用【例8】(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)的最大值是：()A． B． C． D．【練8】(2019·哈爾濱市第一中學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試(文))已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是()A． B． C． D．課后練習(xí)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x3)=12f(x)，且當(dāng)A.

1256

B.

1

C.

164

D.

（2021高二下·鶴崗期末）已知y=f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=log2(x+a)A.

-1

B.

0

C.

1

D.

2（2019高一上·靜海月考）已知f(x)=ax2+(bA.

?94

B.

94

C.

?32

（2020高二下·長(zhǎng)春期末）下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（

）A.

y=log0.5x

B.

C.

y=cosx

D.

y=（2019高一上·平遙月考）若函數(shù)y=(x+1)(x?a)為偶函數(shù)，則（2020高二下·沈陽(yáng)期中）若0<x1<x2<1，且1<x3<x4，下列命題：①ex4?ex3>lnx（2020高一上·蕪湖期中）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x3+（2020高一上·湖南月考）若函數(shù)f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇3a,a+2]，則a+b=（2020高一上·南京月考）某漁業(yè)公司今年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈，若該公司從第1年到第n年花在該漁船維修等事項(xiàng)上的所有費(fèi)用為(2n（1）該船捕撈幾年開(kāi)始盈利？（即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正值）（2）該船捕撈若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26萬(wàn)元的價(jià)格賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格賣出；哪一種方案較為合算？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)分別求出兩種方案盈利總額的最大值及所用年限即可得出結(jié)論.（2020高一上·衡陽(yáng)期中）若已知函數(shù)f(x)=ax+b1+x（2018高一上·雅安月考）已知函數(shù)f(x)=x|x?m|

(x∈R)，且（1）求m的值，并用分段函數(shù)的形式來(lái)表示f(x)；（2）在如圖給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)的草圖（不用列表描點(diǎn)）；（3）由圖象指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

12.（2020高一上·龍崗期末）已知函數(shù)f(x)=loga1+x（1）求f(x)的定義域；（2）判斷f(x)的奇偶性，并給予證明；（3）求使f(x)>0的x取值范圍．精講答案思考1答案不是．如函數(shù)y＝x2，y＝eq\f(1,x)等．思考2答案不能．如對(duì)于函數(shù)y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函數(shù)．思考3答案若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0，則x2－x1與f(x2)－f(x1)同號(hào)，即x2>x1時(shí)，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上單調(diào)遞增．思考1答案不一定，只有定義域內(nèi)存在一點(diǎn)x0，使f(x0)＝M時(shí)，M才是函數(shù)的最大值，否則不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．思考2答案最大值為f(b)，最小值為f(a)．思考答案定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．思考答案不一定．如f(x)＝x在[0,2]上單調(diào)遞增，則在[－2,0]∪[0,2]＝[－2,2]上也單調(diào)遞增；而函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,x)在[1,3]上單調(diào)遞增，但在[－3，－1]∪[1,3]上不單調(diào)遞增．【例1】【答案】A【解析】函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)大于零，拋物線的開(kāi)口向上，二次函數(shù)的對(duì)稱軸是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是故選：A．【練1】【答案】A【解析】∵函數(shù),∴函數(shù)圖像為開(kāi)口向下的拋物線,且其對(duì)稱軸為軸∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故選:A.【例2】【答案】證明見(jiàn)詳解.【解析】證明：在區(qū)間上任取，則因?yàn)?，故可得；又因?yàn)?，故可?故，即.故在區(qū)間上單調(diào)遞增.【練2】【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)且，則，∵，∴，，．∴．即，．∴在上是減函數(shù)．【例3】【答案】(1)減區(qū)間為(－∞，0]，增區(qū)間為[0，＋∞)；(2)增區(qū)間是[－3，－1]，[1，＋∞)；減區(qū)間是(－∞，－3]，[－1，1]．【解析】(1)由題意，函數(shù)，圖象如圖所示，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]，單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞)．(2)令，作出的圖象，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖象翻到x軸上方，即可得到函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖象易得：函數(shù)的遞增區(qū)間是[－3，－1]，[1，＋∞)；函數(shù)的遞減區(qū)間是(－∞，－3]，[－1，1]．【練3】【答案】答案見(jiàn)解析【解析】從函數(shù)圖象上看，當(dāng)時(shí)，圖象呈下降趨勢(shì)，所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減；從函數(shù)圖象上看，當(dāng)時(shí)，圖象呈上升趨勢(shì)，所以為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增；從函數(shù)圖象上看，當(dāng)時(shí)，圖象呈下降趨勢(shì)，所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減；從函數(shù)圖象上看，當(dāng)時(shí)，圖象呈上升趨勢(shì)，所以為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增．【例4】【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)在上是減函數(shù)，則有，解可得，故選B．【練4】【答案】(－∞，1]∪[2，＋∞)【解析】∵函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，

函數(shù)的對(duì)稱軸為或故的取值范圍為或.故答案為:．【例5】【答案】(1)奇函數(shù)；(2)偶函數(shù)；(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)非奇非偶函數(shù).【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，由，所以函?shù)為奇函數(shù)(2)函數(shù)的定義域?yàn)橛伤院瘮?shù)為偶函數(shù)(3)由，所以函數(shù)的定義域?yàn)橛郑院瘮?shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(4)由，所以函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【練5】【答案】(1)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)偶函數(shù)．【解析】(1)由于該函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．，所以函數(shù)為偶函數(shù)．【例6】【答案】(1)(2)f(x)＝x2+2x【解析】由題意，設(shè)，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，則，得，即當(dāng)時(shí)，.(2)當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，∴f(﹣x)＝x2+2x，又f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝f(﹣x)＝x2+2x．故答案為：f(x)＝x2+2x．【練6】【答案】【解析】令，則，∴，又函數(shù)在上為奇函數(shù)，則，即，得，故當(dāng)時(shí)，．【例7】【答案】8【解析】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱即3?a=?5解得a=8【練7】【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，則.故選：B.【例8】【答案】A【解析】故函數(shù)的最大值為：.故答案為：A.【練8】【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集為.故選：A.習(xí)題答案1.【答案】B【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，抽象函數(shù)及其應(yīng)用【解析】令，所以，所以，所以所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以；在中令，得，所以，…，又因?yàn)闀r(shí)，有，而，所以的值為.

【分析】抽象函數(shù)問(wèn)題一般都用“賦值法”解決.2.【答案】C【考點(diǎn)】奇函數(shù)，函數(shù)的周期性【解析】解：∵

y=f(x)

是定義在

R

上的周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)

x∈[0,1]

時(shí)，

f(x)=log2(x+a)

∴f(0)=log2a=0

∴a=1

∴

當(dāng)

x∈[0,1]

時(shí)，f(x)=log2(x+1)

∴f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=log22=1

3.【答案】B【考點(diǎn)】偶函數(shù)【解析】依題意得：f(?∴b=2，又a∴a=1∴a+b=9故答案為：B.【分析】利用f(x)=f(?4.【答案】C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)的周期性【解析】A中y=logB,D中的函數(shù)均為奇函數(shù),故排除B,D;故答案為：C.【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.5.【答案】1【考點(diǎn)】偶函數(shù)【解析】解：函數(shù)y=(x+1)(x?∵函數(shù)y=(x+1)(x?∴(∴1?∴a=1【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得一次項(xiàng)系數(shù)為0，從而可得結(jié)論．6.【答案】①④【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】令f(x)=ex?易知當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f'由f'(1則存在x0∈(1∴當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，f∵0<x1<x2<1，∴當(dāng)∴此時(shí)ex∵1<x3<x4，∴∴ex令?(x)=ex∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，?'(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，?'(x)>0，∵0<x2<1<x3，∴?(x∵0<x1<x2<1，∴x2故答案為：①④.【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)f(x)再對(duì)其求導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性即可得出ex2?lnx7.【答案】f(x)=?【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法，偶函數(shù)【解析】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x當(dāng)x<0時(shí)，則?x>0，所以f(又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則f(?x)=f(x)，所以故答案為：f(x)=【分析】根據(jù)題意由奇函數(shù)的定義即可得出當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)的解析式。8.【答案】?1【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+2bx+4a+b所以{3a+a+2=0f(?x)=f(x)，則因此a+b=?故答案為：?1【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),分別求出a,

b的值即可.9.【答案】（1）解：設(shè)捕撈n年的盈利為y萬(wàn)元，則y=50n?由y>0，得n2解得10?則3≤n≤17，故n=3.所以捕撈3年開(kāi)始盈利.（2）解：①yn=?2n?故經(jīng)過(guò)7年捕撈，年平均盈利最大，共盈利12×7+26=110萬(wàn)元.②因?yàn)閥=?所以當(dāng)n=10