天津市和平區(qū)2025屆高考數(shù)學(xué)三模試題含解析

PAGEPAGE22天津市和平區(qū)2025屆高考數(shù)學(xué)三模試題（含解析）一?選擇題1.集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)集合的交、并、補運算得解.【詳解】由題意得，所以所以故選D.【點睛】本題考查集合的交、并、補運算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知，假如是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得q:x<-1或x>2,由是的充分不必要條件，得，選B.3.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】取特值推斷正負(fù)，即可得出答案．【詳解】故選B【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，依據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性及特值是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4.三棱錐的棱長均為，頂點在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：因為三棱錐的棱長均為，所以該三棱錐為正四面體，其外接球的半徑，所以其外接球的表面積為，故選C.考點：1.正多面體的外接球與內(nèi)切球；2.球的表面積與體積.【名師點睛】本題考查正多面體的外接球與內(nèi)切球、球的表面積與體積，屬中檔題；與球有關(guān)的組合體的類型及解法有：1.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常通過作出它們的軸截面解題；2.球與多面體的組合，通常通過多面體的一條側(cè)棱和不球心，或切點、接點作出軸截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.5.設(shè)正實數(shù)分別滿意，則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把看作方程根，利用數(shù)形結(jié)合思想把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，則可以利用圖象比較大小.【詳解】由已知可得作出函數(shù)的圖象，它們與函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)分別為，如圖所示，易得.故選C.【點睛】本題考查函數(shù)與方程，基本初等函數(shù)的圖象.對于含有指數(shù)、對數(shù)等的方程，若不能干脆求得方程的根，一般可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題.6.已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為為左支上的一個動點，若周長的最小值等于實軸長的倍，則該雙曲線的離心率為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通過分析得到當(dāng)且僅當(dāng)共線，周長取得最小值，且為可得解方程即得解.【詳解】由題意可得設(shè)由雙曲線的定義可得，則的周長為當(dāng)且僅當(dāng)共線，取得最小值，且為由題意可得即，即則故選【點睛】本題主要考查雙曲線的定義和簡潔幾何性質(zhì)，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理計算實力.7.假如函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，且，則函數(shù)為A.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 B.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增C.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減 D.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減【答案】D【解析】因為函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點對稱，那么可知，得到，，因此可知，故可知函數(shù)為奇函數(shù)，且在遞減，故選D8.已知直線與圓相交于兩點,點分別在圓上運動,且位于直線兩側(cè),則四邊形面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，直線與圓相交，由點到直線的距離公式的弦心距，由勾股定理的半弦長為，弦長為，又兩點在圓上，并且位于直線的兩側(cè)，四邊形的面積可以看出是兩個三角形和的面積之和，如圖所示，當(dāng)為如圖所示的位置，即為弦的垂直平分線時（即為直徑時），兩三角形的面積之和最大，即四邊形的面積最大，最大面積為，故選A．考點：直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用．9.已知函數(shù)，函數(shù)，若方程有4個不同實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】方程，化為，即或，要使方程有4個不同實根，則需方程有3個不同根，當(dāng)時，方程有1個根，則只需：時，與有兩個交點即可，數(shù)形結(jié)合可得到答案．【詳解】解：方程，化，即或，要使方程有4個不同實根，則需方程有3個不同根，如圖：而當(dāng)時，方程有1個根，則只需：時，與有兩個交點即可．當(dāng)時，，過點作的切線，設(shè)切點為（），切線方程為，把點代入上式得或，因為，所以，切線斜率為，所以，即，當(dāng)時，，與軸交點為令，解得．故當(dāng)時，滿意時，與有兩個交點，即方程有4個不同實根．故選B.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．二?填空題10.若復(fù)數(shù)其中是虛數(shù)單位，則____．【答案】【解析】11.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則的值為_______．【答案】8【解析】【分析】已知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，可以求出；甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，依據(jù)平均數(shù)的定義可列式求出.【詳解】由題意易知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由于兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等得；甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以可得,,.所以本題答案為8.【點睛】本題考查了依據(jù)莖葉圖求平均數(shù)，依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)求原始數(shù)據(jù)，考查了計算實力，屬基礎(chǔ)題.12.若的綻開式中全部項系數(shù)的肯定值之和為，則該綻開式中的常數(shù)項是______.【答案】【解析】【分析】利用“的綻開式中全部項系數(shù)和”與“的綻開式中全部項系數(shù)的肯定值之和”之間的關(guān)系，求得的值，進(jìn)而求得的綻開式中的常數(shù)項.【詳解】二項式綻開式的通項公式為，由于“的綻開式中全部項系數(shù)的肯定值之和”等于“的綻開式中全部項系數(shù)和”.由，令，可得，解得.所以二項式綻開式的通項公式為，令，解得.所以二項式綻開式的常數(shù)項為.故答案為：【點睛】本小題主要考查二項式綻開式各項系數(shù)之和，考查二項式綻開式的通項公式的運用，屬于中檔題.13.已知一個袋子中裝有4個紅球和2個白球，假設(shè)每一個球被摸到的可能性是相等的，若從袋子中摸出3個球，記摸到的白球的個數(shù)為，則的概率是_______；隨機變量期望是_______.【答案】【解析】依據(jù)題意知ξ=0，1，2，；；；所以.故答案為.14.已知正數(shù)，滿意，則當(dāng)______時，的最大值為______.【答案】(1).4(2).【解析】【分析】令，由題意得，且，由基本不等式可得，解不等式，由此可求出答案．【詳解】解：由得，令，則，且，又，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，∴，即，化簡得，∴，或（舍去），∴，故答案為：4；．【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查計算實力，屬于中檔題．15.如圖所示，在四邊形中，已知，與以為直徑的半圓相切于點，且，若，則______；此時______.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】利用向量的線性運算、數(shù)量積運算化簡，由此求得，即.再利用向量線性運算和數(shù)量積運算，求得.【詳解】依題意,因為，是半圓的直徑，則，所以，所以，故.而，所以，所以，即..故答案為：；.【點睛】本小題主要考查向量的線性運算、數(shù)量積運算，屬于中檔題.三?解答題16.在中，角，，所對的邊分別是，，，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得，進(jìn)而求得和，代入求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、協(xié)助角公式將其整理為，依據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：即（2）由（1）知：，，即的取值范圍為【點睛】本題考查解三角形學(xué)問的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和協(xié)助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，進(jìn)而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.17.如圖甲所示的平面五邊形中，，，，，，現(xiàn)將圖甲所示中的沿邊折起，使平面平面得如圖乙所示的四棱錐．在如圖乙所示中

（1）求證：平面；（2）求二面角的大??；（3）在棱上是否存在點使得與平面所成的角的正弦值為？并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出AB⊥AD，AB⊥平面PAD，AB⊥PD，PD⊥PA，由此能證明PD⊥平面PAB；（2）取AD的中點O，連結(jié)OP，OC，由知OC⊥OA，以為坐標(biāo)原點，OC所在的直線為x軸，OA所在的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的大小；（3）假設(shè)點M存在，其坐標(biāo)為(x,y,z)，BM與平面PBC所成的角為，則存在λ∈(0，1)，有，利用向量法能求出在棱PA上滿意題意的點M存在．【詳解】（1）∵，，，∴，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，，∴平面．（2）取的中點，連結(jié)，，由平面平面知平面，由知，以為坐標(biāo)原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則易得，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令得，，∴，設(shè)二面角大小為，則，∵，∴二面角的大?。?）假設(shè)點存在，其坐標(biāo)為，與平面所成的角為，則存在，有，即，，則，從而化簡得，解得∵，∴∴在棱上滿意題意的點存在．【點睛】本題主要考查了線面垂直?面面垂直的判定與性質(zhì)，利用向量求二面角，線面角，考查了推理運算實力，空間想象力，屬于中檔題．18.已知數(shù)列滿意：，，且，.（1）求，，，的值及數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），，，，（2）【解析】【分析】（1）分別令n=1,2,3,能得到，，，的值，分n為奇數(shù)偶數(shù)求出數(shù)列的通項公式；（2）由知，利用錯位相減法求數(shù)列的和即可.【詳解】（1），，且，則，解得，，解得，，解得，，解得，當(dāng)為奇數(shù)時，，；當(dāng)為偶數(shù)時，，.即有（）；（2）由于為奇數(shù)，則，由于為偶數(shù)，則.因此，.，，兩式相減得，，化簡可得，.【點睛】本題考查數(shù)列的求值、求解通項公式的方法和用錯位相減法求解通項公式的方法，解題時要細(xì)致審題,細(xì)致解答,留意公式的敏捷運用，屬于中檔題.19.已知橢圓的離心率，橢圓上的點到左焦點的距離的最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點.在軸上是否存在點，使得且，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）橢圓上的點到左焦點的距離最大值為a+c,再結(jié)合離心率可得a和c的值，再由可得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，利用弦長公式求得丨MN丨，由，P在線段MN的中垂線上，利用韋達(dá)定理求出中點D的坐標(biāo)，寫出直線PD的方程，令x=0得，平方后即可求得m范圍；【詳解】（1）由題設(shè)條件可得，，解得，，所以，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)，，則整理得：，則，則，，假設(shè)存在點滿意題意，，則，化簡整理得，此時判別式恒成立，所以且，設(shè)中點，則，，由，則在線段的中垂線上.因為，直線的方程為：，令，則∴∴∵，∴，∴∴∴或.即：.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查韋達(dá)定理及弦長公式，中點坐標(biāo)公式的綜合應(yīng)用，考查化簡整理的運算實力，屬于中檔題．20.已知函數(shù)，．（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的值；（2）若存在，，使，且，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，求證：．【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.【解析】【分析】（1）由f′（x0）．可得切線方程為：y＝（）x+lnx0，與直線y＝2x完全相同，可得＝2，lnx0＝0．即可得出a．（2）設(shè)t（x）＝ex﹣x，x∈R．t′（x）＝ex﹣1，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性可得0是函數(shù)t（x）的微小值點，可得．再由g（x2）＝0，解得x2，可得x1的范圍．從而問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax+1在x∈（1，+∞）上有零點．由f′（x）a．對a分類探討，探討其單調(diào)性即可得出．（3）構(gòu)造函數(shù)F（x）＝x2+g（x）﹣f（x），利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性極值與最值即可得出．【詳解】（1）設(shè)切點坐標(biāo)為，由，得，所以切線方程為：，即.因為直線與函數(shù)圖象相切，所以，解得.（2）設(shè)，則，令，得，且當(dāng)時，：當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時取得微小值為0，即.由，可得，所以即為，由題意可得：函數(shù)在上有零點.因為，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上無零點：當(dāng)時，令，得①若，即時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上無零點：②若，即時，當(dāng)時，：當(dāng)時，.所以函數(shù)在