2024-2025學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 勾股定理 單元重點(diǎn)綜合測試（解析版）

勾股定理（單元重點(diǎn)綜合測試）

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)

考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分

一、單選題

1.如圖，在RtZUBC中NC=90。，AC=2,BC=5,則=（）

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理即可直接求出答案.

【解析】：在RtZXZBC中NC=90°,AC=2,BC=5,

AB=ylAC2+BC2=722+52=V29.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理.掌握直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題關(guān)鍵.

2.下列三個(gè)數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（）

_____2

A.V6,V8,V10B.12,伊），32

C.12,15,9D.-y—,一

345

【答案】c

【分析】根據(jù)勾股定理的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此求解即可.

【解析】解：A、三邊太，RM，不是正整數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意;

B、三邊為1,2,9,且儼+22292,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題

c、92+122=152,三邊是正整數(shù)，且符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意.

D、三邊;，不是正整數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)問題，滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

3.如圖，點(diǎn)P是以/為圓心，為半徑的圓弧與數(shù)軸的交點(diǎn)，則數(shù)軸上點(diǎn)尸表示的實(shí)數(shù)是（）

A.-2B.i+Vioc.i-VioD.Vio-i

【答案】c

【分析】在A4O8中，利用勾股定理求出的長，即可確定出NP的長，得到尸表示的實(shí)數(shù).

【解析】解：在見?。夕中，OA=l,03=3,

根據(jù)勾股定理得：AB=yj32+l2=V10.

??AP—AB—,

：.OP=AP-OA=4lQ-1.

?.?點(diǎn)P在原點(diǎn)的左邊，

.,.尸表示的實(shí)數(shù)為-（JiTJ—1）=1-Vio.

故選：c.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

4.在RtZ\/3C中，斜邊3c=2,則N笈+NCZ+BC?等于（）

A.8B.4C.6D.以上都不對(duì)

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理可知8C2=/B2+NC2,進(jìn)

而可知/左+

+BC2=BC2+BC2.

【解析】解：??,在中，斜邊為5C,

BC2=AB2+AC2,

?：BC=2,

:.A=AB2+AC2,

/.AB2+AC2+BC2=BC2+BC2=4+4=S,

故選A.

5.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端

距離地面2.4米?若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面1.5米，則小巷的寬度為(

)

0.7米

A.2.7米B.2.5米C.2米D.1.8米

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度.

0.7米

由題意可得：AD2=0.72+2.42=6.25,

在RLUBC中,

ZABC=90°,8c=1.5米，BC2+AB2=AC2,

/笈+1.5?=6.25,

AB=+2,

48>0,

*?*AB—2,

小巷的寬度為0.7+2=2.7(米).

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)

際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.

6.適合下列條件的中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()

(1)a=-,b=—=—；(2)=—Z.B=—Z.C；(3)a=V2,b=5/3,c=@a=1,b=24,c=25；⑤

a=2,b=2,c=4.⑥a:b:c=3:4:5

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，直角三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：①故①不是直角三角形；

②???乙4=；/B=；/C,：.6ZA=18O°,：.ZC=3ZA=90°,故②是直角三角形；

③（亞丫+（間2=（逐）2,故③是直角三角形；

@72+242=252,故④是直角三角形；

⑤???2+2=4,...由三角形的三邊關(guān)系可知，⑤不能構(gòu)成三角形；

⑥令。=3x,b=4x,c=5x,可知/+￡）2j2,故⑥是直角三角形；

綜上，有4個(gè)是直角三角形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的判定，熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，的頂點(diǎn)A,B,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則8C邊長的高為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

【解析】解：,■,S^c=3x4-ix2x3-1x2xl-ix2x4=4,

222

???BC=A/22+42=2A/5，

??衣邊長的高=第=竽

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么

解答.

8.如圖，已知1號(hào)、4號(hào)兩個(gè)正方形的面積之和為7,2號(hào)、3號(hào)兩個(gè)正方形的面積之和為4,則°、b、c

三個(gè)正方形的面積之和為（）

A.11B.15C.10D.22

【答案】B

【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面積公式不難發(fā)現(xiàn)：a的面積等于1號(hào)的面積加上2號(hào)的面

積，6的面積等于2號(hào)的面積加上3號(hào)的面積，c的面積等于3號(hào)的面積加上4號(hào)的面積，據(jù)此可以求出三

個(gè)的面積之和.

【解析】利用勾股定理可得：

sa=sl+s2,sh=s2+s3,sc=s3+s4

s”+s+S。=S]+邑+邑+邑+邑+Sj

=7+4+4=15

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

9.我們?cè)趯W(xué)習(xí)勾股定理的第二課時(shí)時(shí)，以下圖形可以用來驗(yàn)證勾股定理的有（）個(gè).

b

B

圖2

A.1B.2C.3D.

【答案】C

【分析】用兩種不同的方法表示出梯形的面積，可以判斷圖1和圖3可以驗(yàn)證勾股定理；根據(jù)圖形的總面

積等于一個(gè)大正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，也等于兩個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形

的面積，然后整理可以判斷圖2可以驗(yàn)證勾股定理.

【解析】解：圖1和圖3：S梯形=2義（。+6）（。+6）,=—ab+—ab+—c2,

.*?~x（a+b）（a+b）=—ab+—ab+—,

a2+2ab+b2=ab+ab+c2

???/+〃=，，故圖1和圖3都可以驗(yàn)證勾股定理；

圖2：圖形的總面積可以表不為：c2+2x.—ab=c2+ab,

2

也可以表示為：a2+b2+2x—ab=a2+b2+ab,

2

??c~+ab=ci~+b2+ab,

Aa2+b2=c2.故圖2可以驗(yàn)證勾股定理；

圖4不可以驗(yàn)證勾股定理.

綜上，圖1、圖2和圖3可以驗(yàn)證勾股定理，共3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，觀察圖形，利用兩種方法表示出圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD,把a(bǔ)ABD沿著直線AD翻折，得到

9

△AED,DE交AC于點(diǎn)G,連接BE交AD于點(diǎn)F.若DG=EG,AF=4,AB=5,4AEG的面積為則

BD的長為（）

A

一

BDJ

A.V13B.VTTc.療D.V5

【答案】A

【分析】首先根據(jù)SAS證明ABAF咨AEAF可得AFLBE,根據(jù)三角形的面積公式求出AD,根據(jù)勾股定理

求出BD即可.

【解析】解：由折疊得，AB=AE,ZBAF=ZEAF,

AB=AE

在4BAF和4EAF中，，/3/尸=NEAF

AF=AF

.?.ABAF^AEAF(SAS)

.,.BF=EF

.'.AF±BE

又：AF=4,AB=5,

BF々AB2-AF2=3

在4ADE中，EF±AD,DG=EG,設(shè)DE邊上的高線長為h,

/.S..=-AD-EF=-DGh+-EGh

MDnEF222

19

,**S^EG=2,GE-h=—,S^DG=S^EG

99

?e?S^DG+S/^AEG=2+2=9

：.9=-AD-3

2

???AD=6

：.FD=AD-AF=6-4=2

在RtZkBDF中，BF=3,FD=2,

BD=yjBF2+FD2=A/32+22=V13

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

二、填空題

II.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4.則第三邊長為.

【答案】5或不

【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論.

【解析】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時(shí)，

第三邊的長為：“2-32=療;

②長為3、4的邊都是直角邊時(shí)，

第三邊的長為：742+32=5；

...第三邊的長為：療或5,

故答案為：療或5.

12.如圖，在中，ZACB=90°,AC=9,AB=15,則。5c的面積=.

【答案】54

【分析】本題主要考查了勾股定理，求三角形的面積，先根據(jù)勾股定理求出3C,再求出面積即可.

【解析】在RtZX/BC中，4c=9,AB=15,

BC=yjAB2-AC2=V152-92=12，

，用e=g/.比=gx9x12=54.

故答案為：54.

13.如圖，四邊形4BCD中，ZA=ZC=90°,ZABC=135°,CD=6,48=2,則四邊形/BCD的面積為

【答案】16

【分析】延長45和DC,兩線交于。，求出O5=02C,0D=y/20A,OA=AD,BC=OC,BC=OC=x,

則解直角三角形得出方程，求出x,再分別求出A4。。和△8OC的面積即可.

【解析】解：延長和。C,兩線交于。，

,.,ZC=90°,ZABC=U5°,

：.ZOBC=45°,ZBCO=90°,

：.ZO=45°,

?；ZA=90°,

：.ZZ)=45°,

貝|」。5=啦3。，0D=420A,OA=AD,BC=OC,

BC=OC=x,貝ljBO=血x,

VCD=6,48=2,

6+x=V2（V2x+2）,

解得：x=6-2V2，

：.OB=6?-4,BC=OC=6-2日OA=AD=2+672-4=672-2,

S四邊形ABCD=SQAD-SQBC

=^OA^AD-^BC^OC

=1X（6V2-2）X（6V2-2）-1X（6-2V2）X（6-2V2）

=16,

故答案為16.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和三角形的面積，二次根式的混合運(yùn)算.正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形、

求出BC的長度是解此題的關(guān)鍵.

14.已知三角形三邊長2"+1,2〃2+2〃,2/+2"+1,〃為正整數(shù)，則此三角形是—三角形.

【答案】直角

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角

三角形判定則可.如果沒有這種關(guān)系，這個(gè)三角形就不是直角三角形.

【解析】解：V(2?+1)2+(2?2+2?)2

=4n2+4〃+1+4〃4+8n3+4n2

=4n4+8?3+8w2+477+1,

(2/+2〃+1)2

=[2?2+(2?+l)]2

=41+4〃2（2"+I）+（2〃+iy

=4n4+8n3+4w2+4w2+4n+l

=4n4+8?3+8M2+4??+l,

(2〃+1)2+(2/+2n)2=(2〃2+In+1)2,

此三角形是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理.掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，有一個(gè)圓柱形杯子，底面周長為12cm,高為8cm,/點(diǎn)在內(nèi)壁距杯口2cm處，在N點(diǎn)正對(duì)面的

外壁距杯底2cm的2處有一只小蟲，小蟲要到/處飽餐一頓至少要走cm.(杯子厚度忽略不計(jì))

【分析】先把圓柱展開，得到其一半的一個(gè)矩形的形狀，/、3的最短距離就是線段的長，再根據(jù)勾股

定理解答即可.

【解析】試題解析：將圓柱的側(cè)面展開成平面，其形狀是一個(gè)矩形，如圖是展開圖的一半，將/點(diǎn)對(duì)稱到

4點(diǎn)，線段，8的長就是所求的最短距離，

BE=yx12=6cm,A'E=AE+AA-8cm,

則^BE2+AE2=1Ocm,

答：小蟲要到A處飽餐一頓至少要走10cm.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，將側(cè)面展開利用勾股定理求出是解題關(guān)鍵.

16.如圖，A//8C為一張紙片，AB=3,AC=9,BC=3屈,現(xiàn)將A43C折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)8重合，折痕為

DE.則。。長為

c

【答案】5

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得N/=90。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得8D=CD,設(shè)CD=x,則

AD=9-x,再由勾股定理，即可求解.

【解析】解：'：AB=3,AC=9,BC=3屈,

AB2+AC2=BC2,

：.ZA=90°,

,/將A48C折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)8重合，

：.BD=CD,

設(shè)CD=x,Pl!|BD=x,AD=9-x,

,?*AB2+AD2=BD\

：.32+(9-x)2=x2,

解得：x=5,

即CD=5.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理勾股定理及其逆定理，圖形的折疊，熟練掌握勾股定理勾股定理及其逆

定理是解題的關(guān)鍵.

17.如圖是我國古代著名的趙爽弦圖，其中直角三角形較長的直角邊長為“，較短的直角邊長為6,斜邊長

為c,若ab=1,c=4,則"N的長是.

【答案】2

【分析】本題主要考查勾股定理，由圖可知四邊形/3CD是正方形，里面的小四邊形也為正方形且邊長為

(a-b),再利用勾股定理求解.

【解析】解：由圖可知四邊形/BCD是正方形,

里面的小四邊形也為正方形且邊長為(。-與，

那么對(duì)角線=12("療=yl2a2+2b2-4ab,

a1+b2=c2=16,ab=7,

所以MN=2,

故答案為：2.

18.在三角形/8C中，48=13,8C=12,NC=5.點(diǎn)。在直線/C上，且43=11,則線段8。的長為.

【答案】6布或20/20或6指

【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理，即可證得A/8C是直角三角形，再分兩種情況，利用勾股定理即可求

得.

【解析】解：+802=52+122=169,/京=132=169,

:.AC2+BC2=AB2,

是直角三角形，4cB=90。，

如圖：當(dāng)點(diǎn)。在NC的延長線上時(shí)，

:.CD=AD-AC=11-5=6,

BD=yjBC2+CD2=7122+62=675；

如圖：當(dāng)點(diǎn)。在。的延長線上時(shí)，

:.CD=AD+AC=\\+5=\6,

BD=^BC2+CD2=A/122+162=20；

故答案為：或20.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題

19.在RtzX/3C中，ZC=90°,若a:b=3:4,c=10.求a,6的長.

【答案】6,8

【分析】根據(jù)。力=3：4,設(shè)。=3x,b=4x,根據(jù)勾股定理可得c=J>+b2=5x，結(jié)合題意求得》的值即可

求解.

【解析】解：設(shè)a=3x,b=4x,根據(jù)勾股定理可得c="^~記=5x.

又c=10,即5x=10,

所以x=2,

因此a=3x=6,6=4x=8.

即a,b的長分別為6,8.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

20.如圖所示，是一塊地的平面圖，其中4)=4米，8=3米，月8=13米，8C=12米，ZADC=90°,求

這塊地的面積.

【分析】連接/C,根據(jù)勾股定理求出/C=J/D2+a)2=5米,mAC2+BC2=AB2,44c3=90。，根

據(jù)直角三角形的面積公式求出結(jié)果即可.

【解析】解：如圖，連接NC,如圖所示:

VZADC=90°,4。=4米，C￡?=3米,

AC=y/AD2+CD2=5米,

?.5=13米，5c=12米，

:.AC2+BC2=AB2,

ZACB=90°,

這塊地的面積為：

SAABC-^ACD=^AC-BC-^AD-CD

=—x5xl2--x3x4

22

=24(平方米).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形

中，兩條直角邊分別為。、b,斜邊為c,那么/+〃=,2.如果一個(gè)三角形的三條邊°、b、c滿足

a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形為直角三角形.

21.如圖，在。3c中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD_L48于。.求：

(1)/C的長和的面積;

(2)CD的長.

【答案】(l)4cm,6cm2

(2)2.4cm

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求得/C的長；利用三角形的面積公式可求出。8C的面積;

(2)再根據(jù)三角形的面積公式是一定值求得CD即可.

【解析】(1)解：在RtZ\48C中，//C5=90。，AB5cm,SC=3cm,

:.AC=ylAB2-BC2=J52-32=4(cm),

■,.^c=1^-5C=1x4x3=6(cm2).

(2)解：vCDVAB,

.■.S,.Rr^-2AC2-BC=-AB-CD,

5ACBC4x3、

CD=----------=-------=2.4(cm).

AB5v7

【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊

長的平方是解題的關(guān)鍵.

22.一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，

(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？

(2)如果梯子的頂端下滑了4米到H,那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米?

【答案】⑴24米

(2)8米

【分析】(1)利用勾股定理即可求解.

(2)利用勾股定理可求得3C'=15米，進(jìn)而可求解.

【解析】(1)解：由題意得：/C=25米，BC=1米,

在RtZ\48C中，AABC=90°,

AB=y]AC2-BC2=7252-72=24(米)，

???這個(gè)梯子的頂端距地面有24米.

(2)由題意得：A4'=20米，/C'=4C=25米，

在MAWBC'中，AABC'=90°,

BC=^AC'2-AB=>/252-202=15(米)，

則：CC'=15-7=8(米)，

???梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

23.“三農(nóng)”問題是關(guān)系國計(jì)民生的根本問題，實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國的關(guān)鍵舉措.如圖，某村有

一塊三角形空地進(jìn)行新的規(guī)劃，點(diǎn)。是8C邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作垂直于/C的小路OE.經(jīng)測量，AB=13

米，ND=12米，NC=15米，8。=5米.

⑴求DC的長；

⑵求小路。E的長.

【答案】（1）9米

⑵g米

【分析】（1）根據(jù)/加+84=/82,得到乙4OC=NM38=90。，運(yùn)用勾股定理，DC=^AC2-AD2i+M

即可.

（2）根據(jù)直角三角形的面積不變性；列出等式求解即可.

【解析】（1）:/^:匕米，40=12米，8D=5米.

AD2+BD1122+52=169=132=AB2，

：.ZADC=ZADB=90°,

：NC=15米，/。=12米，

DC=y/AC2-AD2=A/152-122=9（米）.

（2）米，/C=15米，DC=9米,//DC=90。，DEIAC,^AD-DC=^AC-DE.

二田華生=巴=史（米）.

AC155'

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，直角三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理及其逆定

理是解題的關(guān)鍵.

24.一艘輪船從A港向南偏西48。方向航行100km到達(dá)8島，再從8島沿8加方向航行125km到達(dá)C島，A

港到航線的最短距離是60km.

(1)若輪船速度為25km/小時(shí)，求輪船從C島沿C/返回A港所需的時(shí)間.

(2)C島在A港的什么方向？

【分析】(1)氏△/a)中，利用勾股定理求得3。的長度，則CD=BC-B。，然后在RtAZCZ)中，利用勾

股定理來求/C的長度，再根據(jù)時(shí)間=路程+速度即可求得答案；

(2)由勾股定理的逆定理推知Z8ZC=90。.由方向角的定義作答.

【解析】解：(1)由題意可知4D=60h?,ADLBC,

在RtZUBD中，AD2+BD2=AB2>

：.602+3Z)2=1002,

BD=80(hw),

'：BC=125kmf

CD=BC-BD=125-SO=45(M,

AC=^CD'+AD-=A/452+602=750M，

.?.75+25=3(小時(shí))，

從C島返回A港所需的時(shí)間為3小時(shí)；

(2)AB1+AC2=1002+752=15625,5C2=1252=15625,

AB2+AC2=BC2,

ZBAC^90°,

ZNAC=180°-90°-48°=42°,

C島在A港的北偏西42°.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角問題，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡單.

25.如圖，在A42C中，N/C5=90。，點(diǎn)尸在邊48上，將邊/C沿CE翻折，使點(diǎn)/落在48上的點(diǎn)。

處，再將邊8C沿C下翻折，使點(diǎn)8落在。的延長線上的點(diǎn)夕處.

A

(1)求/EC尸的度數(shù)；

(2)若CE=4,B'F=1,求線段8c的長和A48C的面積.

82

【答案】(1)ZECF=45°；(2)BC=W，和△/8C的面積為

【分析】(1)由折疊可得，ZACE=ZDCE=yZACD,/BCF=/B'CF=NBCB',再根據(jù)//C5=90。,

即可得出/EC尸=45。；

(2)在Rt^BCE中，根據(jù)勾股定理可得8C=癡三岳=百，設(shè)N￡=x,貝|N8=x+5,根據(jù)勾股定理可

得AE2+CE2=AB2-BC2,即N+42=(x+5)2-41,求得無=g,即可得出.

【解析】解：(1)由折疊可得，/ACE=/DCE=；/ACD,NBCF=NB'CF=gNBCB，,

又,://C8=90°,

ZACD+ZBCB'=90°,

：.ZECD+ZFCD=1X90°=45°,

即NECF=45°；

(2)由折疊可得，/DEC=/4EC=90。，BF=B'F=1,

：.ZEFC=45°=ZECF,

：.CE=EF=4,

???8E=4+1=5,

???再RtZkBCE中，BC=^BE2+CE2=V41

設(shè)/￡=無，則48=x+5,

,?在四△/CE中，NC2=AE2+CE2,

在RtZUBC中，AC2=AB2-BC2,

：.AE2+CE2^AB2-BC2,

BPx2+42=(x+5)2-41,

解得x=g

1i1682

：.SAABC=-ABXCE=-(y+5)x4=y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

26.勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載.如

果一個(gè)直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股

數(shù)”.值得自豪的是，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國的《九章算術(shù)》中.

【探究11

觀察3,4,5；5,12,13；7,24,25；……,可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過,

并且勾為3時(shí)股4=；x(9-l),弦5=；x(9+l)；勾為5時(shí)股12=gx(25-1),弦13=gx(25+l)；

請(qǐng)仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

(1)如果勾為7,則股24=；弦25=.

(2)如果用成〃23,且"為奇數(shù))表示勾，請(qǐng)用含有〃的式子表示股和弦,則股=,弦=；

【探究2】

觀察4,3,5；6,8,10；8,15,17；a,b,82；……，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4

起也沒有間斷過.

(1)Q=；b=；

(2)如果用2加(機(jī)為正整數(shù)且加22)表示勾，請(qǐng)用含有機(jī)的式子表示股和弦，則股=,弦=

【答案】探究1(1)|(49-1)；1(49+1),(2)|(?2+1),探究2(1)18,,80(2)/一1；

m2+1.

【分析】此題主要考查勾股定理的證明，注意由具體例子觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，證明的時(shí)候熟練運(yùn)用完全平方公

式.

（1）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；

（2）股是勾的平方減去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一.

（3）根據(jù)題意，得另一條直角邊是一條直角邊的二分之一的平方減去1,弦是一條直角邊的二分之一的平

方加上1.

【解析】解：探究1：（1）??,勾為3時(shí)，股4=；x（9-1）,弦5=；x（9+l）；勾為5時(shí)，股12=；x（25-1）,

弦12=；x（25+l）；

，勾為7,股24的算式為:（49-1）,弦25的算式為:（49+1）；

故答案為:（49-1）；；（49+1）；

（2）由題意，得股的算式為:弦的算式為:+1）

故答案為:+1）；

探究2：（1）V4,3,5；6,8,10；8,15,17；…，a,b,82；........,

A10,24,26

12,35,37,

14,48,50,

16,63,65,

18,80,82

，Q=18,b=80

（2）由題意，得另一條直角邊的代數(shù)式為/-1；

弦長的代數(shù)式為蘇+1

故答案為/-1;m2+1.

27.如圖①已知△NC2和△DCE中，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,DC=EC,按照?qǐng)D①的位置擺放,

直角頂點(diǎn)C重合.

(1)寫出40與3E的關(guān)系；

(2