高中數(shù)學(xué) 2.4 用向量討論垂直與平行課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-1

§4用向量討論垂直與平行課時(shí)目標(biāo)1.會(huì)用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直等位置關(guān)系.2.會(huì)用向量的有關(guān)知識(shí)證明線與線、線與面、面與面的垂直與平行．1．空間中平行關(guān)系的向量表示(1)線線平行設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，則l∥m___________________________________．(2)線面平行設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α____________________________________________．(3)面面平行設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β__________________________________________．2．空間中垂直關(guān)系的向量表示(1)線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m______________________________________________________．(2)線面垂直設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，則l⊥α____________________________________．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β______________________________________________．一、選擇題1．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則()A．l∥αB．l⊥αC．lαD．l與α斜交2．平面α的一個(gè)法向量為(1,2,0)，平面β的一個(gè)法向量為(2，－1,0)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能確定3．從點(diǎn)A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長(zhǎng)AB＝34，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)4.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M、N分別為A1B、AC的中點(diǎn)，則MN與平面BB1A．相交B．平行C．垂直D．不能確定5．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，則△ABC是()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形6.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是上底面中心，則AC1與CEA．平行B．相交C．相交且垂直D．以上都不是題號(hào)123456答案二、填空題7．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，且l∥α，則m＝________.8．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個(gè)平面中互相垂直的有______對(duì)．9.如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分別為棱AB、CD、BC①A1M∥D1P②A1M∥B1Q③A1M∥面DCC1D1④A1M∥面D1PQB1以上結(jié)論中正確的是________．(填寫正確的序號(hào))三、解答題10．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，求證：B1C∥平面ODC11．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，在棱BB1上是否存在點(diǎn)M，使得D1M⊥平面能力提升12．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝eq\r(2)，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．證明：AE⊥平面PBC.13.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面EFD.1．平行關(guān)系的常用證法證明線線平行只需證明表示兩條直線的向量滿足實(shí)數(shù)倍數(shù)關(guān)系，如證明AB∥CD只需證eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→)).證明線面平行可轉(zhuǎn)化為證直線的方向向量和平面的法向量垂直，然后說明直線在平面外．證面面平行可轉(zhuǎn)化證兩面的法向量平行．2．垂直關(guān)系的常用證法要證線線垂直，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的向量垂直．要證線面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直．要證面面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)平面的法向量垂直．§4用向量討論垂直與平行知識(shí)梳理1．(1)a∥ba＝λbeq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)(2)a⊥ua·u＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(3)u∥vu＝kveq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)(a2b2c2≠0)2．(1)a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(2)u∥vu＝λveq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)(a2b2c2≠0)(3)u⊥vu·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[∵n＝－2a，∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α2．C[∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面也垂直．]3．B[設(shè)B(x，y，z)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]4．B[可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面的法向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(MN,\s\up6(→))的關(guān)系判斷．]5．C[∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,4，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2,6,4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴AB⊥AC，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(AC,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴△ABC為直角三角形．]6．C[可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過eq\o(AC1,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))的關(guān)系判斷．]7．－8解析∵l∥α，∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直．∴(2，m,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))＝2＋eq\f(1,2)m＋2＝0，∴m＝－8.8．0解析∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.∴a，b，c中任意兩個(gè)都不垂直，即α、β、γ中任意兩個(gè)都不垂直．9．①③④解析∵eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(D1P,\s\up6(→))，∴A1M∥D1P∵D1P面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.又D1P面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.∵B1Q為平面DCC1D1的斜線，∴B1Q與D1P不平行，∴A1M與B1Q10．證明方法一∵eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1D,\s\up6(→))，B1A1D，∴B1C∥A1D，又A1D平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1方法二∵eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(B1B,\s\up6(→))＝eq\o(B1O,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(D1O,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC1,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)).∴eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(OC1,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))共面．又B1C平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1方法三建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，C1(0,1,1)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，－1))，eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).設(shè)平面ODC1的法向量為n＝(x0，y0，z0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(OD,\s\up6(→))＝0,n·\o(OC1,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x0－\f(1,2)y0－z0＝0①,－\f(1,2)x0＋\f(1,2)y0＝0②))令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．又eq\o(B1C,\s\up6(→))·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴eq\o(B1C,\s\up6(→))⊥n，且B1C平面ODC1，∴B1C∥平面ODC111．解如圖所示，分別以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，設(shè)M(1,1，m)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－1))，eq\o(D1M,\s\up6(→))＝(1,1，m－1)．若D1M⊥平面EFB1則D1M⊥EF且D1M⊥B1即eq\o(D1M,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，eq\o(D1M,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,2)＋m－1×0＝0,0－\f(1,2)＋1－m＝0))，∴m＝eq\f(1,2)，即存在點(diǎn)M且為B1B的中點(diǎn)，使D1M⊥平面EFB112.證明如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)D(0，a,0)，則B(eq\r(2)，0,0)，C(eq\r(2)，a,0)，P(0,0，eq\r(2))，E(eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(2),2))．于是eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(2),2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，a,0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，a，－eq\r(2))，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.所以AE⊥BC，AE⊥PC.又因?yàn)锽C∩PC＝C，所以AE⊥平面PBC.13.證明(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、D