福建省廈門二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

福建省廈門二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)f(x)＝－1＋lnx，對?x0，f(x)≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)2．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B.C.1 D.3．2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標(biāo)系，，，，分別是大星中心點與四顆小星中心點的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（0,4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對稱點為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，那么的值為（）A. B.C. D.7．在等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，，，則數(shù)列的公差為（）A. B.C.4 D.8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.9．以下四個命題中，正確的是（）A.若，則三點共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底10．已知等比數(shù)列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，則下列說法不正確的是（）A.一定單調(diào)遞減 B.一定單調(diào)遞增C.式子-≥0恒成立 D.可能滿足=，且k≠111．已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.612．已知點在橢圓上，與關(guān)于原點對稱，，交軸于點，為坐標(biāo)原點，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點與直線平行的直線的方程是________.14．已知實數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為_________15．已知直線和平面，且；①若異面，則至少有一個與相交；②若垂直，則至少有一個與垂直；對于以上命題中，所有正確的序號是___________.16．過點作圓的兩條切線，切點為A，B，則直線的一般式方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點，M為AB的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）已知拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，焦點在軸的正半軸上，是拋物線上的點，點到焦點的距離為1，且到軸的距離是（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線通過點，與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程19．（12分）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預(yù)計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.（1）用x表示，，并寫出與的關(guān)系式；.（2）若企業(yè)希望經(jīng)過5年后，使企業(yè)剩余資金達(dá)3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精確到萬元）.20．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍21．（12分）已知橢圓與橢圓有共同的焦點，且橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，為坐標(biāo)原點，求的最小值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由最小值非負(fù)可得的范圍【詳解】定義域是，，若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，，不合題意；若，則時，，遞減，時，，遞增，所以時，取得極小值也是最小值，由題意，解得故選：B2、B【解析】先確定拋物線的焦點坐標(biāo)，和雙曲線的漸近線方程，再由點到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為,由點到直線的距離公式可得.故選：B3、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點，平分第三顆小星的一個角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線傾斜角，解題的關(guān)鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關(guān)系求出傾斜角，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】設(shè)出點(0,4)關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設(shè)點(0,4)關(guān)于直線x－y+1＝0的對稱點是(a,b),則，解得：，故選：D5、B【解析】根據(jù)已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結(jié)合的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則①.又因為橢圓與雙曲線有公共焦點，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.6、D【解析】直接求導(dǎo)，代入計算即可.【詳解】，故.故選：D.7、A【解析】由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，故選：A8、A【解析】先化簡函數(shù)表達(dá)式，然后再平移即可.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象.故選：A9、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對于A，若，，所以三點不共線，故A錯誤；對于B，因為，故B錯誤；對于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯誤；對于D，若為空間的一個基底，則不共面，若不能構(gòu)成空間的一個基底，設(shè)，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構(gòu)成空間的另一個基底，故D正確.故選：D.10、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，前n項和的意義，可逐項分析求解.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，所以當(dāng)時，由可得，故數(shù)列為增函數(shù)，故B正確；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定單調(diào)遞減，故A正確；因為當(dāng)時，，，所以，即-，當(dāng)時，，綜上，故C正確；若=，且k≠1，則，即，因為，故，故矛盾，所以D不正確.故選：D11、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因為a，b為正實數(shù)，且，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：D12、B【解析】由，得到，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出所求直線方程，利用待定系數(shù)法求解即得.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，而點在直線上，于是得，解得，所以所求的直線的方程為.故答案為：14、##【解析】設(shè)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出【詳解】由于，設(shè)，所以點既在直線上，又在圓上，即直線與圓有交點，所以，，即故答案為：15、①②【解析】假設(shè)與都不相交得到，得到①正確，若不垂直，上取一點，作交于，得到，得到②正確，得到答案.【詳解】若與都不相交，，，則，同理，故，與異面矛盾，①正確；若不垂直，上取一點，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正確.故答案為：①②.16、【解析】已知圓的圓心，點在以為直徑的圓上，兩圓相減就是直線的方程.【詳解】，圓心，點在以為直徑的圓上，，所以圓心是，以為直徑的圓的圓的方程是，直線是兩圓相交的公共弦所在直線，所以兩圓相減就是直線的方程，，所以直線的一般式方程為.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：過圓外一點引圓的切線，那么以圓心和圓外一點連線段為直徑的圓與已知圓相減，就是切點所在直線方程，或是兩圓相交，兩圓相減，就是公共弦所在直線方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為O為在平面ABCD內(nèi)的射影，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以.如圖，連接BD，在中，.設(shè)CD的中點為P，連接BP，因為，，，所以，且，則.因為，所以，易知，所以.因為平面，平面，，所以平面.【小問2詳解】由（1）知平面ABCD，所以可以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)A，，所在直線分別為x，z，以平面ABCD內(nèi)過點O且垂直于OA的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以,,，，設(shè)平面的法向量為，，，則可取平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，，，則令，得平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的平面角為，由法向量的方向可知與法向量的夾角大小相等，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合到焦點、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，進(jìn)而求，由題設(shè)向量垂直的坐標(biāo)表示有求直線方程即可.【詳解】（1）由己知，可設(shè)拋物線的方程為，又到焦點的距離是1，∴點到準(zhǔn)線的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線方程是（2）假設(shè)直線的斜率不存在，則直線的方程為，與聯(lián)立可得交點、的坐標(biāo)分別為，，易得，可知直線與直線不垂直，不滿足題意，故假設(shè)不成立，∴直線的斜率存在．設(shè)直線為，整理得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或當(dāng)時，直線的方程是，不滿足，舍去當(dāng)時，直線的方程是，即，∴直線的方程是19、（1）；（2）x=348【解析】(1)根據(jù)題意直接得，，進(jìn)而歸納出；(2)由(1)可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合即可計算出d的值.【小問1詳解】由題意知，，，；【小問2詳解】由(1)可得，，則，所以，即，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，萬元.故該企業(yè)每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬元.20、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，，令，可得或2所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.故當(dāng)時．函數(shù)有極大值，故當(dāng)時，函數(shù)有極小值；【小問2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可知，有函數(shù)為減函數(shù)，有，故當(dāng)時，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為【點睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值來求解.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的過程中，如果一階導(dǎo)數(shù)無法解決，可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【小問1詳解】（1）由題可設(shè)橢圓的方程為，由橢圓經(jīng)過點，可得，解得或（舍）.所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：易知，設(shè)點，則，且，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的