2025高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義-空間向量的概念與運(yùn)算

§7.6空間向量的概念與運(yùn)算

【課標(biāo)要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正

交分解及其坐標(biāo)表示2掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其

坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直3理解直線的方向向量及平面的法向量,

能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.

-落實(shí)主干知識(shí)

佚口識(shí)梳理】

1,空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有________和________的量

相等向量方向________且模________的向量

相反向量長度________而方向________的向量

共線向量表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相_______或_________的

(或平行向量)向量

共面向量平行于________________的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

⑴共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,5SN0),a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)力，使

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存

在________的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,J)，使p=.

(3)空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(X,y,

z)，使得p=.{a,b,c}叫做空間的一基底.

3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

⑴數(shù)量積

非零向量。，6的數(shù)量積

ab=.

(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a=3,。2,%)，》=01,bi,左).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b

a=Xb

共線

3WO，止R)

ab=0

垂直

(aWO,bWO)

模\a\

C0S儲(chǔ)，彷=箭

夾角余

cos(a,b)=______________

弦值(〃WO,bWO)

4.空間位置關(guān)系的向量表示

⑴直線的方向向量：如果表示非零向量?的有向線段所在的直線與直線/平行或重合，那么

稱此向量a為直線I的方向向量.

⑵平面的法向量：直線,取直線/的方向向量a,則稱向量?為平面a的法向量.

⑶空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

直線,，2的方向向量分別為“1,/1〃/2

“2/1±/2n\,Ln2^nvn2=0

直線/的方向向量為〃，平面a的l//an.Lm^nm-0

法向量為m,ICal.Lan//m^n-￡R)

a//pn//m^n-￡R)

平面a,/3的法向量分別為n,m

a.L/3n-Lm^nm-0

【常用結(jié)論】

1.三點(diǎn)共線：在平面中A,B,C三點(diǎn)共線㈡位=x5h+y沆（其中尤+y=1）,。為平面內(nèi)任

意一點(diǎn).

2.四點(diǎn)共面：在空間中P,A,B,C四點(diǎn)共面㈡=+y初+z5b（其中x+y+z=l）,

0為空間中任意一點(diǎn).

【自主診斷】

1,判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）空間中任意兩個(gè)非零向量“，》共面.（）

（2）空間中模相等的兩個(gè)向量方向相同或相反.（）

（3）若A,B,C,。是空間中任意四點(diǎn)，則有矗+/+歷+而=0.（）

（4）若直線a的方向向量和平面a的法向量平行，則a〃a.（）

2.（選擇性必修第一冊(cè)P12T3改編）如圖，在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，AC與BD的

交點(diǎn)為點(diǎn)M,設(shè)前=a,Ab="石7=c,則下列向量中與稔相等的向量是（）

A.-呼+m+cB.]〃+的+c

1111,

C.---cD.-2^-2^+c

3.（選擇性必修第一冊(cè)P30例3改編）如圖所示，在正方體ABCD-AiBiCiD,中，棱長為a,

分別為AI和AC上的點(diǎn)，4M=AN=與，則與平面881cle的位置關(guān)系是（）

A.相交

C.垂直D.不能確定

4.設(shè)直線Zi,Z2的方向向量分別為。=(-2,2,1)，方=(3,-2,㈤，若,則m.

-探究核心題型

題型一空間向量的線性運(yùn)算

例1⑴(2023?淮安模擬)設(shè)x,y是實(shí)數(shù),已知三點(diǎn)4(1,5,-2),8(2,4,1),C(無,3,j+2)在同一

條直線上，那么尤+y等于()

A.2B.3C.4D.5

⑵(2023?淮安模擬)在正四面體ABCD中，尸是AC的中點(diǎn)，E是。F的中點(diǎn)，若函=a,DB=

方，皮=。，則前等于()

A.-^a-b+^c

〃1,1

C.^a+力+型

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),萬二;x-2〃，則x等于()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

(2)如圖，在長方體ABC。-AiBiGDi中，。為AC的中點(diǎn).

①化簡(jiǎn)Aib-^AB-^AD=

②用贏,AD,筋i表示出,則而=.

題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用

例2(1)下列命題正確的是()

A.若。與匕共線，8與c共線，則a與c共線

B.向量a,A,c共面，即它們所在的直線共面

C.若空間向量a,b,c不共面，則a,方，c都不為0

D.若a,8,c共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,j)，使得a=xb+yc

(2)(多選)下列說法中正確的是()

A.|a|-\b\=|a+臼是a,b共線的充要條件

B.若贏,無共線,貝！

C.A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)。，若赤=^OA++|(?C,P,A,B,C

四點(diǎn)共面

D.若P,A,8,C為空間四點(diǎn)，且有說=4油+〃無(通,正不共線)，則義+〃=1是A,8,

C三點(diǎn)共線的充要條件

思維升華應(yīng)用共線(面)向量定理證明點(diǎn)共線(面)的方法比較

三點(diǎn)(P,A,2)共線空間四點(diǎn)(M,P,A,8)共面

Pk=XRBMP=xMA+yMB

對(duì)空間任一點(diǎn)0,0P=0A+tAB對(duì)空間任一點(diǎn)0,0P=0M+xMA+yMB

對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP^xOM+yOA+(l-x

對(duì)空間任一點(diǎn)。，OP=xdA+(l-x)OB

~y)OB

跟蹤訓(xùn)練2⑴已知空間中A,B,C,D四點(diǎn)共面，目其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)P為空間中

任意一點(diǎn)，若說）=6麗-4通則九等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

⑵（2024.金華模擬）已知正方體ABC。-AiBiCiDi的棱長為1,且滿足m=xZ%+/比+（1-x

-y）萬萬，則的最小值是（）

A.|B當(dāng)D.|

題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

例3如圖，已知平行六面體ABCD-AiSGA中，底面ABCD是邊長為1的正方形，A4i=2,

ZAiAB=ZAiAZ)=120°.

3

B

⑴求線段AC的長；

（2）求異面直線AG與4。所成角的余弦值；

⑶求證：AAi±BD.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2023?益陽模擬）在正三棱錐尸-ABC中，。是△ABC的中心，PA=AB=2,則

用.說等于（）

?5n近?4^2r8

A.gB.C.D.1

⑵已知點(diǎn)P為棱長等于1的正方體-4B1GO1內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且|的=1,則后?麗的

值達(dá)到最小時(shí)，歷與兩夾角的余弦值為.

題型四向量法證明平行、垂直

例4如圖所示，在長方體ABCD-AiBiCiDi中，=A。=1,E為CD的中點(diǎn).

⑴求證：BiELADi；

(2)在棱AAi上是否存在一點(diǎn)尸，使得。尸〃平面BiAE?若存在，求AP的長；若不存在，說

明理由.

跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，BC

=2AB,AC=^AB,PBLAC.

⑴求證：平面ABCD；

(2)設(shè)。為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過8,。兩點(diǎn)的截面，且AC〃平面BEQF,是否

存在點(diǎn)。，使得平面BEQF，平面PAD?若存在，求明的值；若不存在，說明理由.

§7.6空間向量的概念與運(yùn)算答案

落實(shí)主干知識(shí)

知識(shí)梳理

1.大小方向相同相等相等

相反平行重合同一個(gè)平面

2.(l)a=Ab(2)唯一xa+yb

(3)x〃+yb+zc

3.(l)|a||ft|cos(a,b)(2)a\b\+a2b2+a3b3=協(xié),a?=入b?,〃3=孫

a\b\+a2b2+a3b3-07次+冼+星

a\b\+a2b2+a3b3

y曷+星+亦J貴+屋+孱

自主診斷

1.(1)V(2)X(3)V(4)X

2.C3.B4.10

探究核心題型

例1(1)D[由已知可得贏=(1,—1,3),

AC=(x—1,—2,y+4).

因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)九

使得n=通，

%—1=2,

所以2=一九

j+4=3九

，=2,

解得卜=3,

J=2,

所以x+y=5.]

⑵A[根據(jù)題意可得

—?1—??—?1

DF—^DA+￡)Q=2(?+c),

—?1—*■1

OE=]DF=a(a+c),

->■->■~>■~>■-*■111

所以BE=BD+DE=—DB+DE=—b+~^a+c)=~^a—b+~^c.]

跟蹤訓(xùn)練1(1)B

(2)?XA?|AB+^AZ)+AAT

例2⑴C(2)CD

跟蹤訓(xùn)練2(1)B(2)C

例3⑴解設(shè)施=〃，M)=b,~AAI=C9

則⑷=|例=1,\c\=2,ab=O,

cs=c0=2義1Xcos120°=-l.

因?yàn)锳G=AB+AD+AAi=a+b+c,所以|AG|=|a+)+c|

=\(a+1+c)2

—1?|2+|^|2+k|2+lab+2bc+2ac

=\j1+1+4+0—2—2=y[2,

所以線段AG的長為也.

(2)解因?yàn)锳Ci=a+b+c,

A\D=b—c,

所以ACi'A[D=(a~\~b~\~cy(b—c)

=ab—ac+b2—c2

=0+1+1—4=-2,

而a=i方一d=、s一以

=、/|臼2+匕|2—2"c

=11+4+2=市,

設(shè)異面直線AG與所成的角為9,

|而|一2|

則cos8=|cos(ACi,A\D)|=

\ACi\\Ad)\/又#7

即異面直線ACi與MD所成角的余弦值為華.

(3)證明由①知AAi=c,BD=b—a,

所以AAi/口二陽方一a)=c0一cu=-1+1=0,

即時(shí)_L由)，所以A4i_L2D

跟蹤訓(xùn)練3(1)D(2)0

例4⑴證明以A為原點(diǎn)，AB,AD,工前的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)

Z

則A(0,0,0),0(0,1,0),01(0,1,1),限1,0),Bi(a,o,l).

..—?—?(a、

故ADi=(0,l』)，2班=(一5，1,-1J.

因?yàn)榈?而=—gxo+ixi+(—1)X1=O,

所以瓦互_1啟，即B1E_L4￡>1.

(2)解存在滿足要求的點(diǎn)P.

假設(shè)在棱A4i上存在一點(diǎn)P(0,0,zo),

使得。尸〃平面BiAE,此時(shí)加=(0,-1,zo),

設(shè)平面B1AE的法向量為"=(x,y,z).

福=3,0,1),AE=|j,1,0

ctx~\~z~~0j

n-ABi=0,

則，_即《ax

5+y=0,

ji-AE=G,

取x=l,則y=_g,z=-a,

故”=(1,一/一a).

要使。尸〃平面&AE,只需“，而

則?一azo=O,解得zo=],

所以存在點(diǎn)P,滿足。尸〃平面5AE,

此時(shí)AP=；.

跟蹤訓(xùn)練4⑴證明在AABC中，

因?yàn)锽C=