人教版九年級數學上冊專項復習：旋轉模型之奔馳型（原卷版）

專題19旋轉模型之奔馳型

1.如圖，P是等邊三角形ABC外一點，PA=3,PB=4,PC=5,求的度數.

B

產A

2..已知二，如圖，P為,等邊三角形ABC內一點，24=3,1叨=4,PC=5,求AABC的面積.

n(,

3.P是等邊AABC內一點，PA=3,PB=4,ZAPS=15i00,求尸C的長.

4.如圖，點尸是等邊三角形A5c內一點，且上4=3,PB=4,PC=5,若將AAPB繞著點5逆時

針旋轉后得到ACQ8.

(1)求點P與點。之間的距離.

(2)求NAP3的度數.

A

AC

5.如圖①，在等腰RtAAOB中,ZAOB=9Q°,OA=OB,點Af,N分別是邊AO,3c上的點,

且O暇=ON,連接跖V,如圖②,將AMON繞點O順時針旋轉一定角度，使AM//ON,連接AV,

BN.

(1)求證：M^OA=^NOB-,

(2)若NAON=30。，BN=3,求AAOB的面積.

A三」

圖①圖②

6.已知AABC為等邊三角形，D,E分別是邊AB,AC上的點，且=將AADE1繞點A旋

轉至如圖所示的位置，連接BD,CE交于點Q.

(1)求證：A4BD=AACE；

(2)連接AQ,求證：QA是NBQE的平分線.

7.如圖①，AABC和AADE■中，ABAC=ZDAE^90°,點D、E分別在邊鉆、AC上,

ZABC=ZADE=45°.

(1)如圖②，將AADE繞點A逆時針旋轉到如圖位置，若NS4￡>=30。，求NS4E1的度數；

(2)如圖②，將AADE繞點A逆時針旋轉過程中，當旋轉角度夕=時，直線AC與DE垂直

(0°<a,,360°)；

(3)如圖③，A4DE繞點A在平面內自由旋轉，連接BD,且A￡)=4,AB=10,求BD的最大值

和最小值.

8.(1)如圖1,點尸是等邊AABC內一點，已知R4=3,PB=4,

要直接求Z4的度數顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數，因此考慮借助旋轉把

這三邊集中到一個三角形內，如圖2,作440=60。使連接PD,CD,則AR4D是等

邊三角形.

=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60。

AABC是等邊三角形

AC=AB,ABAC=60°

:.ZBAP=

.-.AABP=AACD

：.BP=CD=4,=ZADC

「在APCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

:.ZPDC=°

ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=60°+90°=150°

(2)如圖3,在AABC中，AB=BC,NABC=90。，點尸是AABC內一點，PA=1,PB=2,PC=3,

求NAPS的度數.

9.如圖，尸是等邊三角形ABC內的一點，連接R4,PB,PC,以3尸為邊作=60。，且3P=3。,

連接CQ.

(1)觀察并猜想"與C。之間的大小關系，并說明理由.

(2)若PA=3,/>5=4,PC=5,連接PQ,判斷APQC的形狀并說明理由.

10.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,在等邊三角形ABC內有一點尸，且上4=3,PB=4,PC=5,

求44PB度數.

小明發(fā)現，利用旋轉和全等的知識構造△鏟C,連接尸P,得到兩個特殊的三角形，從而將問題

解決(如圖2).

請回答：圖1中/4PB的度數等于—，圖2中々C的度數等于—.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在平面直角坐標系xOy中，點A坐標為(-6,1),連接40.如果點3是x軸上的一動點，

以鉆為邊作等邊三角形ABC.當C(x,y)在第一象限內時，求y與x之間的函數表達式.

11.平移、旋轉、翻折是幾何圖形的最基本的三種圖形變換，利用圖形變換可將分散的條件相對集

中，以達到解決問題的目的.

(1)探究發(fā)現

如圖(1),P是等邊AABC內一點，PA=3,尸3=4,PC=5.求NARB的度數.

解：將AAPC繞點A旋轉到AA/方的位置，連接尸P,則AA/火是三角形.

PP=PA=3,PB=4,PB'=PC=5,

P'P2+PB-=P'B2ABPP為三角形.ZAPB的度數為.

(2)類比延伸

在正方形ABCO內部有一點P,連接上4、PB、PC,若B4=2,PB=4,ZAPB=135°,求尸C

的長；

(3)拓展遷移

如圖(3),在四邊形ABCD中，線段相＞與3c不平行，AC=BD=a,AC與SD交于點O,且

NA8=60。，比較AD+3C與。的大小關系，并說明理由.

12.(1)在一次數學探究活動中，陳老師給出了一道題.

如圖1,已知AABC中，NACB=90。，AC^BC,尸是AABC內的一點，且24=3,PB=1,PC=2,

求N3PC的度數.

小強在解決此題時,是將AAPC繞C旋轉到NCBE的位置(即過C作CE_LCP,且使CE=CP,連

接EP、EB).你知道小強是怎么解決的嗎？

(2)請根據(1)的思想解決以下問題：

如圖2所示，設P是等邊AABC內一點，PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數.

13.如圖，P是等腰AABC內一點，AB=BC,連接上4,PB,PC.

（1）如圖1,當Z4BC=90。時，將AR4B繞5點順時針旋轉90。，畫出旋轉后的圖形；

（2）在（1）中，若P4=2,PB=4,PC=6,求NAM的大?。?/p>

（3）當NABC=60。時，且R4=3,PB=4,PC=5,則AAPC的面積是（直接填答案）

14.（1）如圖①，P是正方形ABCD內一點，連接R4,PB,PC.

①畫出將APAB繞點B順時針旋轉90°得到的△PCB；

②若PA=2,PB=4,ZAPB=135°,求尸C的長.

（2）如圖②，設P是等邊三角形45c內的一點，B4=3,PB=4,PC=5,則NAP3的度數是—

①②

15.（原題初探）（1）小明在數學作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1,尸是正方形ABCD內

一點，連結PA,PB,PC現將APAB繞點B順時針旋轉90°得到的4PCB,連接PP.若PA=&,

PB=3,NAPB=135。，則PC的長為,正方形ABCD的邊長為.

（變式猜想）（2）如圖2,若點P是等邊AABC內的一點，且R4=3,PB=4,PC=5,請猜想/4PB

的度數，并說明理由.

（拓展應用）（3）聰明的小明經過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的問題：

如圖3,在四邊形ABCD中，AD=3,CD=2,/45。=/48=//4￡）。=45。，則瓦》的長度為.

16.下面是一道例題及其解答過程，請補充完整.

(1)如圖1,在等邊三角形ABC內部有一點P,上4=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數.

解：將AAPC繞點A逆時針旋轉60。，得到△AP5,連接小，則AAP戶為等邊三角形.

pp=PA=3,PB=4,PB=PC=5,

PP2+PB2=PB2.

:MPP為三角形.

.?./4PB的度數為.

(2)類比延伸

如圖2,在正方形ABCD內部有一點P,若Z4PD=135。，試判斷線段上4、PB、PD之間的數量

關系，并說明理由.

17.問題提出

(1)如圖，點、M、N是直線/外兩點，在直線/上找一點K,使得MK+MC最小.

問題探究

(2)在等邊三角形ABC內有一點P,且上4=3,PB=4,PC=5,求NAPB度數的大小.

問題解決

(3)如圖，矩形ABCD是某公園的平面圖，A8=30坦米，8c=60米，現需要在對角線3。上修

一涼亭E,使得到公園出口A