2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程（十一大題型）（練習(xí)）（解析版）

第07講函數(shù)與方程

目錄

模擬基礎(chǔ)練.....................................................................2

題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間............................................................2

題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍.....................................................3

題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題...................................................5

題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題....................................................................7

題型五：函數(shù)的對(duì)稱問題.......................................................................10

題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型......................................................14

題型七：唯一零點(diǎn)求值問題.....................................................................16

題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問題...................................................................18

題型九：零點(diǎn)嵌套問題.........................................................................21

題型十：等高線問題...........................................................................24

題型十一：二分法..............................................................................28

重難創(chuàng)新練....................................................................31

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................45

//

題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

丫2?丫_2丫<

??一‘二’則函數(shù)/⑺的零點(diǎn)為

｛-1+lnx,x>0,

【答案】-2,e

【解析】當(dāng)時(shí)，由/（x）=x?+x-2=0,即（x-l）（x+2）=0,解得％=—2或x=l（舍），

當(dāng)x>0時(shí)，由/（x）=-l+Inx=0,解得X=e,

綜上可得，函數(shù)/（無）的零點(diǎn)為-2,e.

故答案為：-2,e.

2.（2024?高三?浙江寧波?期末）函數(shù)/（彳）=2，+彳3一9的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】由已知，可知/（X）為增函數(shù)，

且7（1）=2+1-9=-6<0,

/（2）=4+8-9=3>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)/（X）在（1,2）有零點(diǎn)，且零點(diǎn)是唯一的.

故選：B

3.函數(shù)/（司=以-工的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）

X

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

【答案】B

【解析】〃耳=1門-：的定義域?yàn)椋?,+8）,

又y=Inx與y=-：在（0,+e）上單調(diào)遞增，

所以〃x）=lnx-：在（0,+力）上單調(diào)遞增，

又/⑴=-l<0,/(2)=ln2-1>0,

所以〃1卜〃2)<0,

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)/■(x)=lnx-J的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(1,2),

故選：B.

log3x,x>0

4.(2024?高三?江蘇常州?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=1八則函數(shù)依%)=/(/(%))-1的所有零點(diǎn)構(gòu)成

的集合為.

【答案】{。，27}

【解析】函數(shù)4x)=/(〃x))-1的零點(diǎn)，即方程了(/(力)=1的所有根，

log3>0

令/=/(x)，根據(jù)函數(shù)/(x)=Jc,方程/⑺=1的解是r=3,

則方程/(〃力)=1的根，即為方程/(x)=3的根，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=log3x,由logs尤=3,,-.%=27,

當(dāng)x<0時(shí)，由白■=3,:.x=0,

綜上，函數(shù)可力所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合是{0,27}.

故答案為：{0,27}.

題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

5.(2024?高三.廣東深圳?期末)已知函數(shù)在(-1,1)內(nèi)有零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(-5,5)B.(^o,—5)U(5,+<c)C.[—5,5]D.(―e,—5]u[5,+??)

【答案】A

【解析】>=彳5是增函數(shù)，y=4無+。也是增函數(shù)，所以“X)是R上的增函數(shù).

因?yàn)椤▁)在(-L1)內(nèi)有零點(diǎn)，

所以l八?,,解得-5<”5.

/(1)=1+4+〃>0

故選：A

6.(2024嚀夏銀川三模)函數(shù)〃力=1鳴》+/+m在區(qū)間(2,4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-oo,-18)B.(5,+co)

C.(5,18)D.(-18,-5)

【答案】D

【解析】若函數(shù)“力=摩2%+/+機(jī)在區(qū)間(2,4)上存在零點(diǎn)，

由函數(shù)/(x)在(2,4)的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，

則根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，只需滿足/(2)-/(4)<0,

即(根+5)(根+18)<0,

解得一18〈根〈一5,

所以實(shí)數(shù)，"的取值范圍是(-18,-5).

故選：D.

7.(2024.高三.內(nèi)蒙古呼和浩特.開學(xué)考試)若函數(shù)〃刈=2，-；-。存在1個(gè)零點(diǎn)位于(1,2)內(nèi)，則。的取值

范圍是()

A.(0,3)B.(-3,3)C.[-3,3]D.(-3,0)

【答案】A

【解析】若函數(shù)/(可=？一：-。存在1個(gè)零點(diǎn)位于(1,2)內(nèi)，

f(x)=r---a單調(diào)遞增，又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，

X

29

.-./(l)=21-y-a<0,/(2)=22---a>0,

.\0<a<3.

故選：A.

2

8.函數(shù)/(%)=2尤-一-〃的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是()

x

A.0<?<3B.l<a<3

C.l<a<2D.a>2

【答案】A

2

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=2",y=-一在(0,+s)上單調(diào)遞增，

x

2

所以函數(shù)/(X)=2"——a在(0,+⑹上單調(diào)遞增，

x

由函數(shù)/。)=2，一彳-”的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)得/⑴=-a(0,〃2)=3-a)0,

解得0<a<3,

故選：A

9.已知函數(shù)/■（無）=-80的零點(diǎn)位于區(qū)間（左,％+1）內(nèi)，則整數(shù)人=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=811nx與>=一心）-80在（0,+8）上均為增函數(shù),

所以函數(shù)“X）在（0,+oo）上為增函數(shù)，

因?yàn)椤?）=8Hn2—83<0,/（3）=811n3-81>0,/（2）-/（3）<0,

所以函數(shù)“X）的零點(diǎn)位于區(qū)間（2,3）內(nèi)，故左=2.

故選：B.

題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題

10.函數(shù)y=lg|x|-sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

【答案】6

【解析】lg|x|-sinx=0,故lgW=sinx,

畫出/（x）=lg|x|和g（x）=sinx,兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=lg|H—sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù),

由圖象可得，共6個(gè)交點(diǎn)，所以y=lgW-sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

故答案為：6

2x,0V尤V，

2

11.已知函數(shù)=<則方程/（〃x））=x的解的個(gè)數(shù)是.

【答案】4

4x,0<x<^

2（l-2x）,：<xwg

【解析】依題意可得，/（/（%））=<

i3

2（2x-l）,—<x<—

3

4（l-x）,-<x<l

當(dāng)OVxW；時(shí)，由/(/(x))=x得x=O；

ii2

當(dāng)時(shí),由〃/(x))=x,BP2(l-2x)=x,得尤=不

ia7

當(dāng)時(shí),由〃/(x))=x,即2(2x-l)=x,得尤=§;

當(dāng)時(shí)，由〃/(x))=x,即4(1一x)=x,得尤=+

綜上可得，方程/(〃x))=x有4個(gè)實(shí)數(shù)根，

故答案為：4

12.(2024.青海西寧?二模)記r(x)是不小于尤的最小整數(shù)，例如r(1.2)=2,r(2)=2,r(-1.3)=-1,則函數(shù)

f(x)=T(尤)-x-+：的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

O

【答案】3

【解析】令/(力=0,貝1"(尤)一%=2——：，

O

令g(無)=r(x)_x17(尤)=

O

則g(x)與"(X)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為了(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

當(dāng)一1<XV0時(shí),g(x)=O—x=-xe[o,l),

又g(x+l)=T(尤+l)_(x+l)=r(x)__x=g(x),

所以g(x)是周期為1的函數(shù)，

7

h(x)在R上單調(diào)遞減，且〃(-1)>l,A(0)=-,/z(3)=0,

8

所以可作出g(x)與/2(x)的圖象如圖，

所以g⑺與/i(x)有3個(gè)交點(diǎn)，故/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,

故答案為：3.

13.函數(shù)〃x)=2alog2x+a⑷+3在區(qū)間、,1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

c3

A.a<——

22

c3

D.a＜——

4

【答案】D

【解析】當(dāng)“=0時(shí)，/(力=3,不合乎題意.

當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)y=2alog2X、y=。?4*+3在[■』)上均為增函數(shù),

此時(shí)函數(shù)在[J上為增函數(shù).

當(dāng)。＜0時(shí)，由于函數(shù)y=2alog2X、＞=4-4*+3在[3，1)上均為減函數(shù),

此時(shí)函數(shù)“X)在(別上為減函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則

即3(4。+3)＜0,解得。＜-彳.

故選：D.

題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題

4sinTLX,0<X<1

14.已知函數(shù)/(%)=，若關(guān)于元的方程[/(X)]2-(2-m)/(%)+1-m=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,

2X-1+x,x>l

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合為()

A.(3,5)B.[3,5]C.(―3,—1)D.[―3,—1]

【答案】C

【解析】作出函數(shù)“X)的大致圖象，如圖所示，

令f=/(x),貝(2—m)/(x)+l—租=0可化為

貝U%=1或L=1-m，

則關(guān)于X的方程［/(切2-(2-m)”x)+l-m=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于f=〃x)的圖象與直線"4,

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為5個(gè)，

由圖可得函數(shù)f=/(x)的圖象與直線r=4=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

所以f=/(x)的圖象與直線f=G=l-機(jī)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，

即止匕時(shí)2<1—用<4,

角軍得-3<m<-1,

故選：C.

2%+l,x<0

15.已知函數(shù)/(x)=，L?_2X+I］>0，方程產(chǎn)(%)-4⑺-。+3=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取

2X一尤+"一

值范圍是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3D.利

【答案】C

令f=/(x),要使原方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則產(chǎn)-勿-。+3=0有兩個(gè)不同實(shí)根4名且％<4,

若％=。，貝!］一。+3=0,貝!Ja=3,止匕時(shí)/2一3,=0,t?=3,顯然止匕時(shí)不合題意，

故由圖知：。<4<1<弓<2,即g(f)=at-a+3的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)，

g(0)=3-a>0

7

而g⑺開口向上，故jg⑴=4一2a<0

方(2)=7-3a>0'

故選:C

2cos2x,-7i<x<0

16.(2024?高三?天津?yàn)I海新?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=16八，關(guān)于x的方程

x+-----o8,x>0

、%

2產(chǎn)(%)+(5-2。)/(工)一5〃=0在[一兀,+8)上有四個(gè)不同的解罰,尤2，兀3，％4，且石<兀2<兀3<%4，若

x+x112

-12+a--—20恒成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

/V44

A.[-7t,+co)B.--,0IC.(-00,0)1[71,+00)D.l-oo,--

【答案】B

【解析】2/(x)+(5-2a)/(x)-5a=。整理可得：(/⑺―a)(2/(x)+5)=0,故/(幻=?；?(尤)=一|,由于

2|cos2x|<2,故2cos2x=—無解，由基本不等式，x>0時(shí)，xH———8>2.(X?———8=0,故XH------8=—

112x\xx2

無解，依題意，于是在[-71,+8)上有四個(gè)解，由余弦函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)的圖像，可作出了(X)的圖像如

下：

結(jié)合圖像可知，當(dāng)0<。<2時(shí)，/(x)=a在[一兀,依)上有四個(gè)解如圖所示，由于x=-]是y=2cos2x

1616

的一條對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱性，%+%=-兀，由/(%)=/(匕)，即W+—-8o=%+—-o8,整理可得

*3%

/16、16

(七一%)1-------=°，由于％3<%4，故1----------=°，即％3%4=16.

I入3%4J*3工4

%+x][27L7]6

于是^~~+a2-20可以整理為一7+〃-0,又/(%3)=〃=退+----8e(0,2),解得2<退<8,結(jié)合

kx3x4kx3x3

Ti99I9-

圖像可知2<w<4,,即-7+七+--8>0,故W+―>2色——=6,當(dāng)％=3$(2,4)時(shí)取得等號(hào)，為使

化工3%3VX3

得一%W十?八°恒成立,只需->640,即當(dāng)

40，解得左￡一

故選：B

F尤一?**2,若關(guān)于龍的方程「(x)+"(x)+C=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解4,

17.定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x)=

1,x—2

巧，x3,x4,x5,貝！|/(&+*2+*3+匕+內(nèi))等于()

A.1B.21g2C.31g2D.0

【答案】C

【解析】令"=/(力，作出函數(shù)"=/(%)的大致圖象，

當(dāng)XW2時(shí)，/(4-x)=lg|4-j;-2|=lg|2-x|=lg|x-2|=/(x),

故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

因?yàn)殛P(guān)于x的方程嚴(yán)(力+h(力+。=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

則關(guān)于比的方程"2+6a+c=0恰有兩根，設(shè)為小、的，且必有一根為1，設(shè)出=1，

設(shè)方程4=/(x)的兩根分別為耳、巧，且玉<%，則4+N="

所以，X3+X4+X5=6,%+%2+%3+%4+%5=10，

因此，/(10)=lg8=31g2.

故選：C.

題型五：函數(shù)的對(duì)稱問題

18.(2024?河南洛陽?一模)已知函數(shù)y=a-21nx,dw尤We)的圖象上存在點(diǎn)函數(shù)y=Y+1的圖象上存

e

在點(diǎn)N,且/,N關(guān)于x軸對(duì)稱，則。的取值范圍是()

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=/+l與函數(shù)-1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,

根據(jù)已知得函數(shù)了=。-21!1瓶(工4工46)的圖象與函數(shù)y=-/-1的圖象有交點(diǎn)，

e

即方程〃一2111%=-%2-1在不￡一,e上有解，

e_

即a=21nx-爐一1在龍￡-,e上有解.

e

令g(x)=21nx-x2-i,xe-,e,

則g'(x)=2-2x==2(13),

XXX

可知g(x)在1,1上單調(diào)遞增，在[l,e]上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=l時(shí)，g(>0m?=義⑴=-2，

由于g[J=-3-J,g(e)=l-e2,且一3-\>l-e2,

所以l-e?VaV-2.

故選：A.

19.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模)已知函數(shù)y=l+21nx(xe:e]]的圖象上存在點(diǎn)V,函數(shù),=-無2+。的圖象上

存在點(diǎn)N,且點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.0/+'B.[0,e2-3]C.1+^,?2-3D.1+^,+^

【答案】B

【解析】原題等價(jià)于函數(shù)y=l+21nx[eJe]的圖象與函數(shù)y=/-a的圖象有交點(diǎn)，即方程

l+2kix=x2-a^x&」,e])有解，即a=V-l-21n_(尤e，,e][有解，/(x)=x2-l-21nx,利用導(dǎo)數(shù)法求

出函數(shù)的值域，即可求得答案函數(shù)>=-爐+。的圖象與函數(shù)>=/-a的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

則原題等價(jià)于函數(shù)y=l+21n,xe的圖象與函數(shù)y=f-。的圖象有交點(diǎn)，

即方程l+21nx=f-a]尤e有解，

即a=x?-l-21nx]xeLe]]有解，

令"X)=”2—1—21nJxe—,e|,

則f'(x)=2X—2=2(XT),

XX

當(dāng)xej,l時(shí)，/(x)<0,

當(dāng)f\x)>0,故〃”*=〃1)=0,

由y(j=7+i,/(^)=^2-3,

故當(dāng)x=e時(shí)，〃x)1mx=e?-3

故。的取值范圍為[04-3].

故選：B.

20.(2024?高三.湖北鄂州?期末)若不同兩點(diǎn)尸、。均在函數(shù)y=〃x)的圖象上，且點(diǎn)P、。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

則稱(RQ)是函數(shù)y=〃x)的一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)(RQ)與x=0視為同一個(gè)'匹配點(diǎn)對(duì)").已知

*x>0

〃x)=e、’一恰有兩個(gè)'匹配點(diǎn)對(duì)"，則。的取值范圍是()

2ax2,x<0

【答案】B

【解析】函數(shù)y=(尤<0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為>=-2ax2(尤>0),

/(x)的圖象上恰好有兩個(gè)'匹配點(diǎn)對(duì)”等價(jià)于函數(shù)y=E(x20)與函數(shù)y=-2/(X>0)有兩個(gè)交點(diǎn),

e

即方程-2以2=二(x>0)有兩個(gè)不等式的正實(shí)數(shù)根，

ex

X

即-2〃==。>0)有兩個(gè)不等式的正實(shí)數(shù)根，

e

X

即轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(%)=-7(%>0)圖象與函數(shù)y=-2〃圖象有2個(gè)交點(diǎn).

e

當(dāng)0<彳<1時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)x>l時(shí)，g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減.且xfO時(shí)，g(x)fO,xf+8時(shí)，g(x)3o

所以g(x)4g6=」

e

Y

所以gQ)=土(x>0)圖象與函數(shù)y=-2a圖象有2個(gè)交點(diǎn).

貝ij0<—la<—,解得---<iz<0.

e2e

1X

_y=—

Ox

故選：B

21.(2024?江西?一模)己知函數(shù)=與函數(shù)g")=FJ,若“力與g(x)的圖象上分別存

在點(diǎn)M,N,使得MN關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是

-1"I「2](2、「3一

A.一-,eB.——,2eC.——,2eD.一-,3e

l_e」\_eJ\e)l_e」

【答案】B

【解析】由題設(shè)問題可化為函數(shù)y=g(x)的反函數(shù)y=-2歷X的圖像與“X)=區(qū)在區(qū)間1,e2上有解的問題.

"14??

即方程履=-2加x在區(qū)間上有解，由此可得即--4左4—,所以-一〃42e.

_eJxxe

22.(2024?江西.模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=履，g(x)=21nx+6(l<x<4),若與g(x)的圖象上分別

存在點(diǎn)M,N關(guān)于直線y=3對(duì)稱，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

<21「2一

A.——,-ln2B.——,0

Ie」e」

C.[-In2,0]D.-1,-ln2

【答案】B

【解析】設(shè)M(r,Q)為函數(shù)〃x)="上一點(diǎn)，則”&公)關(guān)于片3對(duì)稱的點(diǎn)為N(r,6-股)，

且在函數(shù)g(x)=21n%+6(14x44)圖象上，所以21n,+6=6—H,

得人一手(14V4),《=2(1；「1),當(dāng)iw時(shí)，k'<0,左⑺單調(diào)遞減，

2

當(dāng)e</W4時(shí)，k'>0,所以左⑺單調(diào)遞增，所以上⑺在ye有最小值為-工，

%(1)=0,可4)=一個(gè)，所以-：vMr)wo,故-：VkV0.

故選：B.

題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型

x3_2”

工寧波?高三2先考期末）若函數(shù)/（》）=土父

一211（r

B.e+-,+oo1C.1-oo,e+-

3+如一in%至少存在一個(gè)月

。和fCr'l--

【解析】4/Z(x)=-g(-X)=-[-(-x)2-2(-x)+?]e-=x2~^~a,則由題意可得函數(shù)/(x)的圖象與函數(shù)

力⑺的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即方程〃x)=Mx)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.由/(x)=Mx)可得

2x-4+—BPo=x2-2x-(2x-4)e'-l,令。(尤)=Y—2尤一(2x—4)e'-l,貝U直線'與函

exe》

數(shù)P(X)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，易得p'(x)=2(x-l)(l-e)當(dāng)x<0或X>1時(shí)"(x)<0,當(dāng)0<x<l時(shí)//(x)>0,

所以函數(shù)p(x)在(3,0)上單調(diào)遞減，在(0」)上單調(diào)遞增，在。,內(nèi))上單調(diào)遞減，所以函數(shù)p(x)的極小值

為0(。)=3,極大值為p(l)=2e-2.又p(-i)=2+?>p⑴，p(2)=-l<p(0),所以當(dāng)3<a<2e_2時(shí)，

直線y與函數(shù)p(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(3,2e-2).故選B.

25.(2024?全國(guó)?高三假期作業(yè))若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)無、使得等式3*+。(2，-44)(111丫-1113=0成立，

其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是().

A.(-co,0)

3

B.(—8,0)U[—,+8)

2e

3

C.(0,—]

2e

_3

D.[—,+oo)

2e

【答案】B

【解析】由3x+a(2y-4e%)(lny-ln%)=。得3+2〃("-2e)ln)=。,設(shè)？=z>0,

xxx

3

則3+a(24e)ln"0,則?-2e)ln￡=-----有解，設(shè)g?)=Q-2e)ln/,

2a

g'?)=Inr+1-1為增函數(shù),gr(e)=lne+l--=0,

te

當(dāng)"e時(shí)g'?)>0,g?)遞增，當(dāng)0</<e時(shí)g'?)<0,g?)遞減，

所以當(dāng)1=e時(shí)函數(shù)g⑺取極小值，g(e)=(e-2e)lne=-ef即g(t)>g(e)=-e,

333

若?_26)1!1.=一丁有解，則一丁之一6,即hWe,

2a2a2a

3

所以a<0或〃之——,

2e

故選：B.

題型七：唯一零點(diǎn)求值問題

，X_1_x+l、

26.已知函數(shù)“x)=〃2+d-x有唯一零點(diǎn)，則加的值為()

\7

A.--B.-C.-D.-

2328

【答案】D

【解析】，(x)有零點(diǎn)，則加[26+2*[=-犬+彳=一卜一￡|+；,

11

令;X-5,則上式可化為加(2'+2一。=-r+"

—f2-I----1-

因?yàn)?+2T>0恒成立，所以4，

m=-----

2+2一，

212121

一,+4，則H+--r+-

令2)=4______4=/#)'

2'+2To=2-'+2'2'+2T

故耳⑺為偶函數(shù)，

因?yàn)閒(x)有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)〃⑺的圖象與、=加有唯一交點(diǎn),

結(jié)合〃⑺為偶函數(shù)，可得此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,

故加=Mo)=j=(

/十/O

故選：D

27.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)7'(x)=|x-3|+/-3+e3T+/n有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的值為()

A.0B.-2C.2D.-1

【答案】B

【解析】設(shè)g(x)=/(x+3)=|x|+e*+er+〃z,

g(-x)=|-xI+e^x+ex+m=\x|+ex+ex+m=g(x)

故函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)/(尤+3)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于直線x=3對(duì)稱,

,/〃幻有唯一零點(diǎn)

/./(3)=0,即祖=-2,

經(jīng)檢驗(yàn)，/(x)=|x-31+eL3+e3T-2僅有1個(gè)零點(diǎn)x=3.

故選：B.

28.已知函數(shù)/。)=/一2工+。("7+""|)+<：0$0—1)一1有唯一零點(diǎn)，貝!|。=()

A.1B.—C.-D.g

332

【答案】D

【解析】把函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)且")=*+〃(3+97)+以)51-2,利用偶函數(shù)性質(zhì)，g?)有唯一零點(diǎn)，由

x

g(0)=0得角軍.因?yàn)?(x)=(x—I)?+a(c1+e口)+cos(x—1)—2,

令％—1=1則g(t)=t2+a(e'+e-z)+cost-2,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=%2-2x+a(e"T+eT+i)+cos(x-l)-1有唯一零點(diǎn)，

所以g⑺也有唯一零點(diǎn)，且g⑺為偶函數(shù)，圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，由偶函數(shù)對(duì)稱性得g(0)=0,所以2a+l-2=0,

解得。=:,

故選：D.

29.(2024.廣東茂名二模)已知函數(shù)8(6，力(力分別是定義在區(qū)上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且8(力+/2(司=爐+了,

若函數(shù)〃0=尹"+公(彳-1)-2萬有唯一零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)幾的值為()

A.-B.士C.1D.2

32

【答案】C

xxx

￡(x)+/z(x)=e+xe+e-

【解析】由題設(shè)，\\tZ.,ZV可得：gX=3^^,

g(-x)+h[-x)=e-x=g(x)-h(x)v72

由〃尤)=」曰+.(%一1)一2萬，易知：/(尤)關(guān)于x=l對(duì)稱.

當(dāng)X21時(shí)，/(尤)=e~+((產(chǎn)+e1-v)-222,則/'(x)=——e』)>0,

所以單調(diào)遞增，故x<l時(shí)/(x)單調(diào)遞減，且當(dāng)x趨向于正負(fù)無窮大時(shí)Ax)都趨向于正無窮大，

所以Ax)僅有一個(gè)極小值點(diǎn)1，則要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即/。)=0,解得2=1.

故選：C

30.已知關(guān)于x的函數(shù)/(力=加一22式+|工一1|+爐+6-4有唯一零點(diǎn)x=。，貝｝|a+b=()

A.-1B.3C.-1或3D.4

【答案】B

【解析】/(X)=^(X-1)2+|X-1|+^2-4,令仁尤-I,

則有g(shù)(/)=/+M+從-4是偶函數(shù),

若只有唯一零點(diǎn)，則必過原點(diǎn)，即g(0)=0,從而b=攵.

當(dāng)b=-2時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，舍去.

故b=2,止匕時(shí)?=a—1=0,貝!Ja=l,故a+Z?=3.

故選：B

題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問題

d+3%2-2,九<0,

31.(2024.河南開封.模擬預(yù)測(cè))已知〃%)=inx若函數(shù)g(%)=〃%)-小有兩個(gè)零點(diǎn)，貝奧的

----,x>0,

、x

取值范圍為()

A.(0,：1B.(-2,0)C.(-應(yīng)-2)1IQ,2^|D.gd]

【答案】C

【解析】當(dāng)xWO時(shí)，““=丁+3/_2,

則/(%)=3f+6x=3x(x+2),

當(dāng)2)時(shí)，函數(shù)〃x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(-2,0)時(shí),/(力<0,函數(shù)“X)單調(diào)遞減.

32

所以xWO時(shí)，1MX=/(-2)=(-2)+3X(-2)-2=2.

當(dāng)x>。時(shí)，〃x)=T^,

貝八)=w^,

當(dāng)xe(O,e)時(shí),r(x)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.

所以x>0時(shí),=〃e)=『=]

畫出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示：

-2

Iy

因?yàn)楹瘮?shù)8(力=/(力-加、有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以>=機(jī)與y=/(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

由圖可知機(jī)<-2或工<加<2.

e

所以機(jī)的取值范圍為(-雙-2)U[J,2].

故選:C.

"2

.一，/、ax+lax+1,x<0、

32.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)=1、八恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

'ln(x+l)+<7,x>0

A.(-oo,0)u(l,+co)B.(0,1)C.(-oo,l)D.(0,+oo)

【答案】A

l,x<0

【解析】①當(dāng)a=0時(shí)，〃司=1111(尤+1)彳>()則〃》)只有一個(gè)零點(diǎn)°，不符合題意；

②當(dāng)a<0時(shí)，作出函數(shù)“X)的大致圖象，如圖1,在(-甩0)和[0,”)上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；

③當(dāng)。>0時(shí)，作出函數(shù)“X)的大致圖象，如圖2,“X)在[(),+◎上沒有零點(diǎn).

則〃x)在(-8,0)上有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)必須滿足了(-1)=1-。<0,解得

綜上，得a<0或a>l.

33.函數(shù)=="+4”2。的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

\2'-3,x<0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】當(dāng)時(shí)，令2*+4-3=0，MW^=-4+log23；

當(dāng)x>0時(shí)，令2尤2-7x+4—lnx=0,貝U2爐—7x+4=lnx,

在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y=2/-7工+4,y=lnx的大致圖像如圖所示，

觀察可知，它們有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)/(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

e"x20

34.(2024.高三.陜西西安.期末)已知函數(shù)"X='一若函數(shù)g(x)=〃f)-〃x),則函數(shù)g(x)

-3x,x<0

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,/(-%)=3x

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,f(-x)=e-v

3x-e',x>0

，g(尤)=/(-尤)一/(尤)=<°，x=0，

e-*+3x,尤<0

g(-x)=f(x)-f(-x)=-g(x),且定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故g(x)為奇函數(shù),

所以我們求出尤>0時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，

g(x)=3x-e*,x>0,g'(無)=3-e*>0,令g'(尤)=3-e*>0,解得0<x<ln3,

故g(x)在(0,ln3)上單調(diào)遞增，在(hi3,_)單調(diào)遞減，

且g(ln3)=3如3-3>0,而g(2)=6-e?<0,故g(x)在(ln3,2)有1零點(diǎn)，

gf1%l-e3<0,故g(x)在(g,ln3)上有1零點(diǎn)，圖像大致如圖所示：

故g(x)在(0,+動(dòng)上有2個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)槠錇槠婧瘮?shù)，則其在(一”,0)上也有2個(gè)零點(diǎn)，且g(0)=0,故g(x)

共5個(gè)零點(diǎn),

故選：D.

Inx—2x,x>0

35.若函數(shù)〃x)=,0/八有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

x+2x+tz,x<0

A.OvavlB.0<?<lC.0<?<lD.0<a<\

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，x>。時(shí)，/(x)=lnx-2x(x>0),止匕時(shí)尸(x)=5一2

尸(耳=4_2>0時(shí)，0<彳<人；—(無)=!一2<0時(shí)，x>~,

x2%2

所以“X）在上單調(diào)遞增，在6,+j上單調(diào)遞減

》>0時(shí)，"XL"1卜-也2-1<0

所以“可在（0,+。）上無零點(diǎn)

從而無<。時(shí)，〃%）有2個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得

[△=4-4。>0

《[*八0/、）20/.0<tz<l

故選：D.

題型九：零點(diǎn)嵌套問題

36.（2024?遼寧?二模）已知函數(shù)〃尤）=9（ln尤y+（a-3）xln尤+3（3-〃）/有三個(gè)不同的零點(diǎn)七，瑪，/，

【解析】把/（x）的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為a-3=9（mx）一令=3-g,?e（0,4w）,可得方程

3x-x\nxX

9/_（51+ak+81=0有兩實(shí)根％,%由判別式大于0解得a的范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得

%+芍=51：°>513=6,不2=9,進(jìn)一步得至1">3,芍=1<3,結(jié)合百<1</<X3,可得31>3,

99%為

3_皿<3,3-^0,則可知3-2公3-3=3-蟲一，則

x2x3x2x3

=(力也)2-81./(x)=9(lnx)2+(〃-3)xln尤+3(3—a)/—o

(?-3)^lnx-3x2)=-9(lnx)2

L_3_90nx『二晝］

3x2-xlnx3Inx

x

Inx、fJnx

令A(yù)t=3------,RG(0,+OO),貝I——=37,

xx

.,1-lnxlnx-1

=—

令r=o,解得x=e

.??，￡（0,e）時(shí)，f<0,看單調(diào)遞減；/￡（e,+co）時(shí)，f>0,1單調(diào)遞增;

?**?min=3--,tG3--,+00|,

e\.eJ

2

.o9（3-t）9/-54/+81

tt

9t2—（51+a）/+81=0.

設(shè)關(guān)于t的一元二次方程有兩實(shí)根％,t2,

A=(51+a)2-4x9x81>0,可得a>3或a<-105.

???一「GT)>0,故。>3

t

/.a<—105舍去

.51+^51+3n

."1+12=g>g=6,不2=9.

又?."1+芍=%+：2=6,當(dāng)且僅當(dāng)4=4=3時(shí)等號(hào)成立,

h