2024年高考數(shù)學復習：解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問題（解析版）

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展18解三角形中的結(jié)構(gòu)不良問題(精講+精練)

/,

一、知識點梳理

一、“結(jié)構(gòu)不良問題”的解題策略

(1)題目所給的三個可選擇的條件是平行的，無論選擇哪個條件，都可解答題目；

(2)在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規(guī)范，都會得滿分，

但計算要細心、準確，避免出現(xiàn)低級錯誤導致失分.

二'“正弦定理”與“余弦定理”的選用策略

在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某

個定理的信息.

(1)如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；

(2)如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；

(3)以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

三'“邊化角”或“角化邊”的變換策略

(1)若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；

(2)若式子中含有。、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

(3)若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

(4)代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

(5)含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

(6)同時出現(xiàn)兩個自由角(或三個自由角)時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

?------------------------------------------------------------------------------------------------------------

二、題型精講精練

I-

【典例1】在中，角，，B,C所對的邊分別為a,b,C,且滿足2bcosC=2a-c

⑴求角2;

(2)在①“8C的外接圓的面積為一，②“3C的周長為⑵③6=4,這三個條件中任選一個，求“8C的

面積的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【分析】(1)由已知，根據(jù)給的26cosc=2a-c,先使用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化全部轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，然

后再利用sin/=sin(3+C),把sin/換掉，展開和差公式合并同類項，然后根據(jù)角3的取值范圍，即可完成

求解；

(2)由已知，根據(jù)第(1)問計算出的角3,若選①，現(xiàn)根據(jù)給的外接圓的面積計算出外接圓半徑R,然

后根據(jù)角5利用正弦定理計算出邊長6,然后使用余弦定理結(jié)合基本不等式求解妝的最值，即可完成面積

最值得求解；若選②，利用a+6+c=12,表示出三邊關(guān)系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最

值，然后再利用基本不等式找到“c與a+c的關(guān)系，從而求解出面積的最值；若選③，可根據(jù)邊長方、角5

借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面積最值得求解.

【詳解】(1)V2Z)cosC=2a-c

2sinBcosC=2sin4-sinC

:.2sinBcosC=2sin(5+C)—sinC

2sin5cosC=2sin5cosC+2cossinC-sinC,：?2cos5sinC=sinC

,:CG(0,%)sin。w0/.cos5=；

■::.B=}

(2)若選①，設(shè)△/BC的外接圓半徑為七

164

貝!兀=兀,7?2,，氏=耳

4G

Jb=2EsinB=2x-=x—=4

V32

由余弦定理，得：b2^a2+c2-2accosB

即16=/+c2-ac>lac-ac=acf當且僅當。=C時，等號成立.即的面積的最大值為4g

若選②丁6=12,工6=12-(。+。)

由余弦定理〃=a+c2-2accosB,=a2+c2-ac

ac=8(a+c)—48,又(專］Zac

-8(a+c)+48>0

：.a+c>24(舍)或a+c48,當且僅當時等號成立

：.S=-acsmB^—ac<--（^]=46，當且僅當。=。時等號成立

24412J

若選③，由余弦定理，得：b2=a2+c2-2accosB

即16=/+°2_QC22qc-qc=QC,當且僅當。二。時，等號成立.

***S&ABC=sin5<；x16x~~=4占即a/BC的面積的最大值為4石

【題型訓練1-刷真題】

一、解答題

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)/0）=5m53°+0）535由91〉0,|9|<|^.

（1）若/（0）=一3，求。的值.

（2）已知/（X）在區(qū)間-會午上單調(diào)遞增，=再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一

個作為已知，使函數(shù)/（刈存在，求包。的值.

條件①：/13=后；

條件②:=-1;

7T7T

條件③：/a）在區(qū)間-5，-、上單調(diào)遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

【答案】（i）°=q.

7T

（2）條件①不能使函數(shù)/*）存在；條件②或條件③可解得。=1,（P=~~.

0

【分析】（D把x=0代入/（幻的解析式求出sin。，再由|歸<5即可求出。的值；

jr27r

（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把"X）的解析式化簡，根據(jù)“X）在上的單調(diào)性及函

數(shù)的最值可求出T,從而求出。的值；把。的值代入/（x）的解析式，由/卜2]=-1和1夕|<。即可求出。的

值；若選條件③：由/（x）的單調(diào)性可知在》=-三處取得最小值-1,則與條件②所給的條件一樣，解

法與條件②相同.

兀

【詳解】(1)因為f(x)=sina)xcoscp+cosa)xsin(p.a)>Q,\(p\<—

、G

所以f(0)=sin(6y?0)coscp+cos(?0)sin=sin^?=--—,

因為⑷苦,所以夕=q.

JI

(2)因為f(x)=sincoxcoscp+coscoxsin(p,co>Q,\(p\<—,

JT

所以/(x)=sin(0x+e),0>O,|0|<5，所以/(X)的最大值為1,最小值為-1.

若選條件①：因為/(2皿5+初的最大值為1,最小值為一1,所以小，近無解，故條件①不能使

函數(shù)/(X)存在；

若選條件②：因為“X)在-全事上單調(diào)遞增，且/《J=l,/1TN-1

所以：=與_(—1]=兀，所以7=2兀M=m=l，

所以/(x)=sin(x+e),

又因為/卜升T,所以sin[尹“=-1,

TTTT

所以——+0=---+2E,左￡Z,

32

所以e=-=+2版，左eZ,因為S|<g,所以夕=一；.

626

JT

所以。=1,3=；

O

若選條件③：因為/(尤)在-手與上單調(diào)遞增，在-會-5上單調(diào)遞減，

所以〃無)在X=J處取得最小值-1,即/'Cl.

以下與條件②相同.

24

2.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)在“8C中，c=2bcosB,C=—.

(1)求N8；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊

上中線的長.

條件①：c=J%;

條件②：“3C的周長為4+26；

條件③：“3C的面積為±8；

4

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析.

0

【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；

（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；

若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求;

若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.

【詳解】（1）Vc-2bcosB,則由正弦定理可得sinC=2sin8cos8,

Sm2B=sm^-=^-,vC=y,

：.2B=j解得B=?；

36

V3

（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得;=m￡=--=G,

bsin5,

2

與c=y/2b矛盾，故這樣的^ABC不存在；

若選擇②：由（1）可得N=

設(shè)。的外接圓半徑為R,

TT

則由正弦定理可得。=b=2Rsin—=尺，

6

c=2Rsin=欄R,

3

貝!1周長。+?=2及+麻=4+26，

解得R=2,則4=2,C=26',

由余弦定理可得3C邊上的中線的長度為：

“2可+12-2X2V3X1XCOS^=^7；

若選擇③：由（1）可得/=￡,即。=八則s=_U6sinC=La2xe=±①,解得a=g,

6/Be2224

則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：

【題型訓練2-刷模擬】

一、解答題

1.(2023?四川?校聯(lián)考模擬預測)已知銳角”3C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c.在下列三個條件

一'_U工

①加=sin/,---j,〃=(2cos242cosZ),且加//〃；②asinB=WbcosA;

③cos?B+cos2C=cos2/+l-sin_8sinC中任選一個，回答下列問題.

⑴求/;

(2)若。=2,求AASC面積的最大值.

【答案】⑴4蘭

(2)73

【分析】(1)條件①：根據(jù)向量平行的坐標表示轉(zhuǎn)化sin2/=-6cos2/,求得A；條件②：根據(jù)正弦定理

轉(zhuǎn)化為sin"=Geos/,求得A；條件③：將條件中的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，再用正弦定理與余弦定理求得A.

(2)根據(jù)余弦定理及基本不等式求得。面積的最大值.

【詳解】(1)選擇條件①，因為加=「由4-3>〃=(2cos242cosZ),且前〃K

/§■

所以sin/-2cos/H-----x2cos24=0，

2

BPsin2A=-V3cos2A>所以tan2/=-6，

由AASC為銳角三角形可知則0<24<兀，

故2/=年，-4=1,

選擇條件②，因為asinS=?>cos/,由正弦定理可得5畝/$1118=6$11180)$4,

IT

由小為銳角三角形可知0<5<,，所以sinBwO,

則sin/=GcosAf即tan4=若，

由。為銳角三角形可知故4=方.

選擇條件③，因為cos?B+cos2C=cos2Z+1-sinBsinC,

所以1-sin?5+1-sin2C=1-sin24+1-sin8sinC，

即sin2B+sin2C-sin2Z=sinBsinC，

由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,

根據(jù)余弦定理可得cosA=〃++/=4,

2bc2

由春為銳角三角形可知故4=]，

(2)因為"2,由⑴可得4

所以根據(jù)余弦定理可得4=/+C2-26CCOS；=62+C2-6CN26C-6C=6C,當且僅當6=c=2時，等號成立，

滿足條件.

11M

貝(ISAABC=—besinA＜—x4x=百，

故面積的最大值為百.

2.(2023?北京東城?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)f(%)=2^/3sinscoss-2sin2ox+1(0＜。＜2).在下面兩個條

件中選擇其中一個，完成下面兩個問題：

條件①：在/(X)圖象上相鄰的兩個對稱中心的距離為

條件②：“X)的一條對稱軸為X=g

0

(1)求①；

⑵將“X)的圖象向右平移;個單位(縱坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在一方微上的值

域.

【答案】(1)啰=1

(2)[-2,1]

【分析】(D由三角函數(shù)的恒等變換對/⑴進行化簡，再分別由條件①②求。的值.

(2)由三角函數(shù)的平移變換得g(x)的解析式，再由函數(shù)的定義域求值域即可.

【詳解】(1)f(x)=2V3sin6yxcos6yx-2sin269X+1

=Gsin2ox+cos2ox

=2sin(2ox+.

TT

選①：f(x)圖象上相鄰兩個對稱中心的距離為q,

2兀

貝!|T=兀=—,則g=1,

2G

選②：/（X）的一條對稱軸為X=￡TT,

6

fl-兀兀T兀1r

貝26y?—l——kuH—,keZ,

662

co=3k+\,又0<G<2,貝！|Q=1,

于是/(x)=2sin[2x+^

（2）將/（x）=2sin（2x+B）的圖象向右移g個單位長度（縱坐標不變）,

63

得到函數(shù)g(x)=2sin[2(x-烏)+巴]=2sin(2x-4)=-2cos2x的圖象

362

71兀]

XGr[---,一]

33

,「2兀2兀I

/.2xG[----,—1

33

/?COS2,XG[—-,1]f

g（x）的值域為[-25.

3.（2023?全國?模擬預測）在①bsinC+Gccos8=6a，②sin（8+[j=,③asin[c+曰=csin/這

三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.

在“BC中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且

⑴求角C;

⑵若外接圓的面積為4兀，求面積的最大值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】⑴C=g

(2)3/

【分析】（D根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡計算，即可求出C；

（2）根據(jù)正弦定理可得c=2百，利用余弦定理和基本不等式計算可得而412,結(jié)合三角形的面積公式計

算即可求解.

【詳解】（D選條件①.

bsinC=43a-y/3ccosB,

由正弦定理得sinBsinC=6sin4-^AsinCcosB.

因為4=?！?5+C),所以sinZ=sin(3+C),

故sin5sinC=V3sin(B+C)一CsinCcosB=『3sinBcosC,

因為sinBwO,所以sinC=ecosC,得tanC=VJ,

jr

又0<C<7l,所以。=1?

選條件②.

由sin.+e)=得4+b=2csin]B+今j=V5csin5+ccosB.

由正弦定理得sin/+sin3=J5sinBsinC+sinCcosB,

得sin(5+C)+sin5=v3sin5sinC+sinCcosB,

得cosCsin5+sinB=GsinCsinB?

而sinBwO,所以VJsinC-cosC=1,BPsin^C-^=^-

7T

而0<。<兀，所以。=1.

選條件③.

由Qsin1C+：=csinA及正弦定理得sin/sinIC+g)=sinCsinZ

因為sin/wO,所以sin(c+g卜sin。,

兀兀A/31

即sinCcos—+cosCsin—=sinC,即Y^cosC=」sinC,

3322

所以tanC=,而0<C<兀，所以。=§.

(2)設(shè)力BC外接圓的半徑為R,貝！|兀斤=4兀，故&=2.

由正弦定理可得c=2AsinC=4sin；=2Vi.

所以(26)=a2+b2-2abcosy=〃+^2~ab>2ab-ab=al,

即MV12,當且僅當。=b時等號成立，

所以S/Bc=；附sinCW；xl2sin：=36,

故“BC面積的最大值為3』.

4.(2023?寧夏石嘴山?平羅中學校考模擬預測)”5。的內(nèi)角4乞。的對邊分別為。力,。，5m3=；,且

(1)求力的面積；

(2)若sinZsinC=^~，求b.

3

在①/一〃+'2=2,②方.罰=T這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】⑴孚

O

*

【分析】（1）若選①則根據(jù)余弦定理得accosB=l,且cosB>0,于是利用平方公式得cosB,即可得呢的

值，再根據(jù)面積公式即可得“的面積；若選②根據(jù)向量數(shù)量積定義得萬.芯=-accos3,且cos3>0,

于是利用平方公式得cos3,即可得起的值，再根據(jù)面積公式即可得。8c的面積；

（2）由正弦定理得即可求得6的值.

【詳解】（1）若選①/-/+。2=2,由余弦定理得cos8=女士無，整理得accos8=l,貝！Jcos5>0,

lac

又sinB=：,貝!]cosB=Jl-，ac=-—=^,貝!JS=^acsinB;

3飛⑶3cos54..28

若選②.前丁-lcO,貝！Jcos2>0,又sin3=；,貝！Jcos5=jl-,

又AB,BC=-accosB,得ac=—,則S粉,=』acsin8=;

cos54"c28

372

（2）由正弦定理得：二勺二號二二1,則上萬=￡?：=丁]^7r=卡=；,則一'=；,

sin5smZsinCsinBsmAsinCsin^4sinC，24sin52

V

3.1

b7=—smBn=—.

22

5.（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預測）力5C的內(nèi)角/,B,。所對邊分別為a,b,c,點O為一BC

的內(nèi)心，記△OBC,△CMCQCMB的面積分別為H，52,S3,已知S；+S；—S]S3=S；,AB=2.

（1）若力5C為銳角三角形，求/C的取值范圍；

1_omq41_omq7?

（2）在①4sin8sin4+cos24=1；②；-----+---------=0；③acosC+ccos4=1中選一個作為條件，判

sin4sin8

斷△/BC是否存在，若存在，求出小的面積，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答,

按第一個解答計分.）

【答案】⑴（退,2?）

（2）答案見解析

【分析】（D由題意，根據(jù)“3C的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得/+02一/=%,利用正、余弦定理可得

AC=4B0nB=5_,結(jié)合角C的取值范圍即可求解；

sinCsinC

（2）選擇①，根據(jù)正弦定理可得。=26,由（1）得3〃-46+4=0,方程無解即△ABC不存在.選擇②，

根據(jù)三角恒等變換可得a+6=2c=4,由（1）得/+4一〃=2"，解得。=6=2,結(jié)合三角形的面積公式計

算即可.選擇③，由（1）,根據(jù)余弦定理可得/+4-1=2°,方程無解即AABC不存在.

【詳解】（1）設(shè)。8C的內(nèi)切圓半徑為r,因為卻+用-岳邑=用，

所以⑺2-（；”）.（；=）=（；枷口化簡得：a2+c2-b2=ac,

乙乙乙乙乙

所以cos8」+c"2因為8e（O,7t）,所以B=f,所以N+C=&,

lac233

因為名=黑，所以/。=絲包且=百-,

sinBsinCsinCsinC

因為“5C為銳角三角形，

所以0<C<?0<--C<^-,解得：￡<c</

，32o2

所以g<sinC<l,所以AC的取值范圍為（6,2石）.

（2）選擇①，因為4sinBsin力+cos2Z=1,所以4sin5sin/=1-cos24=Zsin?4,

因為sin/wO,所以sin4—2sin8=0,所以q=26,

由⑴^la2+c2-b2=ac,c=2,所以4〃+4-〃=助，

整理得3〃-46+4=0,方程無實數(shù)解，所以不存在.

選擇②，由^-20°s"+12c°s8=0得:sin^4+sin-2（sinAcosB+cos24sin=0,

sinAsinB

所以sin4+sin8=2sin（Z+B）,即sin4+sin5=2sinC,所以〃+Z?=2c=4,

222

由（1）^a+c-b=ac,C=29

所以/+4—〃=2〃，所以〃?+4_（4—Q）2=2〃，解得。=6=2,

所以&4BC存在且唯一，入4BC的面積S=Lcsin3=、4><@=JL

222

選擇③，因為acosC+ccosZ=l,所以“丑———+c-^+C———=b=1,

2ab2bc

由（1）^Ha2+c2-b2=ac,c=2,所以/+4_1=2”,

整理得a2-2a+3=0,

方程無實數(shù)解，所以。BC不存在.

6.（2023?四川成者B?四川省成都列五中學?？寄M預測）在“BC中，內(nèi)角4瓦C所對的邊分別為a,6,c,

且。一ccosB=——Z?sinC.

3

⑴求角。的大小；

（2）若°=2百，且，求的周長.請在下列三個條件中，選擇其中的一個條件補充到上面的橫

線中，并完成作答.①siiL4sinS=J；②的面積為g③H前=-：.

注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一解答計分.

【答案】（l）c=2

（2）4+2百

【分析】（D根據(jù)條件，利用siM=sin（B+C）和正弦的和角公式，化簡即可得出結(jié)果；

（2）選①，利用正弦定理和條件得出。6=：,選②，利用條件和三角形面積公式得出必=g,選③，利用

條件和數(shù)量積的定義得出

4

ab=~,再利用余弦定即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）由正弦定理：siiL4-sinCcos5=sinSsinC,

3

因為sirU=sin（8+C）,所以sin5cosC+cosBsinC-sinCcos5=-^-siiL5sinC,

所以sin5cosc=^-sinSsinC,因為sinBw0,所以cosC=sinC,得到tanC=V3，又。兀），所以。=g.

a_b_c_2A/3_A

（2）若選①，根據(jù)正弦定理和（1）可知，嬴7=而二—二乖=，

Sm?

所以。=4sin4,Z?=4sin5,所以sirUsinS,得到ab=—,

16123

若選②，由題知L6sinC=LbxYL@,得到仍=上，

22233

__kkOIOA

若選③，即5?數(shù)=-：,由數(shù)量積定義得仍cos（兀-c）=-；Q6=-得到劭=；,

4

故三個條件任選一個條件，都可以得到仍=],

由余弦定理，得。?一2abeos：,整理得（a+b）2-2。6-2。氏0$烏=12,

即（a+6）2=16,貝!）a+6=4或a+b=-4（舍去），

所以"BC的周長為0+6+c=4+26.

7.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預測）在08C中，內(nèi)角/,B,。對應的邊為a,b,c,28C的面積為S,若

acosB+bcosA=2a.

TT

(1)當B=§時，求4；

(2)若角5為“3C的最大內(nèi)角.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立，

①/+c?+QC=〃；②6=；?S=^~.

2

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】(1)4=7；

0

(2)答案見詳解.

【分析】(D由題意，根據(jù)正弦定理、特殊角的三角函數(shù)值和輔助角公式化簡計算可得Esin1/-^1=(),

即可求解；

(2)分別以①②③中選取2個作為條件，根據(jù)正、余弦定理和三角形的面積公式計算，可證得第3個條件

成立.

【詳解】(1)acosB+bcosA=2a9

由正弦定理得sin4cos5+sin8cosZ=2sin力，

當B=V時，—sin^4+cos^4=2sin^4,

322

得々sinZ-3^cos/=0,即百sin(4-」=0,

22I6J

TTjr

又0</<71,所以N-F=O,得/==；

66

(2)若選①②為條件.

/+C2+ac—//+C2—62——UC9

由余弦定理得cos8='+1-"="=一工,又Q<B<n,所以B=W

laclac23

由(1)sin/cosB+sinBcos/=2sin/,得——sin4+^cos/=2sin4,

22

5

有A/3COS/=5sin4〉0,又sin2A+cos2Z=1,解得sinA=2c,cosA='

2萬

G

Xsin^4cos5+sin5cos=2sin^4,得sin(4+B)=sinC=2sin4=-j=,

aV7c

由正弦定理得號=4=白，即不=耳=正，

sinAsinBsinC——————

25/72V7

解得a=l,c=2,所以s=Lacsin5=Lxlx2x^=也，即③成立；

2222

若選①③為條件.

a2+/+ac—/—8——CLC，

由余弦定理得COS8="2上2-"=士=-工,又QC,所以8=女.

2aclac23

由S=—acsin5=—acx—=，得oc=2?

2222

由（1）得sinC=2sin/,由正弦定理得。=2a,解得a=l,c=2,

由余弦定理得〃=a?+。2-2〃ccos5=1+4—2xlx2x（—5）=7,貝!=,即②成立；

若選②③為條件.

S=—acsinB=nacsinB=百，

22

由（1）得sinC=2sin/,由正弦定理得c=2a,所以2〃2sinB=6.

由余弦定理得b*12=a2+c2-2accos伐b=近，

即7=〃+4/-4a2cos5=〃（5-4cos3）,有'——=,

（5-4cos5）7

2sm'=6,等式兩邊同時平方，得244cos28_1203$8-111=0,

（5-4cos5）7

1121

解得cos5=-7或C0S5==.

2122

當cos5=*時，胃>：，則2〈三，與B為的最大內(nèi)角矛盾，

故cos3=-；,又由余弦定理得/=a2+c2-2ac?（一：）,

222

^b=a+c+ac,即①成立.

8.（2023?云南曲靖?統(tǒng)考模擬預測）在①asin（/+C）=6cosQ-《J；

②l+ZcosCcosBrosC-m-coslC+B）；③-^—=2這三個條件中選擇一個補充在下面問題中的橫

線上，然后求解.

問題：在力反;中，內(nèi)角42,C的對邊分別為a,6,c,ab+c=2C,a=&>,.(說明：只需選擇一個

條件填入求解，如果三個都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評分)

(1)求角A的大??；

(2)求內(nèi)切圓的半徑.

【答案】(1)條件選擇見解析，4=5

Q符

【分析】（1）選①，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角差的正弦公式化簡即可得解;

選②，根據(jù)兩角差的余弦公式結(jié)合三角形內(nèi)角和定理化簡即可;

選③，利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合商數(shù)關(guān)系化簡即可;

（2）先利用余弦定理求出A,再根據(jù)三角形的面積公式求出面積，再根據(jù)等面積法即可得解.

【詳解】（1）選①，由正弦定理得siiL4sinB=sin5cos]4-1

所以山所以

因為0<8<兀，sirW0,siiL4=cos[z—1

h1

化簡得sirU=——cosAH——sirU，所以taiM=V3,

22

JT

因為0</<兀，所以4=

選②，因為1+2cosCcos5=cos(C-5)-cos(C+3),

所以1+2cosCcosS-cos(C-B)+cos(C+8)=1+2cos(C+5)=1-2cos4=0,

所以co3=L,

2

又因為0<4<兀，所以力三;

2tan52tanSsinB

選③，因為由正弦定理得

taib4+tanSCtanA+tanBsinC

2sinB

而cos^sinB

“siM?sinBsinC'

cosAcosB

2sinB2sinB

cosB=cosg2sin8cos/=sinB

siiL4cosB+sinBcos4sinCsinCsinC

cos4cosBcosAcosB

所以cos^=J,

因為sir山w0,sinCw0,

2

又因為0<4<兀，所以/=];

(2)由(1)知，a1=b2+c2-2/JCCOSy=(/?+c)2-3bc,a=V6,b+c=2^3,

所以be=2,

所以=—besinA=—x2-sin—=

223

設(shè)AABC內(nèi)切圓的半徑為尸,周長為上,

因為8c=]”,故｝.(2A/J+A/^)=,

所以廠="老，即“3。內(nèi)切圓的半徑為三2?

22

9.(2023?寧夏中衛(wèi)?統(tǒng)考二模)在①tan/+tan3+6=6tan/tanB;?kc+a-&)(sinC-sin+sin5)=asin5；

③技sinB=〃cosC+l)；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.問題：在13C中，

內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且.

⑴求角C;

(2)若AJBC的內(nèi)切圓半徑為4力=4,求”C.

【答案】(嗚

(2)-1

【分析】(1)選擇①根據(jù)兩角和的正切公式化簡可得角，選擇②由正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解,

選擇③根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為角，由輔助角公式求解；

(2)由余弦定理及三角形面積公式聯(lián)立求解即可.

【詳解】(1)選擇①：由已知得tan/+tanB=V^(tan/tan2-l),

,n、tanA+tanBr-

所以tanC=-tan(Z+3)=------------------=＜3,

1-tanAtanB

TT

在AABC中，Ce(0,7t),所以c=m.

選擇②：由已知及正弦定理得(c+"b)(c-a+b)=血

^a2+b2-c2=ab,所以。0$。="+"一廠=工,

2ab2

7T

因為0＜。＜兀，所以C=一.

3

選擇③：由正弦定理可得由sinBsinC=sinB(cosC+l),

又臺￡(0,兀)，所以sinB〉0,則GsinC-cosC=l,

則2sin(c-￡|=l,故sin(c-j=g.

又因為〈蘭，所以C-￡=￡,

60066

解得C=g.

(2)由余弦定理得/=Q2+—cib-16+—Aaf@

由等面積公式得;(〃+b+c)尸=—absinC.

BP—(a+6+c)x^^=—x4a.

2222

整理得3a=4+c,②

聯(lián)立①②,解得a\5,c，7,

所以a—c=—1.

10.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預測)如圖所示，已知圓。是AABC的外接圓，圓O的直徑BD=2.設(shè)BC=a,AC=b,

AB=c,在下面給出條件中選一個條件解答后面的問題,

A/3C-cosA=Q；

(2)2cosC+cos/=(2sinC-sin4)?tanA；

③“BC的面積為1(a2+°?_燈.選擇條件,

⑴求6的值；

(2)求A/CD的周長的取值范圍.

【答案】⑴百

⑵(26,6+2]

【分析】(1)若選①利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角和的余弦公式及誘導公式求出tan3,在利用正弦

定理計算可得；若選②，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、和差角公式及誘導公式求出cosB,在利用正弦定

理計算可得；若選③，利用面積公式及余弦定理求出tan8,在利用正弦定理計算可得；

(2)由題知N4DC=g,設(shè)/。(D=c,0<a<p利用正弦定理得到CD=2sine,NO=2sin[1-a],

再根據(jù)三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】(1)若選①，因為tanC-(b-6csin/)+&-cosN=0,

由正弦定理可得,卜+百sinC-cos/=0,

顯然sinC>0,所以sinB-J^sinCsin/+6cosc,cos4=0，

即sin8+cos（C+力）=0,所以sinB-A/^COSB=0,所以tanB=A/§\又BE（0,兀），所以5="

因為。BC外接圓的半徑尺=1,所以b=2EsinB=6.

若選②，因為2cosC+cos/=（2sinC-sin/）?tanA,

所以2cosC+cos/=（2sinC-sin4）?@上1,

cosA

即2cosCcosA+cos2Z=2sinCsin/—sin2A，

所以2cosCcos/一2sinCsin4=-sin2A-cos2A,

所以2cos（C+/）=T,所以cosB=g,又2€（0,兀），所以

因為外接圓的半徑R=1,所以6=2RsinB=6.

若選③，的面積為手（/+02一62）,貝!Js=gacsin8=^（/+c2一〃），

由余弦定理可得。2+/-〃=2accos8,所以工acsin8=3accos5,所以tan8=g,又2e（0,7i）,所以

22

B三

因為AABC外接圓的半徑R=1,所以6=27?sin3=6.

27r7T

（2）由題知N/DC=—,設(shè)/G4D=cz,0<a<-,

33

ACADCD拒'

由正弦定理SinZADC-sin44CD-sinZCAD~'

sinT

所以CD=2sina,AD=2sin,

所以C“必=/+2sina+2sin

=V3+2sina+2sin—cosa_2cos—sina

33

=V3+sina+V3cosa=V3+2sin;^+j,

因為0<a〈色，所以工<a+工<生，所以在<sin[a+四]W1,

333323J

所以Ge1（2后抬'+21

11.（2023?湖南益陽?統(tǒng)考模擬預測）“3C中，角48,C的對邊分別為a,b,c,從下列三個條件中任選一

個作為已知條件，并解答問題.①csm審…C；②\=辰；③依的面積為九

（1）求角/的大小；

⑵求sinSsinC的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）選擇條件見解析，

⑵尺]

【分析】（D選①②時，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換即可求得答案；選③時，龍三角形面積

公式結(jié)合余弦定理即可求得答案；

（2）方法一：利用三角恒等變換化簡sin5sinC為只含有一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可得

答案；

方法二：利用余弦定理可得/=/+C2_6C,再由正弦定理邊化角，可得sin2/=sin28+sin2C-sinfisinC,

結(jié)合基本不等式即可求得答案.

A

【詳解】（1）選擇①：由正弦定理可得，sinCcosy=siiL4sinC,

AAAA

因為C￡（0,7i）,sinC>0,所以cosw=sin4,BPcos—=2sin—cos—,

AjrAA1

因為0〈一<一,所以cos—>0,所以sin—=—,

22222

所以《=（，即4=g；

2o3

選擇②"nC_百0,則-血ccosA,

1-cosA

由正弦定理得siiL4sinC=A^sinC-忠inCcosZ，

因為Ce（0,兀）,sinC>0,所以siih4=上一版os/,即sin（/+j=

因為0<N<兀，所以g</+g<￥，所以/+g=f,即/=T；

選擇③:由+02—Q2）=卜csin4,

2_2—

可得V3x-------———=sinZ，即百cos4=siib4，

2bc

所以taiM=g\由于。<4<兀，故幺=5.

（2）方