專題14勾股定理之垂美四邊形模型綜合應用(3大類型)(原卷版+解析)

專題14勾股定理之垂美四邊形模型綜合應用（3大類型）解題思路解題思路【定義】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.【結論】如圖，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則①AB2＋CD2＝AD2＋BC2.②S四ABCD＝AC·BD【典例分析】【典例1】（2022春?海珠區(qū)校級期中）定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．性質探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給出證明．問題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，則①求證：△AGB≌△ACE②GE＝．【變式1-1】（2022秋?禪城區(qū)校級期中）四邊形ABCD如圖所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．（1）求證：AC⊥CD；（2）求四邊形ABCD的面積．【變式1-2】（2021春?祁陽縣期末）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是：（填寫序號）；（2）性質探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知BC＝6，AB＝10，求GE長．【變式1-3】（2021春?越秀區(qū)校級期中）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：給出下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四邊形”的是（填序號）；（2）性質探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解決問題：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE．已知AC＝，AB＝3．①請問四邊形CGEB是垂美四邊形嗎？并說明理由；②求GE的長．【夯實基礎】1．（2022春?海安市月考）如圖1，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解，在四邊形ABCD中，以下是垂美四邊形的是．①平行四邊形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD．（2）性質探究，小美同學猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等”，即，如圖1，在四邊形ABCD中，若AC⊥BD，則AB2+CD2＝AD2+BC2．請判斷小美同學的猜想是否正確，并說明理由．（3）問題解決：如圖2．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC的中點，連接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．2．（2021?新北區(qū)一模）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：我們已經(jīng)學習了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是．（2）性質探究：如圖2，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究其兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程．（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE交AB于點M，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．3．（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質探究：①如圖1，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關系．寫出你的猜想，并給出證明；②如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；（3）問題解決：如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的長．4．（2021春?岳麓區(qū)校級期末）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）判斷：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的有；（2）如圖2，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給出證明；（3）如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE與BG交于點O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中線OH的長．5．（2020?科爾沁區(qū)模擬）定義：我們把對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．（1）概念理解：如：圖1，四邊形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質探究：如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的長．6．（2019春?曾都區(qū)校級期中）【知識感知】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美邊形．（1）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）【性質探究】如圖1，試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．（3）【性質應用】如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝10，求GE長．7．（2019?蘭州模擬）閱讀理解：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點E．求證：AD2+BC2＝AB2+CD2證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形∴AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．拓展探究：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；問題解決：如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5．求GE長．8．（通州區(qū)期末）【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．【性質探究】如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；【拓展應用】如圖2，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，分別以AC和AB為直角邊向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△ABE，連接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的長．9．（2021?南明區(qū)模擬）如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當∠ACB≠90°，點M、N分別是AC、AP中點連接MN．若MN＝2，則S△ABC＝．10．（天水）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．11．（2021?姑蘇區(qū)校級二模）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：我們已經(jīng)學習了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中肯定是垂美四邊形的是．（2）性質探究：如圖1，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出其兩組對邊AB、CD與BC、AD之間的數(shù)量關系．（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接BE，CG，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．專題14勾股定理之垂美四邊形模型綜合應用（3大類型）解題思路解題思路【定義】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.【結論】如圖，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則①AB2＋CD2＝AD2＋BC2.②S四ABCD＝AC·BD【典例分析】【典例1】（2022春?海珠區(qū)校級期中）定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．性質探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給出證明．問題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，則①求證：△AGB≌△ACE②GE＝．【解答】解：概念理解：四邊形ABCD是垂美四邊形．理由如下：∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；性質探究：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由如下：如圖1，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；問題解決：①連接CG，BE，如圖2所示：∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△AGB和△ACE中，∵，∴△AGB≌△ACE（SAS）；②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝2，AB＝5，∴BC＝，CG＝2，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝37，∴GE＝；故答案為：【變式1-1】（2022秋?禪城區(qū)校級期中）四邊形ABCD如圖所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．（1）求證：AC⊥CD；（2）求四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，∴AC＝，∵AC2+CD2＝45+4＝49＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴AC⊥CD；（2）解：四邊形ABCD的面積＝＝9+3．【變式1-2】（2021春?祁陽縣期末）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是：①③（填寫序號）；（2）性質探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知BC＝6，AB＝10，求GE長．【解答】解：（1）∵正方形，菱形的對角線互相垂直，∴正方形，菱形是垂美四邊形，故答案為：①③．（2）結論：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由：∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）連接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，∵AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴CG2+BE2＝CB2+GE2，∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝8，∴CG＝8，BE＝10，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝292，∴GE＝2．【變式1-3】（2021春?越秀區(qū)校級期中）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：給出下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四邊形”的是（填序號）；（2）性質探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解決問題：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE．已知AC＝，AB＝3．①請問四邊形CGEB是垂美四邊形嗎？并說明理由；②求GE的長．【解答】解：（1）∵菱形、正方形的對角線垂直，∴菱形、正方形都是垂美四邊形．故答案為：③④．（2）證明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）①連接CG、BE，AB與CE交于點O，BG與CE交于點N，如圖2，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AOE＝90°，∴∠ABG+∠AOE＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形；②由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝，AB＝3，∴BC＝＝＝2，CG＝AC＝，BE＝AB＝3，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝＝24，∴GE＝2．【夯實基礎】1．（2022春?海安市月考）如圖1，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解，在四邊形ABCD中，以下是垂美四邊形的是．①平行四邊形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD．（2）性質探究，小美同學猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等”，即，如圖1，在四邊形ABCD中，若AC⊥BD，則AB2+CD2＝AD2+BC2．請判斷小美同學的猜想是否正確，并說明理由．（3）問題解決：如圖2．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC的中點，連接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．【解答】解：（1）∵菱形的對角線互相垂直，∴菱形是垂美四邊形，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC⊥BD，∴當AB＝AD，CB＝CD的四邊形ABCD是垂美四邊形，故答案為：③④；（2）猜想正確，理由如下：∵四邊形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）∵BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC的中點，∴AD＝AC＝2，BE＝BC＝，DE＝AB，∵AE⊥BD，∴AB2+ED2＝AD2+BE2，∴AB2＝4+，∴AB＝．2．（2021?新北區(qū)一模）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：我們已經(jīng)學習了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是．（2）性質探究：如圖2，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究其兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程．（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE交AB于點M，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．【解答】解：（1）∵菱形、正方形的對角線垂直，∴菱形、正方形都是垂美四邊形，故答案為：菱形，正方形；（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由如下：連接AC，BD交于點O，∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）連接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，又∵∠BMC＝∠AME，∴∠ABG+∠BMC＝90°，∴CE⊥BG．∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．3．（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質探究：①如圖1，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關系．寫出你的猜想，并給出證明；②如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；（3）問題解決：如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的長．【解答】解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形．（2）①AD2+BC2＝AB2+CD2；理由：如圖1，連接BD，AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；②四邊形FMAN是矩形，理由：如圖3，連接AF，∵Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，∴AF＝CF＝BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD＝DB、AE＝CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC＝90°，∴∠AMF＝∠MAN＝∠ANF＝90°，∴四邊形AMFN是矩形；（3）如圖4，連接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，∵在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝2，AB＝5，∴，，，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝37，∴．4．（2021春?岳麓區(qū)校級期末）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）判斷：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的有菱形和正方形；（2）如圖2，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給出證明；（3）如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE與BG交于點O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中線OH的長．【解答】解：（1）∵菱形、正方形的對角線垂直，∴菱形、正方形都是垂美四邊形．故答案為：菱形和正方形．（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）連接CG、BE，設AB，CE交于點M，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，∵在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，∴GE＝2，∴OH＝GE＝．5．（2020?科爾沁區(qū)模擬）定義：我們把對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．（1）概念理解：如：圖1，四邊形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質探究：如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的長．【解答】（1）解：四邊形ABCD是垂美四邊形．理由如下：∵BA＝BC，DA＝DC，∴BD垂直平分AC，∴四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）證明：Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，Rt△COB中，OC2+OB2＝CB2，Rt△COD中，OD2+OC2＝DC2，∴AB2+DC2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+CB2．（3）解：如圖3，連接CG、BE，CE與AB相交于點M，∵四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根據(jù)勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分別是正方形ACFG和正方形ABDG的對角線，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．6．（2019春?曾都區(qū)校級期中）【知識感知】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美邊形．（1）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）【性質探究】如圖1，試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．（3）【性質應用】如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝10，求GE長．【解答】解：（1）如圖2，四邊形ABCD是垂美四邊形．證明：連接AC、BD交于點E，∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜想結論：AD2+BC2＝AB2+CD2．如圖2，已知四邊形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如圖3，連接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，∴∠BNC＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝8，AB＝10，∴BC＝6，CG＝8，BE＝10，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（8）2+（10）2﹣62＝292，∴GE＝＝2．7．（2019?蘭州模擬）閱讀理解：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點E．求證：AD2+BC2＝AB2+CD2證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形∴AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．拓展探究：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；問題解決：如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5．求GE長．【解答】解：拓展探究：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形．（2）四邊形FMAN是矩形，理由：如圖3，連接AF，∵Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，∴AF＝CF＝BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD＝DB、AE＝CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC＝90°，∴∠AMF＝∠MAN＝∠ANF＝90°，∴四邊形AMFN是矩形；問題解決：連接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，∵在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．8．（2016秋?通州區(qū)期末）【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．【性質探究】如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；【拓展應用】如圖2，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，分別以AC和AB為直角邊向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△ABE，連接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的長．【解答】解：（1）結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．（或：AD2+BC2＝AB2+CD2．）證明：設AC與BD相交于點E．∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）連接CE，BD相交于點N，CE交AB于點M．∵∠CAD＝∠BAE＝90°，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠DAB＝∠CAE，又∵AB＝AE，AD＝AC，∴△DAB≌△CAE，∴∠ABD＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABD+∠AME＝90°，即CE⊥BD，∴四邊形CDEB是垂美四邊形，由（1）得，CD2+BE2＝CB2+DE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CD＝，BE＝，∴DE2＝CD2+BE2﹣CB2＝73，∴DE＝．9．（2021?南明區(qū)模擬）如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當∠ACB≠90°，點M、N分別是AC、AP中點連接MN．若MN＝2，則S△ABC＝．【解答】解：（1）證明：如圖1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）①方法一：連接PC、AQ交于點D，如圖2，∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，∴∠PBC＝∠ABQ，∴△PBC≌△ABQ（SAS），∴∠BPC＝∠BAQ，又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，∴∠PDA＝90°，∴PC⊥AQ，利用（1）中的結論：AP2+CQ2＝AC2+PQ2即（5）2+（4）2＝32+PQ2；∴PQ＝．②連接PC、AQ交于點D，如圖3，同①可證△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，∵M、N分別是AC、AP中點，∴MN＝PC，∵MN＝2，∴AQ＝PC＝4．延長QB作AE⊥QE，則有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，∵EQ＝4+BE，∴（4+BE）2﹣BE2＝23，解得BE＝，∴S△ABC＝×BC×BE＝＝．方法二：連接PC，AQ，PQ，延長PB使BH＝AB，由①得，△BPC≌△BAQ，∴PC＝AQ＝2MN＝4，PC⊥AQ，∴∠PBM＝∠QBC＝90°，∴∠PBQ+∠ABC＝180°，即∠QBH＝∠CBA，∵BQ＝BC，AB＝PB＝