專題突破03規(guī)律探究題（3種類型）（針對第16171819題）（原卷版）

專題突破03規(guī)律探究題（3種類型）（針對第16，17，18，19題）【安徽十年真題考點(diǎn)及分值細(xì)目表】類型1：數(shù)式規(guī)律探究（2022年18題，2020年17題，2019年18題，2018年年18題，2015年13題，2014年16題）類型2：圖形與等式關(guān)系的規(guī)律探究（2017年19題，2016年18題）類型3：圖形規(guī)律探究（2021年18題，2013年18題）類型1：數(shù)式規(guī)律探究1．（2022?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．2．（2020?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，第2個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，第3個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，第4個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．第5個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．3．（2019?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：＝+，第2個(gè)等式：＝+，第3個(gè)等式：＝+，第4個(gè)等式：＝+，第5個(gè)等式：＝+，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．4．（2018?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：++×＝1，第2個(gè)等式：++×＝1，第3個(gè)等式：++×＝1，第4個(gè)等式：++×＝1，第5個(gè)等式：++×＝1，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．5．（2017?安徽）【閱讀理解】我們知道，1+2+3+…+n＝，那么12+22+32+…+n2結(jié)果等于多少呢？在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2，即22，…；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為，即n2，這樣，該三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+…+n2．【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3（12+22+32+…+n2）＝，因此，12+22+32+…+n2＝．【解決問題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算：的結(jié)果為．6．（2014?安徽）觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：32﹣4×12＝5①52﹣4×22＝9②72﹣4×32＝13③…根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：（1）完成第四個(gè)等式：92﹣4×2＝；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并驗(yàn)證其正確性．7．（2023?瑤海區(qū)二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．8．（2023?太湖縣一模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：2+22＝23﹣2；第2個(gè)等式：2+22+23＝24﹣2；第3個(gè)等式：2+22+23+24＝25﹣2；第4個(gè)等式：2+22+23+24+25＝26﹣2；…請根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題．（1）試寫出第6個(gè)等式：；（2）請證明第4個(gè)等式．9．（2023?黃山一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：42﹣22＝3×4；第2個(gè)等式：62﹣42＝5×4；第3個(gè)等式：82﹣62＝7×4；第4個(gè)等式：102﹣82＝9×4；??????按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．10．（2023?廬陽區(qū)校級一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：32﹣3＝2×1×3，第2個(gè)等式：52﹣5＝2×2×5，第3個(gè)等式：72﹣7＝2×3×7，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）按照此規(guī)律下去，第4個(gè)等式是：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．11．（2023?包河區(qū)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，第5個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．12．（2023?安慶模擬）觀察下列式子：①15×15＝（1×2）×100+25；②25×25＝（2×3）×100+25；③35×35＝（3×4）×100+25；…根據(jù)上述規(guī)律，回答下列問題：（1）請把第4個(gè)式子補(bǔ)充完整：45×45＝；（2）通過以上算式，我們發(fā)現(xiàn)若用（10a+5）來表示個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)，它的平方有一定的規(guī)律，請寫出猜想并證明．13．（2023?蚌山區(qū)校級二模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．類型2：圖形與等式關(guān)系的規(guī)律探究14．（2016?安徽）（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空（2）觀察下圖，根據(jù)（1）中結(jié)論，計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝．15．（2023?長豐縣二模）[觀察思考]用同樣大小的圓形棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形中有6個(gè)棋子，第2個(gè)圖形中有9個(gè)棋子，第3個(gè)圖形中有12個(gè)棋子，第4個(gè)圖形中有15個(gè)棋子，以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）第5個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子．（2）第n個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子．（用含n的代數(shù)式表示）[問題解決]（3）現(xiàn)有2025個(gè)圓形棋子，若將這些棋子按照題中的規(guī)律一次性擺放，且棋子全部用完，則可擺放出第幾個(gè)圖形，請說明理由．16．（2023?合肥模擬）豐艷花卉市場將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個(gè)圖案需要5盆花卉，第2個(gè)圖案需要13盆花卉，第3個(gè)圖案需要25盆花卉，以此類推．??按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）第4個(gè)圖案需要花卉盆；（2）第n個(gè)圖案需要花卉盆（用含n的代數(shù)式表示）；（3）已知豐艷花卉市場春節(jié)期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)．17．（2023?蕪湖模擬）將若干枚黑白棋子按照一定規(guī)律擺放成三角形陣，前5次擺放的情況如圖所示．如果按照此規(guī)律繼續(xù)擺放三角形陣，請解決下列問題：（1）第6個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為，白棋子的個(gè)數(shù)為；（2）第n個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為，白棋子的個(gè)數(shù)為；（用含n的式子表示）（3）當(dāng)擺放到第個(gè)三角形陣時(shí)，該三角形陣中的黑棋子數(shù)第一次比白棋子多．18．（2023?廬江縣二模）觀察下列圖形和其對應(yīng)的等式：根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)圖形對應(yīng)的等式是．（2）第n個(gè)圖形對應(yīng)的等式是（用含n的等式表示），并證明．19．（2023?廬陽區(qū)校級模擬）圖是黎錦上的圖案，每個(gè)圖案都是由相同菱形構(gòu)成的，若按照第1個(gè)圖至第4個(gè)圖中的規(guī)律編織圖案．（1）第5個(gè)圖中有多少個(gè)菱形；（2）第n個(gè)圖中有多少個(gè)菱形（用含n的代數(shù)式表示）．類型3：圖形規(guī)律探究20．（2021?安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．[觀察思考]當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．[問題解決]（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？21．（2013?安徽）我們把正六邊形的頂點(diǎn)及其對稱中心稱作如圖1所示基本圖的特征點(diǎn)，顯然這樣的基本圖共有7個(gè)特征點(diǎn)，將此基本圖不斷復(fù)制并平移，使得相鄰兩個(gè)基本圖的一邊重合