2025屆新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練專題37利用正態(tài)分布三段區(qū)間的概率值估計人數(shù)教師版

專題37利用正態(tài)分布三段區(qū)間的概率值估計人數(shù)一、單選題1．某小區(qū)有1000戶居民，各戶每月的用電量（單位：度）近似聽從正態(tài)分布，則用電量在210度以上的居民戶數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則，，）A．17 B．23 C．90 D．159【答案】D【分析】先求用電量在210度以上的概率，再求用電量在210度以上的居民戶數(shù).【詳解】由題得，，所以，所以，所以用電量在210度以上的居民戶數(shù)為．【點睛】（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的駕馭水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）對于正態(tài)分布曲線的概率的計算，不要死記硬背，要結(jié)合其圖像分析求解.2．某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成果聽從正態(tài)分布，正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則成果位于區(qū)間(51，69]的人數(shù)大約是（）A．997 B．954 C．800 D．683【答案】D【分析】由題圖知，，其中，，∴，從而可求出成果位于區(qū)間的人數(shù).【詳解】由題圖知，，其中，，∴，∴人數(shù)大約為0.6827×1000≈683.故選：D.【點睛】此題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線表示的意義，屬于基礎(chǔ)題.3．在某市2024年1月份的高三質(zhì)量檢測考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布．已知參與本次考試的全市理科學(xué)生約1萬人．某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成果是分，那么他的數(shù)學(xué)成果大約排在全市第多少名？（）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A．1600 B．1700 C．4000 D．8000【答案】A【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)及密度曲線特點求解數(shù)學(xué)成果高于的大致人數(shù)，然后估計他的排名.【詳解】由理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布可知，，，又，故，所以，又全市理科學(xué)生約1萬人，故成果高于分的大致有人，所以他的數(shù)學(xué)成果大約排在全市第名.故選：A.【點睛】本題考查正態(tài)分布及概率計算，較簡潔，只須要依據(jù)正態(tài)分布密度曲線的分布特點及題目所給數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可.4．已知參與2024年某省夏季高考的53萬名考生的成果近似地聽從正態(tài)分布，估計這些考生成果落在的人數(shù)約為（）(附：，則，)A．36014 B．72027 C．108041 D．168222【答案】B【分析】由題可求出，，即可由此求出，進(jìn)而求出成果落在的人數(shù).【詳解】，，，，，這些考生成果落在的人數(shù)約為.故選：B.【點睛】本題考查正態(tài)分布的相關(guān)概率計算，屬于基礎(chǔ)題.5．某地區(qū)有10000名高三學(xué)生參與了網(wǎng)上模擬考試，其中數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)聽從正態(tài)分布，成果在(117,126]之外的人數(shù)估計有（）（附：若聽從，則，）A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人【答案】A【分析】由,可得,進(jìn)而由數(shù)據(jù)及對稱性求得概率,即可求解.【詳解】由題,,,,所以,所以人,故選:A【點睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查由正態(tài)分布的區(qū)間及對稱性求概率.6．設(shè)隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是（）（注：若，則，）A．7539 B．7028 C．6587 D．6038【答案】C【分析】由題意正方形的面積為，再依據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，求得陰影部分的面積，利用面積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案．【詳解】由題意知，正方形的邊長為1，所以正方形的面積為又由隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比的幾何概型可得概率為，所以落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是，故選C．【點睛】本題主要考查了正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，以及面積比的幾何概型的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，精確求得落在陰影部分的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實力，屬于基礎(chǔ)題．7．貴陽市一?？荚囍校承８呷?500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果X近似聽從正態(tài)分布，則該校數(shù)學(xué)成果的及格人數(shù)可估計為（）（成果達(dá)到90分為及格）（參考數(shù)據(jù)：）A．900 B．1020 C．1140 D．1260【答案】D【分析】依據(jù)題意得，從而得到，故，再估計及格人數(shù)即可.【詳解】由題得，，∵，∴，∴，∵，∴該校數(shù)學(xué)成果的及格率可估計為，所以該校及格人數(shù)為（人）.故選：D．【點睛】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.8．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”是一個網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺，給人們供應(yīng)了豐富的學(xué)習(xí)素材．某單位為了激勵職工加強(qiáng)學(xué)習(xí)，組織了200名職工對“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”中的內(nèi)容進(jìn)行了測試，并統(tǒng)計了測試成果（單位：分）．若測試成果聽從正態(tài)分布，且成果在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次測試成果不低于130分的職工人數(shù)大約為（）A．10 B．32 C．34 D．37【答案】B【分析】設(shè)測試成果為，則，先求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)測試成果為，則，又，所以，所以成果不低于130分的職工人數(shù)大約為．故選：B．【點睛】本題主要考查正態(tài)分布中求指定區(qū)間的概率，屬于基礎(chǔ)題型.9．若某單位員工每月網(wǎng)購消費金額（單位：元）近似地聽從正態(tài)分布，現(xiàn)從該單位任選10名員工，記其中每月網(wǎng)購消費金額恰在500元至2000元之間的人數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為（）參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布則，則，，.A．2.718 B．6.827 C．8.186 D．9.545【答案】C【分析】先求恰在500元至2000元之間概率，再求數(shù)學(xué)期望.【詳解】的數(shù)學(xué)期望為故選：C【點睛】本題考查正態(tài)分布及其應(yīng)用，考查基本分析求解實力，屬基礎(chǔ)題.10．若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則，，.已知某校名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成果聽從正態(tài)分布，據(jù)此估計該校本次數(shù)學(xué)考試成果在分以上的學(xué)生人數(shù)約為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，，，結(jié)合原則可得，乘以得答案.【詳解】由題意，，，故，以此，估計該校本次數(shù)學(xué)考試成果在分以上的學(xué)生人數(shù)約為.故選：C.【點睛】本題考查正態(tài)分布中原則的應(yīng)用，考查計算實力，屬于中等題.11．在某市2024年1月份的高三質(zhì)量檢測考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布N(99，100)．已知參與本次考試的全市理科學(xué)生約1萬人．某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成果是109分，那么他的數(shù)學(xué)成果大約排在全市第多少名？（）A．1600 B．1700 C．4000 D．8000【答案】A【分析】依據(jù)理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布N(99，100)，得到，由，求得，即可得結(jié)論.【詳解】因為理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布N(99，100)，所以，所以，因為，所以，即在這次考試中的數(shù)學(xué)成果高于109分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的，，所以他的數(shù)學(xué)成果大約排在全市第名.故選：A【點睛】本題主要考查正態(tài)分布的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實力，屬于基礎(chǔ)題.12．給出下列說法：①“”是“”的充分不必要條件；②命題“，”的否定是“，”；③小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事務(wù)為“4個人去的景點不相同”，事務(wù)為“小趙獨自去一個景點”，則；④設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是6587.（注：若，則，）其中正確說法的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①求出訪的即可推斷；②全稱命題的否定是特稱命題，依據(jù)書寫規(guī)則來推斷；③利用條件概率的計算公式計算即可；④利用正太分布的對稱性計算即可.【詳解】解：①由，故“”是“”的充分不必要條件，①正確；②命題“，”的否定是“，”，②錯誤；③由條件概率的計算公式得，③正確；④由已知落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是，④正確.故選：C.【點睛】本題考查充分性必要性的推斷，考查條件概率的求解，考查正太分布對稱性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.13．某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成果X聽從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示，則成果X位于區(qū)間的人數(shù)大約是（）A．997 B．954 C．683 D．341【答案】C【分析】由題圖知，其中，，所以.從而可求出成果位于區(qū)間的人數(shù).【詳解】由題圖知，其中，，所以.所以人數(shù)為.故選：C【點睛】此題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線表示的意義，屬于基礎(chǔ)題.14．某單位有800名員工，工作之余，工會主動組織員工參與“日行萬步”健身活動.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，得到全體員工近段時間日均健步走步數(shù)（單位：千步）的頻率分布直方圖如圖所示.據(jù)直方圖可以認(rèn)為，該單位員工日均健步走步數(shù)近似聽從正態(tài)分布，計算得其方差為6.25.由此估計，在這段時間內(nèi)，該單位員工中日均健步走步數(shù)在2千步至4.5千步的人數(shù)約為（）附：若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則，，.A．103 B．105 C．107 D．109【答案】D【分析】由頻率分布直方圖估計其均值，可得，乘以800得答案．【詳解】解：由頻率分布直方圖估計其均值，設(shè)日均健步數(shù)為，則，，則，，，，日均健步走步數(shù)在2千步至4.5千步的人數(shù)約為109人，故選：D．【點睛】本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．某高校高三年級理科共有1500人，在第一次模擬考試中，據(jù)統(tǒng)計數(shù)學(xué)成果ξ聽從正態(tài)分布N（100，100），則這次考試年級數(shù)學(xué)成果超過120分的人數(shù)約為（）參考數(shù)據(jù)：若ξ聽從正態(tài)分布N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974A．32人 B．34人 C．39人 D．40人【答案】B【分析】數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布故數(shù)學(xué)成果關(guān)于直線對稱，再結(jié)合，得到超過的概率，即可得到這次考試年級數(shù)學(xué)成果超過分的人數(shù).【詳解】依據(jù)題意，數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布，所以.本次考試共有人，所以估計數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)超過的人數(shù)為：人.故選：.【點睛】本題主要考查的是正態(tài)分布，解答此類題關(guān)鍵在于將待求的問題向這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)的概率，考查的是劃歸及數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.16．某校高三年級有1000名學(xué)生，其中理科班學(xué)生占80%，全體理科班學(xué)生參與一次考試，考試成果近似地聽從正態(tài)分布N（72，36），若考試成果不低于60分為及格，則此次考試成果及格的人數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974）A．778 B．780 C．782 D．784【答案】C【分析】依題意，參與考試的人數(shù)為800人，考試成果近似地聽從正態(tài)分布N（72，36），依據(jù)依據(jù)3σ原則，以及正態(tài)分布的特點進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意，參與考試的人數(shù)為800人，考試成果近似地聽從正態(tài)分布N（72，36），所以μ＝72，σ＝6，依據(jù)3σ原則，P（Z≥60）=1﹣[1﹣P（72﹣2×6≤Z＜72+2×6）]＝0.9772，所以此次考試成果及格的人數(shù)約為800×0.9772≈782．故選：C【點睛】本題考查了正態(tài)分布，主要考查了正態(tài)曲線的對稱性以及3σ原則，本題屬于基礎(chǔ)題．17．本次高三數(shù)學(xué)考試有1萬人次參與，成果聽從正態(tài)分布，平均成果為118分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，則分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．6667人 B．6827人 C．9545人 D．9973人【答案】C【分析】正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱，位于的概率為，依據(jù)概率乘以總體得到結(jié)果.【詳解】因為數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布，所以數(shù)學(xué)成果關(guān)于對稱，因為，所以分?jǐn)?shù)落在內(nèi)的人數(shù)為人，故選：C.【點睛】該題考查的是有關(guān)正態(tài)分布的問題，涉及到的學(xué)問點有正態(tài)總體概率密度曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題目.18．已知聽從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在區(qū)間、和內(nèi)取值的概率分別為、、和.某企業(yè)為名員工定制工作服，設(shè)員工的身高（單位：）聽從正態(tài)分布，則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制（）A．套 B．套 C．套 D．套【答案】B【分析】由可得，，則恰為區(qū)間，利用總?cè)藬?shù)乘以概率即可得到結(jié)果.【詳解】由得：，，，又適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制：套本題正確選項：【點睛】本題考查利用正態(tài)分布進(jìn)行估計的問題，屬于基礎(chǔ)題.19．某學(xué)校高三模擬考試中數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布，考生共有1000人，估計數(shù)學(xué)成果在75分到86分之間的人數(shù)約為（）人．參考數(shù)據(jù)：，）A．261 B．341 C．477 D．683【答案】B【解析】分析：正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱，位于之間的概率是0.6826，依據(jù)概率求出位于這個范圍中的個數(shù)，依據(jù)對稱性除以2得到要求的結(jié)果．詳解：正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱，位于之間的概率是，則估計數(shù)學(xué)成果在75分到86分之間的人數(shù)約為人.故選B.點睛：題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成果關(guān)對稱，利用對稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解．二、解答題20．已知某校共有1000名學(xué)生參與體能達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成果，將他們的測試成果(滿分：100分)分為6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下頻數(shù)分布表.成果/分[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)101520301510（1）求這100名學(xué)生的體能測試平均成果(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).（2）在這100名學(xué)生中，規(guī)定：測試成果不低于80分為“優(yōu)秀”，成果低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并推斷是否有99.9%的把握認(rèn)為體能測試成果是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？優(yōu)秀非優(yōu)秀總計男生30女生50總計（3）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為該校全體學(xué)生的體能測試成果X近似聽從正態(tài)分布N(μ，14.312)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，則這1000名學(xué)生中體能測試成果不低于84.81分的估計有多少人？參考公式及數(shù)據(jù)：X~N(μ，σ2)，P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X<μ+2σ)≈0.9545；，其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）；（2）列聯(lián)表答案見解析，有99.9%的把握認(rèn)為體能測試成果是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（3）159人.【分析】（1）用各組區(qū)間的中點值乘以該組的頻率再相加可得結(jié)果；（2）依據(jù)頻數(shù)分布表可得完整的2×2列聯(lián)表，計算出觀測值，結(jié)合臨界值表可得結(jié)果；（3）依據(jù)P(μ-σ≤X<μ+σ)=P(56.19≤X<84.81)≈0.6827，可求得.【詳解】（1）由題意得這100名學(xué)生的體能測試平均成果為.（2）在抽取的100名學(xué)生中，測試成果優(yōu)秀的有25人，由此可得完整的2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計男生203050女生54550總計2575100K2的觀測值，故有99.9%的把握認(rèn)為體能測試成果是否優(yōu)秀與性別有關(guān).（3）依題意，X聽從正態(tài)分布N(70.5，14.312)，因為P(μ-σ≤X<μ+σ)=P(56.19≤X<84.81)≈0.6827，所以，所以這1000人中體能測試成果不低于84.81分的人數(shù)估計為0.15865×1000≈159人.【點睛】本題考查了依據(jù)頻數(shù)分布表求平均值，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，考查了正態(tài)分布，屬于中檔題.21．某省2015年全省中學(xué)男生身高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名男生的身高聽從正態(tài)分布．現(xiàn)從某校高三年級男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，測量發(fā)覺被測學(xué)生身高全部介于和之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組，其次組，，第6組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）試評估我校高三年級男生在全省中學(xué)男生中的平均身高狀況；（2）求這50名男生身高在以上（）的人數(shù)；（3）在這50名男生身高在以上（含）的人中隨意抽取2人，該2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望．（參考數(shù)據(jù)：若，，，．）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估計平均數(shù)；(2)由；（3）先求得人中以上人數(shù)，然后令取，可得其概率，最終得到期望.試題解析：（1）由直方圖，經(jīng)過計算我校高三年級男生平均身高為高于全省的平均值．（2）由頻率分布直方圖知，后兩組頻率為，人數(shù)為，即這50名男生身高在以上(含)的人數(shù)為10人．（3），，．所以，全省前130名的身高在以上，這50人中以上的有5人．隨機(jī)變量可取，于是，，．考點：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征、頻率分布直方圖、數(shù)學(xué)期望.22．為了解學(xué)生課余學(xué)習(xí)時間的多少是否與成果好壞有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取某校高三年級30名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表（以平均每天課余學(xué)習(xí)時間是否達(dá)到4小時，最近一次月考總成果是否在年級前100名（含）為標(biāo)準(zhǔn)）：4小時以上不足4小時合計前100名（含）2100名以后18合計30已知在這30人中隨機(jī)抽取1人，抽到最近一次月考總成果在前100名的學(xué)生的概率為.（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并據(jù)此推斷是否有％的把握認(rèn)為課余學(xué)習(xí)時間達(dá)到4小時和成果在年級前100名有關(guān)？說明你的理由；（2）通過統(tǒng)計發(fā)覺，這30位同學(xué)最近一次月考數(shù)學(xué)成果（分）近似聽從正態(tài)分布，若這30位同學(xué)所在的高三年級有800人，試以這30人的成果分布狀況估計高三年級最近一次月考數(shù)學(xué)成果在130分及以上的也許有多少人？（最終結(jié)果小數(shù)部分四舍五入成整數(shù)）參考公式：，其中，，.【答案】（1）答案見解析，有，答案見解析；（2）127人.【分析】（1）依據(jù)抽到最近一次月考總成果在前100名的學(xué)生的概率為，設(shè)這30人中有人在前100名，由，解得，完成列聯(lián)表，然后利用，求得，與臨界表比照下結(jié)論.（2）依據(jù)數(shù)學(xué)成果（分）近似聽從正態(tài)分布，則由由題可知求解.【詳解】（1）設(shè)這30人中有人在前100名，則由題可得：，解得，故聯(lián)表補(bǔ)充如下：4小時以上不足4小時合計前100名（含）628100名以后41822合計102030所以，故有％的把握認(rèn)為課余學(xué)習(xí)時間達(dá)到4小時和總成果在年級前100名有關(guān).（2）由題可知故高三年級800人中超過130的大約有（人）.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗和正態(tài)分布的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實力，屬于中檔題.23．振華大型電子廠為了解每位工人每天制造某種電子產(chǎn)品的件數(shù)，記錄了某天全部工人每人的制造件數(shù)，并對其進(jìn)行了簡潔隨機(jī)抽樣統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下：制造電子產(chǎn)品的件數(shù)工人數(shù)131141（1）若去掉內(nèi)的全部數(shù)據(jù)，則件數(shù)的平均數(shù)削減2到3（即大于等于2，且小于3），試求樣本中制造電子產(chǎn)品的件數(shù)在的人數(shù)的取值范圍；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)用該組區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值作代表）（2）若電子廠共有工人1500人，且每位工人制造電子產(chǎn)品的件數(shù)，試估計制造電子產(chǎn)品件數(shù)小于等于48件的工人的人數(shù)．附：若，則，．【答案】（1），；（2）30．【分析】（1）先設(shè)樣本中全部制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，再設(shè)樣本中去掉內(nèi)的全部數(shù)據(jù)后制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，由題可得，進(jìn)而列出滿意題意的不等式求解即可；（2）依據(jù)正態(tài)分布的概率計算公式計算即可得解.【詳解】（1）設(shè)樣本中全部制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，則，設(shè)樣本中去掉內(nèi)的全部數(shù)據(jù)后制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，則，依題可得，即，解得，，所以件數(shù)在的人數(shù)的取值范圍為，；（2）因為，所以，，所以，，因為，所以所以，所以估計1500人中每天制造產(chǎn)品件數(shù)小于等于50的人數(shù)為．【點睛】本題考查平均數(shù)的應(yīng)用，考查正態(tài)分布概率的計算問題，考查邏輯思維實力和計算實力，屬于?？碱}.24．十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧.某縣主動引導(dǎo)農(nóng)夫種植一種珍貴中藥材，從而大大提升了該縣農(nóng)夫經(jīng)濟(jì)收入.2024年年底，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該縣種植這種珍貴中藥材的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取了100戶，統(tǒng)計了他們2024年種植中藥材所獲純利潤（單位：萬元）的狀況，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：分組頻數(shù)1015452010（1）該縣農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤（單位：萬元）近似地聽從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值），近似為樣本方差.若該縣有1萬戶農(nóng)戶種植了該中藥材，試估算所獲純利潤在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)；（2）為答謝廣闊農(nóng)戶的主動參與，該調(diào)查機(jī)構(gòu)針對參與調(diào)查的農(nóng)戶實行了抽獎活動，抽獎規(guī)則如下：在一箱子中放置5個除顏色外完全相同的小球，其中紅球1個，黑球4個.讓農(nóng)戶從箱子中隨機(jī)取出一個小球，若取到紅球，則停止取球；若取到黑球，則將黑球放回箱中，接著取球，但取球次數(shù)不超過10次.若農(nóng)戶取到紅球，則中獎，獲得2000元的嘉獎，若未取到紅球，則不中獎.現(xiàn)農(nóng)戶張明參與了抽獎活動，記他取球的次數(shù)為隨機(jī)變量.①求張明恰好取球4次的概率；②求的數(shù)學(xué)期望.（精確到0.001）參考數(shù)據(jù)：，.若隨機(jī)變量，則，.【答案】（1）8186；（2）①，②.【分析】（1）先求樣本平均數(shù)，再推斷，接著求，最終求落在區(qū)間的戶數(shù)；（2）①先確定每次取球都恰有的概率取到紅球，再求；②先求概率當(dāng)時，，，再求的數(shù)學(xué)期望，最終用錯位相減法求和化簡求出答案.【詳解】解：（1）由題意知：中間值246810概率0.10.150.450.20.1所以樣本平均數(shù)（元），所以，所以，而.故1萬戶農(nóng)戶中，落在區(qū)間的戶數(shù)約為.（2）①每次取球都恰有的概率取到紅球.則有，故張明取球恰好4次的概率為.②由①可知，當(dāng)時，，.故的數(shù)學(xué)期望為設(shè)，則，兩式作差得，∴【點睛】本題考查正態(tài)分布、利用二項分布求數(shù)學(xué)期望、錯位相減法求和，是中檔題.25．某高校為了了解數(shù)學(xué)專業(yè)探討生招生的狀況，對近五年的報考人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份2015201620172024202412345報考人數(shù)3060100140170（1）經(jīng)分析，與存在顯著的線性相關(guān)性，求關(guān)于的線性回來方程并預(yù)料2024年（按計算）的報考人數(shù)；（2）每年報考該專業(yè)探討生的考試成果大致符合正態(tài)分布，依據(jù)往年統(tǒng)計數(shù)據(jù)，，錄用方案：總分在400分以上的干脆錄用，總分在之間的進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，錄用其中的80%，低于385分的不予錄用，請預(yù)料2024年該專業(yè)錄用的大約人數(shù)（最終結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）．參考公式和數(shù)據(jù)：，，．若隨機(jī)變量，則，，．【答案】（1）；208人；（2）90.【分析】（1）由已知表格中的數(shù)據(jù)求得與的值，則線性回來方程可求，取求得值即可；（2）探討生的考試成果大致符合正態(tài)分布，，求出，乘以208可得干脆錄用人數(shù)，再求出，之間的錄用人數(shù)，則答案可求．【詳解】解：（1）可求：，由，∴關(guān)于的線性回來方程是．當(dāng)2024年即時，人即2024年的報考人數(shù)大約為208人（2）探討生的考試成果大致符合正態(tài)分布，則400=385+15，，干脆錄用人數(shù)為人之間的錄用人數(shù)為所以2024年該專業(yè)錄用的大約為33+57=90人【點睛】本題考查線性回來方程的求法，考查正態(tài)分布曲線的特點及所表示的意義，考查運(yùn)算求解實力，屬于中檔題．26．隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)計步軟件快速流行開來，這類軟件能自動記載每日健步走的步數(shù)，從而為科學(xué)健身供應(yīng)了肯定幫助.某企業(yè)為了解員工每日健步走的狀況，從該企業(yè)正常上班的員工中隨機(jī)抽取300名，統(tǒng)計他們的每日健步走的步數(shù)(均不低于4千步，不超過20千步).按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這300名員工日行步數(shù)(單位：千步)的樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表，結(jié)果保留整數(shù))；（2）由直方圖可以認(rèn)為該企業(yè)員工的日行步數(shù)(單位：千步)聽從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為2，依據(jù)該正態(tài)分布估計該企業(yè)被抽取的300名員工中日行步數(shù)的人數(shù)；（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率.若工會從該企業(yè)員工中隨機(jī)抽取2人作為“日行萬步”活動的慰問嘉獎對象，規(guī)定：日行步數(shù)不超過8千步者為“不健康生活方式者”，賜予精神激勵，嘉獎金額為每人0元；日行步數(shù)為8~14千步者為“一般生活方式者”，嘉獎金額為每人100元；日行步數(shù)為14千步以上者為“超健康生活方式者”，嘉獎金額為每人200元.求工會慰問嘉獎金額(單位：元)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1）(千步)；（2）人；（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望(元).【分析】（1）以每組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值乘以相應(yīng)頻率相加即得均值；（2）由，由得概率，從而可得人數(shù)．（3）由頻率分布直方圖求得每人獲得獎金額為0元、100元、200元的概率，的取值為0，100，200，300，400，計算出概率后可得概率分布列，由期望公式可計算期望．【詳解】（1）由題意有(千步).（2）由，由（1）得，所以.所以300名員工中日行步數(shù)的人數(shù)：.（3）由頻率分布直方圖可知：每人獲得獎金額為0元的概率為：.每人獲得獎金額為100元的概率為：.每人獲得獎金額為200元的概率為：0.1.的取值為0，100，200，300，400.，，，，.所以的分布列為：01002003004000.00040.03520.77840.1760.01(元)．【點睛】本題考查由頻率分布直方圖求均值，考查正態(tài)分布的應(yīng)用，考查隨機(jī)變量的概率分布率和數(shù)學(xué)期望，旨在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實力，運(yùn)算求解實力，屬于中檔題．27．某次歌手大賽設(shè)有專業(yè)評委組和業(yè)余評委組兩個評委組，每組人.每首參賽歌曲都須要位評委打分（滿分為分，且各評委打分相互獨立）.從專業(yè)評委組的個分?jǐn)?shù)中去掉一個最高分，去掉一個最低分，可求出剩余個有效得分的平均分，依據(jù)同樣的方法可得到業(yè)余評委組打分的平均分.參賽選手該歌曲的最終得分為.在該競賽中，對某選手在初賽中參賽歌曲的得分進(jìn)行整理，得到如下莖葉圖.（1）計算、兩小組各自有效得分的均值、及標(biāo)準(zhǔn)差、；（2）①專業(yè)評委組由于其專業(yè)性，有效打分通常比較集中；業(yè)余評委組由于水平不一，有效打分通常比較分散.利用（1）的計算結(jié)果推斷、兩個小組中的哪一個更有可能是專業(yè)評委組？請說明理由；②在①的推斷下，計算此選手初賽歌曲的最終得分；（3）若（2）的推斷正確，且該選手勝利進(jìn)入復(fù)賽，復(fù)賽中位評委所打分?jǐn)?shù)大致聽從正態(tài)分布，試估計位評委中，打分在分以上的人數(shù).參考數(shù)據(jù)：①組名評委打分總和為，組名評委打分總和為；；；②若，則，，.【答案】（1），，，；（2）①組更有可能是業(yè)評委組，理由見解析；②；（3）大約為人.【分析】（1）依據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)公式可求得、，并結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式可求得、；（2）①比較、的大小，進(jìn)而可得出結(jié)論；②依據(jù)題中公式可求得的值；（3）計算出正態(tài)分布的均值，標(biāo)準(zhǔn)差，利用原則求得，再乘以可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，，，；（2）①因為，因此組更有可能是業(yè)評委組；②；（3）由（1）（2）可知，正態(tài)分布的參數(shù)，.設(shè)某評委打出的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，則，故.，于是估計位評委中，打分在分以上的人數(shù)大約為人.【點睛】本題考查平均數(shù)與方差的計算，同時也考查了利用正態(tài)分布原則進(jìn)行計算，考查計算實力，屬于中等題.28．湖北七市州高三5月23日聯(lián)考后，從全體考生中隨機(jī)抽取44名，獲得他們本次考試的數(shù)學(xué)成果和物理成果，繪制成如圖散點圖：依據(jù)散點圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個異樣點．經(jīng)調(diào)查得知，考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，考生因故未能參與物理考試．為了使分析結(jié)果更科學(xué)精確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計的值：其中，分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果、物理成果，，2，…，42，與的相關(guān)系數(shù)．（1）若不剔除兩名考生的數(shù)據(jù)，用44組數(shù)據(jù)作回來分析，設(shè)此時與的相關(guān)系數(shù)為．試推斷與的大小關(guān)系，并說明理由；（2）求關(guān)于的線性回來方程，并估計假如考生參與了這次物理考試（已知考生的數(shù)學(xué)成果為125分），物理成果是多少？（3）從概率統(tǒng)計規(guī)律看，本次考試七市州的物理成果聽從正態(tài)分布，以剔除后的物理成果作為樣本，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本方差作為的估計值．試求七市州共50000名考生中，物理成果位于區(qū)間（62.8，85.2）的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．附：①回來方程中：②若，則③【答案】（1），理由詳見解析；（2），81分；（3）34135．【分析】（1）依據(jù)正相關(guān)關(guān)系可推斷，理由可從偏差大小與相關(guān)系數(shù)大小關(guān)系分析；（2）先計算均值，再代入公式求，即得線性回來方程，最終令，求出值即為估計值；（3）先確定區(qū)間（62.8，85.2）為，即可得對應(yīng)概率，再依據(jù)二項分布公式可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】【解】（1）．理由如下（任寫一條或幾條即可）：由圖可知，與成正相關(guān)關(guān)系，①異樣點會降低變量之間的線性相關(guān)程度．②44個數(shù)據(jù)點與其回來直線的總偏差更大，回來效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更?。?2個數(shù)據(jù)點與其回來直線的總偏差更小，回來效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大．④42個數(shù)據(jù)點更貼近其回來直線．⑤44個數(shù)據(jù)點與其回來直線更離散（2）由題中數(shù)據(jù)可得：，所以又因為，所以，，所以，將代入，得，所以估計同學(xué)的物理成果為81（3），所以，又因為所以因為，所以，即物理成果位于區(qū)間（62.8，85.2）的的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為34135．【點睛】本題考查相關(guān)系數(shù)、線性回來方程、利用線性回來方程估計、利用正態(tài)分布求特定區(qū)間概率、利用二項分布求數(shù)學(xué)期望，考查綜合分析求解實力，屬中檔題.29．為響應(yīng)德智體美勞的教化方針，唐徠回中高一年級實行了由全體學(xué)生參與的一分鐘跳繩競賽，計分規(guī)則如下：每分鐘跳繩個數(shù)185以上得分1617181920年級組為了了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計了他的跳繩個數(shù)，并繪制了如下樣本頻率直方圖：（1）現(xiàn)從這100名學(xué)生中，隨意抽取2人，求兩人得分之和小于35分的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）；（2）若該校高二年級2000名學(xué)生，全部學(xué)生的一分鐘跳繩個數(shù)近似聽從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值為代表）．利用所得到的正態(tài)分布模型解決以下問題：①估計每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)（四舍五入到整數(shù)）②若在全年級全部學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記每分鐘跳繩在179個以上的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．（若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布則，，）【答案】(1)；(2)①；②的分布列為：0123【分析】(1)先分析可得有四種大的狀況,再依據(jù)排列組合的方法求概率即可.(2)①依據(jù)正態(tài)分布的特點求解的概率再利用總?cè)藬?shù)求解即可.②易得滿意二項分布,再依據(jù)二項分布的公式計算分布列與數(shù)學(xué)期望和方差即可.【詳解】(1)設(shè)“兩人得分之和小于35分”為事務(wù),則事務(wù)包括以下四種狀況：①兩人得分均為16分；②一人得分16,一人得分17；③一人得分16,一人得分18；④兩人均得17分.由頻率分布直方圖可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人.則由古典概型的概率計算公式可得.故兩人得分之和小于35分的概率為(2)由頻率分布直方圖可得樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為：,又由,得標(biāo)準(zhǔn)差,所以高二年級全體學(xué)生的跳繩個數(shù)近似聽從正態(tài)分布.①因為,故.故估計每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)為②由正態(tài)分布可得,全年級任取一人,其每分鐘跳繩個數(shù)在179以上的概率為.所以,全部可能的取值為.所以,,.故的分布列為：0123【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖以及排列組合的運(yùn)用,同時也考查了正態(tài)分布與二項分布的特點以及計算,須要依據(jù)題意分析正態(tài)分布中標(biāo)準(zhǔn)差的運(yùn)用以及概率的求解.屬于中檔題.30．某網(wǎng)購平臺為幫助某貧困縣脫貧致富，主動組織該縣農(nóng)夫制作當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)——臘排骨，并通過該網(wǎng)購平臺銷售，從而大大提升了該縣農(nóng)夫的經(jīng)濟(jì)收入.年年底，某單位從通過該網(wǎng)購平臺銷售臘排骨的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取了戶，統(tǒng)計了他們年因制作銷售臘排骨所獲純利潤（單位：萬元）的狀況，并分成以下五組：、、、、，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：所獲純利潤（單位：萬元）農(nóng)戶戶數(shù)（1）據(jù)統(tǒng)計分析可以認(rèn)為，該縣農(nóng)戶在該網(wǎng)購平臺上銷售臘排骨所獲純利潤（單位：萬元）近似地聽從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.若該縣有萬戶農(nóng)戶在該網(wǎng)購平臺上銷售臘排骨，試估算所獲純利潤在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù).（每區(qū)間數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中間值表示）（2）為答謝該縣農(nóng)戶的主動參與，該網(wǎng)購平臺針對參與調(diào)查的農(nóng)戶實行了抽獎活動，每人最多有次抽獎機(jī)會，每次抽獎的中獎率均為.每一次抽獎，若中獎，則可接著進(jìn)行下一次抽獎，若未中獎，則活動結(jié)束，每次中獎的獎金都為元.求參與調(diào)查的某農(nóng)戶所獲獎金的數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則，.【答案】（1）；（2）元.【分析】（1）將頻率分布表中每組的中點值乘以對應(yīng)組的頻率，將所得結(jié)果全部相加可得出，結(jié)合可得出，，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可計算出的值，再乘以可得結(jié)果；（2）設(shè)中獎次數(shù)為，則的可能取值為、、、、、，則，由此利用錯位相減法可計算得出的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意知：中間值頻率樣本的平均數(shù)為，所以，所以，而.故萬戶農(nóng)戶中，落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)約為；（2）設(shè)中獎次數(shù)為，則的可能取值為、、、、、，則，所以.令，①，②由①②得：，，所以（元）.所以參與調(diào)查的某農(nóng)戶所獲獎金的數(shù)學(xué)期望為元.【點睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間概率的計算，同時也考查了隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算，考查了錯位相減求和法的應(yīng)用，考查計算實力，屬于中等題.31．十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧.某縣主動引導(dǎo)農(nóng)夫種植一種珍貴中藥材，從而大大提升了該縣村民的經(jīng)濟(jì)收入.2024年年底，該機(jī)構(gòu)從該縣種植的這種珍貴藥材的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取了100戶，統(tǒng)計了他們2024年因種植，中藥材所獲純利潤(單位：萬元)的狀況(假定農(nóng)戶因種植中藥材這一項一年最多獲利11萬元)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：（1）由表可以認(rèn)為，該縣農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤Z(單位：萬元)近似地聽從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值)，近似為樣本方差.若該縣有1萬戶農(nóng)戶種植了該中藥材，試估算所獲純利潤Z在區(qū)間(1.9，8.2)的戶數(shù)；（2）為答謝廣闊農(nóng)戶的主動參與，該調(diào)查機(jī)構(gòu)針對參與調(diào)查的農(nóng)戶實行了抽獎活動，抽獎規(guī)則如下：在一箱子中放置5個除顏色外完全相同的小球，其中紅球1個，黑球4個.讓農(nóng)戶從箱子中隨機(jī)取出一個小球，若取到紅球，則抽獎結(jié)束；若取到黑球，則將黑球放回箱中，讓他接著取球，直到取到紅球為止(取球次數(shù)不超過10次).若農(nóng)戶取到紅球，則視為中獎，獲得2000元的嘉獎，若始終未取到紅球，則視為不中獎.現(xiàn)農(nóng)戶張明參與了抽獎活動，記他中獎時取球的次數(shù)為隨機(jī)變量X，他取球的次數(shù)為隨機(jī)變量Y.①證明：為等比數(shù)列；②求Y的數(shù)學(xué)期望.(精確到0.001)參考數(shù)據(jù)：.若隨機(jī)變量則.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②..【分析】(1)依據(jù)題意求出樣本平均數(shù)即可得出即,則可依據(jù),求出其所獲純利潤Z在區(qū)間(1.9，8.2)的戶數(shù)；(2)①因為每次取球都恰有的概率取到紅球,即，則可證明之.②依據(jù)①所求的,依據(jù)當(dāng)時,,代入,再利用錯位相減求出其值即可.【詳解】（1）由題意知：所以樣本平均數(shù)為（萬元），所以，所以，而.故1萬戶農(nóng)戶中，Z落在區(qū)間的戶數(shù)約為.（2）①每次取球都恰有的概率取到紅球.則有，，故為以為首項為公比的等比數(shù)列.②由①可知，當(dāng)時,,.故Y的數(shù)學(xué)期望為設(shè)，則，兩式作差得,.【點睛】本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,屬于中檔題.解題時需仔細(xì)審題,結(jié)合題中所給數(shù)據(jù),拿出答案.32．某市為了增加民眾防控病毒的意識，實行了“預(yù)防新冠病毒學(xué)問競賽”網(wǎng)上答題，隨機(jī)抽取人，答題成果統(tǒng)計如圖所示.（1）由直方圖可認(rèn)為答題者的成果聽從正態(tài)分布，其中，分別為答題者的平均成果和成果的方差，那么這名答題者成果超過分的人數(shù)估計有多少人？（同一組中的數(shù)