高中數(shù)學導數(shù)學習的重難點專題07 導數(shù)中的同構問題(解析版)

專題07導數(shù)中的同構問題在學習指對數(shù)的運算時，曾經提到過兩個這樣的恒等式：(1)當a＞0且a≠1時，有，(2)當a＞0且a≠1時，有再結合指數(shù)與對數(shù)運算法則，可以得到下述結論(其中x＞0)(“ex”三兄弟與“l(fā)nx”三姐妹)(3)，(4)，(6)，再結合常用的切線不等式：，，，等，可以得到更多的結論(7)，．，．(8)，，(9)，，1．已知不等式最小值為（）B.C.D.【解析】，只需考慮其為負數(shù)的情況，，，令故2．已知對任意給定的的取值范圍為：．【解析】顯然成立，顯然.3．若對任意，恒有，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由題意可知，不等式變形為.設，則.當時，即在上單調遞減.當時，即在上單調遞增.則在上有且只有一個極值點，該極值點就是的最小值點.所以，即在上單調遞增.若使得對任意，恒有成立.則需對任意，恒有成立.即對任意，恒有成立，則在恒成立.設則.當時，，函數(shù)在上單調遞增當時，，函數(shù)在上單調遞減則在上有且只有一個極值點，該極值點就是的最大值點.所以，即，則實數(shù)的最小值為.故選：D4．若關于x的不等式恒成立，則a的取值范圍是______．【解析】整理為：，其中，故，令，則，，注意到：，其中，當時，令，解得：，令，解得：，則，滿足題意；當時，令得：，令得：，則在上單調遞增，在上單調遞減，且，，所以當時，，不合題意，舍去；故不滿足題意，舍去；當時，令得：，令得：，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，，所以當時，，不合題意，舍去；當時，，故不合題意，舍去.綜上：a的取值范圍是.5．已知，對任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.【解析】∵對于任意，，不等式恒成立∴對于任意，，即恒成立當時，；當，，設，則，所以在上單調遞增，由，知，即，即設，，求導，令，得當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；∴在處取得極大值，且為最大值，所以時，不等式恒成立，故答案為：6．若關于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__________．【解析】若，時，，，∴，此時不恒成立，∴，，令，，時，，，，在單調遞減，單調遞增，∴，，時，，，原不等式恒成立；時，，令，，，時，，時，，在單調遞減，在單調遞增，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案為：.7．已知函數(shù)，若，求的取值范圍.【解析】將按照左右結構相同、變量移至一邊的原則進行變形：由移項得：即，兩邊同時加（）得即，設，則，所以單增所以，即設，則，所以在單減，在單增，所以，所以.8．對于任意實數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】解法一：將變形為，（說明：將參數(shù)移至一邊）兩邊同時乘x得（說明：目的是湊右邊的結構）即（說明：目的是湊左右兩邊的結構相同）（#）設，則，單增故由（#）得，再令，則，易知當所以，即.解法二：將變形為，即，設，易知單增故（以下同解法一，從略）.9．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)設函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)的定義域為，．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為．(2)要使函數(shù)有兩個零點，即有兩個實根，即有兩個實根．即．整理為，設函數(shù)，則上式為，因為恒成立，所以單調遞增，所以．所以只需使有兩個根，設．由（1）可知，函數(shù)）的單調遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為，故函數(shù)在處取得極大值，．當時，；當時，，要想有兩個根，只需，解得：．所以a的取值范圍是．10．已知，，．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)當時，求證：．【解析】(1)，當時，，即在上單調遞減，故函數(shù)不存在極值；當時，令，得，x+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)故，無極小值.綜上，當時，函數(shù)不存在極值；當時，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．(2)顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．令，故只須證：．設，則，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，即，所以，從而有．故，即．11．已知(1)當時，求的單調性；(2)討論的零點個數(shù)．【解析】(1)因為，，所以，令，，所以在單增，且，當時，當時，所以當時，當時，所以在單調遞減，在單調遞增(2)解：因為令，易知在上單調遞增，且，故的零點轉化為即，，設，則，當時，無零點；當時，，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個零點；當時，若，則；，則；故，若，則，故在上有且只有一個零點；若，則，故在上無零點；若，則，此時，而，，設，，則，故在上為增函數(shù)，故即，故此時在上有且只有兩個不同的零點；綜上：當時，0個零點；當或時，1個零點；時，2個零點；12．已知函數(shù)(1)請討論函數(shù)的單調性(2)當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】(1)當時，在上遞增當時，在，單調遞減在上，單調遞增(2)原式等價于，設，由（1）當時，為增函數(shù)，，∴等式等價于恒成立，時，成立，時，，設，，，設，所以在上為增函數(shù)，又因為，所以在上，，，為減函數(shù)，在上，，，為增函數(shù)，，．13．已知函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使對恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1)因為，所以，即.當時，，令，則，所以在單調遞增，因為，所以，當時，，；當時，，，所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.(2)設，，易知在單調遞增.又當時，，所以的值域為；當時，的值域為.所以的值域為.故對于上任意一個值，都有唯一的一個正數(shù)，使得.因為，即.設，，所以要使，只需.當時，因為，即，所以不符合題意.當時，當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增.所以.設，，則，當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞減.所以，所以，，當且僅當時，等號成立.又因為，所以，所以.綜上，存在a符合題意，.14．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若，求證：函數(shù)有兩個零點，且.【解析】(1)定義域為，，當時，，在上單調遞增；當時，由得，當時，單調遞減，當時，單調遞增；綜上：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；(2)當時，因為，所以，無零點.當時，由，得，即，設，則有，因為在上成立，所以在上單調遞減，當時，，所以等價于，即，所以的零點與在上的零點相同.若，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，所以在和上各有一個零點，即在上有兩個零點，綜上有兩個零點.不妨設，則，相減得，設，則，代入上式，解得，所以，因為，所以，因此要證，只需證，即證，設，則，所以在遞增，，即，因為，所以可化成，又因為，所以.15．已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間：(2)若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當時設，則即在遞減，在遞增，當，當而當所以當遞減；遞增.故函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)，令在遞增，而，，使，即當時，在遞減，當時，在遞增因為可變形為又在遞增，由（**）可得故取值范圍為16．已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)設，當時，（是函數(shù)的導數(shù)），求a的取值范圍．【解析】(1)，令，得或，當或時，，當時，，所以函數(shù)在（0，1）上單調遞增，在（1，e）上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為．(2)，，即，即，設，設，，當時，，當時，，所以函數(shù)在（0，1）上單調遞減，在上單調遞增，，即，則函數(shù)在上單調遞增，則由，得在上恒成立，即在上恒成立．設，，當時，，當時，，所以函數(shù)在（0，e）上單調遞增，在上單調遞減，所以，故．17．已知，若對任意，不等式恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍．【解析】由題意，恒成立，即恒成立，所以恒成立，構造函數(shù)，易知在R上單增，所以恒成立，即，令，，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，所以，所以，解得，所以正實數(shù)a的取值范圍.18．已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間；(2)證明：當時，.【解析】(1)∵，∴，設，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，又，，∴當或時，，即單調遞增，當時，，即單調遞減，綜上，的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；(2)∵，，要證，即證，也就是證，設，則，∴當時，單調遞增，∴，由（1）可知當時，，即，∴當時，，所以，當時，.19．已知函數(shù)．(1)討論f(x)的單調性．(2)若a＝0，證明：對任意的x>1，都有．【解析】(1)由題意可得．當時，恒成立，則在上單調遞增；當時，由