量子力學(xué)03近獨立粒子的最概然分布特點分析

第三章近獨立粒子的最概然分布§3.1粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述1.粒子的狀態(tài)描述粒子是指組成物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。粒子的狀態(tài)是指它的力學(xué)運動狀態(tài)。如果粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運動規(guī)律，對粒子運動狀態(tài)的描述稱為經(jīng)典描述。如果粒子遵從量子力學(xué)的運動規(guī)律，對粒子運動狀態(tài)的描述稱為量子描述。一、自由粒子自由度：3能量:μ空間(q1,q2,q3,p1,p2,p3),維數(shù)：6

μ空間中任何一點代表力學(xué)體系中一個粒子的一個運動狀態(tài)，這個點稱為代表點。當粒子運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應(yīng)地在μ空間中移動，描畫出一條軌跡。

軌跡：

以一維自由粒子為例，以為直角坐標，構(gòu)成二維的空間，設(shè)一維容器的長度為。粒子的一個運動狀態(tài)可以用空間在一定范圍內(nèi)的一點代表。能量：二、線性諧振子自由度：1μ空間維數(shù)：2能量橢圓質(zhì)量為的粒子在彈性力作用下,將在原點附近作圓頻率為的簡諧振動，稱為線性諧振子。§3.2粒子運動狀態(tài)的量子描述微觀粒子普遍具有波粒二象性（粒子性與波動性）德布羅意關(guān)系：測不準關(guān)系其中

微觀粒子不可能同時有確定的動量和坐標，這生動地說明微觀粒子的運動不是軌道運動。微觀粒子的運動狀態(tài)不是用坐標和動量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。微觀粒子的能量是不連續(xù)的,稱為能級.如果一個能級的量子態(tài)不止一個，該能級就稱為簡并的。一個能級的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度。如果一個能級只有量子態(tài)，該能級稱為非簡并的。一、線性諧振子圓頻率為的線性諧振子的能量可能值為所有能級等間距，均為。能級為非簡并。二、自由粒子一維自由粒子

考慮處于長度為的一維容器中自由粒子的運動狀態(tài)。周期性邊界條件要求粒子可能的運動狀態(tài)，其德布羅意波長滿足因此，一維自由粒子的量子數(shù)：1個基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為二度簡并。三維自由粒子

考慮處于長度為的三維容器中自由粒子的運動狀態(tài)。假設(shè)此粒子限制在一個邊長為L的方盒子中運動，仿照一維粒子的情形，該粒子在三個方向動量的可能值為量子數(shù)：3個基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為6度簡并。能量的可能值為（1）在微觀體積下，粒子的動量值和能量值的分離性很顯著，粒子運動狀態(tài)由三個量子數(shù)表征。

對于，有有六個量子態(tài)與之對應(yīng)，所以該能級為六度簡并，而基態(tài)為非簡并。能量值決定于

（2）在宏觀體積下，粒子的動量值和能量值是準連續(xù)的，這時往往考慮在體積內(nèi)，在一定的動量范圍內(nèi)的自由粒子量子態(tài)數(shù)。

求內(nèi)在

到，到，到間的自由粒子的量子態(tài)數(shù):在內(nèi)，符合上式的量子態(tài)數(shù)：這里稱相格。

微觀粒子的運動必須遵守測不準關(guān)系，不可能同時具有確定的動量和坐標，所以量子態(tài)不能用

空間的一點來描述，如果硬要沿用坐標和動量來描述量子態(tài)，那么一個狀態(tài)必然對應(yīng)于

空間中的一個體積元，而不是一個點，這個體積元稱為量子相格。自由度為1的粒子，相格大小為普朗克常數(shù)

如果自由度為：

相格大小為：§3.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述一.全同粒子與近獨立粒子1）全同粒子2）近獨立粒子（弱相互作用）

全同粒子是可以分辨的（因為經(jīng)典粒子的運動是軌道運動，原則上是可以被跟蹤的）。如果在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個粒子的運動狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的力學(xué)運動狀態(tài)是不同的。二.經(jīng)典物理中系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述1）可分辨（可跟蹤的經(jīng)典軌道運動）2）描述方式：

單個粒子的經(jīng)典運動狀態(tài)，由個坐標和個動量來描述，當組成系統(tǒng)的個粒子在某一時刻的運動狀態(tài)都確定時，也就確定了整個系統(tǒng)的在該時刻的運動狀態(tài)。因此確定系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)需要這個變量來確定。用μ

空間中N個點描述

一個粒子在某時刻的力學(xué)運動狀態(tài)可以在μ空間中用一個點表示，由N個全同粒子組成的系統(tǒng)在某時刻的微觀運動狀態(tài)可以在μ空間中用N個點表示，那么如果交換兩個代表點在μ空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。3）玻色子與費米子b)玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子或復(fù)合粒子。如：光子、Л介子等。a)費米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子或復(fù)合粒子。如：電子、質(zhì)子、中子等。c）復(fù)合粒子的分類：凡是由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子；由偶數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由奇數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費米子。如，原子、核、核、原子為玻色子原子、核、核、原子為費米子d）泡利不相容原理：

對于含有多個全同近獨立的費米子的系統(tǒng)中，一個個體量子態(tài)最多能容納一個費米子。

費米子遵從泡利不相容原理，即在含有多個全同近獨立費米子的系統(tǒng)中，占據(jù)一個個體量子態(tài)的費米子不可能超過一個，而玻色子構(gòu)成的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。費米子和玻色子遵從不同的統(tǒng)計。4）玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng):由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。玻色系統(tǒng):把由不可分辨的全同近獨立的玻色粒子組成，不受泡利不相容原理的約束，即處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱作玻色系統(tǒng)。費米系統(tǒng):

把由不可分辨的全同近獨立的費米粒子組成，受泡利不相容原理的約束，即處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1個粒子的系統(tǒng)稱作費米系統(tǒng)。

設(shè)系統(tǒng)由兩個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果這兩個粒子分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)時，試分別討論系統(tǒng)各有那些可能的微觀狀態(tài)？量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA對于玻耳茲曼系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AA2AA3AA4AA5AA6AA對于玻色系統(tǒng)，可以有6種不同的微觀狀態(tài)。量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AA2AA3AA對于費米系統(tǒng)，可以有3個不同的微觀狀態(tài)。粒子類別量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3玻耳茲曼系統(tǒng)ABABABABBAABBAABBA玻色系統(tǒng)AAAAAAAAAAAA費米系統(tǒng)AAAAAA玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的的微觀狀態(tài)數(shù)經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)

在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)。量子經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)

在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)。兩者在原理上相同，區(qū)別在于微觀狀態(tài)的描述。宏觀狀態(tài)和微觀狀態(tài)的區(qū)別宏觀狀態(tài)：平衡狀態(tài)下由一組參量表示，如N、E、V。微觀狀態(tài)：由坐標和動量或一組量子數(shù)表示。

為了研究系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，沒必要也不可能追究微觀狀態(tài)的復(fù)雜變化，只要知道各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以用統(tǒng)計方法求微觀量的統(tǒng)計平均值。因此，確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計物理的根本問題?！?.4等概率原理等概率原理：

對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V的宏觀條件，沒有理由認為哪一個狀態(tài)出現(xiàn)的概率更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當是平權(quán)的。

等概率原理是統(tǒng)計物理學(xué)中的一個合理的基本假設(shè)。該原理不能從更基本的原理推出，也不能直接從實驗上驗證。它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論與客觀實際相符而得到肯定?！?.5分布與微觀狀態(tài)數(shù)一.分布設(shè)一個系統(tǒng)，有大量全同近獨立的粒子組成，具有確定的粒子數(shù)、能量和體積.能級：簡并度：粒子數(shù)：分布必須滿足：

給定了一個分布，只能確定處在每一個能級上的粒子數(shù)，它與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是兩個性質(zhì)不同的概念。

微觀狀態(tài)是粒子運動狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運動特征。例如：在某一能級上，假設(shè)有3個粒子，這三個粒子是如何占據(jù)該能級的量子態(tài)，也就是它的微觀狀態(tài)。

三種統(tǒng)計的微觀狀態(tài)數(shù)同一個分布對于玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)給出的微觀狀態(tài)數(shù)顯然是不同的，下面分別加以討論.

1.玻耳茲曼系統(tǒng)

粒子可以分辨，若對粒子加以編號，則個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)時，是彼此獨立、互不關(guān)聯(lián)的。分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：得到：

2.玻色系統(tǒng)

粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子個數(shù)不受限制。首先個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)有種

可能方式。將各種能級的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：

3.費米系統(tǒng)：

粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)，相當于從個量子態(tài)中挑出個來為粒子所占據(jù)，有種可能的方式

將各能級的結(jié)果相乘，就得到費米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：經(jīng)典極限條件

如果在玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)中，任一能級上的粒子數(shù)均遠小于該能級的量子態(tài)數(shù)，即

（對所有能級）

稱為滿足經(jīng)典極限條件，也稱非簡并性條件。經(jīng)典極限條件表示，在所有的能級，粒子數(shù)都遠小于量子態(tài)數(shù)。

此時有：

在玻色和費米系統(tǒng)中，個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)時本來是存在關(guān)聯(lián)的，但在滿足經(jīng)典極限條件的情形下，由于每個量子態(tài)上的粒子數(shù)遠小于1，粒子間的關(guān)聯(lián)可以忽略。這時，全同性的影響只表現(xiàn)在因子上。

經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)

對于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對坐標和動量的測量總存在一定的誤差，假設(shè)，這時經(jīng)典系統(tǒng)的一個運動狀態(tài)不能用一個點表示，而必須用一個體積元表示，該體積元的大小

表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格。這里由測量精度決定，最小值為普朗克常量?，F(xiàn)將空間劃分為許多體積元，以表示運動狀態(tài)處在內(nèi)的粒子所具有的能量，內(nèi)粒子的運動狀態(tài)數(shù)為:這樣，個粒子處在各的分布可表示為能級：簡并度：粒子數(shù)：體積元:由于經(jīng)典粒子可以分辨，處在一個相格內(nèi)的粒子個數(shù)不受限制，所以經(jīng)典系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律，所以與分布相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：玻耳茲曼系統(tǒng)玻色系統(tǒng)費米系統(tǒng)經(jīng)典系統(tǒng)微觀狀態(tài)§6.6玻耳茲曼分布在上一講中，我們得到了與一個分布相對應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù),而且舉例說明了對于一個孤立系統(tǒng)的約束條件不變的條件下，即E、N、V=const,對于不同的分布系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的?？赡艽嬖谶@樣一個分布,它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。

根據(jù)等幾率原理，對處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個可能的微觀狀態(tài)數(shù)的幾率是相等的。因此，微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的幾率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。下面推導(dǎo)玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）粒子的最概然分布——玻耳茲曼分布。三種分布的推導(dǎo)斯特令（Stirling）公式：

當足夠大時,第二項與第一項相比可以忽略.這時玻耳茲曼分布兩邊取對數(shù)得：對若假設(shè)N>>1，al>>1，ωl>>1,可得到：兩邊關(guān)于求變分，但這些不完全是獨立的，必須滿足約束條件：則必須滿足：

求在此約束條件下的最大值:則有：即，考慮使用拉格朗日乘數(shù)法，取未定因子為a和β分別乘以前面約束條件兩式，有玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為的量子態(tài)上的平均粒子數(shù)上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻耳茲曼分布。a和b分別由下面條件決定說明：（1）取極大值的條件不僅要求同時要求證明：對關(guān)于再求變分，有所以滿足取極大值的條件。（2）一個處在宏觀平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)可能給出的微觀狀態(tài)數(shù)為各種分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)的總和，其中最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)比其他分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)大得多，因此可以用最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)來近似系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)。現(xiàn)將玻耳茲曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)與對玻耳茲曼分布有偏離

的一個分布的微觀狀態(tài)數(shù)加以比較。對

作泰勒展開，假設(shè)對玻耳茲曼分布的相對偏離為則對于的宏觀系統(tǒng)，

這個估計說明，即使對最概然分布僅有極小偏離的分布，它的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)相比也接近于零。（3）斯特令公式要求，實際情況往往