2023北師大版高中數(shù)學(xué)《第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜合小結(jié)》教案

第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

4.1.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(一)

一、教學(xué)目標：了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.駕馭利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性的方

法.

二、教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)推斷一個函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

教學(xué)難點：推斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)的符號推斷函數(shù)的單調(diào)性.

三、教學(xué)過程

(-)復(fù)習(xí)引入

1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：假如對于屬于定義域/內(nèi)某個區(qū)間上的隨意兩個自

變量汨，肉當%<X2時，都有F(小)那么就說/U)在這個區(qū)間上是增函數(shù).

當汨<用時，都有/'(小)>/.(*2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

2.函數(shù)的單調(diào)性

假如函數(shù)y=F(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=F(x)在這一區(qū)間

具有(嚴格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.

例1探討函數(shù)y=f—4x+3的單調(diào)性.

解：取汨<心,小、X2GR,取值

f(xi)~f(x2)=(x4為+3)—(宕一4生+3)作差

-(汨―*2)(茍+及-4)變形

當兇<*2<2時，汨+及一4<0,/'(%)》『(及)，定號

...y=f(x)在(-00,2)單調(diào)遞減.推斷

當2<為<茲時，為+在一4>0,F(xt)<f(劉)，

...y=f(x)在(2,+8)單調(diào)遞增.綜上所述y=f(x)在(-8,2)單調(diào)遞減，y=F(x)在⑵

+8)單調(diào)遞增。

能否利用導(dǎo)數(shù)的符號來推斷函數(shù)單調(diào)性？

一般地，設(shè)函數(shù)y=F(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，

假如/Xx)'>。，則f(x)為增函數(shù)；假如f(x)'<0,

例2.教材P24面的例1。

例3.確定函數(shù)/1/=f-2x+4在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).

解：f(x)'=2x—2.令2x—2>0,解得x>l.

因此，當xe(l,+8)時，f(x)是增函數(shù).

令2X一2<0,解得x<l.

因此，當xW(—8,1)時,f(x)是減函數(shù).

例4.確定函數(shù)人力=2/—6/+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函

數(shù).

解：f(x)'—6x—l2x.

令6f-12x>0,解得x<0或x>2.

因此，當xG(—8,0)時，函數(shù)/■回是增函數(shù)，

當xG(2,+8)時，f(x)也是增函數(shù).

令6狀—12xV0,解得0VxV2.

因此，當王右(0,2)時，f(x)是減函數(shù).

利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的步驟：

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

(3)解不等式f，(x)>0,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式/-COVO,得函數(shù)的單調(diào)遞

減區(qū)間.

練習(xí)1：教材的例2

利用導(dǎo)數(shù)的符號來推斷函數(shù)單調(diào)性：

設(shè)函數(shù)產(chǎn)=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)

(1)假如f'(x)>0,則/'(x)為嚴格增函數(shù)；(2)假如f'(x)VO,則/'(x)為嚴格減函數(shù).

思索：(1)若f'(x)>0是/1(1)在此區(qū)間上為增函數(shù)的什么條件？

若f'(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分而非必要條件.

例如f(,x)=X,當A=0,f'(X)=O,時，f'(X)>O,函數(shù)/'(x)=f在(-8,

+8)上是增函數(shù).

(2)若f'(x)=0在某個區(qū)間內(nèi)恒成立，F(xiàn)(x)是什么函數(shù)？

若某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,則F(x)為常數(shù)函數(shù).

教科書練習(xí)(1)

(三)課堂小結(jié)

1.推斷函數(shù)的單調(diào)性的方法；2.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系；3.證明單調(diào)性的方法.

(四)《習(xí)案》作業(yè)七

4.1.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(二)

一、教學(xué)目標：了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.駕馭利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性的方

法.

二、教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)推斷一個函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

教學(xué)難點：推斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)的符號推斷函數(shù)的單調(diào)性.

三、教學(xué)過程

(-)復(fù)習(xí)

1.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)9*+24X；(2)y=x~x.(4)f(x)=2x"—9f+12x—3

2.探討二次函數(shù)yuaJ+bx+c(a>0)的單調(diào)區(qū)間.

3.在區(qū)間(a,份內(nèi)f'(x)>0是/*J)在(a,6)內(nèi)單調(diào)遞增的(A)

A.充分而不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(二)舉例

例1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(1)f(x)—x—lnx(%>0)；

(2)f(x)=log(3x2+5x-2)

(3)y=#(2x-l)(l-x)2.

(4)/(x)=ln(3x-Z?)(b>0)

(5)推斷/(%)=lg(%—￡)的單調(diào)性。

分三種方法：(定義法)(復(fù)合函數(shù))(導(dǎo)數(shù))

例2.(1)求函數(shù)y=gx3-g(a+a2)f+a3x+a2的單調(diào)減區(qū)間.

(2)探討函數(shù)/(x)=M(-l<x<1,6x0)的單調(diào)性.

X-1

(3)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)In(*+1),其中a2-1,求/'(x)的單調(diào)區(qū)間.

(1)解：y'-x-(a+a')x+a'=(x-a)(x-a2)，令y'<0得(x-a)(x

-a)<0.

(1)當a<0時，不等式解集為aVxVa?此時函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(a,a2)；

(2)當0<aVl時，不等式解集為才<x<a此時函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(才，a)；

(3)當a>l時，不等式解集為aVx<才此時函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(冬才)；

(4)a=0,a=1時，y'20此時，無減區(qū)間.

綜上所述：

當a<0或a>l時的函數(shù)丫=3/一3(0+02"2+/》+/的單調(diào)減區(qū)間為(劣^).

當0<a<l時的函數(shù)y=1d一_13+/次2+/欠+42的單調(diào)減區(qū)間為(&a).

32

當a=0,a=1時，無減區(qū)間.

(2)解：/(-x)=~1K==-/(%),(x)在定義域上是奇函數(shù).

(-x)~—1X"-1

在這里，只需探討f(x)在(0,1)上的單調(diào)性即可.

當時⑸'叱矢J/：驍宇=女舞,

若6>0,則有(x)V0,.?.函數(shù)/'(x)在(0,1)上是單調(diào)遞減的;

若6V0,則有f'(x)>0,...函數(shù)/■(x)在(0,1)上是單調(diào)遞增的.

由于奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，從而有如下結(jié)論：

當5>0時，函數(shù)f(x)在(-1,1)上是單調(diào)遞減的；

當6V0時，函數(shù)/'(x)在(-1,1)上是單調(diào)遞增的.

(3)解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域為(7,+8),且廣。)=竺二1(,，-1).

X+1

(1)當-IWaWO時，f'(x)vo,函f(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞減.

(2)當a>0時，由/1'(x)=0,解得x=1.

a

f'(X)、/■(X)隨X的變更狀況如下表:

X(-1,-)(一,+00)

aaa

f'(X)-0+

f(x)微小值/

從上表可知,

當XC(_J)時，f'(x)<0,函數(shù)F(x)在(_讓)上單調(diào)遞減.

aa

當Xd(_L,yo)時，f'(x)>0,函數(shù)f(X)在(L400)上單調(diào)遞增.

aa

綜上所述，當-IWaWO時，函數(shù)/1(1)在(-1,+8)上單調(diào)遞減；

當a>0時，函數(shù)/'(x)在(-12)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在d,y)上單調(diào)遞增.

aa

4.1.3函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(三)

教學(xué)目標：了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.駕馭利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)推斷一個函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

教學(xué)難點：推斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)的符號推斷函數(shù)的單調(diào)性.

教學(xué)過程：

一、練習(xí)講解及上一課時的例2。

二、新課：

題型一：求參數(shù)的取值范圍：

例I.要使函數(shù)/(%)=￡+3(。+1)%—2在區(qū)間(—00,3]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的

取值范圍。

例2.若函數(shù)一J.Q%2+(〃一])工+1在區(qū)間(],4)上是減函數(shù)，在區(qū)

32^

間(6,+00)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍

題型二：證明不等式

例1.已知x>l,求證：x>ln(l+x).

例2.已知x>o,求證：i+2x>elx.

例3.已知(0,一),求證：sinx<A:<tanx

練習(xí)：已知x>o，證明不等式i+2一日<.

282

小結(jié)：

若證明Hx)>g(x),xG(a,⑸可以等價轉(zhuǎn)換為證明/■(x)—g(x)>0,假如(f(x)—g(x))'

>0,說明函數(shù)

/1(x)一以x)在(a,6)上是增函數(shù)，假如/1(a)—g(a)》0,由增函數(shù)的定義可知，當xd(a,6)

時，

f(x)—g(x)>0,即f[x)>g(x).

題型三：有關(guān)方程根的問題

例1.求證：方程x-Linx=0只有一個根x=0.

2

小結(jié)：

用求導(dǎo)的方法確定根的個數(shù)，是一種很有效的方法，它是通過函數(shù)的變更狀況，運用數(shù)

形結(jié)合的思想來確定函數(shù)的圖象與X軸的交點個數(shù)，最簡潔的一種是只有1個交點（即1

個根）的狀況，即函數(shù)在某個定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，再結(jié)合某一個特別值來確定f（x）=0.

課堂小結(jié)

1.題型一：求取值范圍；

2.題型二：證明不等式；

3.題型三：有關(guān)方程根的問題；

課后作業(yè)：

4.1.4函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（四）

一、教學(xué)目標：了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.駕馭利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性的方

法.

二、教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)推斷一個函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

教學(xué)難點：推斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)的符號推斷函數(shù)的單調(diào)性.

三、教學(xué)過程：

（-）講授新課

1.曲線y=+x在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（A）

2.函數(shù)/（?uxlnxa〉。）的單調(diào)遞增區(qū)間是.-,+oo

3.己知函數(shù)y=/（x）的圖象在點M（l,/（I））處的切線方程是y=；x+2,

則/⑴+/⑴=3一

1Y

4.己知函數(shù)〃x)=-(I)設(shè)a>0,探討y=/(x)的單調(diào)性;

1-X

（II）若對隨意xe（O,l）恒有/（力＞1,求a的取值范圍。

解：（I）/（“）的定義域為（一8,1）（1,-K0）

=-----7xI（7X2+（2-＜7）I

（1-X）2L'〃

-----T＞°,

因為（l-x）-（其中xwl）恒成立，所以尸（x）＞0=奴2+（2-a）＞0

（1）當0＜a＜2時，在（-oo,o）U（i,-+w）上恒成立，

所以/（X）在（-8,1）I-（1,+8）上為增函數(shù)；

⑵當。=2時，尸（x）＞°在（-co,0）（0,1）（1,+8）上恒成立，

所以/（X）在（一8,1）I,（1,+00）上為增函數(shù)；

t=CJ

⑶當a＞2時，叱+（2-"）＞0的解為：（_8,T）!（h1）（1,+8）（其中Va）

所以/（X）在各區(qū)間內(nèi)的增減性如下表：

區(qū)間(-CO,-t)(T,t)(f,1)(1,+°0)

/（X）的符號+—++

“X）的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

（II）明顯/（°）=1

⑴當0＜a42時，/（x）在區(qū)間10,1）上是增函數(shù)，所以對隨意xe（o,1）都有了（x）＞〃°）；

⑵當。＞2時，/⑺是〃x）在區(qū)間10,1）上的最小值，即〃'）＜/（°）,這與題目要求

沖突；

⑶若a＜。，f（x）在區(qū)間10,1）上是增函數(shù)，所以對隨意xw（0,1）都有了（x）＞〃°）。

綜合⑴、⑵、⑶，a的取值范圍為（7,2）

5.設(shè)aNO,f(x)=x—1—1/x+2aInx(x>0).

令F(x)=xf'Qx),探討/(x)在(0.+8)內(nèi)的單調(diào)性

解：依據(jù)求導(dǎo)法則有尸(x)=1—22+即，X>O,

XX

2x-2

故尸(x)=4'(x)=九-21nx+2ax>0,于是F(x)=l——=-—,x>0,列表如下:

XX

X(0,2)2(Z+8)

尸（幻—0+

F(x)微小值尸（2）

故知尸（幻在（0,2）內(nèi)是減函數(shù)，在（2+8）內(nèi)是增函數(shù)

課堂小結(jié)

4.1.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（1）

一、教學(xué)目標

1學(xué)問與技能

〈1〉結(jié)合函數(shù)圖象，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件

〈2〉理解函數(shù)極值的概念，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值與微小值

2過程與方法

結(jié)合實例，借助函數(shù)圖形直觀感知，并探究函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

3情感與價值

感受導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)性質(zhì)中一般性和有效性，通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生體會極值是函數(shù)的局部

性質(zhì)，增加學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維意識。

二、重點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

難點：函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件

三、教學(xué)基本流程

回憶函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，與已有學(xué)問的聯(lián)系

提出問題，激發(fā)求知欲

組織學(xué)生自主探究，獲得函數(shù)的極值定義

通過例題和練習(xí)，深化提高對函數(shù)的極值定義的理解

四、教學(xué)過程

〈一〉、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

1、通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是什么？

（提高學(xué)生回答）

2.視察圖1.3.8表示高臺跳水運動員的高度h

隨時間t變更的函數(shù)人⑴=-4.9t，6.5t+10的圖

〃（a）=0

象，回答以下問題

h個-----單調(diào)遞增/::、單調(diào)遞減

/;w\（r）＜o

O

1

（1）當t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度

最大，那么函數(shù)/z（。在t=a處的導(dǎo)數(shù)是多少呢？（2）在點t=a旁邊的圖象有什么特點？

（3）點t=a旁邊的導(dǎo)數(shù)符號有什么變更規(guī)律?

共同歸納：函數(shù)h(t)在a點處h'(a)=O,在

t=a的旁邊，當tVa時，函數(shù)人。)單調(diào)遞增，

〃'(f)>0；當t>a時，函數(shù)力。)單調(diào)遞減，

<0,即當t在a的旁邊從小到大經(jīng)過a時，

〃'(f)先正后負，且力?)連續(xù)變更，于是

h(a)=0.

3、對于這一事例是這樣，對其他的連續(xù)函數(shù)是

不是也有這種性質(zhì)呢？

(二〉、探究研討

1、視察1.3.9圖所表示的y=f(x)的圖象，回答以下問題:

(1)函數(shù)y=f(x)在a.b點的函數(shù)值與這些點旁邊的函數(shù)值有什么關(guān)系？

(2)函數(shù)y=f(x)在a.b.點的導(dǎo)數(shù)

值是多少？

(3)在a.b點旁邊，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)

的符號分別是什么，并且有什么關(guān)系

呢？

2、極值的定義：

我們把點a叫做函數(shù)y=f(x)的微小

值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的微小

值；

點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值。

極大值點與微小值點稱為極值點，極大值與微小值稱為極值.

3、通過以上探究，你能歸納出可導(dǎo)函數(shù)在某點X。取得極值的充要條件嗎？

充要條件：f(Xo)=O且點X。的左右旁邊的導(dǎo)數(shù)值符號要相反

4、引導(dǎo)學(xué)生視察圖1.3.11,回答以下問題：

(1)找出圖中的極點，并說明哪些點為極大值點，哪些點為微小值點？

(2)極大值肯定大于微小值嗎？

5、隨堂練習(xí)：

1如圖是函數(shù)y=f(x)的函數(shù)，試找出函數(shù)y=f(x)的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些

是微小值點.假如把函數(shù)圖象改為導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象?

<三>、講解例題

例4求函數(shù)/(x)=gd—4x+4的極值

老師分析:①求f'(x),解出f(x)=0,找函數(shù)極點；②由函數(shù)單調(diào)性確定在極點X。旁邊f(xié)(x)

的符號,從而確定哪一點是極大值點,哪一點為微小值點,從而求出函數(shù)的極值.

學(xué)生動手做，老師引導(dǎo)

解：；/(耳=$3一4%+4.，./'(同=*2-4=6-2)32)令/'(x)=0,解得x=2,或

x=-2.

下面分兩種狀況探討：

(1)當/(X)>0,即x>2,或x<-2時;

(2)當/'(x)<0,即-2<x<2時.

當x變更時，f(x),f(x)的變更狀況如下表:

X(-00,-2)-2(-2,2)2(2,+8)

/w+0-0+

f(x)單調(diào)遞增28單調(diào)遞減_4單調(diào)遞增

T~3

因此，當x=-2因f(x)有極大值,且極大值為f(-2)=—;當x=2時,f(x)有極

3y個

小值，且微小值為f(2)=f(x)=Px3-4x+4

函數(shù)/(x)=gx3—4x+4的圖象如：I

歸納：求函數(shù)y=f(x)極值的方法是：/\I

1求f(x),解方程f(x)=0,當/0=0時：L/

X

⑴假如在x。旁邊的左邊/(x)>0,右邊f(xié)(x)<0,那么f(x。)是極大值.10|\J

(2)假如在x。旁邊的左邊/(x)<0,右邊f(xié)(x)>0,那么f(x。)是微小值

(四〉、課堂練習(xí)

1、求函數(shù)f(x)=3x-x，的極值

2、思索:已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-2xSx=-2,x=l處取得極值，

求函數(shù)f(X)的解析式及單調(diào)區(qū)間。

〈五〉、課后思索題：

1、若函數(shù)f(x)=x~3bx+3b在(0,1)內(nèi)有微小值，求實數(shù)b的范圍。

2、已知f(x)=x3+ax?+(a+b)x+l有極大值和微小值，求實數(shù)a的范圍。

(六＞、課堂小結(jié)：

1、函數(shù)極值的定義

2、函數(shù)極值求解步驟

3、一個點為函數(shù)的極值點的充要條件。

＜七＞、作業(yè)Psi3。4

教學(xué)反思：

本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的極值,有了上節(jié)課導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性作鋪墊，借助函數(shù)圖形的直觀性探

究歸納出導(dǎo)數(shù)的極值定義,利用定義求函數(shù)的極值.教學(xué)反饋中主要是書寫格式存在著問題.

為了統(tǒng)一要求主見用列表的方式表示，剛起先學(xué)生都不愿接受這種格式，但隨著幾道例題與

練習(xí)題的展示,學(xué)生體會到列表方式的簡便，同時為能夠快速推斷導(dǎo)數(shù)的正負,我要求學(xué)生盡

量把導(dǎo)數(shù)因式分解.本節(jié)課的難點是函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件，為了說明

這一點多舉幾個例題是很有必要的.在解答過程中學(xué)生還暴露出對困難函數(shù)的求導(dǎo)的精確率

比較底，以及求函數(shù)的極值的過程板書仍不規(guī)范,看樣子這些方面還要不斷加強訓(xùn)練.

4.1.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(2)

一、教學(xué)目標：理解函數(shù)的極大值、微小值、極值點的意義.駕馭函數(shù)極值的判別方法.進一

步體驗導(dǎo)數(shù)的作用.

二、教學(xué)重點：求函數(shù)的極值.

教學(xué)難點：嚴格套用求極值的步驟.

三、教學(xué)過程：

(-)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

1、視察下圖中的曲線

a點的函數(shù)值F(a)比它接近點的函數(shù)值都大.6點的函數(shù)值/■(力比它接近點的函數(shù)值都小.

2、視察函數(shù)/1(x)=2f—6丁+7的圖象，

思索：函數(shù)y=f(x)在點x=0,x=2處的函數(shù)值，與它們旁邊全部各點

處的函數(shù)值，比較有什么特點？

(1)函數(shù)在x=0的函數(shù)值比它旁邊全部各點的函數(shù)值都大，

我們說A0)是函數(shù)的一個極大值；

(2)函數(shù)在x=2的函數(shù)值比它旁邊全部各點的函數(shù)值都小，

則/"(2)是函數(shù)的一個微小值.

函數(shù)Z=2f—6x2+7的一個極大值：f(0)；一個微小值：f(2).

函數(shù)尸2/-6f+7的一個極大值點：(0,/(0))；一個微小值點：(2,r(2)).

3、極值的概念:

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點照旁邊有定義，假如對A0旁邊的全部的點，都有F(x)＜『(加

我們就說f(m)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作/極大值=fU；

假如對新旁邊的全部的點，都有/"(MAA照)

我們就說f(x。)是函數(shù)f(x)的一個微小值，記作y微小值=丹及).

極大值與微小值統(tǒng)稱為極值.

4、視察下圖中的曲線

考察上圖中，曲線在極值點處旁邊切線的斜率狀況.

上圖中，曲線在極值點處切線的斜率為0,

極大值點左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)為負；微小值點左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負，右側(cè)為正.

函數(shù)的極值點Xi是區(qū)間［a,⑸內(nèi)部的點，區(qū)間的端點不能成為極值點.

函數(shù)的極大(小)值可能不止一個，并且函數(shù)的極大值不肯定大于微小值，微小值不肯定

小于極大值.

函數(shù)在［a,6］上有極值，其極值點的分布是有規(guī)律的，像相鄰兩個極大值間必有一個微

小值點.

5、利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的極大(小)值：

一般地，當函數(shù)Mx)在點仞處連續(xù)時，判別是極大(小)值的方法是:

(1)假如在施旁邊的左側(cè)/?'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么，人照)是極大值；

⑵假如在題旁邊的左側(cè)/1'(x)V0,右側(cè)F'(x)>0,那么，/■(就是微小值；

思索：導(dǎo)數(shù)為0的點是否肯定是極值點？

導(dǎo)數(shù)為。的點不肯定是極值點.

如函數(shù)/?(x)=f,x=0點處的導(dǎo)數(shù)是0,但它不是極值點.

函婀(X)的定義域為開區(qū)間，b),導(dǎo)函蠹(X)在(a,5炳的函數(shù)

圖像如圖，則函數(shù)(外在開區(qū)間a,㈤內(nèi)存在極小值點個.

例1求函數(shù)y=-4x+4的極值.

解：_/=f—4=(x+2)(x—2).令/=0,解得為=-2,xz=2.

33

求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：

⑴求導(dǎo)函數(shù)f'(X)；

⑵求方程F，(x)=0的根；

⑶檢查在方程根左右的值的符號，假如左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大

值；

假如左負右正，那么f(x)在這個根處取得微小值.

例2.求函數(shù)y=/er的極值

例3求函數(shù)了=(/一1/+1的極值.

解：定義域為R,_/=6x(*2—1)2.由_/=0可得汨=—1,X2—O,xa—l

當x變更時，/,y的變更狀況如下表：

X(f—1)-1(-i.0)0

■0■0

y、口J、

X(0t1)1(1.■

■0

y//

當x=0時，y有微小值，并且y微小值=0.

X3-2

例4.y=———的極值

2(%-I)2

例5.y=(x—l)正的極值

思索：導(dǎo)數(shù)值為。的點肯定為極值點嗎？極值點肯定導(dǎo)數(shù)值為0嗎？

練習(xí)：求函數(shù)y=/er的極值

(三)課堂小結(jié)

1.考察函數(shù)的單調(diào)性的方法；2.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系；3.用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的步驟.

(四)課后作業(yè)

4.1.3函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(3)

運用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的極值推斷方程解的個數(shù)、函數(shù)圖象與X軸交點個數(shù)

例1、設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)F(x)=f-f_X+a.

(1)求f(x)的極值；

(2)當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=/"(x)與x軸僅有一個交點.

例2.已知函數(shù)/(x)=V—x.

(1)求曲線y=/(x)在點M(f,/(f))處的切線方程；

(2)設(shè)。＞0,假如過點(。，。)可作曲線y=/(x)的三條切線，證明：一。＜匕＜/(。).

例3.已知/(%)+bx2+cx在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù),在區(qū)間(一8,0),(1,+8)上是減函

13

數(shù)，又尸耳)=了

(I)求/(幻的解析式；(II)若在區(qū)間［0,〃“(加＞0)上恒有/(幻Wx成立,求勿的取值范

圍.

例4.設(shè)函數(shù)/(x)=以2+blnx,其中出?。0.

證明：當成＞0時，函數(shù)/(x)沒有極值點；當"＜0時，函數(shù)/(x)有且只有一個極

值點，并求出極值.

例5.設(shè)函數(shù)/(x)=%2+blnCr+l),其中Z?wO.

(I)當?！??時，推斷函數(shù)/(X)在定義域上的單調(diào)性；

(II)求函數(shù)/(X)的極值點;

(III)證明對隨意的正整數(shù)〃，不等式InH+l］〉］—4都成立.

\n)nn

4.2.1：導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用(1)

教學(xué)目的：

1.進一步嫻熟函數(shù)的最大值與最小值的求法；

2.初步會解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題

教學(xué)重點：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題.

教學(xué)難點：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題.

授課類型：新授課

課時支配：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點X。旁邊有定義，假如對X。旁邊的全部的點，都有f(x)

<f(xo),就說f(Xo)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(xo),Xo是極大值點

2.微小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在X。旁邊有定義，假如對X。旁邊的全部的點，都有f(x)

>f(x。).就說f(x。)是函數(shù)f(x)的一個微小值，記作y做小行f(x。),x。是微小值點

3.極大值與微小值統(tǒng)稱為極值

4.判別f(x。)是極大、微小值的方法：

若與滿意/'(%)=0,且在/的兩側(cè)/(x)的導(dǎo)數(shù)異號，則/是/(x)的極值點，

/(%)是極值，并且假如/'(X)在X。兩側(cè)滿意“左正右負”，則/是/(x)的極大值點，

/(%)是極大值；假如尸(x)在/兩側(cè)滿意“左負右正”，則/是/(x)的微小值點,f(x0)

是微小值

5.求可導(dǎo)函數(shù)/1(㈤的極值的步驟：

(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x)

(2)求方程F(x)=0的根

(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.

檢查(X)在方程根左右的值的符號，假如左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；

假如左負右正，那么/Xx)在這個根處取得微小值；假如左右不變更符號即都為正或都為負,

那么f(x)在這個根處無極值

6.函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間［。,同上連續(xù)的函數(shù)/(x)在口,“上必有最大值與最小

值.⑴在開區(qū)間（。力）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)/（X）不肯定有最大值與最小值.⑵函數(shù)的最值是比較

整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點旁邊函數(shù)值得出的.⑶函數(shù)/（X）

在閉區(qū)間除“上連續(xù)，是/（x）在閉區(qū)間［a,U上有最大值與最小值的充分條件而非必要條

件.（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個,

也可能沒有一個

7.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:⑴求/（x）在（。/）內(nèi)的極值：⑵將/（處的各極值與/（a）、

/（。）比較得出函數(shù)/（幻在可上的最值

二、講解范例：

例1在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如

圖），做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？

解法一：設(shè)箱底邊長為xcm,則箱

(0<x<60)

3x2

令Vr(x)==0,解得x=0（舍去），x=40,

并求得V(40)=16000

由題意可知，當x過小（接近0）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16000

是最大值

答:當x二答cm時,箱子容積最大，最大容積是16OOOcnf

解法二：設(shè)箱高為疣m,則箱底長為（60-2x）cm,則得箱子容積

V（x）=（60—2x）2x（0<x<30）.（后面同解法一，略）

由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大

值出現(xiàn)在極值點處.

r2-x

事實上，可導(dǎo)函數(shù)V（x）^x2h=-......

V(x)=(60-2x)2x在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波

峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值

例2圓柱形金屬飲料罐的容積肯定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最

??？

解：設(shè)圓柱的高為h,底半徑為R,則表面積

S=2nRh+2nR2

V

由V=orR2h,得〃=—7，則

7TR-

V2V

S(R)2nR----+2兀R"=---+2nR-

7lR2R

2V

令s'(R)...-+4nR=0

R2

即h=2R

因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值

答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省

變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時;它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所

用材料最?。?/p>

提示：S=2^Rh+27rR2—

2兀R

=>，(/=S-2成乃川=(S_2欣2)R=LSR_成3

2成22

V'(7?))=0=>S—6成'=>6成2=2成/?+2成2=>/z=2R.

例3在經(jīng)濟學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x),出售x單位產(chǎn)品的

收益稱為收益函數(shù)，記為R(x),R(x)—C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。

(1)、假如，&)=10-6%3-0003，+5%+1000,那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際

C'(x)最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量)

(2)、假如C(x)=50x+10000,產(chǎn)品的單價P=100—0.Olx,那么怎樣定價，可使利潤

最大？

變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為小100+4q,價格p與產(chǎn)量0的函數(shù)

關(guān)系式為p=25-1q.求產(chǎn)量g為何值時.，利潤/最大？

分析：利潤￡等于收入《減去成本C,而收入〃等于產(chǎn)量乘價格.由此可得出利潤Z與產(chǎn)量

q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.

解:收入R=q.p=q[25-；14]=25q-；q2,

8

利潤——————(0<^<100)

U=—5+21

令L'=O,即一；q+21=0,求得唯一的極值點q=84

答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大

三、課堂練習(xí)：

1.函數(shù)片2f—3f—12戶5在［0,3］上的最小值是.

2.函數(shù)f(x)=sin2x-x在［一TT些7，T工］上的最大值為；最小值為

22

3.將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成和

22

4.使內(nèi)接橢圓［+==1的矩形面積最大，矩形的長為,寬為.

a'b

5.在半徑為"的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷细邽椤獣r，它的面積最大

答案：1.—152.———-3.——4,-\/2a-\/2b5.—/?

22222

四、小結(jié)：

⑴解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，須要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，找出適

當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實際意義.

⑵依據(jù)問題的實際意義來推斷函數(shù)最值時，假如函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這

個極值就是所求最值，不必再與端點值比較.

⑶相當多有關(guān)最值的實際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡潔

五、課后作業(yè)：

1.有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個

無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形的邊長應(yīng)為多少？

解：(1)正方形邊長為％則V=(8—2x),(5—2x)JJ=2(2/-13x+20x)(0<X—)

2

V=4(3/一13盧10)(0<水2),/=0得產(chǎn)1依據(jù)實際狀況，小盒容積最大是存在的，

2

...當尸1時，容積，取最大值為18.

2.一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，

h

希望在斷面力及力的面積為定值S時，使得濕周/=/加冊⑺最,

小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高力和下底邊長B二7b二C

b.

1也

解：由梯形面積公式，得傘一(AIRBOh,其中AA2DE+BC,DB-——/?,BOb

23

AD^—h+b,/.5=—{—h+2b)h=(—^-h+b)h①

h22

---------=-r=h,A+CD.??1-―尸hX2+b②

cos30°V3V3

由①得吟一去'代入②'"竽"+A￥人同+：

r=6-3=o,:.護淚,當樂卓時，rco,力>里時，r>o.

h2V3V3V3

.?加當時,/取最小值，此時少遞jy

V33

4.2.1導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)中的應(yīng)用（2）

目標認知

學(xué)習(xí)目標：

1.會從幾何直觀了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，會求

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次.

2.了解函數(shù)在某點與取得極值的必要條件（導(dǎo)數(shù)在極值點兩端異號）和充分條件

（/'（/）=°）；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次.

3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次.

重點：利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)極值與最值的區(qū)分與聯(lián)系.會求一些函數(shù)的（極）最

大值與（極）最小值

難點：利用導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題時有關(guān)字母探討的問題.

學(xué)問要點梳理

學(xué)問點一：函數(shù)的單調(diào)性

（-）導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性：

一般地，設(shè)函數(shù)，=/（X）在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個區(qū)間上，若/'（x）＞0,則/（x）

在這個區(qū)間上為增函數(shù)；若/'（x）＜0,則/。）在這個區(qū)間上為減函數(shù)；若恒有/*）=0,

則在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之，若」（＞）在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有

/'（X）2°恒成立（但不恒等于0）；若」（x）在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有了'（X）三°

恒成立（但不恒等于0）.

留意：

1.若在某區(qū)間上有有限個點使/'(x)=0,在其余點恒有,'(x)>0,則仍為增

函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似).即在區(qū)間(a,b)內(nèi)，/1?1>0(或是/(力在

(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或減)的充分不必要條件！例如：

/(x)=X3=/*(x)=39N0./'(0)=0Jfx)>0(x/0)，而f(x)在R上遞增.

2.學(xué)生易誤認為只要有點使/'(X)=0,則f(x)在(a,b)上是常函數(shù)，要指出個別導(dǎo)

數(shù)為零不影響函數(shù)的單調(diào)性，同時要強調(diào)只有在這個區(qū)間內(nèi)恒有(口)=°,這個函數(shù)

y=f(X)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).

3.要關(guān)注導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系.

(~)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：

1.確定函數(shù)/(X)的定義域；2.求導(dǎo)數(shù)/{X)；

3.在定義域內(nèi)解不等式/‘(乃>0或解出相應(yīng)的X的范圍；

當/'(D>o時，/(X)在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當廣(。<°時/(X)在相應(yīng)區(qū)

間上為減函數(shù).

4.寫出了(入)的單調(diào)區(qū)間.

學(xué)問點二：函數(shù)的極值

(一)函數(shù)的極值的定義一般地，設(shè)函數(shù)/(")在點'二%及其旁邊有定義，

(1)若對于%旁邊的全部點，都有則/(%)是函數(shù)/(X)的一個極大值，記

作Wr-"%)；

(2)若對X。旁邊的全部點，都有則/(“)是函數(shù)/(力的一個微小值，

記作Ms147'%).

極大值與微小值統(tǒng)稱極值.在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量

的值，極值指的是函數(shù)值.

留意：由函數(shù)的極值定義可知：

(1)在函數(shù)的極值定義中，肯定要明確函數(shù)y=f(x)在X=X。及其旁邊有定義，否則無

從比較.

(2)函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點旁邊的小區(qū)回而言的，是一個局部概念；在函數(shù)的

整個定義域內(nèi)可能有多個極值，也可能無極值.由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它旁邊

點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的完全的定義域內(nèi)最大或最小.

(3)極大值與微小值之間無確定的大小關(guān)系.即一個函數(shù)的極大值未必大于微小值.微

小值不肯定是整個定義區(qū)間上的最小值.

（4）函數(shù)的極值點肯定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函數(shù)取得

最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點.

（5）可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值，則該點的導(dǎo)數(shù)肯定為零，反之不成立.即°是

可導(dǎo)函數(shù)/（X）在點”取得極值的必要非充分條件.在函數(shù)取得極值處，假如曲線有切線的

話，則切線是水平的，從而有/'（X）=°.但反過來不肯定.如函數(shù)y=x?,在x=0處，曲線

的切線是水平的，但這點不是函數(shù)的極值點.

（二）求函數(shù)極值的的基本步驟：

①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)/口）；③求方程尸a"°的根；

④檢查了'（X）在方程根左右的值的符號，假如左正右負，則f（x）在這個根處取得極大

值；假如左負右正，則f（x）在這個根處取得微小值.（最好通過列表法）

學(xué)問點三：函數(shù)的最大值與最小值

（-）函數(shù)的最大值與最小值定理

若函數(shù)y二/5）在閉區(qū)間［③切上連續(xù)，則/（"）在【40上必有最大值和最小值；在開

區(qū)間g與內(nèi)連續(xù)的函數(shù)/a）不肯定有最大值與最小值.如"""彳'"

（二）求函數(shù)最值的的基本步驟：

若函數(shù)在閉區(qū)間也必有定義，在開區(qū)間（4協(xié)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)＞=/（］）

在【叫上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)/（X）在①力）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)（2）求

/（X）在g6）內(nèi)的極值；

（3）求/（X）在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值/9），/?）；

（4）將/（力的各極值與了似），/?）比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求

最小值.

（三）最值理論的應(yīng)用

解決有關(guān)函數(shù)最值的實際問題，導(dǎo)數(shù)的理論是有力的工具，基本解題思路為：

（1）認知、立式：分析、認知實際問題中各個變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當

的函數(shù)關(guān)系；

（2）探求最值：立足函數(shù)的定義域，探求函數(shù)的最值；

（3）檢驗、作答：利用實際意義檢查（2）的結(jié)果，并回答所提出的問題，特別地，假

如所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點“滿意廣（%）=°,并且一（X）在點“處有極大（?。┲担?/p>

而所給實際問題又必有最大（?。┲担敲瓷鲜鰳O大（?。┲当闶亲畲螅ㄐ。┲?

規(guī)律方法指導(dǎo)

（1）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域D,并且解決問題的過

程中始終立足于定義域D.若由不等式/'（X）>°確定的x的取值集合為A,由確定

的X的取值范圍為B,則應(yīng)有如：/⑸58klS

（