專題03等腰三角形的性質(zhì)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題03等腰三角形的性質(zhì)考試時間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點E，AC＝8，DE＝2，則△BCE的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．122．（2分）（2021八上·永定期末）下列命題是真命題的是（）A．等腰三角形的角平分線、中線、高線互相重合B．一個三角形被截成兩個三角形，每個三角形的內(nèi)角和是90度C．有兩個角是60°的三角形是等邊三角形D．在ABC中，，則ABC為直角三角形3．（2分）（2021八上·嵩縣期末）等腰三角形的一個內(nèi)角是，則它底角的度數(shù)是（）A． B．或C．或 D．4．（2分）（2021八上·涼山期末）如圖，中，，，，垂足為Q，延長MN至G，取，若的周長為12，，則周長是（）A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m5．（2分）（2021八上·遵義期末）已知的周長是16，且，又，D為垂足，若的周長是12，則AD的長為（）A．7 B．6 C．5 D．46．（2分）（2021八上·如皋期末）如圖，在中，，，D為的中點，P為上一點，E為延長線上一點，且有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④7．（2分）（2021八上·如皋月考）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，點關(guān)于的對稱點B′恰好落在CD上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．（2分）（2021八上·江津期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為3，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點.若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.59．（2分）（2021八上·江陰期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線OD交于點O，點E在BC上，點F在AC上，連接EF.將∠C沿EF折疊，點C與點O恰好重合時，則∠OEC的度數(shù)（）A．90° B．92° C．95° D．98°10．（2分）（2021八上·廣安期末）如圖，在中，的平分線相交于點E，邊的垂直平分線相交于點D.若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．評卷人得分二．填空題（共10小題，滿分22分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·永定期末）在ABC中，AD⊥BC于點D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，則圖中陰影部分的面積為.12．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，，點P在的邊上，以點P為圓心，為半徑畫弧，交于點A，連接，則.13．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，是一角度為的銳角木架，要使木架更加牢固，需在其內(nèi)部添加一些連接支撐木件、、…，且…，在、足夠長的情況下，如果最多能添加這樣的連接支撐木件為6根，則銳角的范圍為.14．（2分）如圖，已知△ABC中，∠B=∠ACB，∠BAC和∠ACB的角平分線交于D點．∠ADC=100°，那么∠CAB是．15．（2分）（2022八上·新昌期末）如圖，一塊木板把ABC遮去了一部分，過點A的木板邊沿恰好把ABC分成兩個等腰三角形，已知，且∠B是其中一個等腰三角形的底角，則ABC中最大內(nèi)角的度數(shù)為.16．（2分）（2021八上·蕪湖期末）一個等腰三角形的一邊長為2，另一邊長為9，則它的周長是．17．（2分）（2019八下·鼓樓期末）如圖，正方形ABCD邊長為a，O為正方形ABCD的對角線的交點，正方形A1B1C1O繞點O旋轉(zhuǎn)，則兩個正方形重疊部分的面積為．18．（2分）（2021八上·建華期末）小聰在研究題目“如圖，在等腰三角形ABC中，，，的平分線與AB的垂直平分線OD交于點O，點C沿直線EF折疊后與點O重合，你能得出那些結(jié)論？”時，發(fā)現(xiàn)了下面三個結(jié)論：①；②圖中沒有60°的角；③D、O、C三點共線．請你直接寫出其中正確的結(jié)論序號：19．（2分）（2021八上·南寧期中）如圖是5×5的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，像△ABC這樣的三角形叫格點三角形，畫與△ABC有一條公共邊且全等的格點三角形，這樣的格點三角形最多可以畫個.20．（2分）（2021八上·武昌期中）如圖，已知△ABC中，OE、OF分別是AB、AC的垂直平分線，∠OBC，∠OCB的平分線相交于點I，有如下結(jié)論：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正確的結(jié)論是.評卷人得分三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（5分）（2021八上·南京期末）如圖，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，點E在BC上.（1）（2分）求證：∠EAC＝∠BAD；（2）（3分）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度數(shù).22．（5分）（2021八上·營口期末）如圖，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三點共線，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．23．（6分）（2019八上·同安期中）如圖，在△ABC中，點D是BC邊的中點，DE⊥BC，∠ABC的角平分線BF交DE于點P，交AC于點M，連接PC．（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度數(shù)；（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周長為m+2時，求△BCM的面積（用含m的代數(shù)式表示）．24．（6分）（2021八上·松桃期末）如圖①：中，，延長AC到E，過點E作交AB的延長線于點F，延長CB到G，過點G作交AB的延長線于H，且.（1）（3分）求證：≌；（2）（3分）如圖②，連接EG與FH相交于點D，若，求DH的長.25．（6分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分線交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，連接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度數(shù)．26．（10分）如圖：（1）（3分）如圖①，，射線在這個角的內(nèi)部，點B、C分別在的邊、上，且，于點F，于點D.求證：；（2）（3分）如圖②，點B、C分別在的邊、上，點E、F都在內(nèi)部的射線AD上，、分別是、的外角.已知，且.求證：；（3）（4分）如圖③，在中，，.點在邊上，，點、在線段上，.若的面積為15，求與的面積之和.27．（10分）（2021八上·平?jīng)銎谥校┨骄颗c發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在底邊BC上，AE=AD，連結(jié)DE.（1）（3分）當(dāng)∠BAD=60°時，求∠CDE的度數(shù)；（2）（3分）當(dāng)點D在BC（點B、C除外）上運動時，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）（4分）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系.28．（12分）（2018八上·阿城期末）如圖：（1）（3分）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）（4分）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）（5分）拓展與應(yīng)用：如圖3，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀．2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題03等腰三角形的性質(zhì)考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點E，AC＝8，DE＝2，則△BCE的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【完整解答】解：過點E作EF⊥BC于F，

∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，

∴CD⊥AB，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF＝DE＝2，

∴△BCE的面積＝×BC×EF＝×8×2=8.

故答案為：C.

【思路引導(dǎo)】過點E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性質(zhì)可證得CD⊥AB，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可求出EF的長；再利用三角形的面積公式可求出△BCE的面積.2．（2分）（2021八上·永定期末）下列命題是真命題的是（）A．等腰三角形的角平分線、中線、高線互相重合B．一個三角形被截成兩個三角形，每個三角形的內(nèi)角和是90度C．有兩個角是60°的三角形是等邊三角形D．在ABC中，，則ABC為直角三角形【答案】C【完整解答】解：A、等腰三角形中頂角角平分線、底邊上的中線和底邊上的高線互相重合，即三線合一，故此選項錯誤；B、三角形的內(nèi)角和為180°，故此選項錯誤；C、有兩個角是60°，則第三個角為，所以三角形是等邊三角形，故此選項正確；D、設(shè)，則，故，解得，所以，，此三角形不是直角三角形，故此選項錯誤.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】A、等腰三角形中頂角角平分線、底邊上的中線和底邊上的高線互相重合，據(jù)此判斷即可；

B、三角形的內(nèi)角和為180°，據(jù)此判斷即可；

C、三個角是60°的三角形時等邊三角形，據(jù)此判斷即可；

D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大角，利用直角三角形的定義來驗證最大角是否為90°即可.3．（2分）（2021八上·嵩縣期末）等腰三角形的一個內(nèi)角是，則它底角的度數(shù)是（）A． B．或C．或 D．【答案】C【完整解答】解：當(dāng)70°角為頂角時，它的底角為，當(dāng)70°角為底角時，它底角的度數(shù)是70°故答案為：C.【思路引導(dǎo)】分情況討論：當(dāng)70°角為底角時；當(dāng)70°角為頂角時，利用三角形的內(nèi)角和定理求出其底角的度數(shù)，即可求解.4．（2分）（2021八上·涼山期末）如圖，中，，，，垂足為Q，延長MN至G，取，若的周長為12，，則周長是（）A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m【答案】C【完整解答】解：∵，，∴△PMN是等邊三角形，∵，∴QN=PQ=，∠QMN=30°，∠QNM=60°，∵，

∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG=，∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG，∵的周長為12，，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，∴周長是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】易得△PMN是等邊三角形，得QN=PQ=MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=MN，推出QM=QG，根據(jù)△MNP的周長可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，據(jù)此求解.5．（2分）（2021八上·遵義期末）已知的周長是16，且，又，D為垂足，若的周長是12，則AD的長為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【完整解答】解：如圖：

∵AB=AC，且AD⊥BC，∴BD=DC=BC，∵AB+BC+AC=2AB+2BD=16，∴AB+BD=8，∴AB+BD+AD=8+AD=12，解得AD=4.故答案為：D.【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=DC=BC，結(jié)合△ABC的周長為16可得AB+BD=8，然后根據(jù)△ABD的周長為12就可求出AD.6．（2分）（2021八上·如皋期末）如圖，在中，，，D為的中點，P為上一點，E為延長線上一點，且有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】C【完整解答】解：如圖，連接BP，∵AC＝BC，∠ABC＝30°，點D是AB的中點，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，∴CD是AB的中垂線，∴AP＝BP，而AP＝PE，∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，故①正確；∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，∴∠PAE+∠PEA＝而∴△PAE是等邊三角形，故②正確；如圖，延長至，使則點P關(guān)于AB的對稱點為P′，連接P′A，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，∵△PAE是等邊三角形，∴AE＝AP，∴AE＝AP′，∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，∴∠P′AC＝∠EAC，∵AC＝AC，∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），∴CP′＝CE，∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，∴.故③錯誤；過點A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，∵CG＝CP，∠BCD＝60°，∴△CPG是等邊三角形，∴∠CGP＝∠PCG＝60°，∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，∴△PCE≌△PGB（AAS），∴CE＝GB，∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，∴AF＝AB＝AD，∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四邊形AECP，∴S四邊形AECP＝S△ABC.故④正確.所以其中正確的結(jié)論是①②④.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】連接BP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，進而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根據(jù)角的和差關(guān)系可判斷①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，據(jù)此判斷②；延長PD至P′，使PD=P′D，則點P關(guān)于AB的對稱點為P′，連接P′A，由等邊三角形的性質(zhì)可得AE＝AP，則AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，證明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，據(jù)此判斷③；過點A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，則△CPG是等邊三角形，則∠CGP＝∠PCG＝60°，證明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AF＝AB＝AD，據(jù)此不難判斷④.7．（2分）（2021八上·如皋月考）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，點關(guān)于的對稱點B′恰好落在CD上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【完整解答】解：如圖，連接AB′，BB′，過A作AE⊥CD于E，∵點B關(guān)于AC的對稱點B′恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB′，∴AB＝AB′，∴∠BAC＝∠B′AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB′，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，∴四邊形AOB′E中，∠EB′O＝180°?α，∴∠ACB′＝∠EB′O?∠COB′＝180°?α?90°＝90°?α，∴∠ACB＝∠ACB′＝90°?α，故答案為：D.【思路引導(dǎo)】連接AB′，BB′，過A作AE⊥CD于E，利用軸對稱的性質(zhì)可證得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分線的性質(zhì)可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性質(zhì)可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根據(jù)∠ACB′＝∠EB′O?∠COB′，代入計算可表示出∠ACB的度數(shù).8．（2分）（2021八上·江津期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為3，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點.若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5【答案】D【完整解答】解：如圖，連接AM、AD∵EF垂直平分線段AC∴CM=AM∴CM+MD=AM+MD≥AD即當(dāng)A、M、D三點在一直線上且與AD重合時，CM+MD取得最小值，且最小值為線段AD的長∵△CMD的周長=CM+MD+CD=AM+MD+AD∴△CMD的周長的最小值為AD+CD∵D為BC的中點，AB=AC∴，AD⊥BC∴∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△CDM周長的最小值為13.5故答案為：D.【思路引導(dǎo)】連接AM、AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CM=AM，當(dāng)A、M、D三點在一直線上且與AD重合時，CM+MD取得最小值，且最小值為線段AD的長；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，AD⊥BC，利用△ABC的面積可求出AD的長，從而求出此時△CDM的周長即可.9．（2分）（2021八上·江陰期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線OD交于點O，點E在BC上，點F在AC上，連接EF.將∠C沿EF折疊，點C與點O恰好重合時，則∠OEC的度數(shù)（）A．90° B．92° C．95° D．98°【答案】B【完整解答】解：連接BO，CO，∵∠BAC=46°，∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，∴∠OAB=∠OAC=23°，∵OD是AB的垂直平分線，∴OA=OB，∵OA=OB，∠OAB=23°，∴∠OAB=∠ABO=23°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=44°，∵點C沿EF折疊后與點O重合，∴EO=EC，∴∠EOC=∠OCE=44°，∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.故答案為：B.【思路引導(dǎo)】連接BO，CO，由角平分線的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得OA=OB，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度數(shù)，證明△ABO≌△ACO，得到BO=CO，則∠OBC=∠OCB=44°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得EO=EC，則∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC中，應(yīng)用內(nèi)角和定理進行求解.10．（2分）（2021八上·廣安期末）如圖，在中，的平分線相交于點E，邊的垂直平分線相交于點D.若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【完整解答】解：∵∴∠EBC+∠ECB=180°-，∵BE，CE分別，∴∴∵邊的垂直平分線相交于點D.∴AD=BD=CD，∴，∴，，∴，∴，故答案為：D.【思路引導(dǎo)】由內(nèi)角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分線的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，則∠ABC+∠ACB=120°，由內(nèi)角和定理可得∠BAC=60°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得∴AD=BD=CD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，則∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，進而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下來根據(jù)周角的概念進行計算即可.二．填空題（共10小題，滿分22分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·永定期末）在ABC中，AD⊥BC于點D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，則圖中陰影部分的面積為.【答案】6【完整解答】解：如圖，先標注字母，∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，

∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△ABE和△ACE中，

AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴S△ABE＝S△ACE，

在△BDF和△CDF中，

BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，

∴△BDF≌△CDF（SAS），

∴S△BDF＝S△CDF，

∴S△BEF＝S△CEF，

∵S△ABC＝BC?AD＝×4×6＝12，

∴S陰影＝S△ABC＝6．故答案為：6.【思路引導(dǎo)】由AD⊥BC于D點，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易證△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，繼而可得S陰影＝S△ABC，則可求得答案．12．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，，點P在的邊上，以點P為圓心，為半徑畫弧，交于點A，連接，則.【答案】70【完整解答】解：由作圖可知，PO=PA，∴∠PAO=∠O=35°，∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.故答案為：70.【思路引導(dǎo)】由作圖可知：PO=PA，根據(jù)等邊對等角得∠PAO=∠O=35°，由三角形的任意一個外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠APN=∠O+∠PAO，據(jù)此計算.13．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，是一角度為的銳角木架，要使木架更加牢固，需在其內(nèi)部添加一些連接支撐木件、、…，且…，在、足夠長的情況下，如果最多能添加這樣的連接支撐木件為6根，則銳角的范圍為.【答案】0°＜α＜【完整解答】解：∵OE=EF，∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，∵最多能添加這樣的鋼管6根，∴7α＜90°，∴0°＜α＜，故答案為：0°＜α＜.【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EOF=∠EFO=α，由外角的性質(zhì)可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，由題意可得7α＜90°，求解即可.14．（2分）如圖，已知△ABC中，∠B=∠ACB，∠BAC和∠ACB的角平分線交于D點．∠ADC=100°，那么∠CAB是．【答案】140°【完整解答】解：設(shè)∠CAB=x∵在△ABC中，∠B=∠ACB=（180°﹣x）∵CD是∠ACB的角平分線，AD是∠BAC的角平分線∴∠ACD=（180°﹣x），∠DAC=x∵∠ACD+∠DAC+∠ADC=180°∴（180°﹣x）+x+100°=180°∴x=140°故答案是：140°．【思路引導(dǎo)】設(shè)∠CAB=x，根據(jù)已知可以分別表示出∠ACD和∠DAC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得∠CAB的度數(shù)．15．（2分）（2022八上·新昌期末）如圖，一塊木板把ABC遮去了一部分，過點A的木板邊沿恰好把ABC分成兩個等腰三角形，已知，且∠B是其中一個等腰三角形的底角，則ABC中最大內(nèi)角的度數(shù)為.【答案】90°或140°或150°【完整解答】解：根據(jù)題意，分三種情況進行討論：如圖所示：①與為等腰三角形，，且為底角，∴，∴，∴，，∴，，在中，，，，∴最大內(nèi)角為；②∵，，為等腰三角形，為頂角，∴，，在中，，，，∴最大內(nèi)角為；③∵，，為等腰三角形，為頂角，在中，，，，∴最大內(nèi)角為；綜上可得：最大內(nèi)角為或或.故答案為：或或.【思路引導(dǎo)】①△ABD和△ACD為等腰三角形，∠B=10°，且∠B為底角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得∠ADB=160°，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理求出∠CAD的度數(shù)，根據(jù)∠BAC=∠BAD+∠CAD求出∠BAC的度數(shù)，進而可得最大內(nèi)角；

②∠ADC=20°，△ADC為等腰三角形，∠C為頂角，易得∠ABC=∠BAD+∠CAD=30°，據(jù)此得最大內(nèi)角；

③∠ADC=20°，△ADC為等腰三角形，∠ADC為頂角，求出∠B、∠C、∠BAC的度數(shù)，進而可得最大內(nèi)角.16．（2分）（2021八上·蕪湖期末）一個等腰三角形的一邊長為2，另一邊長為9，則它的周長是．【答案】20【完整解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰為2時，2＋2＜9，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為9時，2＋9＞9，所以能構(gòu)成三角形，周長是：2＋9＋9＝20．故答案為：20．【思路引導(dǎo)】利用三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可。17．（2分）（2019八下·鼓樓期末）如圖，正方形ABCD邊長為a，O為正方形ABCD的對角線的交點，正方形A1B1C1O繞點O旋轉(zhuǎn)，則兩個正方形重疊部分的面積為．【答案】【完整解答】解：如圖，∵O為正方形ABCD的對角線的交點，∴∠4＝∠5＝45°，∠AOB＝90°，OA＝OB，∵四邊形A1B1C1O為正方形，∴∠EOF＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，在△AOE和△BOF中∠4=∠5OA=OB∴△AOE≌△BOF，∴S△AOE＝S△BOF，∴兩個正方形重疊部分的面積＝S△OBE+S△OBF＝S△OBE+S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD＝．故答案為．

【思路引導(dǎo)】如圖，由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠1＝∠3，證明出△AOE≌△BOF，得S△AOE＝S△BOF，從而得出兩個正方形重疊部分的面積＝S正方形ABCD，即可求出兩個正方形重疊部分的面積等于.18．（2分）（2021八上·建華期末）小聰在研究題目“如圖，在等腰三角形ABC中，，，的平分線與AB的垂直平分線OD交于點O，點C沿直線EF折疊后與點O重合，你能得出那些結(jié)論？”時，發(fā)現(xiàn)了下面三個結(jié)論：①；②圖中沒有60°的角；③D、O、C三點共線．請你直接寫出其中正確的結(jié)論序號：【答案】①【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO為∠BAC的平分線，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分線，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．∵AO為∠BAC的平分線，AB=AC，∴直線AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠OEF=∠CEO=50°，①符合題意；∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°-40°=60°，②不符合題意；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分線，∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三點不共線，③不符合題意.故答案為：①．【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線，垂直平分線的定義對每個結(jié)論一一判斷即可。19．（2分）（2021八上·南寧期中）如圖是5×5的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，像△ABC這樣的三角形叫格點三角形，畫與△ABC有一條公共邊且全等的格點三角形，這樣的格點三角形最多可以畫個.【答案】6【完整解答】解：如圖，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)以BC為公共邊可畫出△BDC，△BEC，△BFC三個三角形和原三角形全等；以AB為公共邊可畫出三個三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等，而以AC為公共邊不可以作出全等三角形，所以共可以作出六個全等三角形.故答案為：6.【思路引導(dǎo)】由題意可以以AB和BC為公共邊分別畫出3個，AC不可以，然后可求解．20．（2分）（2021八上·武昌期中）如圖，已知△ABC中，OE、OF分別是AB、AC的垂直平分線，∠OBC，∠OCB的平分線相交于點I，有如下結(jié)論：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正確的結(jié)論是.【答案】②③④【完整解答】解：OE、OF分別是AB、AC的垂直平分線，設(shè)①AO＝CI成立，則CO＝CI，即點C在OI的垂直平分線上，這與CI是∠OCB的角平分線互相矛盾，故①錯誤，，，，∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，∠ABC+∠ACO=90°，故②正確；過點I作，分別是的角平分線，是的角平分線∠BOI＝∠COI，故③④正確.故答案為：②③④.【思路引導(dǎo)】由垂直平分線的性質(zhì)可得AO=BO，AO=CO，則BO=CO，若AO＝CI成立，則CO＝CI，即點C在OI的垂直平分線上，這與CI是∠OCB的角平分線互相矛盾，據(jù)此判斷①；由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，結(jié)合內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACO=90°，據(jù)此判斷②；過點I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分線的性質(zhì)可得PI=RI，QI=RI，則PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分線，據(jù)此判斷③④.三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（5分）（2021八上·南京期末）如圖，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，點E在BC上.（1）（2分）求證：∠EAC＝∠BAD；（2）（3分）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度數(shù).【答案】（1）證明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.即∠EAC＝∠BAD；（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，∴∠AEC＝∠C＝×(180°－∠EAC)＝×(180°－42°)＝69°.∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝69°，∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.【思路引導(dǎo)】（1）證明△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，進而根據(jù)等式的性質(zhì)得∠EAC＝∠BAD；（2）由等腰三角形的性質(zhì)求出∠AEC＝∠C＝69°，由△ABC≌△ADE可得∠AED＝∠C＝69°，利用平角的定義即可求解.22．（5分）（2021八上·營口期末）如圖，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三點共線，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），又∵BD＝5，∴CE＝BD＝5，∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，∴，∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．【思路引導(dǎo)】根據(jù)SAS證出△AEC≌△ADB，再根據(jù)BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入計算即可。23．（6分）（2019八上·同安期中）如圖，在△ABC中，點D是BC邊的中點，DE⊥BC，∠ABC的角平分線BF交DE于點P，交AC于點M，連接PC．（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度數(shù)；（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周長為m+2時，求△BCM的面積（用含m的代數(shù)式表示）．【答案】解：（Ⅰ）∵點D是BC邊的中點，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，∴3∠ABP＝120°﹣24°，∴∠ABP＝32°；（Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC，∴BM⊥AC，∴∠BMC＝90°，∵PD⊥BC，點D是BC邊的中點，∴PD垂直平分BC，∴PB＝PC，∵△PCM的周長為m+2，∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2，∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BM?CM＝m2+2?BM?CM＝（m+2）2，∴BM?CM＝2m+2，∴△BCM的面積＝BM?CM＝m+1．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得∠PBC＝∠PCB，根據(jù)角平分線的定義，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠ABP的度數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BM?CM＝2m+2，于是得到結(jié)論．24．（6分）（2021八上·松桃期末）如圖①：中，，延長AC到E，過點E作交AB的延長線于點F，延長CB到G，過點G作交AB的延長線于H，且.（1）（3分）求證：≌；（2）（3分）如圖②，連接EG與FH相交于點D，若，求DH的長.【答案】（1）證明：∵，∴.∵，∴.又∵，，∴.在和中，∵，∴≌（AAS）.（2）解：∵≌，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴≌（AAS），∴.【思路引導(dǎo)】（1）由等腰三角形的性質(zhì)及對頂角相等可得∠A=∠ABC=∠GBH，由垂直的定義可得∠AFE=∠BHG=90°，根據(jù)AAS證明△AEF≌△BGH；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AF=BH，從而求出AB=FH=4，根據(jù)AAS證明△EFD≌△GHD，利用全等三角形的性質(zhì)可得DH的長.25．（6分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分線交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，連接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度數(shù)．【答案】解：過D作DM⊥AC交CA的延長線于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF=DM，∵∠BAC=120°，∴∠DAM=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=60°，∴∠DAM=∠BAE，∴DM=DN，∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB，∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DEF=45°，∵∠B=∠C=30°，∴∠DCF=15°，∴∠EDC=30°，【思路引導(dǎo)】本題作出DN⊥AE、DM⊥AC，先利用角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)可得DF=DM=DN，再利用到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上可得DE平分且等于45°，同時利用等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)借助三角形內(nèi)角和又得∠DCF=15°，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出結(jié)果。26．（10分）如圖：（1）（3分）如圖①，，射線在這個角的內(nèi)部，點B、C分別在的邊、上，且，于點F，于點D.求證：；（2）（3分）如圖②，點B、C分別在的邊、上，點E、F都在內(nèi)部的射線AD上，、分別是、的外角.已知，且.求證：；（3）（4分）如圖③，在中，，.點在邊上，，點、在線段上，.若的面積為15，求與的面積之和.【答案】（1）證明：∵，即，又∵，，∴，，∴，在和中，∵，∴（2）證明：∵，∴，又∵，，，∴，在和中，∵，∴.（3）解：由（2）知，∵，∴，∵，∴，，.【思路引導(dǎo)】（1）先利用相同角的余角相等得到，再通過“角角邊”證明即可；（2）根據(jù)題意易得，利用三角形的外角性質(zhì)與等量代換可得，再通過“角角邊”證明即可；（3）同理（2）可得，因為，所以，則.27．（10分）（2021八上·平?jīng)銎谥校┨骄颗c發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在底邊BC上，AE=AD