高三開(kāi)學(xué)摸底考試卷-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

高三開(kāi)學(xué)摸底考試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得集合，可求得.【詳解】依題得，則．故選：C.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得，則，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D.3．五一小長(zhǎng)假前夕，甲、乙、丙三人從四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲到過(guò)景點(diǎn)，所以甲不選景點(diǎn)，則不同的選法有（

）A．64種 B．48種 C．36種 D．24種【答案】B【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】因甲不選A景點(diǎn)，應(yīng)該分步完成：第一步，先考慮甲在三個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)，有3種選法；第二步，再考慮乙和丙，從中分別任選一個(gè)景點(diǎn)，有中選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同選法有：種．故選：B．4．某農(nóng)業(yè)研究所對(duì)玉米幼穗的葉齡指數(shù)與可見(jiàn)葉片數(shù)進(jìn)行分析研究，其關(guān)系可以用函數(shù)（為常數(shù)）表示．若玉米幼穗在伸長(zhǎng)期可見(jiàn)葉片為7片，葉齡指數(shù)為30，則當(dāng)玉米幼穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時(shí)，可見(jiàn)葉片數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】利用函數(shù)，由題意已知，求出待定系數(shù)，再用，去求解，當(dāng)然這里面有取自然對(duì)數(shù)及取值計(jì)算.【詳解】由題意知，，則等式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，，．，，，，故選：C．5．過(guò)圓錐高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，則截面分圓錐上部分圓錐與下部分圓臺(tái)體積比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用圓錐、圓臺(tái)的體積公式求得圓錐與圓臺(tái)的體積關(guān)系．【詳解】設(shè)截面圓半徑為r，圓錐的高為h，圓錐的體積為,則圓臺(tái)下底面圓的半徑為2r，圓臺(tái)的高為h，圓臺(tái)的體積為，所以，，可得.故選：D.6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和差的正余弦公式展開(kāi)，兩邊同除，得到.再利用兩角差的正切公式展開(kāi)，將換成，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.7．已知函數(shù)，則使得成立的正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】由題意可知的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)．當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且．所以不等式成立，需，解得或，又，所以，即正實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．8．已知函數(shù)，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，即，又在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，可得，，所以，，所以，，即所以，，即.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知a，，有一組樣本數(shù)據(jù)為，3，，，8，10，，12，13，若在這組數(shù)據(jù)中再插入一個(gè)數(shù)8，則（

）A．平均數(shù)不變 B．中位數(shù)不變 C．方差不變 D．極差不變【答案】AD【分析】求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，判斷A的真假；令取特殊值，驗(yàn)證B的真假；利用方差的計(jì)算公式求方差判斷C的真假；因?yàn)?不是最值，所以插入8不影響極差，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，插入一個(gè)數(shù)8，平均數(shù)不變，正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8.5，錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，新數(shù)據(jù)的方差為，錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所?不是最值，故新數(shù)據(jù)的極差不變，正確．故選：AD10．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則B．的最小值為C．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，曲線恒過(guò)直線與圓的交點(diǎn)D．若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）四點(diǎn)共圓，則【答案】BCD【分析】根據(jù)對(duì)稱性判斷直線過(guò)圓心，即可判斷A，將直線的方程整理為，即可說(shuō)明直線所故定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，根據(jù)弦長(zhǎng)公式判斷B，根據(jù)圓系方程，可判斷C，根據(jù)幾何關(guān)系，設(shè)出過(guò)四點(diǎn)的圓的方程，再求過(guò)圓和圓的交點(diǎn)的直線的方程，代入定點(diǎn)，即可判斷D.【詳解】A.若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過(guò)圓的圓心，即，得，故A錯(cuò)誤；B.，整理為，不管為何值，直線始終過(guò)點(diǎn)，當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，圓，圓心是，半徑，圓心和點(diǎn)的距離是，所以最短弦長(zhǎng)，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，直線，曲線，即，所以曲線為過(guò)直線與圓交點(diǎn)的曲線方程，故C正確；D.若四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心，的中點(diǎn)為，所以的垂直平分線方程為，所以，圓的方程為，整理為，直線是圓與圓的交線，圓與圓的方程相減得所以直線的方程是，將直線所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得，得，所以直線，即直線的斜率為，即，則，故D正確.故選：BCD11．已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，，則（

）A． B．的最小值為3C．若為銳角三角形，則 D．若，，則【答案】BCD【分析】由，得，由正弦定理得和余弦定理化簡(jiǎn)得，即可判斷A；將代入化簡(jiǎn)成，由基本不等式可得它的最小值，即可判斷B；由正弦定理邊化角可得，再由的范圍可得的范圍，即可判斷C；由正弦定理求出，再由余弦定理可得，即可判斷D.【詳解】由，得，由正弦定理得，由余弦定理得，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故選項(xiàng)B正確；在中，，由正弦定理，，若為銳角三角形，又，則，故，所以，所以，則，所以，故選項(xiàng)C正確；在中，由正弦定理，又，，，得，則由余弦定理，，得，整理得，解得，或，當(dāng)時(shí)，有，又，所以，因?yàn)?，則不成立，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量的夾角為，若，則.【答案】4【分析】對(duì)化簡(jiǎn)結(jié)合已知條件可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄康膴A角為，，所以所以由，得得，或（舍去），故答案為：413．已知直線是曲線和的公切線，則實(shí)數(shù)a=．【答案】3【分析】先設(shè)在上的切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)和切線，然后再設(shè)在上的切點(diǎn)，即可求出a的值.【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，因?yàn)閘與曲線相切，所以消去，得，解得．設(shè)l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，即，因?yàn)槭莑與曲線的公共點(diǎn)，所以消去，得，即，解得．故答案為：3.14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且.又以雙曲線的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線虛軸的端點(diǎn)，則雙曲線的離心率為.【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及余弦定理、圓的定義求出即可.【詳解】令，依題意，，解得，顯然，，，而，于是，在中，由余弦定理，得，解得，即，所以雙曲線的離心率為.故答案為：2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)題干及（1）的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算出前項(xiàng)和為的表達(dá)式，然后運(yùn)用放縮法即可證明不等式成立．【詳解】（1）依題意，由，可得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，整理，得，，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴；（2）依題意及（1），由可得，則，，兩式相減，可得，∴，故得證．16．（15分）已知底面是平行四邊形，平面，，，，且.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，或.【分析】（1）由，得到，再由平面，證得，進(jìn)而證得平面，結(jié)合，得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得向量和平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）證明：在中，，，，則，可得，所以，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）是平行四邊形，平面，，，，且.假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角的大小為，故，整理得，解得或，所以或.17．（15分）為提高學(xué)生對(duì)航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校組織學(xué)生參加航天科普知識(shí)挑戰(zhàn)賽，比賽共設(shè)置A，B，C三個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為50分，答對(duì)問(wèn)題A，B，C分別加10分，20分，30分，答錯(cuò)任一題減10分；②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于40分或答完三題時(shí)累計(jì)分?jǐn)?shù)不足80分，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)失??；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于80分時(shí)，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)成功；③每位參加者按問(wèn)題A，B，C順序作答，直至挑戰(zhàn)結(jié)束.設(shè)甲同學(xué)能正確回答出問(wèn)題A，B，C的概率分別為，，，且回答各題正確與否互不影響.(1)求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率；(2)用X表示甲同學(xué)答題結(jié)束時(shí)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）用表示甲第i個(gè)問(wèn)題回答正確，表示甲第i個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，分析甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪包括，分別求概率，再相加；（2）分析出的可能取值：0，1，2，分別求概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）用表示甲第i個(gè)問(wèn)題回答正確，表示甲第i個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則;.記事件Q：甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率，則：.即甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率為.（2）由題意知的可能取值：0，1，2，∴;,，，∴的分布列為：012∴,即數(shù)學(xué)期望為.18．（17分）已知橢圓：（）的半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度與焦距相等，且過(guò)焦點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在靠近的一側(cè)）（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┰谥本€上是否存在一定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)（?。唬áⅲ┐嬖?，【分析】（1）結(jié)合長(zhǎng)半軸、焦距與通徑定義計(jì)算即可得；（2）（ⅰ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線可得與交點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，通過(guò)計(jì)算得到其范圍后，即可得的范圍；（ⅱ）結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，由題意可得距離相等，代入計(jì)算可得點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入方程可得橫坐標(biāo)，即可得解.【詳解】（1）由題意可得，解得，則：；（2）（?。┰O(shè)直線：，，，聯(lián)立，得，則有，，且，則，則，設(shè)，則，則.（ⅱ）設(shè)，則，設(shè)直線，：，，即分別為：，，由，則到直線，的距離相等，聯(lián)立，有是其中一組解，又與等價(jià)，不妨設(shè)，則有，即，即，可得，又，即，則有，通分并整理得：.代入得.化簡(jiǎn)得.故，則，則.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19．（17分）若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．(1)已知函數(shù)，區(qū)間且的一個(gè)“封閉區(qū)間”，求的取值集合；(2)已知函數(shù)，設(shè)集合．（i）求集合中元素的個(gè)數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長(zhǎng)度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長(zhǎng)度為的閉區(qū)間，使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．【答案】(1)(2)（i）2；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“封閉區(qū)間”的定義，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并求出其值域解不等式可得的取值集合；（2）（i）對(duì)求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理即可求得集合中元素的個(gè)數(shù)為2個(gè)；（ii）根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度的定義，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論得出的所有可能的“封閉區(qū)間”即可得出證明.【詳解】（1）由題意，，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，可得的值域?yàn)?，因此只需，即可得，即，則的取值集合為．（2）（i）記函數(shù)，則，由得或；由得；所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．其中