四川省成都市九校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

四川省成都市九校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.2．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，且，則（）A. B.C. D.3．已知，，且，則（）A. B.C. D.4．過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.5．已知曲線(xiàn)的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）①曲線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)是一個(gè)橢圓；③曲線(xiàn)圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③6．已知梯形ABCD中，，，且對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作與AB所在直線(xiàn)的平行線(xiàn)l.若AB和CD所在直線(xiàn)的方程分別是與，則直線(xiàn)l與CD所在直線(xiàn)的距離為（）A.1 B.2C.3 D.47．若點(diǎn)P為拋物線(xiàn)y＝2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.8．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B.C. D.9．設(shè)直線(xiàn)，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.10．圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定11．以下說(shuō)法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位③線(xiàn)性回歸方程必過(guò)④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越高；⑤在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，那么的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.312．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過(guò)三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿(mǎn)意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過(guò)分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿(mǎn)意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿(mǎn)意度不低于四成C.總體中對(duì)方式二滿(mǎn)意學(xué)生約為300人D.樣本中對(duì)方式一滿(mǎn)意的學(xué)生為24人二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角大小等于_______14．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_(kāi)______________15．直線(xiàn)的一個(gè)法向量________.16．設(shè)，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，總滿(mǎn)足直線(xiàn)與的斜率互為相反數(shù)，求證：直線(xiàn)的斜率為定值.18．（12分）已知過(guò)點(diǎn)的圓的圓心M在直線(xiàn)上，且y軸被該圓截得的弦長(zhǎng)為4（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并寫(xiě)出取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)19．（12分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值20．（12分）已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.21．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點(diǎn)（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合函數(shù)圖象平移變換可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，函?shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到奇函數(shù)的圖象，即函數(shù)為奇函數(shù).故選：A2、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得.故選：B.3、D【解析】利用空間向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示可求得、的值，即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，，因此，.故選：D4、B【解析】根據(jù)平行設(shè)直線(xiàn)方程，代入點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)直線(xiàn)方程為，將點(diǎn)代入直線(xiàn)方程得到，解得.故直線(xiàn)方程為：.故選：B.5、D【解析】對(duì)于①在方程中換為，換為可判斷；對(duì)于②分析曲線(xiàn)的圖形是兩個(gè)拋物線(xiàn)的部分組成的可判斷；對(duì)于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線(xiàn)圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線(xiàn)的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程化為，此時(shí)所以曲線(xiàn)圖形是兩個(gè)拋物線(xiàn)的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線(xiàn)的上方.根據(jù)曲線(xiàn)和橢圓的的對(duì)稱(chēng)性可得橢圓的圖形在曲線(xiàn)的外部（四個(gè)頂點(diǎn)在曲線(xiàn)上）所以曲線(xiàn)圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D6、B【解析】先求得直線(xiàn)AB和CD之間的距離，再求直線(xiàn)l與CD所在直線(xiàn)的距離即可解決.【詳解】梯形ABCD中，，，且對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)E，則有△與△相似，相似比為，則，點(diǎn)E到CD所在直線(xiàn)的距離為AB和CD所在直線(xiàn)距離的又AB和CD所在直線(xiàn)的距離為，則直線(xiàn)l與CD所在直線(xiàn)的距離為2故選：B7、D【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得出當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，|PF|取最小值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)拋物線(xiàn)y＝2x2上點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線(xiàn)的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－，∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D8、A【解析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A9、A【解析】由兩直線(xiàn)垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.10、B【解析】用圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的大小判斷【詳解】解：圓的圓心到直線(xiàn)的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線(xiàn)相切，故選：B11、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位，故②不正確；線(xiàn)性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，故③正確；根據(jù)線(xiàn)性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線(xiàn)性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對(duì)于觀(guān)察值來(lái)說(shuō)，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查用樣本估計(jì)總體、線(xiàn)性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.12、B【解析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可求出結(jié)果【詳解】選項(xiàng)A，樣本容量為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿(mǎn)意率，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，樣本可以估計(jì)總體，但會(huì)有一定的誤差，總體中對(duì)方式二滿(mǎn)意人數(shù)約為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，樣本中對(duì)方式一滿(mǎn)意人數(shù)為，該選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角可得答案.【詳解】直線(xiàn)是與軸平行的直線(xiàn)，直線(xiàn)的斜率為1，即與軸的夾角為角，故直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角大小等于.故答案為：.14、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進(jìn)而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因?yàn)?，易知，又因?yàn)?，，所以，，故答案為?07.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了和的關(guān)系，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.15、（答案不唯一）【解析】根據(jù)給定直線(xiàn)方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【詳解】直線(xiàn)的方向向量為，而，所以直線(xiàn)的一個(gè)法向量.故答案為：16、【解析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，結(jié)合已知不等式恒成立，即可確定的范圍.【詳解】令，則且，若得：；若得：；所以在上遞增，在上遞減，故，要使在上恒成立，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，解方程組求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程并與橢圓方程聯(lián)立，由此求得，同理求得，從而化簡(jiǎn)求得直線(xiàn)的斜率為定值.【小問(wèn)1詳解】由題可知，解得，從而粚圓方程為.【小問(wèn)2詳解】證明設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，得，整理得，從而，于是，由題意得直線(xiàn)的斜率為，則，，同理可求得，于是即直線(xiàn)的斜率為定值.18、（1）（2），【解析】（1）用待定系數(shù)法設(shè)出圓心，根據(jù)圓過(guò)點(diǎn)和弦長(zhǎng)列出方程求解即可；（2）當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)有最小值，求出直線(xiàn)MN的方程，令y=0即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可設(shè)圓心，因?yàn)閥軸被圓M截得的弦長(zhǎng)為4，所以，又，則，化簡(jiǎn)得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，則直線(xiàn)的方程為，即，令，得，則19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，因?yàn)?，所以與不垂直，所以與平面不垂直【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，則，，因?yàn)槠矫?，所以，所以，得，且，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為20、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則直接計(jì)算作答.(2)求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù).【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是.21、（1）（2）【解析】（1）由與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得出，再由錯(cuò)位相減法得出的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，所以，所以，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以.22、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，即可證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）利用垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用公式，