數(shù)學(xué)同步練習(xí)：一元二次不等式及其解法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。3一元二次不等式及其解法1．不等式x（2－x）〉3的解集是（)A．｛x｜－1<x<3｝B．{x|－3〈x〈1｝C．{x|x<－3或x>1}D．?2．不等式eq\f（1，4）x2＋2x＋4≥0的解集為()A．｛x｜x<－4或x>4｝B．?C．｛x|x≠－4｝D．R3．不等式ax2＋4x＋a〉1－2x2對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．4．下面哪些不等式是關(guān)于x的一元二次不等式？（1)x2〉0；(2)－x－x2≤5；(3)ax2〉2；(4)x3＋5x－6>0；（5）mx2－5x<0；（6)ax2＋bx＋c>0。答案:1．D原不等式可化為x2－2x＋3<0.因?yàn)榉匠蘹2－2x＋3＝0無實(shí)數(shù)解，函數(shù)y＝x2－2x＋3的圖象是開口向上的拋物線，與x軸無交點(diǎn),所以不等式的解集為?。2．D方程eq\f(1，4）x2＋2x＋4＝0有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解:x1＝x2＝－4。因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f（1，4)x2＋2x＋4的圖象是開口向上的拋物線，與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)（－4，0)，所以不等式的解集為R。3．a(chǎn)〉2ax2＋4x＋a〉1－2x2對(duì)一切x∈R恒成立，即（a＋2)x2＋4x＋a－1〉0對(duì)一切x∈R恒成立．若a＋2＝0，顯然不成立．若a＋2≠0，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＋2〉0,，Δ<0。))∴a〉2.4．解:（1）是；(2）是；(3)不是，因a＝0時(shí)，不符合定義；(4)不是，因?yàn)閤的最高次數(shù)為3次，不符合定義；（5）不是，因?yàn)楫?dāng)m＝0時(shí)，它為一元一次不等式；(6)不是,因?yàn)閍＝0時(shí)，不符合一元二次不等式的定義．課堂鞏固1．函數(shù)y＝eq\r（x2＋x－12）的定義域是（)A．{x｜x〈－4或x〉3}B．｛x|－4<x〈3}C．{x｜x≤－4或x≥3}D．｛x|－4≤x≤3}2．(山東高考，文5）在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（)A．（0，2）B．（－2，1）C．（－∞，－2)∪(1，＋∞)D．（－1,2）3．不等式x（x－1）（1－2x)〉0的解集是__________．4．已知三個(gè)不等式x2－4x＋3<0①，x2－6x＋8<0②，2x2－9x＋m<0③，要使同時(shí)滿足①和②的所有x都滿足③，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．5．m是什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx2－（1－m）x＋m＝0沒有實(shí)數(shù)根？6．求下列函數(shù)的定義域：（1）f(x）＝eq\r（－3x2＋2x－1）；（2）f(x）＝log2（x2－x＋eq\f(1,4)）＋eq\r（x2－1)；(3)f（x)＝eq\f(lg（x＋4),\r（2x2－x－1)）。答案：1．C要使函數(shù)有意義，只需x2＋x－12≥0。方程x2＋x－12＝0的解為x1＝－4,x2＝3.函數(shù)y＝x2＋x－12的開口向上且與x軸有兩交點(diǎn)(－4,0),（3，0）．∴原不等式的解集為｛x|x≤－4或x≥3}．2.Bx⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2〈0?x2＋x－2<0?－2<x<1.3．｛x｜x<0或eq\f(1，2）〈x<1｝原不等式可化為x(x－1）(x－eq\f(1,2））〈0，其解集為{x|x〈0或eq\f(1，2）〈x<1}．4．m≤9方法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3<0，，x2－6x＋8<0，)）得2<x<3.③對(duì)于2〈x〈3恒成立，即m<－2x2＋9x對(duì)x∈（2,3)恒成立，∴m只需滿足小于函數(shù)－2x2＋9x在區(qū)間(2,3）上的最小值，即當(dāng)x＝3時(shí)，最小值為9,但取不到最小值．∴m≤9。方法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－4x＋3〈0，x2－6x＋8<0）)?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，2<x<4）)?2<x<3.設(shè)f(x)＝2x2－9x＋m，當(dāng)x∈（2,3）時(shí)，f(x)<0恒成立．由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（f(2）≤0,，f(3）≤0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(8－18＋m≤0，，18－27＋m≤0，）)解得m≤9。5．解：由Δ＝（1－m）2－4m2〈0，整理，得3m2＋2m－1>0。因?yàn)榉匠?m2＋2m－1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根－1和eq\f（1，3),所以m〈－1或m〉eq\f（1，3）.所以m的取值范圍是｛m｜m〈－1或m〉eq\f(1,3）}．6．解：(1）由函數(shù)的解析式有意義，得－3x2＋2x－1≥0。因?yàn)棣ぃ?2－4×（－3）×(－1)＝－8〈0,所以不等式的解集為?,即函數(shù)的定義域?yàn)?。（2）由函數(shù)的解析式有意義，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋\f(1，4）>0，，x2－1≥0，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x≠\f（1,2)，,x≤－1或x≥1.）)因此x≤－1或x≥1。所以所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤－1或x≥1｝．(3)由函數(shù)的解析式有意義，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋4>0，,2x2－x－1>0，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x〉－4,,x<－\f(1,2）或x>1.）)因此－4<x<－eq\f（1,2)或x〉1。故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸｜－4〈x<－eq\f(1，2）或x>1}．1．不等式f(x)＝ax2－x－c〉0的解集為{x|－2<x〈1}，則函數(shù)y＝f（－x）的圖象為（）1．答案：C由已知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－2＋1＝\f（1,a),－2×1＝－\f（c,a)）)?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－1，,c＝－2，))y＝f（－x）＝ax2＋x－c，即y＝－x2＋x＋2，其圖象為C。2．不等式eq\f（x＋5，（x－1）2）≥2的解集為(）A．[－3,eq\f(1,2)］B．[－eq\f（1，2），3］C．［eq\f（1，2)，1)∪（1，3]D．［－eq\f(1,2)，1)∪(1,3]2．答案：Deq\f(x＋5,(x－1)2）≥2?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋5≥2（x－1）2，x－1≠0）)?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x2－5x－3≤0,x≠1)）?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)≤x≤3，，x≠1，))∴x∈［－eq\f(1，2),1）∪（1,3］．3．不等式2x2＋mx＋n〉0的解集是x〉3或x〈－2,則二次函數(shù)y＝2x2＋mx＋n的表達(dá)式是（)A．y＝2x2＋2x＋12B．y＝2x2－2x＋12C．y＝2x2＋2x－12D．y＝2x2－2x－123．答案：D依題意知x＝3或x＝－2是方程2x2＋mx＋n＝0的兩個(gè)根，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3－2＝－\f（m，2)，,3×(－2)＝\f（n,2)。)）解之,得m＝－2，n＝－12.故二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x2－2x－12.4．（天津高考,文8)設(shè)函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－4x＋6，x≥0，，x＋6,x＜0,））則不等式f(x）＞f（1)的解集是()A．（－3，1)∪（3，＋∞）B．（－3,1）∪(2，＋∞)C．(－1,1）∪(3，＋∞)D．（－∞，－3)∪（1,3)4．答案：A由題意知f（1)＝3，則當(dāng)x≥0時(shí)，f（x)＞f(1）＝3，即x2－4x＋6＞3,可解得x＞3或0≤x＜1；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x）＞f（1）＝3，即x＋6＞3，解得－3＜x＜0.故原不等式的解集為（－3，1)∪(3，＋∞)．故選A。5。不等式x2＋（a＋b）x＋ab〈0(a〈b)的解集是__________．5．答案：｛x｜－b<x<－a}－b，－a是方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0的解，又∵a<b，∴－a〉－b。從而不等式的解集為－b〈x<－a。6．函數(shù)f（x)＝lgeq\f(1－x,x－4)的定義域?yàn)開_________．6．答案:1<x〈4要使函數(shù)有意義，只需eq\f(1－x，x－4)〉0，即(1－x)(x－4)>0?（x－1）(x－4）<0?1<x<4。7．解下列不等式：(1）14－4x2≥x；(2）（2x－1)2－（3x＋2)2〉11.7．答案：解：（1)原不等式化為4x2＋x－14≤0.因?yàn)棣?gt;0，方程4x2＋x－14＝0的根是x1＝－2,x2＝eq\f(7,4),所以不等式的解集為{x｜－2≤x≤eq\f（7,4）｝．（2)原不等式化為5x2＋16x＋14〈0.因?yàn)棣ぁ?，方程5x2＋16x＋14＝0無實(shí)根，所以不等式的解集為?.點(diǎn)評(píng)：解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；（2)確定判別式Δ的符號(hào)；（3)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集．8．若關(guān)于x的不等式eq\f(4x＋m,x2－2x＋3）<2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．8．答案:解法一：∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2>0,∴不等式eq\f（4x＋m,x2－2x＋3)<2同解于4x＋m〈2x2－4x＋6,即2x2－8x＋6－m>0。要使原不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立．∴Δ〈0,即64－8(6－m）<0.整理并解得m<－2.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－∞，－2）．解法二：承接解法一,要使eq\f(4x＋m，x2－2x＋3)〈2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只要2x2－8x＋6－m〉0恒成立即可．變形為m<2x2－8x＋6。設(shè)h（x)＝2x2－8x＋6，要使m<2x2－8x＋6恒成立，只要m<h(x）min.而h(x）＝2x2－8x＋6＝2(x－2）2－2≥－2，∴h（x）min＝－2.∴m〈－2.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<－2。點(diǎn)評(píng)：本題是關(guān)于含參數(shù)不等式恒成立的題目，有兩種解法．解法一是針對(duì)含參數(shù)的一元二次不等式的特殊解法．解法二是分離變量法，是通法，通過分離變量,反客為主,使不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．以后做題過程中常用到兩個(gè)結(jié)論：m〉f（x）恒成立?m>f