專題09類比歸納專題平行直角坐標(biāo)系中圖形面積的求法（重點(diǎn)突圍）

專題09類比歸納專題：平行直角坐標(biāo)系中圖形面積的求法【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一直接利用面積公式求圖形的面積】 1【考點(diǎn)二利用補(bǔ)形法或分割法求圖形的面積】 10【考點(diǎn)三與圖形面積相關(guān)的點(diǎn)的存在性問(wèn)題】 14【典型例題】【考點(diǎn)一直接利用面積公式求圖形的面積】例題：（2022·北京大興·七年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，連接AB交y軸于點(diǎn)C．(1)求三角形AOB的面積；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、點(diǎn)B到OA的距離，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)三角形面積和列等式，根據(jù)（1）中：△AOB的面積=6，即可得解．(1)解：過(guò)點(diǎn)B作BM垂直于x軸點(diǎn)M．∵，∴BM＝2．∵，∴OA＝2．∴．(2)過(guò)點(diǎn)B作BN垂直于y軸點(diǎn)N．，∴．∵點(diǎn)C在y軸的正半軸，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積和點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，1），把△ABC向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△A'B'C'．(1)畫(huà)出△A'B'C并寫(xiě)出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P在y軸上，且△BCP的面積是△ABC面積2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析，A′（0，4）(2)（0，4）或（0，8）【分析】（1）將三個(gè)頂點(diǎn)分別向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（2）先求出△ABC的面積，再得到△BCP的面積，設(shè)點(diǎn)P（0，a），求出a值即可得到點(diǎn)P坐標(biāo)．（1）解：如圖，△A′B′C′即為所求，其中A′（0，4）；（2）由圖可知：△ABC的面積為：=6，∵△BCP的面積是△ABC面積2倍，∴△BCP的面積為12，設(shè)點(diǎn)P（0，a），則=12，解得：a=6，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）或（0，8）．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖平移變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，且滿足，過(guò)作軸于．(1)求三角形的面積；(2)若線段與軸交于點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得三角形和三角形的面積相等，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】(1)36(2)或【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，的值，進(jìn)而得出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，利用三角形和三角形的面積相等可得到關(guān)于的方程，再解方程求出即可得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1），，，解得，，，，軸，，，，；（2）設(shè)，，，三角形和三角形的面積相等，，，，即，解得：或，或；【點(diǎn)睛】本題昰三角形綜合題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及三角形面積公式，理解坐標(biāo)與長(zhǎng)度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，(1)求點(diǎn)C到x軸的距離；(2)求的面積；(3)點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)?shù)拿娣e為6時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)3(2)18(3)或【分析】（1）點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值就是點(diǎn)C到x軸的距離解答；（2）根據(jù)三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)△ABP的面積為6，，整理得，所以或，即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴點(diǎn)C到x軸的距離為3；（2）解：∵，∴，點(diǎn)C到邊的距離為：，∴的面積為：．（3）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵的面積為6，，∴，∴，∴或，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，以及一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想．4．（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)位置分別是．(1)求的面積是多少？(2)若點(diǎn)的位置不變，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)？(3)若點(diǎn)的位置不變，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，且，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)？【答案】(1)6(2)(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出AC的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積列式計(jì)算即可得解；（2）分點(diǎn)P在y軸正半軸和負(fù)半軸兩種情況討論求解；（3）分點(diǎn)Q在C的左邊和右邊兩種情況討論求解．【詳解】（1）∵，∴，點(diǎn)B到的距離為3，∴的面積；（2）∵，∴以為底時(shí)，的高，∴點(diǎn)P在y軸正半軸時(shí)，；點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸時(shí)，；（3）∵，∴以為底時(shí)，的高為3，底邊，∴點(diǎn)Q在C的左邊時(shí)，，即；點(diǎn)Q在C的右邊時(shí)，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積解決本題的關(guān)鍵在于要分情況討論．5．（2022·湖北鄂州·七年級(jí)期中）已知在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)，，請(qǐng)回答如下問(wèn)題：(1)在坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn)，，的位置；(2)求出以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5(3)或【分析】（1）根據(jù)題意描出各點(diǎn)，即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，即可求解；（3）分兩種情況討論，即可求解．（1）解：如圖所示（2）解：（3）解：設(shè)點(diǎn)P（0，m），則，∵點(diǎn)，，∴AB=5，∵以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10，當(dāng)點(diǎn)P在AB的上方時(shí)，，解得：m=5；當(dāng)點(diǎn)P在AB的上方時(shí)，，解得：m=3；∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法，能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角形的底和高并求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．6．（2022·山東臨沂·七年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(，0)，B(，0)，其中，滿足，點(diǎn)M為第三象限內(nèi)一點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A(，0)，B(，0)；(2)若M為(，)，請(qǐng)用含的式子表示ABM的面積；(3)若M(，)到坐標(biāo)軸的距離相等，MNAB且NM=AB，求N點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)﹣1，3(2)(3)N(6，2)或(2，2)【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出答案；（2）根據(jù)三角形面積公式求出答案即可；（3）由題意可求出m＝4或8，求出M的坐標(biāo)，則可得出答案．（1）∵（a+1）2＝0，∴0，（a+1）2＝0，∴b﹣3＝0，a+1＝0，∴b＝3，a＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），故答案為：﹣1，3；（2）如圖，∵M(jìn)為（﹣2，m），且M在第三象限內(nèi)，∴m＜0，∴△ABM的面積2m；（3）∵M(jìn)（2﹣m，2m﹣10）到坐標(biāo)軸的距離相等，∴2﹣m＝2m﹣10或2﹣m＝﹣（2m﹣10），∴m＝4或8，∵M(jìn)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)，∴M（﹣2，﹣2），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∵M(jìn)N∥AB，NM＝AB，∴N（﹣6，﹣2）或（2，﹣2）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)、偶次方的非負(fù)性、三角形的面積、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度適中，能準(zhǔn)確求三角形的面積和掌握?qǐng)D形與坐標(biāo)的性質(zhì)是關(guān)鍵．【考點(diǎn)二利用補(bǔ)形法或分割法求圖形的面積】例題：（2022·河南三門(mén)峽·七年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求的面積．【答案】5【分析】根據(jù)割補(bǔ)法可進(jìn)行求解三角形的面積．【詳解】解：由題意畫(huà)出如下草圖：∵A(－1，3)，B(－2，0)，C(2，2)，∴D（2，0），E（－2，3），F(xiàn)（2，3），∴，∴==5．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形與坐標(biāo)，熟練掌握利用割補(bǔ)法求解圖形的面積是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，求四邊形的面積．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)進(jìn)行計(jì)算便可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵，∴，，，，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，三角形的面積計(jì)算，關(guān)鍵是把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形與梯形的面積進(jìn)行計(jì)算．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）坐標(biāo)平面內(nèi)有個(gè)點(diǎn)為．(1)建立坐標(biāo)系，描出這4個(gè)點(diǎn)；(2)順次連接，組成四邊形，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，畫(huà)出坐標(biāo)系，然后描點(diǎn)即可求解；（2）用矩形圍住四邊形，用矩形的面積減去4個(gè)三角形的面積即可求解．【詳解】（1）坐標(biāo)系及4個(gè)點(diǎn)的位置，如圖所示；（2）如圖，用矩形圍住四邊形，則．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣西崇左·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)、、、在同一坐標(biāo)系中描出、、、各點(diǎn)，并求出四邊形的面積．【答案】圖見(jiàn)解析，【分析】設(shè)與相交于點(diǎn)E，根據(jù)已知可得，然后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：描點(diǎn)如圖所示：設(shè)與相交于點(diǎn)E，∵點(diǎn)、、、，∴，，∵四邊形的面積的面積的面積，∴四邊形的面積，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)校考期中）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）.(1)求△ABC的面積；(2)設(shè)點(diǎn)P在x軸上，且△ABP與△ABC的面積相等，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)4(2)P（10，0），P（6，0）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，CE⊥y，垂足分別為D、E，由根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），則BP＝|x﹣2|，根據(jù)三角形面積公式，列出關(guān)于x的方程，解出方程即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，CE⊥y，垂足分別為D、E．＝3×42×41×22×3＝12﹣4﹣1﹣3＝4．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），則BP＝|x﹣2|．∵△ABP與△ABC的面積相等，∴1×|x﹣2|＝4．解得：x＝10或x＝﹣6．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，0）或（﹣6，0）．【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)系，三角形面積計(jì)算，方程思想，分類討論思想，熟練運(yùn)用三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三與圖形面積相關(guān)的點(diǎn)的存在性問(wèn)題】例題：（2022·湖北十堰·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．(1)求此四邊形的面積；(2)在x軸上，你能否找到一點(diǎn)P，使？若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)44(2)（13，0）或（27，0）【分析】（1）利用分割法，把四邊形分割成一個(gè)三角形加上一個(gè)梯形后再減去一個(gè)三角形求面積；（2）分兩種情況：點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，利用三角形的面積求得答案即可．（1）解：如圖，過(guò)D，C分別作DE，CF垂直于AB，E、F分別為垂足，則有：S=S△AED+S梯形EFCDS△CFB=×AE×DE+×（CF+DE）×EF×FC×FB．=×2×7+×（7+5）×7×2×5=44．故四邊形ABCD的面積為44．（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）；如圖，S△PBC=|7x|×5=50，解得：x=13或27，點(diǎn)P坐標(biāo)為（13，0），（27，0）．【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形，四邊形的面積，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南·潢川縣中小學(xué)教研室七年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，同時(shí)將點(diǎn)、向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，分別得到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D．連接，，．(1)求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，并描出A、B、C、D點(diǎn)，求四邊形面積；(2)在x坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P；連接、使？若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)C（0，2）、D（4，2）；見(jiàn)解析；8(2)存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（7，0）或（－9，0）．【分析】（1）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可，再根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（2）分點(diǎn)P在x軸和y軸上兩種情況，依據(jù)即可求解．(1)解：∵將點(diǎn)、向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，分別得到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D，∴C（0，2）、D（4，2）；如圖，由平移的性質(zhì)可知四邊形是平行四邊形，∴．(2)解：存在點(diǎn)P使．當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，∵，∴，∵，∴，∵∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（7，0）或（－9，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的面積，坐標(biāo)與圖形變化－平移等，熟記相關(guān)性質(zhì)以及利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．2．（2022·云南昭通·七年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三點(diǎn)，且a、b滿足關(guān)系式：，．(1)求a、b的值；(2)求四邊形AOBC的面積；(3)是否存在點(diǎn)P（m，－m），使得△AOP的面積為四邊形AOBC面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（18，6）或（18，6）【分析】（1）根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)的值均為0”解出a，b的值；（2）由點(diǎn)A、O、B、C的坐標(biāo)可得四邊形AOBC為直角梯形，根據(jù)直角梯形的面積公式計(jì)算即可；（3）設(shè)存在點(diǎn)P（m，－m），使△AOP的面積為四邊形AOBC的面積的兩倍，根據(jù)面積列出方程號(hào)，解方程即可．（1）解：∵，∴，；（2）由（1）可得：A（0，2），B（3，0），∴，，∴，∵C（3，c），∴，∴軸，∴；（3）存在，理由如下：∵，∴，∴，即或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（18，6）或（18，6）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，梯形的面積，三角形的面積，難度適中，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南信陽(yáng)·七年級(jí)期中）如圖，，點(diǎn)B在x軸上，且．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求的面積；(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以三點(diǎn)為項(xiàng)點(diǎn)的三角形的面積為10？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)（2，0）或（﹣4，0）(2)6(3)存在，（0，）或（0，﹣）【分析】（1）根據(jù)，分點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊與點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊量種情況討論即可求解；（