2025版高考數學一輪復習練案39第六章不等式第三講簡單的線性規(guī)劃含解析新人教版

第三講簡潔的線性規(guī)劃A組基礎鞏固一、單選題1．下列各點中，與點(1，2)位于直線x＋y－1＝0的同一側的是(C)A．(0，0) B．(－1，1)C．(－1，3) D．(2，－3)[解析]點(1，2)使x＋y－1>0，點(－1，3)使x＋y－1>0，所以此兩點位于x＋y－1＝0的同一側．故選C.2．要使得滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x,y≥x－4,x＋y≥2))的變量x，y表示的平面區(qū)域為正方形，則可增加的一個約束條件為(C)A．x＋y≤4 B．x＋y≥4C．x＋y≤6 D．x＋y≥6[解析]依據正方形的性質可設新增加的約束條件為x＋y≤c，兩組對邊的距離相等，故d＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)＝eq\f(|c－2|,\r(2))，所以c＝6或c＝－2(舍去)．如圖所示，故選C.3．關于x，y的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6≥0，,x－y－2≤0，,x＋y－4≤0))表示的平面區(qū)域的面積為(C)A．3 B．eq\f(5,2)C．2 D．eq\f(3,2)[解析]平面區(qū)域為一個直角三角形ABC，其中A(3，1)，B(2，0)，C(1，3)，所以面積為eq\f(1,2)|AB|·|AC|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(8)＝2，故選C.[方法總結]求平面區(qū)域的面積的方法平面區(qū)域的面積問題主要包括兩類題型：(1)求已知約束不等式(組)表示的平面區(qū)域的面積；(2)依據平面區(qū)域面積的大小及關系求未知參數，求解時需抓住兩點：(1)正確推斷平面區(qū)域的形態(tài)，假如形態(tài)不是常見的規(guī)則平面圖形，則要進行分割；(2)求參數問題一般涉及一條動直線，因此確定其位置顯得更為關鍵，有時還要對動直線的位置進行分類探討．4．(2024·黑龍江省大慶市模擬)設x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－y＋1≥0,x≤3))，則z＝2x－3y的最小值是(B)A．－7 B．－6C．－5 D．－3[解析]作出可行域：并作出直線l0：2x－3y＝0，平移l0到經過點E(3，4)時，目標函數z＝2x－3y，取得最小值為：zmin＝2×3－3×4＝－6.故選B.5．(2024·河北省唐山市模擬)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－3≤0,x＋y－1≥0,x－y＋1≥0))，則z＝2x＋y的最大值為(C)A．1 B．2C．7 D．8[解析]作出線性約束條件的可行域，如圖所示：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0,x－y＋1＝0))，解得A(2，3)，由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直線y＝－2x，明顯直線過A(2，3)時，z最大，最大值是7，故選C.6．(2024·河北省張家口市、滄州市聯考)若x，y變量滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2≥0,x－y＋2≥0,y＋1≥0))，則使z＝x＋2y取得最小值的最優(yōu)解為(C)A．(－3，－1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,7)，\f(8,7)))C．(2，－1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,7)，\f(6,7)))[解析]繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數即：y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，其中z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據此結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點B處取得最小值，聯立直線方程：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0,y＋1＝0))，可得點的坐標為B(2，－1)．故選C.7．(2024·浙江湖州、衢州、麗水三地市期中)已知實數x，y滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0,x＋y－2≥0，,y≥0))則x2＋y2的最小值是(B)A．eq\r(2) B．2C．4 D．8[解析]畫出可行域如右圖所示，x2＋y2表示原點到可行域內的點的距離的平方，由圖可知，原點到可行域內的點的距離是原點到直線x＋y－2＝0的距離eq\f(|0＋0－2|,\r(2))＝eq\r(2)，其平方為2.故x2＋y2的最小值為2.故選B.8．(2024·安徽黃山模擬)已知實數x，y滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥0,2x－y－2≥0,x＋y－2≤0))，則eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍是(A)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(5,7))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,7))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))[解析]畫出x，y滿意的可行域，如下圖：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,y＝0))，解得B(2，0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0,x＋y－2＝0))，解得，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(2,3)))，eq\f(y＋1,x＋1)可看作定點A(－1，－1)與動點P(x，y)連線的斜率，當動點P在B時，eq\f(y＋1,x＋1)取最小值為eq\f(1,3)，當動點P在C時，eq\f(y＋1,x＋1)取最大值為eq\f(\f(2,3)＋1,\f(4,3)＋1)＝eq\f(5,7)，故eq\f(1,3)≤eq\f(y＋1,x＋1)≤eq\f(5,7)，故答案為A.

二、多選題9．若原點O和點P(1，1)在直線x＋y－a＝0的兩側，則a的取值可以是(BC)A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]由題意得(－a)·(1＋1－a)<0，解得0<a<2，故選B、C.10．(2024·廣東調研改編)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0，,x－2≤0，,x＋y－2≥0，))且z＝ax＋y的最大值為2a＋6，則a的取值可以是(ACD)A．1 B．－2C．－1 D．0[解析]作出約束條件表示的可行域，如圖所示．因為z＝ax＋y的最大值為2a＋6，所以z＝ax＋y在點A(2，6)處取得最大值，則－a≤1，即a≥－1.故選A、C、D三、填空題11．(2024·課標Ⅲ，13)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,2x－y≥0，,x≤1，))則z＝3x＋2y的最大值為7．[解析]如圖所示，x，y滿意的可行域為△AOB及其內部．由目標函數z＝3x＋2y得y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2).當直線y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)過點A(1，2)時，z取最大值，最大值為7.12．(2024·北京，13)若x，y滿意x＋1≤y≤2x，則2y－x的最小值是3．[解析]由x＋1≤y≤2x作出可行域，如圖中陰影部分．設z＝2y－x，則y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＝x＋1，))得A(1，2)．由圖可知，當直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z過A(1，2)時，z取得最小值，zmin＝3.13．(2024·北京朝陽區(qū)一模改編)已知實數x，y滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－y－1≤0，,y≤1，))則不等式組表示的平面區(qū)域面積為1；若x＝mx＋y(m>0)取得最小值的最優(yōu)解有多數多個，則實數m的值為1．[解析]本題考查線性規(guī)劃的應用．作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖(陰影部分)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,x－y－1＝0))得A(2，1)，則不等式組表示的平面區(qū)域面積為eq\f(1,2)×1×2＝1.由z＝mx＋y(m>0)得y＝－mx＋z，∵m>0，∴直線y＝－mx＋z的斜率k＝－m<0.平移直線y＝－mx，由圖形可知當直線y＝－mx＋z和直線x＋y－1＝0平行時，目標函數取得最小值的最優(yōu)解有多數多個，∴m＝1.14．(2024·四川資陽二診)某企業(yè)在“精準扶貧”行動中，確定幫助一貧困山區(qū)將水果運出銷售，現有8輛甲型車和4輛乙型車，甲型車每次最多能運6噸且每天能運4次，乙型車每次最多能運10噸且每天能運3次，甲型車每天費用是320元，乙型車每天費用是504元．若須要一天內把180噸水果運輸到火車站，則通過合理調配車輛運輸這批水果的費用最少為2_560元．[解析]本題考查線性規(guī)劃的實際應用．設支配甲型車x輛，乙型車y輛，由題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4×6x＋3×10y≥180，,0≤x≤8，,0≤y≤4，,x，y∈N，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥30，,0≤x≤8，,0≤y≤4，,x，y∈N，))運輸這批水果的費用z＝320x＋504y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示，是由四點(2.5，4)，(8，4)，(8，0)，(7.5，0)圍成的梯形及其內部的整點，包含的整點有(8，0)，(7，1)，(8，1)，(5，2)，(6，2)，(7，2)，(8，2)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(7，3)，(8，3)，(3，4)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(7，4)，(8，4)．作出直線320x＋504y＝0并平移，當直線過點(8，0)時，在y軸上的截距最小，此時z最小，即zmin＝8×320＝2560(元)．B組實力提升1．若直線y＝ax＋2a與不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0,x≤3,x＋y－3≥0))表示的平面區(qū)域有公共點，則實數a的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5))) B．[0，9]C．[0，＋∞) D．(－∞，9][解析]作出滿意已知約束條件的可行域，將目標函數y＝ax＋2a轉化為a＝eq\f(y,x＋2)＝eq\f(y－0,x－（－2）)其等價于可行域中隨意一點與A(－2，0)的直線的斜率，則kAC≤a≤kAB，明顯kAC＝0，kAB＝eq\f(4.5－0,－1.5－（－2）)＝9，所以0≤a≤9，故選B.2．(2024·吉林延吉期中)若變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))則z＝4x·2y的最大值為(D)A．eq\f(1,8) B．3C．4 D．8[解析]本題考查簡潔的線性規(guī)劃．由題知z＝4x·2y＝22x＋y，由變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))得如圖所示的三角形區(qū)域．設m＝2x＋y，則y＝－2x＋m，平移直線y＝－2x，由圖形可知當經過點C時，直線y＝－2x＋m在y軸上的截距最大，此時m最大．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝－1，))得C(2，－1)，則m＝2×2－1＝3，z取得最大值8.故選D.3．(2024·廣東省中山市第一中學模擬)已知實數x，y滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,4x＋3y≤12，))則eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，11)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，11))C．[3，11] D．[1，11][解析]eq\f(x＋2y＋3,x＋1)＝1＋2×eq\f(y＋1,x＋1)，表示動點P(x，y)，與定點M(－1，－1)，連線斜率k的兩倍加1，由圖可知，當點P在A(0，4)點處時，k最大，最大值為11；當點P在B(3，0)點處時，k最小，最小值為eq\f(3,2)；從而eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，11)).4．(2024·廣東江門市模擬)在直角坐標系xOy中，記eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,x－2y>0,x－y≤1))，表示的平面區(qū)域為Ω，在Ω中任取一