專題18 全等三角形（分層精練）（解析版）

專題18全等三角形（分層精練）1．（2022?衡陽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，且BD＝CE．求證：AD＝AE．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．2．（2021?福建）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．【解答】證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．3．（2021?柳州）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B，連接AC并延長到點(diǎn)D，使CD＝CA，連接BC并延長到點(diǎn)E，使CE＝CB，連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么？請結(jié)合解題過程，完成本題的證明．證明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴．【解答】證明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴DE＝AB．故答案為：CA，∠DCE＝∠ACB，CB，DE＝AB．4．（2022?衢州）已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：AB＝AD．【解答】證明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．5．（2022?西藏）如圖，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求證：△ABD≌△ACD．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．6．（2022?蘭州）如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大?。窘獯稹拷猓骸摺螧AD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC與△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．7．（2022?銅仁市）如圖，點(diǎn)C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求證：△ABC≌△CDE．【解答】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°，∴∠BCA＝∠DEC，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）．8．（2022?青海）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊．求證：BD＝CE；（2）解決問題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：如圖：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴DE＝2CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．9．（2021?郴州）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，HB．（1）證明：△AHB≌△AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點(diǎn)Q．①證明：在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，當(dāng)EH的長度為多少時(shí)△AQG為等腰三角形？【解答】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：AH＝AG，∠HAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（SAS）；（2）①證明：如圖2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，∴△AEH≌△AFG（SAS），∴∠AFG＝∠AEH＝45°，∴∠HFG＝45°+45°＝90°；②分兩種情況：i）如圖3，AQ＝QG時(shí)，∵AQ＝QG，∴∠QAG＝∠AGQ，∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，∴∠QAH＝∠AHQ，∴AQ＝QH＝QG，∵AH＝AG，∴AQ⊥GH，∵∠AFG＝∠AFH＝45°，∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，∴四邊形AHFG是正方形，∵AC＝4，∴AF＝2，∴FG＝EH＝，∴當(dāng)EH的長度為時(shí)，△AQG為等腰