專題09 三角形中的特殊模型-燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型（解析版）

專題09三角形中的特殊模型-燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請(qǐng)你直接寫出∠C的大?。敬鸢浮?1)三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）；(2)見解析；(3)70°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，從而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求證；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，從而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，可得150°-∠C=2（110°-∠C），即可求解．【詳解】（1）解：三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）（2）證明：連接CD并延長至F，∵∠1和∠2分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB；（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，∴∠CAD=2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠C），解得：∠C=70°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計(jì)算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·成都市·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平分，平分，與交于點(diǎn)，若，，則（

）A．80° B．75° C．60° D．45°【答案】C【分析】連接先求解再求解可得再利用角平分線的定義可得：從而可得：再利用三角形的內(nèi)角和定理可得的大小.【詳解】解：連接平分，平分，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理求解與之相關(guān)的角的大小是解題的關(guān)鍵.例3．（2023·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；多邊形內(nèi)角和：．例4.（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，并延長交BC于點(diǎn)D.求證：（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴∵，∴，∴∵，∴（2）過點(diǎn)作，交、于、，則，由（1）知∵，∴即（幾何證明中后一問常常要用到前一問的結(jié)論）例5．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．【答案】（1），理由見詳解；（2）①30；②95°；（3）【分析】（1）連接AD并延長至點(diǎn)E，利用三角形外角的性質(zhì)得出左右兩邊相加即可得出結(jié)論；（2）①直接利用（1）中的結(jié)論有，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根據(jù)求出，然后結(jié)合角平分線的定義再利用即可求解；（3）先根據(jù)求出，再求出的度數(shù)，最后利用求解即可．【詳解】（1）如圖，連接AD并延長至點(diǎn)E

∵又∵∴（2）①由（1）可知∵，∴②由（1）可知∵，∴平分，CF平分（3）由（1）可知∵，∴∵，分別是、的2020等分線（）∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）或角內(nèi)翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖43）角內(nèi)翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①【分析】根據(jù)多邊形（三角形）的外角和為即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，故①正確，②不正確；∵多邊形的外角和是，∴，故③④不正確，故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，能正確添加輔助線構(gòu)成三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·重慶渝北·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可知,再利用平角的定義可求出的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù).【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∵∴∴故選C【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.例3．（2022秋·河北廊坊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將三角形紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形的外部時(shí)，測量得，，則為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用四邊形的內(nèi)角和定理求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出，根據(jù)對(duì)頂角相等得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故B正確．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．例4．（2023春·甘肅天水·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖①，、是四邊形的兩個(gè)不相鄰的外角．

(1)猜想并說明與、的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，在四邊形中，與的平分線交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)；(3)如圖③，、分別是四邊形外角、的角平分線．請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角即可說明與、的數(shù)量關(guān)系；（2）結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)與的平分線，，，即可求的度數(shù)；（3）結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)、分別是四邊形外角、的角平分線.進(jìn)而可以寫出、與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）猜想：，理由如下：∵，，∴，（2）∵，，，∴，∵、分別平分與，∴，，∴，∴，（3）、與的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：∵、分別是四邊形外角、的角平分線，∴，，由(1)可知:，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形內(nèi)角與外角、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形外角．例5．（2022春·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）中，，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令，，．初探：(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且，則_____________；(2)如圖2，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，之間的關(guān)系為_____________；(3)如圖3，若點(diǎn)P在線段AB的延長線上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，之間的關(guān)系為_____________；再探：(4)如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的內(nèi)部，寫出此時(shí)∠1，∠2，之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，見解析．【分析】（1）連接，證明即可；（2）利用（1）中結(jié)論解答即可；（3）直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可；（4）同樣直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，，，，，，，故答案為：；（2）解：由（1）可知，，故答案為：；（3）解：如圖，，，，即，故答案為：；（4）解：，證明如下：如圖，連接，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)求解．例6．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)A落在的內(nèi)部的點(diǎn)M處，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)A落在的外部的點(diǎn)M處．求圖中，，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，將、一起沿折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M、N分別落在射線的左右兩側(cè)，，，、的數(shù)量關(guān)系．(直接寫結(jié)果，不需要過程）【答案】（1），（2），（3）【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得，問題隨之得解；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出、，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（3）先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】解：（1）如圖，，，，，∵翻折，∴，，∵，，，∴，整理得，，∵，，∴，即；（2）如圖，，，，，∵翻折，∴，，∵，∴，整理得，，即；故答案為：；（3）如圖，，，，，∵翻折，∴，，∵，∴，整理得，，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻折的性質(zhì)，熟練掌握折痕是角平分線，三角形的內(nèi)角和是，是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023.廣東八年級(jí)期中）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形BCDE內(nèi)時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【分析】本題問的是關(guān)于角的問題，當(dāng)然與折疊中的角是有關(guān)系的，∠1與∠AED的2倍和∠2與∠ADE的2倍都組成平角，結(jié)合△AED的內(nèi)角和為180°可求出答案．【詳解】∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，∴∠AED=(180°?∠1),∠ADE=(180°?∠2)，∴∠AED+∠ADE=(180°?∠1)+(180°?∠2)=180°?(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°?(∠AED+∠ADE)=180°?[180°?(∠1+∠2)]=(∠1+∠2)則2∠A=∠1+∠2，故選擇B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查折疊和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì).2．（2023·重慶萬州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，六邊形ABCDEF中，AFCD，ABDE，∠A=140°，∠B=100°，∠ECD＝20°，將CDE沿CE翻折，得到，則∠BC的度數(shù)為（

）A．60° B．80° C．100° D．120°【答案】B【分析】過點(diǎn)B作BG∥AF，利用平行線的性質(zhì)求得∠BCD=120°，利用折疊的性質(zhì)求得∠ECD=∠EC=20°，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作BG∥AF，∵AF∥CD，∴AF∥BG∥CD，∵∠A=140°，∠ABC=100°，∴∠ABG=180°-140°=40°，∠GBC=100°-40°=60°，∴∠BCD=180°-60°=120°，由折疊的性質(zhì)得：∠ECD=∠EC=20°，∴∠BC=120°-∠ECD-∠EC=120°-20°-20°=80°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，沿圖中虛線翻折，使得點(diǎn)B落在上的點(diǎn)D處，則等于（

）A．160° B．150° C．140° D．110°【答案】C【分析】由得，再根據(jù)翻折知，，即可求出的值．【詳解】解：，，翻折，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)處．如果，那么的度數(shù)為．【答案】/度【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，根據(jù)平角計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)，得，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角，熟練掌握折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·寧夏吳忠·九年級(jí)?？计谥校ⅰ鰽BC沿著DE翻折，使點(diǎn)A落到點(diǎn)A′處，A′D、A′E分別與BC交于M、N兩點(diǎn)，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，則∠NEC＝．【答案】126°【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠DEN＝27°，再利用翻折不變性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根據(jù)平角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：∵DE∥BC，∴∠DEN＝∠A′NM＝27°，由翻折不變性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，∴∠NEC＝180°﹣2×27°＝126°，故答案為126°．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．6.（2023·湖北·七年級(jí)期末）三角形不等式是指一個(gè)三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度．在下圖中，E位于線段CA上，D位于線段BE上．（1）說明為什么．（2）說明為什么．（3）與，哪一個(gè)更大？證明你的答案；（4）與，哪一個(gè)更大？證明你的答案．（1）由三角形三邊關(guān)系，．（2）由三角形三邊關(guān)系，．因此，．（3）由三角形三邊關(guān)系，，，以及，將三個(gè)不等式相加，得．（4）由（2）可知．類似可得，以及．將這三個(gè)不等式相加，可得，即．7．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，把三角形紙片折疊，使個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)．這時(shí)，__________；

（2）如果三角形紙片折疊后，個(gè)頂點(diǎn)并不重合于同一點(diǎn)，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；（3）折疊后如圖所示，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系_______；（4）折疊后如圖，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系：_______；【答案】（1）；（2）成立，詳見解析；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可；（3）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計(jì)算即可；（4）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）由折疊性質(zhì)可知：，，，∴，，，∵∴，∴，故答案為：，（2）由由折疊性質(zhì)可知：，，，∴，，，∵，，，，∴，同理：，，∴，（3）根據(jù)(2)可知：，，如圖3，∵，，∴，∴，故答案為：，（4）根據(jù)（2）（3）可知：，，，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了翻折、角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．8．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊上，將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，若，則＝，可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在內(nèi)部時(shí)，且，，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在外部時(shí)，若設(shè)的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，請(qǐng)求出與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，互余(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質(zhì)即可求出，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)平角定義求出，，然后利用折疊性質(zhì)可得，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質(zhì)即可求出，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，由折疊得：.∴，∵，∴與的數(shù)量關(guān)系是互余．（2）解：∵，∴，由折疊得：∴，∴的度數(shù)為；（3）解：如圖：∵，∴，由折疊得：，∴，∴與x，y之間的數(shù)量關(guān)系：．【點(diǎn)睛】本題考擦汗折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．9．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)的位置，通過計(jì)算我們知道：.請(qǐng)你繼續(xù)探索：(1)如果把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形的外部點(diǎn)的位置，如圖②，此時(shí)與之間存在什么樣的關(guān)系？(2)如果把四邊形沿時(shí)折疊，使點(diǎn)A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部、的位置，如圖③，你能求出、、與之間的關(guān)系嗎？（直接寫出關(guān)系式即可）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，由外角的性質(zhì)得到，做差即可得到答案；（2）由圖形折疊的性質(zhì)可知，兩式相加變形后即可得到答案．【詳解】（1）連接，∵，，∴；（2）由圖形折疊的性質(zhì)可知，兩式相加得，，即，∴，即：．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在和中，．點(diǎn)F與A位于線段所在直線的兩側(cè)，分別延長、至點(diǎn)、．

【特殊化思考】若時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：（1）當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為__________；（2）當(dāng)在外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為__________；（3）若平分，平分．無論點(diǎn)在內(nèi)部（如圖③）還是外部（如圖④）時(shí)，都有，請(qǐng)選擇一幅圖進(jìn)行證明；

【一般化探究】若時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：（4）若射線、分別是，的等分線（為大于2的正整數(shù)），且，．當(dāng)時(shí)，直接寫出與需滿足的條件：__________．【答案】（1）；（2）；（3）見解析；（4）【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（3）選圖3證明，根據(jù)角平分線的定義及（1）中的結(jié)論得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明即可；（4）先根據(jù)平行公理的推論得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可得出與的關(guān)系．【詳解】解：（1）在中，，在中，，，，，，，，，故答案為：；（2）在中，，在中，，，，，，，，，故答案為：；（3）選擇圖③，證明：如圖，

過點(diǎn)作，，平分，平分，，，由（1）知，，，，，，；選擇圖④，證明：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，

平分，平分，，，同（2）可得：，，，，是的一個(gè)外角，，即，，；（4）證明：，只能在內(nèi)部，如圖，過點(diǎn)作，

，，連接，，，又，，又，，，，，又，，，，，，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，熟記三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵，同時(shí)應(yīng)熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定及角平分線的定義．10．（2023·江蘇鹽城·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如圖1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD=40°，請(qǐng)直接寫出α、β所滿足的數(shù)量關(guān)系式；（3）如圖2，若α=β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）β﹣α=80°；（3）平行，見解析【分析】（1）連接AC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解；（2）連接AG，由∠MBC+∠NDC=α+β，得∠MBG+∠NDG=(α+β)，結(jié)合∠MBG+∠NDG=α+40°，即可得到結(jié)論；（3）延長BC交DF于H，易得∠CBE+∠CDH=（α+β），結(jié)合∠CDH=β﹣∠DHB，可得∠CBE+β﹣∠DHB=（α+β），進(jìn)而得∠CBE=∠DHB，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，連接AC，∵∠MBC=∠BAC+∠BCA，∠NDC=∠CAD+∠ACD，∴∠MBC+∠NDC=∠BAC+∠BCA+∠CAD+∠ACD=（∠BAC+∠CAD）+（∠BCA+∠ACD）=∠BAD+∠BCD=α+β=100°；（2）如圖1，連接AG，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠MBG+∠NDG=∠MBC+∠NDC=(α+β)，∵∠MBG=∠BAG+∠BGA，∠NDG=∠DAG+∠DGA，∴∠MBG+∠NDG=∠BAG+∠BGA+∠DAG+∠DGA=（∠BAG+∠DAG）+（∠DGA++∠BGA）=∠BAD+∠BGD=α+40°，∴(α+β)=α+40°，即：β﹣α=80°；（3）平行，理由如下：如圖2，延長BC交DF于H，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=（∠MBC+∠NDC）=（α+β），∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=（α+β），∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=（β+β）=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)定理，角平分線的定義，平行線的判定定理，添加合適的輔助線，構(gòu)造三角形，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置，(1)探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如果點(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置，與、之間的數(shù)量關(guān)系有何變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)2∠A=∠1+∠2，理由見解析(2)∠A=（∠2-∠1），理由見解析【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出∠1、∠2，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】（1）2∠A=∠1+∠2，理由是：∵沿DE折疊A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．（2）∵沿DE折疊A和A'′重合，∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE，又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-（180°-∠AED）=2∠AED-180°，∠2=180°-2∠ADE，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∴∠1+90°+90°-∠2=180°-∠A，即∠A=（∠2-∠1）．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及四邊形內(nèi)角和的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．12．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝°；（2）如圖①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖②，若BE，DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），試求∠E的度數(shù)．【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°列式計(jì)算即可得解；（2）延長DE交BF于G，根據(jù)角平分線的定義可得∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根據(jù)垂直的定義證明即可；（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延長DC交BE于H，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可．【詳解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；故答案為180°；（2）解：延長DE交BF于G，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF，即DE⊥BF；（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°，延長DC交BE于H，由三角形的外角性質(zhì)得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°-45°=45°【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．13．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①所示是一個(gè)飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個(gè)變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點(diǎn)D，若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）240°【分析】（1）延長CD交AB于點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證，，運(yùn)用角的等量轉(zhuǎn)換即可證明．（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，運(yùn)用第（1）題的方法可證，，和是對(duì)頂角，可推出的度數(shù)等于2倍的度數(shù)，計(jì)算得出答案．【詳解】（1）證明：延長CD交AB于點(diǎn)E，如圖：∵是的外角，∴．∵是的外角，∴，∴．（2）解：∵和是對(duì)頂角，∴．由（1）的結(jié)論可知，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2023·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，(1)若、的三等分線交于點(diǎn)、，請(qǐng)用表示、；(2)若、的等分線交于點(diǎn)、（、依次從下到上），請(qǐng)用表示，．【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再由、的三等分線交于點(diǎn)、，可得再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再由、的等分線交于點(diǎn)、，可得再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵、的三等分線交于點(diǎn)、，∴∴，；（2）解：∵，∴，∵、的等分線交于點(diǎn)、，∴∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線三角形的內(nèi)角和問題，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．15．（2023·云南保山·八年級(jí)?？计谥校┮阎狐c(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、CD．（1）如圖1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如圖2，若存在一點(diǎn)P，使得PB平分∠ABC，同時(shí)PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的關(guān)系并證明；（3）如圖3，在（2）的條件下，將點(diǎn)D移至∠ABC的外部，其它條件不變，探究∠A，∠P，∠C的關(guān)系并證明．【答案】(1)111o；(2)∠A－∠C=2∠P,理由見解析；(3)∠A+∠C=2∠P,理由見解析.【分析】（1）延長AD交BC于E，利用三角形外角的性質(zhì)即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及（1）結(jié)論即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）結(jié)論以及角平分線的性質(zhì)即可得到.【詳解】（1）如圖1,延長AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28o+72o=100o，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100o+11o=111o；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如圖2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如圖3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2∴∠A+∠C