專題18二次函數圖像與系數關系（選擇題填空題）

2023年八升九數學暑假培優(yōu)計劃專題18二次函數圖像與系數關系（選擇題+填空題）一、單選題1．如圖，二次函數y=ax2+bx+①abc>0②7a③若2，y1，4，y④對于圖象上的兩個不同的點m，n，1，⑤關于x的方程ax其中，不正確的結論有（）個．

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根據拋物線的開口方向以及對稱軸的位置、與y的交點位置即可判斷①；求得拋物線與x軸的另一個交點為3，0，得到7a+c=-2b，代入即可判斷②；根據拋物線開口向上，離對稱軸越遠函數值越大即可判斷③；根據函數的最大值可判斷④；根據方程根的判別式即可判斷【詳解】解：對稱軸為x=1，即-b根據拋物線開口向下，得a<0，∴b=-2a>0，根據圖象得c>0，∴abc<0，原說法不正確，故①符合題意；∵對稱軸為x=1，拋物線與x軸的一個交點坐標為-1∴另一個交點為3，∴9a+3b+c=0，即7a+c=-2a-3b=-2a-3b=-2b，∴7a-3b+c=-5b<0，原說法正確，故②不符合題意；點2，y14，y2-1，y∵拋物線開口向下．∴y1>y∵拋物線開口向下，對稱軸為x=1，∴當x=1時，函數有最大值為k，∴對于圖象上的兩個不同的點m，n，1，原說法正確，故④不符合題意；∵拋物線與x軸的一個交點坐標為-1∴a-b+c=0，即a=b-c，關于x的方程ax2+bx+c=b∴Δ=b∴關于x的方程ax原說法正確，故⑤不符合題意；綜上，①③符合題意；故選：B．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，正確掌握二次函數的圖象和性質是求解本題的關鍵．2．如圖，直線x=1是二次函數y=ax2+bx+ca≠0A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】由開口方向、對稱軸及拋物線與y軸的交點位置可判斷結論①；由對稱軸x=1及對稱軸公式可判斷結論②；拋物線的對稱軸直線x=1，由x=-1時，y<0，即可判斷結論③；由x=2時，y>0，即可判斷結論④．【詳解】解：①∵開口向下，∴a<0，∵對稱軸在y軸右側，∴-b∴b>0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c>0，∴abc<0，故結論錯誤；②∵對稱軸為直線x=1，∴-b∴2a+b=0．故結論正確；③∵2a+b=0，∴b=-2a，∵當x=-1時，y=a-b+c<0，∴a-(-2a)+c=3a+c<0，故結論不正確；④當x=2時，4a+2b+c>0，故結論正確；綜上所述，正確的結論是②④．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數之間的關系，熟練掌握二次函數的開口方向，對稱軸，圖象與y軸交點，函數增減性并會綜合運用是解決本題的關鍵．3．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-1，且過點1，0頂點位于第二象限，其部分圖象如圖所示給出以下判斷：①ab>0，且c<0；②4a-2b

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據二次函數的圖象和性質一一判斷即可．【詳解】∵拋物線對稱軸x=-1，經過點1，∴-b2a=-1∴b=2a，∵a<0，∴b<0，∴ab>0且c>0，故①錯誤，∵拋物線對稱軸x=-1，經過1，∴-3,0和1∴x=-2時，y>0，∴4a-2b+c>0，故②正確，∵拋物線與x軸交于-3,0∴x=-4時，y<0，∴16a-4b+c<0，∵b=2a，∴16a-8a+c<0，即8a+c<0，故③錯誤，∵c=-3a=3a-6a，b=2a，∴c=3a-3b，故④正確，∵直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c∴方程ax2+∴x1+x2∴x1+x2+x1故選：C．【點睛】本題考查二次函數與系數的關系，二次函數圖象上的點的特征，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．4．如圖，拋物線y=ax2+bx+①abc<0；②4a-2b+c<0；③a其中，正確結論的個數是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據二次函數的對稱軸位置和拋物線開口方向確定①③，根據x=-2時判定②，由拋物線圖像性質判定④．【詳解】解：①拋物線的對稱軸在y軸右側，則ab<0，而c>0，故abc<0，故正確；②x=-2時，函數值小于0，則4a-2b+c<0，故正確；③與x軸交于點-1,0和點2,0，則對稱軸x=-b2a=-1+22④當x<0時，圖像位于對稱軸左邊，y隨x的增大而增大．故④錯誤；綜上所述，正確的為①②③，有3個．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，要求熟悉掌握函數與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數特征．5．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-1，頂點位于第二象限且過點1,0，小明同學得出了以下結論：①ab>0且c

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據開口向下得到a<0，根據對稱軸x=-1得到-b2a=-1，即b=2a<0，根據圖像與y軸交于正半軸得到c>0，即可判斷①，根據對稱軸得到1,0的對稱點結合性質即可判斷②，結合b=2a<0根據性質直接可判斷③，結合1,0【詳解】解：由圖像可得，a<0，-b∴b=2a<0，∵圖像與y軸交于正半軸得到c>0，∴ab>0，c>0，故①錯誤；∵圖像過點1,0，對稱軸為x=-1，∴圖像過(-3,0)，∵-1>-2>-3，a<0∴4a-2b+c>0，故②正確；∵2>1>-1，a<0，∴4a+2b+c<0，∴8a+c<0故③錯誤；∵圖像過點1,0，∴a+b+c=0，∴c=-a-b=-3a=3a-3b，故④正確，故選B；【點睛】本題考查根據拋物線圖像判斷各個式子的符號，解題的關鍵是看懂圖像，熟練掌握各個性質．6．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的頂點在第四象限，對稱軸是直線x=3，過第一、二、四象限的直線y=kx-4k（k是常數）與拋物線交于x軸上一點．現有下列結論：①ck>0；②c

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】①分別判定出k<0，c>0，即可得出ck<0，得出①錯誤；②根據一次函數解析式和拋物線對稱軸，求出拋物線與x軸的一個交點為(2,0)，得出4a+2b+c=0，根據拋物線的對稱軸為x=3，得出-b2a=3，求出b=-6a，得出4a+2×③根據4a+2b+c=0，k<0，得出4a+2b+c-5k>0，判斷③正確；④根據題意得出-4k=c，即k=-c4，由②得c=8a，從而得出k=-⑤當x=3時，拋物線取得最小值，最小值為：y=9a+3b+c，當x=m時，代入y=ax2+bx+c得am2【詳解】解：①直線y=kx-4k（k是常數）的圖象過一、二、四象限，∴k<0，∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c>0，∴ck<0，故①錯誤；②∵y=kx-4k=k(x-4),令x=4得y=0，∴直線y=kx-4k與x軸交點為(4,0)，∴拋物線與y=kx-4k也交于(4,0)，∵拋物線的對稱軸為x=3，∴拋物線與x軸的另一個交點為(2,0)，把(2,0)代入y=ax2+bx+c∵拋物線的對稱軸為x=3，∴-b解得：b=-6a，∴4a+2×-解得：c=8a，故②錯誤；③由②知，拋物線過點(2,0)，∴4a+2b+c=0，∵k<0，∴4a+2b+c-5k>0，故③正確；④根據題意知，當x=0時，直線與拋物線的y值相等，∴-4k=c∴k=-c由②得c=8a，∴k=-c4=-⑤當x=3時，拋物線取得最小值，最小值為：y=9a+3b+c，當x=m時，代入y=ax2+bx+c即a∴mam+b≥9a+3b，故綜上分析可知，正確的結論有3個，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，解題關鍵是注意掌握數形結合思想的應用．7．如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點A(3,0)，對稱軸為直線x=1，給出以下結論：①abc<0；②3

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】根據二次函數的圖象與性質依次判斷即可得出結果．【詳解】解：①由圖象可知：a<0,c>0，由對稱軸可知：-b∴b>0，∴abc<0，故①正確；②由對稱軸可知：-b∴b=-2a，∵拋物線過點(3,0)，∴0=9a+3b+c，∴9a-6a+c=0，∴3a+c=0，故②正確；③當x=1時，y取最大值，y的最大值為a+b+c，當x取全體實數時，ax即ax2+bx≤a+b④M-0.5,y1關于對稱軸∴y1=y故選C．【點睛】本題考查二次函數的基本性質，解題的關鍵是熟練運用二次函數的圖象與性質，本題屬于中等題型．8．如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a①拋物線與x軸的另一個交點是-1,0②關于x的方程ax③xax其中，正確結論的個數是(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據對稱性可知拋物線與x軸的另一個交點，從而判斷①是否正確；根據拋物線與直線y=4只有一個公共點，可以判斷②是否正確；根據頂點A1,4可知當x=1時y有最大值可以判斷③【詳解】解：由題意得：拋物線的對稱軸是直線x=1，∵拋物線與x軸的另一個交點與點B3,0關于對稱軸即直線x=1∴拋物線與x軸的另一個交點是-1,0故①正確②∵拋物線與直線y=4只有一個公共點，∴關于x的方程ax即關于x的方程ax故②正確③∵拋物線的頂點坐標是A∴當x=1時，y有最大值，即ax∴xax+b故③正確故正確的有：①②③，共3個故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，一元二次方程與二次函數的關系，牢記二次函數對稱性和最值，一元二次方程與二次函數的關系是解題的關鍵．9．如圖，已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，OB=OC，對稱軸為直線x=-1，則下列結論：①abc<0；②A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸交點的位置可得a、b、c的取值范圍，由此可判斷①；根據b=-2a結合拋物線對稱性對②進行判斷；當x=-1時，函數有最小值可判斷③；由OB=OC可得B的坐標，代入解析式由點B坐標結合對稱軸可得點A坐標，據此可判斷④．【詳解】∵拋物線開口向上，∴a>0，∵拋物線的對稱軸為直線x=-b∴b=-2a>0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c<0，∴abc<0，所以①正確；根據對稱性可知，當x=-2和x=0時函數值相等，且為負值，即4a-2b+c<0，所以②錯誤；當x=-1時，有最小值y=a-b+c，當x=m時，函數值y=am∵m≠-1∴a-b+c<am即a-b<am2+bm∵點C(c，0)B(-c,0)，又∵對稱軸為直線x=-1，∴A(c-2,0)，∴c-2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0綜上正確的有3個，故選B．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是利用數形結合的思想．10．拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為直線x=1，給出下列結論：①ac>0；

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】開口方向，與y軸的交點位置，確定a,c的符號，判斷①；與x軸的交點個數，判斷②；對稱軸判斷③；對稱性和特殊點判斷④，⑤，即可得出結論．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸的交點在正半軸上，∴a<0,c>0，∴ac<0；故①錯誤；∵拋物線與x軸由2個交點，∴b2-4ac>0∵對稱軸為x=-b∴b=-2a，∴2a+b=0，故③錯誤；∵拋物線過點3,0，3,0關于對稱軸的對稱點為：-1,0∴a-b+c=0；故④正確；由圖象可知：當x=-2時，函數值小于x=-1時的函數值0，即：4a-2b+c<0，故⑤錯誤；綜上，正確的有2個；故選A．【點睛】本題考查的是二次函數的性質，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．二、填空題11．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且①abc<②若拋物線上兩點坐標分別為-2,y1，2,③b2④3a其中正確的結論有____（填序號即可）．

【答案】①③④【分析】根據拋物線的開口方向、對稱軸以及與y軸的交點可確定a、b、c的正負，即可判定①；通過判定兩點是否關于對稱軸對稱可判定②；根據a、c的正負可判定-4ac>0，進而判定③；將-1,0代入解析式可得a-b+c=0再結合b=-2a即可判定【詳解】解：∵拋物線的開口方向向下，∴a<0，∵拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=1∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c>0，∴abc<0，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=1，點-2,y∴y1≠y∵a<0，c>0，∴-4ac>0∴b2-4ac=∵拋物線與x軸的一個交點為-1,0∴a-b+c=0，∴a--即3a+c=0，故④正確，故答案為①③④．【點睛】本題主要考查二次函數圖像與系數之間的關系、二次函數圖像上點的坐標特征等知識點，熟練掌握二次函數圖像與系數之間的關系是解題關鍵．12．二次函數y=ax2+bx+ca≠0的大致圖象如圖所示，頂點坐標為（-2，-9a），下列結論：①abc>0；②16a-4b+c<0；③若方程ax2+bx

【答案】②③④【分析】根據拋物線圖象判斷參數符號判斷①，由頂點坐標可得b=4a，c=-5a，進而判斷②；由方程ax2+bx+c=-1有兩個根x1和x2，且x1<x2【詳解】∵拋物線的開口向上，對稱軸在y軸的左側，交y軸的負半軸，∴a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①錯誤；∵拋物線的頂點坐標（-2，-∴-b2a=-2∴b=4a，c=-5a，∴16a-4b+c=16a-16a-5a=-5a<0，故②正確；∴拋物線的解析式為y=ax當y=0時，ax解得：x1=-5，∴拋物線y=ax2+4ax-5a交x軸于（-5，0），（∵若方程a(x+5)(x-1)=-1有兩個根x1和x2，且∴-5<x1∵拋物線與y軸的交點在（0，-2）與（0，-∴-3<c<-2∵c=-5a，∴-3<-5a<-2解得：25<a<3綜上所述：正確的結論為②③④故答案為：②③④【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+ca≠0，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大?。攁>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數由△決定：Δ=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ=b13．二次函數y=ax2+bx+ca≠0的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=-12，且與x軸的一個交點坐標為-2,0．下列結論：①abc<0

【答案】①④【分析】根據拋物線的開口向上，與y軸的交點位于y軸負半軸可得a>0,c<0，再根據對稱軸可得b=a>0，由此即可判斷①；根據當x=-1時，y<0即可判斷②；將點-2,0代入二次函數的解析式可得4a-2b+c=0，再根據b=a即可判斷③；根據直線y=1與二次函數y=ax2【詳解】解：∵拋物線的開口向上，與y軸的交點位于y軸負半軸，∴a>0，c<0，∵二次函數y=ax2+bx+c∴b=a>0，∴abc<0，結論①正確；∵當x=-1時，y<0，∴a-b+c<0，結論②錯誤；將點-2,0代入y=ax2∵b=a，∴4a-2b+c=4a-2a+c=2a+c=0，結論③錯誤；由函數圖象可知，二次函數y=ax2+bx+c∴直線y=1與二次函數y=ax∴關于x的方程ax2+bx+c=1，即a故答案為：①④．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系、二次函數與一元二次方程的關系，解題的關鍵是正確地由圖象得出a,b,c14．如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，且關于x的一元二次方程ax2+bx

【答案】①③④【分析】由拋物線與x軸有兩個不同交點，可判斷①；根據拋物線的開口方向、對稱軸及與y軸交點的位置，可得出a>0、b<0、c<0，進而即可得出abc>0，即可判斷②；由拋物線y=ax2+bx+c與直線y=-3有一個交點，即可判斷③；由a>0、b=-2a，可得出3a+b=a>0【詳解】解：∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ=b2-∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，與y軸交于負半軸，∴a>0，-b2a=1，c<0∴b=-2a<0，∴abc>0，②錯誤；∵方程ax∴m<-3，③正確；∵a>0，b=-2a，∴3a+b=a>0，④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系以及拋物線與x軸的交點，觀察函數圖象，逐一分析四條結論的正誤是解題的關鍵．15．如圖，二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象的頂點坐標為1，n，則以下五個結論中：①abc>0，②2

【答案】②④⑤【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸以及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：①拋物線開口方向向下，則a<0，拋物線對稱軸位于y軸右側，則a、b異號，即拋物線與y軸交于正半軸，則c>0，∴abc<0，故①錯誤；②∵拋物線對稱軸為直線x=-b∴b=-2a，即2a+b=0，故②正確；③由交點的位置可得：c>1，∵a<0，∴c>1+a，∴4ac<4a+4a∵b=-2a，∴b∴4ac<4a+b2，故④由圖象可知，當x=-1時，y=a-b+c，此時點-1∴a-b+c<0，∵b=-2a，∴3a+c<0，故④正確；⑤∵方程ax∴Δ=b∴b∵方程為ax∴Δ==4a=4ac-4an-4ac-4a+4an=-4a>0，∴方程為ax2+bx+c+1=n綜上所述，正確的為②④⑤，故答案為：②④⑤．【點睛】本題主要考查二次函數與系數a、b、c相關代數式的判斷問題，會利用對稱軸的范圍求16．如圖，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過點(12,0)，對稱軸為直線x=-1，下列5個結論：

【答案】②④/④②【分析】根據二次函數圖像和系數的關系即可求出答案．【詳解】解：根據圖象可知：①拋物線開口向上，故a>0；對稱軸為直線x=-1<0，即-b2a<0，故b>0；拋物線與x軸的交點分別在原點兩側，則x1?x2②將(12,0)代入拋物線解析式可得：14a+③根據不等式的性質將其整理為a-b+c≥am2-bm+c，因為拋物線開口向上，故當x=-1時，拋物線有最小值，為a-b+c，即拋物線上任意一點的縱坐標均≥a-b+c，即④對稱軸為直線x=-b2a=-1，即a=12b，當x=1時，y=a+b+c>0，即⑤對稱軸為直線x=-b2a=-1，即b=2a，故2a-b=0故答案為：②④．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，靈活的應用圖象中給出的數據，把握住特殊點的作用是這類題的解題關鍵點．17．如圖，是拋物線y1=ax2+bx+ca≠0圖象的一部分，拋物線的頂點坐標為A①2a+b=0；②abc>0；③拋物線與x軸的另一個交點是4,0；④方程ax2+bx+其中正確的是______．【答案】①④【分析】根據二次函數的性質、方程與二次函數的關系、函數與不等式的關系，利用數形結合，一一判斷即可；【詳解】解：①由拋物線對稱軸為直線x=-b2a=1，從而b=-2a，則2a+b=0②拋物線開口向下，與y軸相交與正半軸，則a<0，c>0，而b=-2a>0，因而abc<0，故②錯誤；③由拋物線對稱性，與x軸的一個交點B4，0，則另一個交點坐標為-④方程ax2+bx+c=-3從函數角度可以看作是y=ax2+bx+c與直線y=-3求交點，從圖象可以知道，拋物線頂點為1⑤由圖象可知，當x=-1時，y1=a-b+c>0；當x=4時，y2=4m+n=0，所以y1⑥由圖象可知，當x<1或x>4時，一次函數圖象在二次函數圖象上方，所以y2>y1，即mx+n>ax2+bx+c，所以mx+n>a故答案為：①④．【點睛】本題考查二次函數的性質、方程與二次函數的關系、函數與不等式的關系等知識，解題的關鍵是利用數形結合方法解答．18．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，以下結論：①a+b+c<0；②a-【答案】①②③⑤【分析】①根據x=1時，y<0，可以判斷①正確；②根據x=-1時，y>1，可以判斷②正確；③根據拋物線的開口方向，與y軸的交點，對稱軸的位置，判斷出a、b、c的符號，即可判斷③正確；④根據函數圖象，先判斷出x=-2時，y>0，即可判斷出④錯誤；⑤先根據拋物線的對稱軸得出b=2a，再根據x=2時，y<0，即可判斷⑤正確．【詳解】解：①根據圖像可知，x=1時，y<0，∴a+b+c<0，故①正確；②根據函數圖像可知，x=-1時，y>1，∴a-b+c>1，故②正確；③∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線與y軸的交點為0,1，∴c>0，∵對稱軸在y軸的左側，∴-∴b<0∴abc>0，故③正確；④∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，拋物線與x軸右邊的交點在原點與1,0之間，∴拋物線與x軸左邊的交點在-2,0與-∴x=-2時，y>0，∴4a-2b+c>0，故④錯誤；⑤∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，∴-b∴b=2a，∵x=2時，y<0，∴4a+2b+c<0，∴4a+2×2a+c<0，即8a+c<0，故⑤正確；綜上分析可知，一定成立的是①②③⑤．故答案為：①②③⑤．【點睛】本題考查的是二次函數圖象與系數的關系，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；a還可以決定開口大小，一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．19．二次函數y=a