第1章勾股定理單元復(fù)習(xí)提升（易錯(cuò)與拓展）

第1章勾股定理單元復(fù)習(xí)提升（易錯(cuò)與拓展）易錯(cuò)點(diǎn)01勾股數(shù)【指點(diǎn)迷津】勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)．典例1．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．3，，4 C．，6， D．9，40，41【答案】D【分析】三個(gè)正整數(shù)，其中兩個(gè)較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個(gè)數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．【解析】A.不是勾股數(shù)，因?yàn)?.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不符合題意；B.不是勾股數(shù)，因?yàn)椴皇钦麛?shù)，不符合題意；C.不是勾股數(shù)，因?yàn)?，不是正整?shù)，不符合題意；D.是勾股數(shù)，9，40，41都是正整數(shù)，且，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的特點(diǎn)：三個(gè)數(shù)均為正整數(shù)，其中兩個(gè)較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方．跟蹤訓(xùn)練1．下列各式中，屬于勾股數(shù)的一組是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可解答．【解析】解：A、∵都不是正整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；B、∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；D、∵，∴是勾股數(shù)，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，滿足的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2．觀察下列幾組勾股數(shù)，①，，；②，，；③，，；④，，；并尋找規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：，第組勾股數(shù)是．【答案】11，60，61，，【分析】根據(jù)所給的幾組勾股數(shù)可找出規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律即可求出第五組勾股數(shù)．【解析】解：①，，，②，，，③，，，，第組勾股數(shù)為：，，，第⑤組勾股數(shù)為，，，即11，60，61．故答案為：11，60，61；，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的勾股數(shù)找出規(guī)律，按照此規(guī)律即可解答．易錯(cuò)點(diǎn)02用勾股定理理解三角形分類討論【指點(diǎn)迷津】用勾股定理解直角三角形時(shí)，先確定直角三角形，再確認(rèn)直角邊與斜邊，通過(guò)勾股定理a2+b2=c2解另一個(gè)直角邊或斜邊，也就是“知二求一”，注意分類討論．典例2．已知，直角三角形的兩邊分別為3和5，則第三邊的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．4或 D．或【答案】C【分析】分5為直角邊和斜邊兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【解析】解：∵直角三角形的兩邊分別為3和5，，①當(dāng)5為直角邊時(shí)，第三邊為斜邊，由勾股定理，得：第三邊的長(zhǎng)為；②當(dāng)5為斜邊時(shí)，第三邊為直角邊，由勾股定理，得：第三邊的長(zhǎng)為；綜上：第三邊的長(zhǎng)為4或；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，注意分類討論．跟蹤訓(xùn)練1．已知三角形兩邊長(zhǎng)為8和6，要使這個(gè)三角形為直角三角形，則第三邊的長(zhǎng)為（

）A．10 B． C．10或 D．10或24【答案】C【分析】分8為斜邊，6為直角邊和8和6都為直角邊兩種情況，結(jié)合勾股定理解答即可.【解析】解：若8為斜邊，6為直角邊，則第三邊為；若8和6都為直角邊，則斜邊為；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，屬于常見(jiàn)題型，熟練掌握勾股定理、正確分類是關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2．在中，已知兩邊長(zhǎng)分別為1和3，則第三邊長(zhǎng)為．【答案】或【分析】分兩種情況考慮：若3為直角邊，可得出1也為直角邊，第三邊為斜邊，利用勾股定理求出斜邊，即為第三邊；若3為斜邊，可得1和第三邊都為直角邊，利用勾股定理即可求出第三邊．【解析】解：①若3為直角邊，可得1為直角邊，第三邊為斜邊，根據(jù)勾股定理得第三邊為；②若3為斜邊，1和第三邊都為直角邊，根據(jù)勾股定理得第三邊為，則第三邊長(zhǎng)為或.故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．易錯(cuò)點(diǎn)03勾股定理的逆定理【指點(diǎn)迷津】①勾股定理的逆定理，由三角形的三邊滿足a2+b2=c2數(shù)量關(guān)系，得到三角形是直角三角形，如何構(gòu)建得到上述數(shù)量關(guān)系，方法有絕對(duì)值、平方、算術(shù)平方根的非負(fù)性，等式變形，因式分解等等；②滿足（ka）2+（kb）2=（kc）2，也能得到三角形是直角三角形。典例3．若的三邊分別為，下列給出的條件不能使得構(gòu)成直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可．【解析】解：A、∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；B、∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故B不符合題意；C、∵，∴，∴不能構(gòu)成直角三角形，故C符合題意；D、∵∴，∴能構(gòu)成直角三角形，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計(jì)算得到a、b、c的值，再由的關(guān)系，可推導(dǎo)得到為直角三角形．【解析】解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴為等腰直角三角形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識(shí)，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．跟蹤訓(xùn)練2．若的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足，那么是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】先用完全平方公式進(jìn)行因式分解求出a、b、c的值，再確定三角形的形狀即可．【解析】解：，移項(xiàng)得，，，，，，，，是直角三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過(guò)等式的變形，恰當(dāng)?shù)牟饠?shù)配成完全平方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求邊長(zhǎng)．跟蹤訓(xùn)練3．下列由三條線段a、b、c構(gòu)成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能構(gòu)成直角三角形的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，將題目中的各題一一做出判斷即可．【解析】解：①∵，∴能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)；②∵，∴能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)；③，∴能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)；④∵，即，∴a，b，c不構(gòu)成三角形∴能構(gòu)成直角三角形的有3組，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)注意是兩較短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方．易錯(cuò)點(diǎn)04網(wǎng)格問(wèn)題【指點(diǎn)迷津】找出網(wǎng)格中滿足題意的直角三角形，用勾股定理解直角三角形典例4．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，則線段的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】利用勾股定理即可計(jì)算．【解析】根據(jù)題意，利用勾股定理有，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的的知識(shí)，通過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)找到合適的直角三角形并確定其邊長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．如圖：網(wǎng)格中每個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1，表示長(zhǎng)的線段是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出每條線段的長(zhǎng)，再進(jìn)行判斷即可．【解析】解：由勾股定理得，，，，表示應(yīng)為線段．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查在網(wǎng)格中表示無(wú)理數(shù)的長(zhǎng)，掌握勾股定理求線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．如圖，的頂點(diǎn)、、在邊長(zhǎng)為的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出的面積，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解析】解：如圖，

的面積，由勾股定理得，，則，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3．如圖，在4×4的方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，若點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，以A為圓心，為半徑畫(huà)圓弧與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E所表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出，即可得到，進(jìn)而得到答案．【解析】解：∵，∴,∴點(diǎn)E所表示的數(shù)是，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了網(wǎng)格與勾股定理，正確理解題意利用勾股定理求得是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用【指點(diǎn)迷津】立體圖形展開(kāi)問(wèn)題，注意化抽象為具體（可用實(shí)物圖展開(kāi)方法等），其他實(shí)際應(yīng)用注意轉(zhuǎn)化到直角三角形中去解決（注意可以找多個(gè)直角三角形，多次使用勾股定理或逆定理）典例5．如圖，一圓柱高，底面周長(zhǎng)是，為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)沿圓柱外壁爬到點(diǎn)處吃食，要爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓柱展開(kāi)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理解答．【解析】解：將圓柱沿點(diǎn)所在母線展開(kāi)，連接，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，最短路程是的長(zhǎng)．∵底面圓周長(zhǎng)為，∴底面半圓弧長(zhǎng)為，∵，為的中點(diǎn)，∴根據(jù)勾股定理得：，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出展開(kāi)圖，表示出各線段的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求解．跟蹤訓(xùn)練1．如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點(diǎn)繞到正上方的B點(diǎn)，已知知圓柱底面周長(zhǎng)是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．

A．8 B．5 C．20 D．10【答案】C【分析】把曲面展開(kāi)變?yōu)槠矫?，利用兩點(diǎn)間線段最短，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】解：如圖，線段即為所需彩帶最短，由圖可知，，∴由勾股定理得，，

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間線段最短和勾股定理在生活中的應(yīng)用．將曲面問(wèn)題變?yōu)槠矫鎲?wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．如圖，一根長(zhǎng)的木條，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)木條的底端距墻底端．如果將木條底端向左滑動(dòng)，那么木條的頂端將向上滑動(dòng)（

）

A． B．3cm C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理分別求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得到答案．【解析】解：如圖，在中，，∴；在中，，∴，∴，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3．如圖，在我軍某次海上演習(xí)中，兩艘航母護(hù)衛(wèi)艦從同一港口O同時(shí)出發(fā)，1號(hào)艦沿東偏南方向以9節(jié)（1節(jié)=1海里/小時(shí)）的速度航行，2號(hào)艦沿南偏西方向以節(jié)的速度航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后它們分別到達(dá)A，B兩點(diǎn)，此時(shí)兩艦的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】D【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理計(jì)算求解．【解析】解：由題意可得：，∴，又∵（海里），（海里），在Rt中，（海里）∴此時(shí)兩艦的距離是海里．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及方向角，正確得出是解題關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練4．勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一，如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度m，將它往前推6m至C處時(shí)（即水平距離m），踏板離地的垂直高度m，它的繩索始終拉直，則繩索的長(zhǎng)是（）

A．m B．m C．6m D．m【答案】A【分析】設(shè)，則，然后根據(jù)勾股定理得到方程，解方程即得答案.【解析】解：設(shè)，則，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即繩索的長(zhǎng)是m；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、得出是解題的關(guān)鍵.拓展01勾股定理的證明拓展知識(shí)勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．，所以．典例1．勾股定理是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題最重要的工具之一．下列圖形中可以證明勾股定理的有（

）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】利用同一個(gè)圖形的面積的不同表示方法進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解析】解：①，，∴，整理得，故①滿足題意；④或，∴，∴，故④滿足題意；②沒(méi)有體現(xiàn)直角三角形斜邊的長(zhǎng)度，故②不符合題意；③無(wú)法證明直角三角三邊關(guān)系，故③不符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握利用圖形面積相等證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)C是邊上一點(diǎn)，，．．下列結(jié)論；①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，．再由圖形的面積可得出①②⑤正確．【解析】解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正確；，，四邊形的面積是；故③錯(cuò)誤；梯形的面積直角三角形的面積兩個(gè)直角三角形的面積，，，，故④錯(cuò)誤，故⑤正確故①②⑤共3個(gè)正確，③④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的證明，垂直的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，大約有五百多種證明方法，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個(gè)圖形，哪一個(gè)是趙爽弦圖（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)趙爽弦圖證明勾股定理的方法即可求解．【解析】解：趙爽弦圖，是個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊為，較短的直角邊為，中間小正方形的邊長(zhǎng)為，∴選項(xiàng)，是趙爽弦圖，符合題意；選項(xiàng)，不是趙爽弦圖，不符合題意；選項(xiàng)，不是趙爽弦圖，不符合題意；選項(xiàng)，不是趙爽弦圖，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)趙爽弦圖的理解，掌握勾股定理的證明方法，趙爽弦圖證明勾股定理的方法是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3．勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有______個(gè)；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷、、的關(guān)系______．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)(3)【分析】（1）①將圖中各個(gè)幾何圖形的面積用兩種方法表示出來(lái)，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：，，即可得，圖2中大正方形的面積為：，據(jù)此即可作答；（2）根據(jù)題意得：，再分別計(jì)算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點(diǎn)表示出（+），結(jié)合勾股定理，即可得到答案．【解析】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即，化簡(jiǎn)得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長(zhǎng)為u，過(guò)頂點(diǎn)x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)故答案為：3；（3）關(guān)系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結(jié)合（1）的結(jié)論：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．拓展02勾股定理的折疊問(wèn)題拓展知識(shí)一張直角三角形的紙片，如圖1所示折疊，使兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)A、B重合，若∠B=30°，AC=，求DC的長(zhǎng)。分析：圖11、標(biāo)已知，標(biāo)問(wèn)題（邊長(zhǎng)的問(wèn)題一般有什么方法解決？），明確目標(biāo)在哪個(gè)直角三角形中，設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)x；圖12、利用折疊，找全等。（1）你能從中找到全等三角形嗎？（2）折疊后出現(xiàn)的相等的線段有哪些？（3）折疊后出現(xiàn)的相等的角有哪些？3、將已知邊和未知邊（用含x的代數(shù)式表示）轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中表示出來(lái)。4、利用勾股定理，列方程，解方程，得解。典例2．如圖，在中，，，，為的平分線，將沿向上翻折得到，使點(diǎn)在射線上，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，可得，設(shè)，表示出，進(jìn)而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解析】解：∵在中，，，，∴，∵將沿向上翻折得到，使點(diǎn)在射線上，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得：即的長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．如圖，在，，，沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處，再次折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕交于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，，，，可得，繼而設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】解：∵沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處，∴，，∵折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得，即，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．如圖，在中，，將沿著折疊以后點(diǎn)正好落在邊上的點(diǎn)處．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)，時(shí)，①求線段的長(zhǎng)；②求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）在中，利用互余得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，然后根據(jù)互余可計(jì)算出；（2）①在中，利用勾股定理即可得到的長(zhǎng)；②設(shè)，則，依據(jù)勾股定理可得，中，再解方程即可得到的長(zhǎng)．【解析】（1）解：在中，，，，沿著折疊以后點(diǎn)正好落在點(diǎn)處，，中，．（2）①在中，，，．②沿著折疊以后點(diǎn)正好落在點(diǎn)處，，，，設(shè)，則，中，，，解得．即的長(zhǎng)為3．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，解題時(shí)常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．一、單選題1．木工師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解析】解：A、∵32+42=52，∴能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵62+82=102，∴能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵52+122=132，∴能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵72+152≠172，∴不能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用．理解判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．在中，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，且，則（

）A． B． C． D．不確定哪個(gè)角是直角【答案】A【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得出答案．【解析】解：∵在中，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，且，∴．∴b、c是兩直角邊，a是斜邊，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．3．下列四組線段中，不能組成直角三角形的是（

）A．，， B．，，C． D．，，【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只要判斷兩個(gè)較小的數(shù)的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解析】A、∵，，，∴，，，不能滿足，∴A不能組成直角三角形.B、92+402=412，故能構(gòu)成直角三角形；C、設(shè)a=k，b=k，c=，∵k2+k2=，∴a2+b2=c2，故能構(gòu)成直角三角形；D、（）2+62=（）2，故能構(gòu)成直角三角形．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．4．如圖，在矩形中，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用矩形的性質(zhì)得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，最后根據(jù)AM=AC，可得答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∠ABC=90°在Rt△ABC中，AC=，∴AM=AC=，∴點(diǎn)M表示的數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識(shí)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為

A．米 B．米 C．2米 D．米【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度.【解析】由題意可得：，在中，，米，，，，，，小巷的寬度為（米）.故選.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖.6．下列說(shuō)法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，則△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，則a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，則∠C=90°；（4）直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和12，則斜邊上的高為．其中說(shuō)法正確的有（）．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】在（1）（2）（3）中分別利用勾股定理及逆定理判斷，在（4）中，先利用勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)度，再利用直角三角形的面積公式（a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高）求出高即可．【解析】解：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，則也為直角三角形，故錯(cuò)誤；（2）若是直角三角形，，利用勾股定理則a2+b2=c2，符合勾股定理，故正確；（3）在中，若a2+b2=c2，則，符合勾股定理的逆定理，故正確；（4）首先根據(jù)勾股定理計(jì)算其斜邊是，則斜邊上的高為，故正確．綜上所述，（2）（3）（4）正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，以及直角三角形面積求解公式，能夠熟練運(yùn)用直角三角形的勾股定理和勾股定理的逆定理是解答此題的關(guān)鍵．7．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，由AB的長(zhǎng)度可求出BE的長(zhǎng)度．【解析】解：∵AC＝6cm、BC＝8cm，在△ABC中，由勾股定理可知：=10，∵將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，故E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE=5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，折疊變換，能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，已知1號(hào)、4號(hào)兩個(gè)正方形的面積之和為7，2號(hào)、3號(hào)兩個(gè)正方形的面積之和為4，則a、b、c三個(gè)正方形的面積之和為（

）A．11 B．15 C．10 D．22【答案】B【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面積公式不難發(fā)現(xiàn)：a的面積等于1號(hào)的面積加上2號(hào)的面積，b的面積等于2號(hào)的面積加上3號(hào)的面積，c的面積等于3號(hào)的面積加上4號(hào)的面積，據(jù)此可以求出三個(gè)的面積之和.【解析】利用勾股定理可得：，，∴故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.9．如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】D【分析】先求出AC的長(zhǎng)，再利用平移的知識(shí)即可得出地毯的長(zhǎng)度．【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC＝＝4米，∴可得地毯長(zhǎng)度＝AC+BC＝7米，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識(shí)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，點(diǎn)D在AC上，且，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，當(dāng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)為（）．A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】連接DF，AF，EF，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出AE，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解析】解：連接DF，AF，EF，在中，，，，點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，，，，，，，，是直角三角形，且，，，在和中，，，，，在中，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4．則第三邊長(zhǎng)為．【答案】5或【分析】已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)，但沒(méi)有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論．【解析】解：①長(zhǎng)為3的邊是直角邊，長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為：；②長(zhǎng)為3、4的邊都是直角邊時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為：；∴第三邊的長(zhǎng)為：或5，故答案為：或5．12．已知，如圖所示，Rt△ABC的周長(zhǎng)為4+2，斜邊AB的長(zhǎng)為2，則Rt△ABC的面積為．【答案】1.【分析】設(shè)AC=a，BC=b，根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的方程組，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面積公式求解即可.【解析】設(shè)AC=a，BC=b，由題意得，∴，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，∴ab=2，則Rt△ABC的面積為ab=1.故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，解此題的關(guān)鍵在于利用勾股定理列出方程組，然后求得ab的值.13．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC∶AC∶AB=．【答案】1∶∶2【分析】根據(jù)直角三角形中30度角所對(duì)直角邊為斜邊的一半，可設(shè)BC=x，則AB=2x，再利用勾股定理求AC的長(zhǎng)即可得解.【解析】已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，設(shè)BC=x，則AB=2x，∴AC==x，則BC∶AC∶AB=1∶∶2.故答案為1∶∶2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了30度所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).14．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長(zhǎng)都為1，則△ABC是三角形．【答案】直角【解析】因?yàn)锳C2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，所以AC2+AB2=BC2，所以△ABC是直角三角形．故答案為直角.15．已知三角形三邊長(zhǎng)為正整數(shù)，則此三角形是三角形．【答案】直角【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形判定則可．如果沒(méi)有這種關(guān)系，這個(gè)三角形就不是直角三角形．【解析】解：∵==，====，∴，∴此三角形是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理．掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，有一個(gè)圓柱形杯子，底面周長(zhǎng)為12cm，高為8cm，A點(diǎn)在內(nèi)壁距杯口2cm處，在A點(diǎn)正對(duì)面的外壁距杯底2cm的B處有一只小蟲(chóng)，小蟲(chóng)要到A處飽餐一頓至少要走cm．（杯子厚度忽略不計(jì)）【答案】10【分析】先把圓柱展開(kāi)，得到其一半的一個(gè)矩形的形狀，A、B的最短距離就是線段AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理解答即可．【解析】試題解析：將圓柱的側(cè)面展開(kāi)成平面，其形狀是一個(gè)矩形，如圖是展開(kāi)圖的一半，將A點(diǎn)對(duì)稱到A′點(diǎn)，線段A′B的長(zhǎng)就是所求的最短距離，在Rt△A′BE中，BE=×12=6cm，A′E=AE+AA′=8cm，則AB==10cm，答：小蟲(chóng)要到A處飽餐一頓至少要走10cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開(kāi)圖的最短路徑問(wèn)題，將側(cè)面展開(kāi)利用勾股定理求出是解題關(guān)鍵．17．如圖，于點(diǎn)B，于點(diǎn)A，點(diǎn)E是中點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)是．

【答案】24【分析】延長(zhǎng)交于F，證明得到，，然后利用勾股定理求解即可．【解析】解：延長(zhǎng)交于F，

∵，，∴，∴，∵點(diǎn)E是中點(diǎn)，∴，又，∴，∴，，∵，，∴，，在中，，∴，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．18．公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦圖”．將兩個(gè)“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，，則下列四個(gè)判斷：①②；③若，則；④若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，則，其中正確的序號(hào)是

【答案】①②③【分析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長(zhǎng)直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，由正方形面積公式，勾股定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長(zhǎng)直角邊為，斜邊為，則小正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，∴，，．∴．∴．故①正確；∵，∴．∴．∴．故②正確；∵，，∴．即．∴．∴．故③正確；∵點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，∴．即．∴．∴．∴．故④不正確；故答案是①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積，關(guān)鍵是設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊為，較長(zhǎng)直角邊為，斜邊為，用表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，從而解決問(wèn)題．三、解答題19．如圖，在Rt中，，，，于．求：（1）斜邊的長(zhǎng)；（2）高的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算出的長(zhǎng)即可．【解析】解：（1）在中，，，，；（2），，解得．故高的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．20．如圖，四邊形中，，，，．則的度數(shù)是多少度？說(shuō)明理由．【答案】．理由見(jiàn)解析．【分析】連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)勾股定理逆定理求出即可求解．【解析】解：，理由如下：連接，，，在中，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理逆定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理證明和計(jì)算．21．如圖，，，，，．

(1)求的長(zhǎng)度；(2)求陰影部分面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由勾股定理即可解答．（2）先證為直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可解答．【解析】（1）在中，，．（2）∵，，∴，∴，為直角三角形，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形．（1）在圖1中，畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；（2）在圖2中，畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別為；（3）在圖3中，畫(huà)一個(gè)鈍角三角形，使它的面積為4．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【分析】（1）畫(huà)一個(gè)三邊分別為3,4,5的直角三角形即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)以及勾股定理，分別找到邊長(zhǎng)分別為的線段，通過(guò)平移的方法將三條線段首位相連即可；（3）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)畫(huà)一個(gè)底為2高為4的鈍角三角形即可；【解析】（1）如圖所示，，則即為所求三角形；（2）如圖所示，，則即為所求三角形；（3）如圖所示，則即為所求三角形；【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理，根據(jù)勾股定理找到符合題意的線段是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在中，，，邊上的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．

(1)求證：．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由證明，即可得到答案；（2）由（1）可得，由勾股定理的逆定理可得，再用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解析】（1）證明：是邊上的中線，，在和中，，，；（2）解：由（1）得，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理，是解題的關(guān)鍵．24．如圖，，，，，把沿折疊，點(diǎn)折疊到點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先由折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用直角三角形兩銳角互余得出，進(jìn)而利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可求解；（2）首先根據(jù)勾股定理得出EC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出EB的長(zhǎng)度，最后利用求解即可．【解析】（1）∵把沿折疊，點(diǎn)折疊到點(diǎn)，∴，．，．，；（2），．，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊與勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理的內(nèi)容是關(guān)鍵．25．如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，則A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】(1)要，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由A點(diǎn)向作垂線，垂足為C，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，與200比較即可得結(jié)論；（2）上分別取D、G，則是等腰三角形，由，則C是的中點(diǎn)，在中，解出的長(zhǎng)，則可求長(zhǎng)，在長(zhǎng)的范圍內(nèi)都是受臺(tái)風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時(shí)間．【解析】（1）解：由A點(diǎn)向作垂線，垂足為C，在中，，，則，因?yàn)?，所以A城要受臺(tái)風(fēng)影響；（2）設(shè)上點(diǎn)D，，則還有一點(diǎn)G，有．∵，∴是等腰三角形，∵，∴是的垂直平分線，，在中，，，由勾股定理得，，則，遭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是：（h）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及點(diǎn)到直線的距離，構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．26．一艘輪船從港向南偏西48°方向航行到達(dá)島，再?gòu)膷u沿方向航行到達(dá)島，港到航線的最短距離是．（1）若輪船速度為小時(shí)，求輪船從島沿返回港所需的時(shí)間．（2）島在港的什么方向？【答案】（1）3小時(shí)；（2）北偏西【分析】（1）中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度，則，然后在中，利用勾股定理來(lái)求的長(zhǎng)度，再根據(jù)時(shí)間路程速度即可求得答案；（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定義作答．【解析】解：（1）由題意可知，AD⊥BC，在中，，∴，，∵BC＝125km，，，∴（小時(shí)），∴從島返回港所需的時(shí)間為3小時(shí)；（2），，，，，

島在港的北偏西．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角問(wèn)題，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單．27．初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實(shí)物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”，形成了空間幾何問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的解題策略．問(wèn)題提出：如圖所示是放在桌面上的一個(gè)圓柱體，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，如何求最短路程呢？(1)問(wèn)題分析：螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，可以有幾條路徑？在圖中畫(huà)出來(lái)；(2)問(wèn)題探究：①若圓柱體的底面圓的周長(zhǎng)為，高為，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程；②若圓柱體的底面圓的周長(zhǎng)為，高為，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程；③若圓柱體的底面圓的半徑為，高為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程．【答案】(1)3條，圖形見(jiàn)解析(2)①；②；③【分析】（1）共有3條路徑，第一條先沿圓柱體的高爬行，再?gòu)纳系酌孢吘壟佬?；第二條先沿圓柱體的高爬行，再?gòu)纳系酌嬷睆脚佬校坏谌龡l沿圓柱體側(cè)面爬行，即可；（2）①連接，利用兩點(diǎn)之間，線段最短，在中，根據(jù)勾股定理，求出