猜想05與數(shù)軸線段角有關(guān)的復(fù)雜應(yīng)用題（解答60題專練）

猜想05與數(shù)軸、線段、角有關(guān)的復(fù)雜應(yīng)用題（解答60題專練）一．解答題（共60小題）1．（2022秋?重慶期末）閱讀理解：M、N、P為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)P到M的距離是點(diǎn)P到N的距離的k（k＞0）倍，即滿足PM＝k．PN時(shí)，則稱點(diǎn)P關(guān)于M、N的“相對(duì)關(guān)系值”為k．例如，當(dāng)點(diǎn)M、N、P表示的數(shù)分別為0、2、3時(shí)，PM＝3PN，則稱點(diǎn)P關(guān)于M、N的“相對(duì)關(guān)系值”為3；PN＝MN，則稱點(diǎn)N關(guān)于P、M的“相對(duì)關(guān)系值”為．如圖，點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上，它們所表示的數(shù)分別為﹣1、2、6、﹣6．（1）原點(diǎn)O關(guān)于A、B的“相對(duì)關(guān)系值“為a，原點(diǎn)O關(guān)于B、A的“相對(duì)關(guān)系值”為b，則a＝，b＝2．（2）點(diǎn)E為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E所表示的數(shù)為x，若x滿足|x+3|+|x﹣2|＝5，且點(diǎn)E關(guān)于C、D的“相對(duì)關(guān)系值”為k，則k的取值范圍是≤k≤3．（3）點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒，當(dāng)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，C、D、F三點(diǎn)中恰有一個(gè)點(diǎn)關(guān)于另外兩點(diǎn)的“相對(duì)關(guān)系值”為2，求t的值．【分析】（1）根據(jù)“相對(duì)關(guān)系值”的定義解答即可；（2）由x滿足|x+3|+|x﹣2|＝5，求出x的取值范圍，再確定|EC|和|ED|的取值范圍，根據(jù)確定k的取值范圍；（3）設(shè)F點(diǎn)表示的數(shù)為y，分點(diǎn)C關(guān)于另外兩點(diǎn)的“相對(duì)關(guān)系值”為2，點(diǎn)D關(guān)于另外兩點(diǎn)的“相對(duì)關(guān)系值”為2，分點(diǎn)F關(guān)于另外兩點(diǎn)的“相對(duì)關(guān)系值”為2共6種情況，分別算出y的值，再求出t即可．【解答】解：（1）由題可知，|OA|＝1，|OB|＝2∵原點(diǎn)O關(guān)于A、B的“相對(duì)關(guān)系值“為a，∴|OA|＝a|OB|，即1＝2a，解得：a＝，∵原點(diǎn)O關(guān)于B、A的“相對(duì)關(guān)系值”為b，∴|OB|＝b|OA|，即2＝b×1，解得：b＝2，故答案為：，2；（2）由題意可得，|EC|＝|x﹣6|，|ED|＝|x+6|，∵x滿足|x+3|+|x﹣2|＝5，∴，解得：﹣3≤x≤2，∴4≤|EC|≤9，3≤|ED|≤8，∵點(diǎn)E關(guān)于C、D的“相對(duì)關(guān)系值”為k，∴，∴≤k≤3，故答案為：≤k≤3；（3）設(shè)點(diǎn)F表示的數(shù)為y，①若|FC|＝2|FD|，|6﹣y|＝2|y+6|，解得：y＝﹣2或﹣18，∴t＝＝4或t＝＝20，②若|FD|＝2|FC|，|y+6|＝2|6﹣y|，解得：y＝2（舍去，與點(diǎn)B重合）或﹣18，③若|CF|＝2|CD|，|6﹣y|＝24，解得：y＝﹣18或30（舍去），④若|CD|＝2|CF|，12＝2|6﹣y|，解得：y＝0或12（舍去），∴t＝＝2，⑤若|DC|＝2|DF|，12＝2|y+6|，解得：y＝0或﹣12，∴t＝＝14，⑥若|DF|＝2|DC|，|y+6|＝24，解得y＝﹣30或18（舍去），∴t＝，綜上，t＝4或20或2或14或32．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程在數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并正確列式是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?望城區(qū)期末）已知x＝﹣3是關(guān)于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．（1）求k的值；（2）在（1）的條件下，已知線段AB＝6cm，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且BC＝kAC，若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，求線段CD的長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B所表示的數(shù)為4，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始以4個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)間為多少秒時(shí)，有PD＝2QD？【分析】（1）把x＝﹣3代入方程，即可求出k；（2）先求出AC的長(zhǎng)，再求出CD的長(zhǎng)即可；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒時(shí)，有PD＝2QD．分別表示出x秒時(shí)P與Q在數(shù)軸上表示的數(shù)，分兩種情況進(jìn)行討論：①D在PQ之間；②Q在PD之間．【解答】解：（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，解得：k＝2；（2）當(dāng)k＝2時(shí)，BC＝2AC，AB＝6cm，∴AC＝2cm，BC＝4cm，當(dāng)C在線段AB上時(shí)，如圖，∵D為AC的中點(diǎn)，∴CD＝AC＝1cm．即線段CD的長(zhǎng)為1cm；（3）在（2）的條件下，∵點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，∴D點(diǎn)表示的數(shù)為﹣1，B點(diǎn)表示的數(shù)為4．設(shè)經(jīng)過(guò)x秒時(shí)，有PD＝2QD，則此時(shí)P與Q在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是﹣2﹣2x，4﹣4x．分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在PQ之間時(shí)，∵PD＝2QD，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[4﹣4x﹣（﹣1）]，解得x＝；②當(dāng)點(diǎn)Q在PD之間時(shí)，∵PD＝2QD，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[﹣1﹣（4﹣4x）]，解得x＝．答：當(dāng)時(shí)間為或秒時(shí)，有PD＝2QD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離公式，理解題意利用數(shù)形結(jié)合分情況進(jìn)行討論是解此題的關(guān)鍵．也考查了一元一次方程的解，線段的中點(diǎn)等知識(shí)．3．（2022秋?達(dá)川區(qū)期末）數(shù)軸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．研究數(shù)軸我們可發(fā)現(xiàn)許多重要的規(guī)律：①絕對(duì)值的幾何意義：一般地，若點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a，b，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|a﹣b|，記作AB＝|a﹣b|，|3﹣1|則表示數(shù)3和1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；又如|3+1|＝|3﹣（﹣1）|，所以|3+1|表示數(shù)3和﹣1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；②若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，那么線段AB的中點(diǎn)M表示的數(shù)為．請(qǐng)借用數(shù)軸和以上規(guī)律解決下列問(wèn)題：如圖，已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，分別表示的數(shù)為﹣10，6，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度從點(diǎn)B出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）A、B兩點(diǎn)的距離為16個(gè)單位長(zhǎng)度；線段AB的中點(diǎn)M所表示的數(shù)為﹣2；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為﹣10+2t；點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為6﹣t．（用含t的式子表示）（3）P、Q兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)多少秒會(huì)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度？（4）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，O、P、Q三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)t的值．【分析】（1）利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，數(shù)軸上線段的中點(diǎn)計(jì)算公式可得答案；（2）數(shù)軸上點(diǎn)向右移動(dòng)終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)等于起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)加上移動(dòng)距離，數(shù)軸上點(diǎn)向左移動(dòng)終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)等于起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)減去移動(dòng)距離，從而可得答案；（3）由t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)﹣10+2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為6﹣t，表示PQ＝|（﹣10+2t）﹣（6﹣t）|＝|3t﹣16|，再構(gòu)建絕對(duì)值方程，再解方程即可；（4）分①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，O是線段PQ的中點(diǎn)，②當(dāng)5＜t≤時(shí)，P為線段OQ的中點(diǎn)，③當(dāng)＜t≤6時(shí)，Q為線段OP的中點(diǎn)，④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，O為線段PQ的中點(diǎn)，再利用中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的計(jì)算方法構(gòu)建方程，再解方程即可．【解答】解：（1）A、B兩點(diǎn)的距離為6﹣（﹣10）＝16；線段AB的中點(diǎn)M所表示數(shù)為．故答案為：16，﹣2；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為﹣10+2t；點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為6﹣t．故答案為：﹣10+2t，6﹣t；（3）∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)﹣10+2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為6﹣t，∴PQ＝|（﹣10+2t）﹣（6﹣t）|＝|3t﹣16|，又P、Q兩點(diǎn)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度，∴|3t﹣16|＝5，解得：或t＝7，∴P、Q兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)s或7s時(shí)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度；（4）①當(dāng)O是線段PQ的中點(diǎn)，且P點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，Q點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)0＜t≤5，由題意得，解得t＝4．②當(dāng)P為線段OQ的中點(diǎn)，P點(diǎn)在原點(diǎn)和Q點(diǎn)之間，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，2t+t＝6﹣（﹣10），即t＝，∴此時(shí)5＜t≤，由題意得，解得；③當(dāng)Q為線段OP的中點(diǎn)，Q點(diǎn)在原點(diǎn)和P點(diǎn)之間，此時(shí)＜t≤6，由題意得，解得；④當(dāng)O為線段PQ的中點(diǎn)，且Q點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，P點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)t＞6，由題意得，解得t＝4（不合題意，舍去），綜上所述：t＝4或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)軸上線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的計(jì)算方法，熟練的構(gòu)建方程解題是關(guān)鍵．4．（2022秋?黃陂區(qū)校級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別為a、b，（a+1）2與|a﹣b+10|互為相反數(shù)．線段CD在數(shù)軸上從A點(diǎn)左側(cè)（D最開(kāi)始與A重合）沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)M，N分別為AC，BD的中點(diǎn)．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)CD等于2時(shí)，判斷MN的長(zhǎng)度是否為定值，若是求出這個(gè)值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)CD＝m，線段CD運(yùn)動(dòng)的速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CD從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到完全通過(guò)線段MN的時(shí)間為5+m（用含m的式子表示）．【分析】（1）由題意可直接得到A，B兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別為﹣6和4，即可求解AB；（2）設(shè)AC＝k，則BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，由點(diǎn)M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，可得出CM＝AM＝AC＝k，DN＝BD＝（8﹣k）＝4﹣k，所以MN＝CM+CD+DN＝k+2+4﹣k＝6；（3）思路和過(guò)程同（1）中過(guò)程，可直接求出DC走的路程，根據(jù)速度可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【解答】解：（1）∵（a+1）2與|a﹣b+10|互為相反數(shù)，∴（a+61）2+|a﹣b+10|＝0，∵（a+1）2≥0，|a﹣b+10|≥0，∴，∴，∴A，B兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別為﹣1和9，∴AB＝9﹣（﹣1）＝10；（2）MN的長(zhǎng)度是定值，設(shè)AC＝k，則BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，∵點(diǎn)M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，∴CM＝AM＝AC＝k，DN＝BD＝（8﹣k）＝4﹣k，∴MN＝CM+CD+DN＝k+2+4﹣k＝6；（3）當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，則CD完全通過(guò)MN，∴CD走的路程為10+2m，∴CD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為＝5+m，故答案為：5+m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，掌握線段的和差運(yùn)算，線段中點(diǎn)的定義等內(nèi)容，根據(jù)圖形得出線段之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上三點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，BC＝2，AB＝6．（1）求點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）動(dòng)點(diǎn)M，N分別同時(shí)從AC出發(fā)，分別以每秒3個(gè)單位和1個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．P為AM的中點(diǎn)，Q在CN上，且CQ＝CN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．①求點(diǎn)P，Q對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）；②t為何值時(shí)OP＝BQ．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C所表示的數(shù)，以及BC、AB的長(zhǎng)度，即可寫(xiě)出點(diǎn)A、B表示的數(shù)；（2）①根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)求得點(diǎn)P、Q對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）；②根據(jù)OP＝BQ列出關(guān)于t的方程并解方程即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，BC＝2，∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為3﹣2＝1，∵AB＝6，∴點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為1﹣6＝﹣5．（2）①∵動(dòng)點(diǎn)M，N分別同時(shí)從A、C出發(fā)，分別以每秒3個(gè)單位和1個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t∴AM＝3t，CN＝t∵P為AM的中點(diǎn)，Q在CN上，且CQ＝CN，∴AP＝t，CQ＝t∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣5，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為3∴點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣5+t，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為3+t．②∵OP＝BQ．∴|0﹣（﹣5+t）|＝|3+t﹣1|．解得：t＝或t＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解數(shù)軸的定義，在原點(diǎn)左邊的數(shù)表示負(fù)數(shù)，原點(diǎn)表示0，原點(diǎn)右邊的數(shù)表示正數(shù)，學(xué)會(huì)利用方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．6．（2022秋?梁子湖區(qū)期末）閱讀理解：若A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C到A的距離是點(diǎn)C到B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是[A，B]的好點(diǎn)．例如，如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．表示數(shù)1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是[A，B]的好點(diǎn)．知識(shí)運(yùn)用：如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)N所表示的數(shù)為4．（1）線段MN上存在一點(diǎn)是[M，N]的好點(diǎn)，則此點(diǎn)表示的數(shù)是2；（2）如圖3，A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣20，點(diǎn)B所表示的數(shù)為40．現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)B出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，點(diǎn)P、A、B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn)？（3）在（2）條件下，若點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)后繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P為[B，A]的好點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段PB的長(zhǎng)及此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．【分析】（1）根據(jù)好點(diǎn)的定義解答即可；（2）分四種情況：當(dāng)P為[A，B]好點(diǎn)時(shí)，當(dāng)P為[B，A]好點(diǎn)時(shí)，當(dāng)A為[B，P]好點(diǎn)時(shí)，當(dāng)B為[A，P]好點(diǎn)時(shí)，分別列方程即可；（3）當(dāng)P為[B，A]的好點(diǎn)時(shí)，PB＝2PA，可得2t＝2|60﹣2t|，再解方程即可．【解答】解：（1）設(shè)此點(diǎn)表示的數(shù)是x，則（x+2）＝2（4﹣x），解得x＝2，故答案為：2；（2）t秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)是40﹣2t，①當(dāng)P為[A，B]好點(diǎn)時(shí)，PA＝2PB，∴40﹣2t+20＝2×2t，解得t＝10；②當(dāng)P為[B，A]好點(diǎn)時(shí)，PB＝2PA，∴2（40﹣2t+20）＝2t，解得t＝20；③當(dāng)A為[B，P]好點(diǎn)時(shí)，AB＝2AP，∴60＝2（60﹣2t），解得t＝15；④當(dāng)B為[A，P]好點(diǎn)時(shí)，AB＝2PB，∴60＝2×2t，解得t＝15．綜上，當(dāng)t的值是10或20或15時(shí)，點(diǎn)P、A、B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn)；（3）當(dāng)P為[B，A]的好點(diǎn)時(shí)，PB＝2PA，∴2t＝2|60﹣2t|，解得t＝20或60，當(dāng)t＝60時(shí)，PB＝2t＝120，點(diǎn)P表示的數(shù)是40﹣2t＝﹣80；當(dāng)t＝20時(shí)，PB＝2t＝40，點(diǎn)P表示的數(shù)是40﹣2t＝0；綜上，當(dāng)t＝60時(shí)，PB＝120，點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣80或0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程是實(shí)際應(yīng)用，找到等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵，注意要分類討論．7．（2022秋?武漢期末）已知線段AB＝30cm（1）如圖1，點(diǎn)P沿線段AB自點(diǎn)A向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿線段點(diǎn)B向點(diǎn)A以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，幾秒鐘后，P、Q兩點(diǎn)相遇？（2）如圖1，幾秒后，點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)相距10cm？（3）如圖2，AO＝4cm，PO＝2cm，當(dāng)點(diǎn)P在AB的上方，且∠POB＝60°時(shí)，點(diǎn)P繞著點(diǎn)O以30度/秒的速度在圓周上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周停止，同時(shí)點(diǎn)Q沿直線BA自B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，假若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)能相遇，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【分析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)能相遇，由題意得：P點(diǎn)t秒的運(yùn)動(dòng)距離+Q點(diǎn)t秒的運(yùn)動(dòng)距離＝30cm，根據(jù)題意可得方程；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)xs，P、Q兩點(diǎn)相距10cm，分相遇前和相遇后兩種情況建立方程求出其解即可；（3）由于點(diǎn)P，Q只能在直線AB上相遇，而點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到直線AB上的時(shí)間分兩種情況，所以根據(jù)題意列出方程分別求解．【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)ts后，點(diǎn)P、Q相遇．依題意，有2t+3t＝30，解得：t＝6．答：經(jīng)過(guò)6秒鐘后，點(diǎn)P、Q相遇；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)xs，P、Q兩點(diǎn)相距10cm，由題意得2x+3x+10＝30或2x+3x﹣10＝30，解得：x＝4或x＝8．答：經(jīng)過(guò)4秒鐘或8秒鐘后，P、Q兩點(diǎn)相距10cm；（3）點(diǎn)P，Q只能在直線AB上相遇，則點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到直線AB上的時(shí)間為：＝4（s）或＝10（s），設(shè)點(diǎn)Q的速度為ycm/s，則有4y＝30﹣2，解得：y＝7；或10y＝30﹣6，解得y＝2.4，答：點(diǎn)Q的速度為7cm/s或2.4cm/s．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，熟練掌握速度、路程、時(shí)間的關(guān)系．8．（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣20，點(diǎn)B表示的數(shù)為40，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度沿正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以每秒8個(gè)單位的速度先沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)原點(diǎn)后立即按原速返回，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)N回到點(diǎn)B時(shí)，三點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)N之間的距離是21單位．（2）當(dāng)QN＝8個(gè)單位時(shí)，求三個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．（3）嘗試借助上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)，建立數(shù)軸完成下面的實(shí)際問(wèn)題：碼頭C位于A，B兩碼頭之間，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船從A碼頭順流駛向B碼頭，乙船從C碼頭順流駛向B碼頭，丙船從B碼頭開(kāi)往C碼頭后立即調(diào)頭返回B碼頭．已知甲船在靜水中的航速為5海里/時(shí)，乙船在靜水中的航速為4海里/時(shí)，丙船在靜水中的航速為8海里/時(shí)，水流速度為2海里/時(shí)，三船同時(shí)出發(fā)，每艘船都行駛到B碼頭停止．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)甲船離B碼頭的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間即可求解；（2）Q、N相遇的時(shí)間為秒，Q到B的時(shí)間為10秒，N到O的時(shí)間為5秒，N到B的時(shí)間為10秒．N到O前，P所表示的數(shù)為﹣20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為40﹣8t．分三種情況：①Q(mào)、N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N相遇后，N到O后．分別根據(jù)QN＝8列出方程；（3）建立如圖所示的數(shù)軸A所表示的數(shù)為﹣20；C所表示的數(shù)為0；B所表示的數(shù)為40．分四種情況：①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲丙相遇后，丙到C后．根據(jù)這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等列出方程．【解答】解：（1）三個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t（0＜t＜5）秒時(shí)，則P、Q、N三點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的三個(gè)數(shù)分別為﹣20+5t，4t，40﹣8t，當(dāng)t＝3時(shí)，P、N兩點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的三個(gè)數(shù)分別為﹣20+5t＝﹣5，40﹣8t＝16，∴PN＝16﹣（﹣5）＝21，故答案為：21；（2）Q、N相遇的時(shí)間為秒，Q到B的時(shí)間為10秒，N到O的時(shí)間為5秒，N到B的時(shí)間為10秒．N到O前，P所表示的數(shù)為﹣20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為40﹣8t．①Q(mào)、N相遇前：40﹣8t﹣4t＝8，解得t＝，②Q、N相遇后，N到O前，4t﹣（40﹣8t）＝8，解得t＝4，③Q、N相遇后，N到O后：P所表示的數(shù)為﹣20+5t；Q所表示的數(shù)為4t；N所表示的數(shù)為8（t﹣5），4t﹣8（t﹣5）＝8，解得t＝8，綜上所述：當(dāng)QN＝8個(gè)單位時(shí)，三個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝或4或8；（3）建立如圖所示的數(shù)軸A所表示的數(shù)為﹣20；C所表示的數(shù)為0；B所表示的數(shù)為40．甲到C的時(shí)間為秒，甲到B的時(shí)間為秒，乙到B的時(shí)間為秒，丙到C的時(shí)間為秒，丙到B的時(shí)間為秒，甲遇丙的時(shí)間為秒，乙遇丙的時(shí)間為秒，甲追乙的時(shí)間為20（舍），丙追甲的時(shí)間為（舍）．丙到C前，甲所表示的數(shù)為﹣20+7t；乙所表示的數(shù)為6t；丙所表示的數(shù)為40﹣6t①乙丙相遇前：6t﹣（﹣20+7t）＝40﹣6t﹣6t，解得t＝，所以甲船離B碼頭的距離為40﹣（﹣20+7×）＝（海里）；②甲丙相遇前：40﹣6t﹣（﹣20+7t）＝6t﹣（40﹣6t），解得t＝4，所以甲船離B碼頭的距離為40﹣（﹣20+7×4）＝32（海里）；③甲丙相遇后，丙到C前：6t﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣（40﹣6t），解得t＝，所以甲船離B碼頭的距離為40﹣（﹣20+7×）＝20（海里）；④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的數(shù)為﹣20+7t；乙所表示的數(shù)為40；丙所表示的數(shù)為10（t﹣）．40﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣10（t﹣），解得t＝＜（舍）．綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分別在小時(shí)、4小時(shí)、小時(shí)時(shí)，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等，此時(shí)甲船離B碼頭的距離分別為海里，32海里，20海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離．正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵也是本題的難點(diǎn)．9．（2022秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末）【概念與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，AC＝nAB時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作．例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即，則；反之，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“AC＝nAB”具有相同的含義．【理解與應(yīng)用】（1）如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若AC＝3，AB＝4，則＝；若，則＝．【拓展與延伸】（2）已知線段AB＝10cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是個(gè)定值，求m的值；②t為何值時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)“點(diǎn)值”的定義得出答案；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，再根據(jù)d（）+m?d（）的值是個(gè)定值即可求出m的值；②分點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)兩種情況分析即可．【解答】解：（1）∵AC＝3，AB＝4，∴AC＝AB，∴d（）＝，∵d（）＝，∴AC＝AB，∴＝故答案為：，；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP＝t，AQ＝10﹣3t，根據(jù)“點(diǎn)值”的定義得：d（）＝，d（）＝，∵d（）+m?d（）的值是個(gè)定值，∴+m?＝的值是個(gè)定值，∴m＝；②當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵d（）﹣d（）＝，∴﹣＝，∴t＝1；當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵d（）﹣d（）＝，∴﹣＝，∴t＝8（舍去），∴t的值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義并能運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，若AC＝nBC（n為大于1的正整數(shù)），則我們稱點(diǎn)C是（B，A）的最強(qiáng)CP點(diǎn)．例如，AB＝10，AC＝CD＝DE＝EB＝2，則AE＝3BE，稱E是（B，A）的最強(qiáng)CP點(diǎn)；BD＝2CD，則D是（C，B）的最強(qiáng)CP點(diǎn)．（1）點(diǎn)C在線段AB上，若AB＝14，n＝4，點(diǎn)C是（A，B）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，則AC＝．（2）若AB＝14，C是（B，A）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，則AC＝．（用n的代數(shù)式表示）（3）一直線上有兩點(diǎn)A，B，AB＝30cm，點(diǎn)C從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒3cm的速度向A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止．點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5cm的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，t為多少時(shí)，點(diǎn)B，C，D恰好有一個(gè)點(diǎn)是其余2個(gè)點(diǎn)的最強(qiáng)CP點(diǎn)．（用n的代數(shù)式表示）【分析】（1）根據(jù)“最強(qiáng)CP點(diǎn)”的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)“最強(qiáng)CP點(diǎn)”的定義列式即可；（3）將點(diǎn)C、D的運(yùn)動(dòng)分成未相遇，相遇后，點(diǎn)D經(jīng)過(guò)點(diǎn)B后，和點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)A后四種階段討論，并且每個(gè)階段又有可能有2種不同的CP點(diǎn)的情況．【解答】解：（1）∵點(diǎn)C是（A，B）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，∴BC＝nAC（n＝4），∵AB＝14，AB＝BC+AC，∴，故答案為：；（2）∵C是（B，A）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，∴AC＝nBC，∴，又∵AB＝14，AB＝BC+AC，∴，∴，故答案為：；（3）解：根據(jù)題意，當(dāng)AD＝BC時(shí)D、C相遇，∴5t＝30﹣3t，解得，階段一：點(diǎn)D、C未相遇時(shí)，即時(shí)，①設(shè)t1時(shí)點(diǎn)C為（B，D）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，∴DC＝nBC，∵DC＝30﹣5t1﹣3t1＝30﹣8t1，BC＝3t1，∴30﹣8t1＝3nt1，解得，又∵DC＞BC，即30﹣8t1＞3t1，∴，∵n為大于1的正整數(shù)，∴滿足題意；②設(shè)t2時(shí)，點(diǎn)C為（D，B）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，∴BC＝nDC，∵BC＝3t2，DC＝30﹣8t2，∴3t2＝n（30﹣8t2），解得，又∵BC＞DC，即3t2＞30﹣8t2，∴，∵n為大于1的正整數(shù)，∴符合題意；階段二：點(diǎn)D、C相遇后，且點(diǎn)D未到達(dá)點(diǎn)B，即時(shí)，③設(shè)t3時(shí)，點(diǎn)D為（C，B）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，∴BD＝nCD，∵BD＝30﹣5t3，CD＝5t3﹣（30﹣3t3）＝8t3﹣30，∴30﹣5t3＝n（8t3﹣30），∴，又∵BD＞CD，即30﹣5t3＞8t3﹣30，∴，∵n為大于1的正整數(shù)，∴符合題意；④設(shè)t4時(shí)，點(diǎn)D為（B，C）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，∴CD＝nBD，∵CD＝5t4﹣（30﹣3t4）＝8t4﹣30，BD＝30﹣5t4，∴8t4﹣30＝n（30﹣5t4），∴，又∵CD＞BD，即8t4﹣30＞30﹣5t4，∴，∵n為大于1的正整數(shù)，∴符合題意；階段三：點(diǎn)D經(jīng)過(guò)點(diǎn)B后，且點(diǎn)C未到達(dá)點(diǎn)A，即6≤t＜10時(shí)，⑤設(shè)t5時(shí)，點(diǎn)B為（D，C）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，∴CB＝nDB，∵CB＝3t5，DB＝5t5﹣30，∴3t5＝（5t5﹣30）n，∴，又∵CB＞DB，即3t5＞5t5﹣30，∴6≤t5＜15，∴符合題意；⑥設(shè)t6時(shí)，點(diǎn)B為（C，D）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，∴DB＝nCB，∵DB＝5t6﹣30，CB＝3t6，∴5t6﹣30＝3t6n，∴，又∵DB＞CB，即5t6﹣30＞3t6，∴t6＞15，∴不符合題意，舍去；階段四：點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)A后，即t≥10時(shí)，∵CB＝30，CD≥50，∴點(diǎn)B不可能為（D，C）的最強(qiáng)CP點(diǎn)；⑦設(shè)t7時(shí)，點(diǎn)B為（C，D）的最強(qiáng)CP點(diǎn)，∴DB＝nCB，DB＝5t7﹣30，∴5t7﹣30＝30n，∴t7＝6+6n，又∵DB＞CB，即5t7﹣30＞30，∴t7＞12，∴t7＝6+6n符合題意；綜上所述，當(dāng)t為，或或或或6+6n時(shí)，點(diǎn)B，C，D恰好有一個(gè)點(diǎn)是其余2個(gè)點(diǎn)的最強(qiáng)CP點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，列一元一次方程解應(yīng)用題，線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用分類討論的思想，正確地列出代數(shù)式表示出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，且a、b滿足|a+2|+（b﹣8）2＝0．（1）點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2；點(diǎn)B表示的數(shù)為8；（2）若數(shù)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)M，N，點(diǎn)M以2個(gè)單位/秒從A向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以3個(gè)單位/秒從點(diǎn)B向左運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒M，N相遇？（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)M、N出發(fā)經(jīng)過(guò)多少秒，能使MA＝3NO？【分析】（1）根據(jù)偶次方及絕對(duì)值的非負(fù)數(shù)可求解a，b的值，即可求得A，B表示的數(shù)；（2）由（1）可求解A、B之間的距離，再設(shè)經(jīng)過(guò)x秒M、N相遇，列方程計(jì)算可求解；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N出發(fā)經(jīng)過(guò)x秒，能使MA＝3NO，根據(jù)MA＝3NO列方程計(jì)算可求解．【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣8）2＝0，∴a+2＝0，b﹣8＝0，解得a＝﹣2，b＝8，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2；點(diǎn)B表示的數(shù)為8，故答案為：﹣2；8；（2）∵點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2；點(diǎn)B表示的數(shù)為8，∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒M、N相遇，2x+3x＝10，解得x＝2，故經(jīng)過(guò)2秒M、N相遇；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N出發(fā)經(jīng)過(guò)y秒，能使MA＝3NO，由題意得：2y＝3|8﹣3y|，2y＝9y﹣24，解得y＝或，故動(dòng)點(diǎn)M、N出發(fā)經(jīng)過(guò)或秒，能使MA＝3NO．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，偶次方及絕對(duì)值的非負(fù)性，理解題意是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?橋西區(qū)期末）如圖1，直線DE上有一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O在直線DE上方作射線OC，∠COE＝140°，將一直角三角板AOB的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞著點(diǎn)O按每秒20°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，OA恰好平分∠COD，求此時(shí)∠BOC的度數(shù)；（2）若射線OC的位置保持不變，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OA、OC、OD中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出t的取值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若在三角板開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒25°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，從旋轉(zhuǎn)開(kāi)始多長(zhǎng)時(shí)間，射線OC平分∠BOD．直接寫(xiě)出t的值．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）【分析】（1）先根據(jù)補(bǔ)角定義求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠COA的度數(shù)，最后根據(jù)余角定義即可求出∠BOC的度數(shù)；（2）分三種情況討論，①當(dāng)OA平分∠COD時(shí)，②當(dāng)OC平分∠AOD時(shí)，③當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)，可分別求出t的值；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，分三種情況討論，利用角平分線的定義列方程即可求出t的值．【解答】解：（1）∵∠COE＝140°，∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，又∵OA平分∠COD，∴∠AOC＝∠COD＝20°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝70°；（2）存在①當(dāng)OA平分∠COD時(shí)，∠AOD＝∠AOC，即20°t＝20°，解得：t＝1，②當(dāng)OC平分∠AOD時(shí)，∠AOC＝∠DOC，即20°t﹣40°＝40°，解得：t＝4，③當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)，∠AOD＝∠COD，即360°﹣20°t＝40°，解得：t＝16，綜上所述：t＝1，t＝4或16；（3）或或17.5，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有①當(dāng)90+20t＝2（40+25t）時(shí)，t＝，②當(dāng)270﹣20t＝2（320﹣25t）時(shí)，t＝，③當(dāng)OC回到起始位置后，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD＝40°，∴t＝＝17.5，所以t的值為或或17.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了補(bǔ)角，余角及角平分線的定義，掌握分類討論思想是關(guān)鍵．13．（2022秋?洪山區(qū)校級(jí)期末）已知∠COD在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB＝120°，∠COD＝30°．（1）如圖1，求∠AOD+∠BOC的大??；（2）如圖2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小；（3）如圖3，若∠AOC＝30°，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與射線OB重合后，再以每秒12°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；同時(shí)射線OD以每秒20°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線OD，OC運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤19），當(dāng)∠COD＝90°時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．【分析】（1）由∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠COD+∠BOD＝∠AOB+∠COD，即可求得；（2）由ON平分∠AOD，OM平分∠BOC，得∠AON+∠BOM＝（∠AOD+∠BOC）＝×150°＝75°，即可得∠MON＝∠AOB﹣（∠AON+∠BOM），代入數(shù)可求；（3）根據(jù)射線的運(yùn)動(dòng)可知，需要分四種情況：（Ⅰ）當(dāng)OC未達(dá)到OB時(shí)，分兩種情況列方程求解，（Ⅱ）當(dāng)OC達(dá)到OB后返回時(shí)，分兩種情況列方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝30°，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+（∠COD+∠BOD）＝∠AOB+∠COD＝120°+30°＝150°；（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC，∴∠AON＝∠AOD，∠BOM＝∠BOC，∴∠AON+∠BOM＝（∠AOD+∠BOC），由（1）知∠AOD+∠BOC＝150°，∴∠AON+∠BOM＝×150°＝75°，∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AON+∠BOM）＝120°﹣75°＝45°；（3）（Ⅰ）當(dāng)OC未達(dá)到OB時(shí)，分兩種情況：①如圖：此時(shí)∠COC'＝10°t，∠DOD'＝20°t，∴20°t+20°﹣10°t＝90°，解得t＝7，②如圖：此時(shí)∠COC'＝10°t，∠DOD'＝360°﹣20°t，∴（360°﹣20°t﹣20°）+10°t＝90°，解得t＝25，（Ⅱ）當(dāng)OC達(dá)到OB后返回時(shí)，分兩種情況：①如圖：此時(shí)∠COC'＝∠BOC﹣∠BOC'＝120°﹣15°（t﹣12）＝300°﹣15°t，∠DOD'＝20°t﹣360°，∴20°t﹣360°﹣（300°﹣15°t﹣20°）＝90°，解得t＝11.6，②如圖：此時(shí)∠COC'＝120°﹣15°（t﹣12）＝300°﹣15°t，∠DOD'＝360°﹣（20°t﹣360°）＝720°﹣20°t，∴（720°﹣20°t）﹣20°+（300°﹣15°t）＝90°，解得t＝26，綜上所述，t的值為7或25或11.6或26．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念，能用含t的代數(shù)式表示旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．14．（2022秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知A、B、C是數(shù)軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)為7，BC＝4，AB＝16，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒5個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CQ上，且CQ＝3CN．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣13，點(diǎn)B表示的數(shù)為3（2）當(dāng)t＜6時(shí)，求MN的長(zhǎng)（用含t的式子表示）；（3）t為何值時(shí)，原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C所表示的數(shù)，以及BC、AB的長(zhǎng)度，即可寫(xiě)出點(diǎn)A、B表示的數(shù)；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，表示出AP＝5t，CQ＝2t，再根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得AM，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系進(jìn)而可得到點(diǎn)M表示的數(shù)；根據(jù)CQ＝3CN可得CN，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得到點(diǎn)N表示的數(shù)，進(jìn)一步求得MN；（3）此題有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的左側(cè)，點(diǎn)Q在點(diǎn)O的右側(cè)時(shí)；當(dāng)P在點(diǎn)O的右側(cè)，點(diǎn)Q在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，分別畫(huà)出圖形進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵C表示的數(shù)為7，BC＝4，∴OB＝7﹣4＝3，∴B點(diǎn)表示3．∵AB＝16，∴AO＝16﹣3＝13，∴A點(diǎn)表示﹣13；（2）由題意得：AP＝5t，CQ＝2t，如圖1所示：∵M(jìn)為AP中點(diǎn)，∴AM＝AP＝t，∴在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)是﹣13+t，∵點(diǎn)N在CQ上，CQ＝3CN，∴CN＝t，∴在數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)是7﹣t，∴MN＝7﹣t﹣（﹣13+t）＝20﹣t；（3）如圖2所示：由題意得，AP＝6t，CQ＝3t，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的左側(cè)，點(diǎn)Q在點(diǎn)O的右側(cè)時(shí)，OP＝13﹣5t，OQ＝7﹣2t，∵O為PQ的中點(diǎn)，∴OP＝OQ，∴13﹣5t＝7﹣2t，解得：t＝2，當(dāng)t＝2秒時(shí)，O為PQ的中點(diǎn)；②如圖3，當(dāng)P在點(diǎn)O的右側(cè)，點(diǎn)Q在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，OP＝5t﹣13，OQ＝2t﹣7，∵O為PQ的中點(diǎn)，∴OP＝OQ，∴5t﹣13＝2t﹣7，解得：t＝2，此時(shí)AP＝10＜13，∴t＝2不合題意舍去，綜上所述：當(dāng)t＝2秒時(shí)，O為PQ的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，數(shù)軸，以及線段的計(jì)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形，利用中點(diǎn)的意義建立方程解決問(wèn)題．15．（2022秋?管城區(qū)校級(jí)期末）如圖1，O為直線DE上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O在直線DE上方作射線OC，∠EOC＝140°．將直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．（1）如圖2，當(dāng)t＝4時(shí)，∠AOC＝16°，∠BOE＝64°，∠BOE﹣∠AOC＝50°；（2）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)至邊AB與射線OE相交時(shí)（如圖3），試猜想∠AOC與∠BOE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OA、OC、OD中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先根據(jù)已知求出∠DOC、∠BOC，再求出當(dāng)t＝4時(shí)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，再利用角的和與差求解即可；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)角為x，用x表示∠AOC和∠BOE，即可得出結(jié)論；（3）分①OA為∠DOC的平分線；②OC為∠DOA的平分線；③OD為∠COA的平分線三種情況，利用角平分線定義和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)角即可．【解答】解：（1）∵∠EOC＝140°，∠AOB＝∠BOE＝90°，∴∠DOC＝180°﹣140°＝40°，∠BOC＝140°﹣90°＝50°，當(dāng)t＝4時(shí)，旋轉(zhuǎn)角4×6°＝24°，∴∠AOC＝∠DOC﹣∠DOA＝40°﹣24°＝16°，∠BOE＝90°﹣24°＝66°，∠BOE﹣∠AOC＝66°﹣16°＝50°，故答案為：16°，66°，50°；（2）∠AOC﹣∠BOE＝50°，理由如下：設(shè)旋轉(zhuǎn)角為x，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)至邊AB與射線OE相交時(shí)，∠AOC＝x﹣40°，∠BOE＝x﹣90°，∴∠AOC﹣∠BOE＝（x﹣40°）﹣（x﹣90°）＝50°；（3）存在，理由如下：①當(dāng)OA為∠DOC的平分線時(shí)，旋轉(zhuǎn)角6t°＝∠DOC＝20°，解得：t＝；②當(dāng)OC為∠DOA的平分線時(shí)，旋轉(zhuǎn)角6t°＝2∠DOC＝80°，解得：t＝；③當(dāng)OD為∠COA的平分線時(shí)，360°﹣6t°＝∠DOC＝40°，解得：t＝，綜上，滿足條件的t的取值為或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的運(yùn)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，利用分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．16．（2022秋?泗陽(yáng)縣校級(jí)期末）【感受新知】如圖1，射線OC在∠AOB在內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的三倍，則稱射線OC是∠AOB的“和諧線”．[注：本題研究的角都是小于平角的角．]（1）一個(gè)角的角平分線不是這個(gè)角的“和諧線”．（填是或不是）（2）如圖1，∠AOB＝60°，射線OC是∠AOB的“和諧線”，求∠AOC的度數(shù)．【運(yùn)用新知】（3）如圖2，若∠AOB＝90°，射線OM從射線OA的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?5°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線ON從射線OB的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?.5°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線回到出發(fā)位置的時(shí)候，整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之停止，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（s），問(wèn)：當(dāng)射線OM、ON旋轉(zhuǎn)到一條直線上時(shí)，求t的值．【解決問(wèn)題】（4）在（3）的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)射線ON是∠BOM的“和諧線”時(shí)t的值．【分析】（1）結(jié)合“和諧線”和角平分線的定義，即可得到答案；（2）分四種情況討論，由“和諧線”的定義，列出方程可求∠AOC的度數(shù)；（3）根據(jù)題意，分三種情況討論，列出方程可求t的值；（4）根據(jù)題意，分四種情況進(jìn)行討論，列出方程，分別解方程，即可求出t的值．【解答】解：（1）∵一個(gè)角的平分線平分這個(gè)角，且這個(gè)角是所分兩個(gè)角的2倍，∴一個(gè)角的角平分線不是這個(gè)角的“和諧線”．故答案為：不是；（2）根據(jù)題意，∵∠AOB＝60°，射線OC是∠AOB的“和諧線”，可分為四種情況進(jìn)行分析：①當(dāng)∠AOB＝3∠AOC＝60°時(shí)，∴∠AOC＝20°；②當(dāng)∠AOB＝3∠BOC＝60°時(shí)，∴∠BOC＝20°，∴∠AOC＝40°；③當(dāng)∠AOC＝3∠BOC時(shí)，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝45°；④當(dāng)∠BOC＝3∠AOC時(shí)，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝15°；（3）由題意得，∵360°÷15°＝24（秒），∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍為：0＜t≤24，則有①當(dāng)OM與ON第一次成一個(gè)平角時(shí)，90+15t+7.5t＝180，解得：t＝4；當(dāng)t＝6時(shí)，∠BOM＝180°，不符合題意，故舍去．②當(dāng)OM與ON成一個(gè)周角時(shí)，90+15t+7.5t＝360，解得：t＝12；③當(dāng)OM與ON第二次成一個(gè)平角時(shí)，90+15t+7.5t＝180+360，解得：t＝20，綜上，t的值為4或12或20秒；（4）當(dāng)OM與OB在同一條直線上時(shí)，有t＝（180°﹣90°）÷15°＝6（秒），當(dāng)OM與ON成一個(gè)周角時(shí)，有t＝12，∴6≤t≤12，根據(jù)“和諧線”的定義，可分為四種情況進(jìn)行分析：①當(dāng)∠MON＝3∠BON時(shí)，如圖：∵∠MON＝360°﹣90°﹣15t﹣7.5t，∠BON＝7.5t，∴360°﹣90°﹣15t﹣7.5t＝3×7.5t，解得：t＝6；t＝6時(shí)有個(gè)角為平角，（舍去），②當(dāng)∠BOM＝3∠BON時(shí)，如圖：∵∠BOM＝360°﹣90°﹣15t，∠BON＝7.5t，∴360°﹣90°﹣15t＝3×7.5t，解得：t＝7.2；③當(dāng)∠BOM＝3∠MON時(shí)，如圖：∵∠BOM＝360°﹣90°﹣15t，∠MON＝（360°﹣90°）﹣（15t+7.5t）＝270°﹣22.5t，∴360°﹣90°﹣15t＝3×（270﹣22.5t），解得：；④當(dāng)∠BON＝3∠MON時(shí)，如圖：∵∠BON＝7.5t，∠MON＝270°﹣22.5t，∴7.5t＝3×（270﹣22.5t），解得：t＝10.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，和諧線的性質(zhì)，角之間的和差關(guān)系，掌握題意找等量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵．17．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖1，平面上順時(shí)針排列射線OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且為鈍角，∠AOB：∠COD＝6：7，射線OM，ON分別平分∠AOC，∠AOD（題目中所出現(xiàn)的角均小于180°且大于0°）．（1）若∠AOD＝140°，∠AOM＝75°，∠CON＝140°；（2）6∠CON﹣∠AOM的值是否隨著∠AOD的變化而變化？若不變，求出該定值；若要變，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（1）的條件下，將∠AOB繞點(diǎn)O以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到∠A1OB1（OA，OB的對(duì)應(yīng)邊分別是OA1，OB1），若旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（0＜t＜180），當(dāng)∠A1OC+6°＝∠B1OD時(shí)，求出t的值．【分析】（1）由周角求出∠DOC+∠AOB＝130°，根據(jù)∠AOB：∠COD＝6：7求得∠AOB＝60°，∠COD＝70°，從而求出∠AOC＝150°，再根據(jù)角平分線定義求出∠DON和∠AOM，從而可得出結(jié)論；（2）設(shè)∠AOB＝6k，∠COD＝7k，再用含k的式子表示∠CON，∠AOC，代入6∠CON﹣∠AOM可得結(jié)論；（3）求出∠AOC＝150°，∠BOD＝160°，分三種情況討論求解即可．【解答】解：（1）∵∠BOC＝90°，∠AOD＝140°，∴∠AOB+∠COD＝130°，∵∠AOB：∠COD＝6：7，∴∠AOB＝60°，∠COD＝70°；∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°，∵OM，ON分別平分∠AOC，∠AOD，∴∠AOM＝∠AOC＝75°，∠DON＝∠AOD＝70°，∴∠CON＝∠DON+∠COD＝140°，故答案為：75°，140°．（2）6∠CON﹣∠AOM的值不會(huì)隨著∠AOD的改變而改變，理由如下：設(shè)∠AOD＝α，∵∠BOC＝90°，∠AOD＝α，∴∠AOB+∠COD＝270°﹣α，∵∠AOB：∠COD＝6：7，∴∠AOB＝（270°﹣α），∠COD＝（270°﹣α），∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝214.6°﹣α，∵OM，ON分別平分∠AOC，∠AOD，∴∠AOM＝∠AOC＝107.3°﹣α，∠DON＝∠AOD＝α，∴∠CON＝∠DON+∠COD＝145.4°﹣α，∴6∠CON﹣∠AOM＝6（145.4°﹣α）﹣（107.3°﹣α）＝765°，∴6∠CON﹣∠AOM的值不會(huì)隨著∠AOD的改變而改變；是定值765°；（3）∵∠AOC＝90°+60°＝150°，∠BOD＝70°+90°＝160°，①當(dāng)∠A1OC＝150°﹣2t，∠B1OD＝160°﹣2t（t∠75）時(shí)，∵∠A1OC+6°＝∠B1OD，∴150°﹣2t+6°＝160°﹣2t，此時(shí)，無(wú)解；②當(dāng)∠A1OC＝2t﹣150°，∠B1OD＝160°﹣2t（75∠t∠80）時(shí)，∵∠A1OC+6°＝∠B1OD，∴2t﹣150°+6°＝160°﹣2t，解得，t＝76；③當(dāng)∠A1OC＝2t﹣150°，＝B1OD＝2t﹣160°（t＞80），∵∠A1OC+6＝∠B1OD，∴2t﹣150°+6°＝2t﹣160°，此時(shí)無(wú)解．∴t＝76．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程在幾何方面的運(yùn)用，是學(xué)習(xí)方程之后接觸平面幾何中一道典型的數(shù)型結(jié)合題，有利于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．在計(jì)算時(shí)易出錯(cuò)不會(huì)用一個(gè)式子代入表示另一個(gè)式子，隱含了數(shù)學(xué)消元思想．18．（2022秋?黃石港區(qū)期末）已知數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為9，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，長(zhǎng)度為2個(gè)單位的線段BC在數(shù)軸上移動(dòng)．（1）如圖1，當(dāng)線段BC在O、A兩點(diǎn)之間移動(dòng)到某一位置時(shí)恰好滿足線段AC＝OB，求此時(shí)b的值；（2）當(dāng)線段BC在數(shù)軸上沿射線AO方向移動(dòng)的過(guò)程中，若存在AC﹣OB＝AB，求此時(shí)滿足條件的b值；（3）當(dāng)線段BC在數(shù)軸上移動(dòng)時(shí)，滿足關(guān)系式|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，則此時(shí)的b的取值范圍是b≤﹣2或b≥9或b＝．【分析】（1）由題意可知B點(diǎn)表示的數(shù)比點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)少2，進(jìn)一步用b表示出AC、OB之間的距離，聯(lián)立方程求得b的數(shù)值即可；（2）分別用b表示出AC、OB、AB，進(jìn)一步利用AC﹣0B＝AB建立方程求得答案即可；（3）分別用b表示出AC、OB、AB、OC，進(jìn)一步利用|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）由題意得：9﹣（b+2）＝b，解得：b＝3.5．答：線段AC＝OB，此時(shí)b的值是3.5．（2）由題意得：①9﹣（b+2）﹣b＝（9﹣b），解得：b＝．②9﹣（b+2）+b＝（9﹣b），解得：b＝﹣5答：若AC﹣0B＝AB，滿足條件的b值是或﹣5．（3）①當(dāng)b≥9時(shí)，AC＝b+2﹣9，OB＝b，AB＝b﹣9，OC＝b+2，|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，|b+2﹣9﹣b|＝7，|AB﹣OC|＝×11＝7，∴恒成立；②7≤b＜9時(shí)，|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，|b+2﹣9﹣b|＝|9﹣b﹣（b+2）|，解得b＝﹣2（舍去）或b＝9（舍去）；③0≤b＜7時(shí)，|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，|9﹣（b+2）﹣b|＝|9﹣b﹣（b+2）|，解得b＝＝3.5．④﹣2≤b＜0時(shí)，|9﹣（b+2）+b|＝|9﹣b﹣（b+2）|，解得b＝﹣2或b＝9（舍去）；⑤當(dāng)b＜﹣2時(shí)，|9﹣（b+2）+b|＝|9﹣b+（b+2）|恒成立，綜上，b的取值范圍是b≤﹣2或b≥9或b＝3.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，考查了數(shù)軸與兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，根據(jù)數(shù)軸確定出線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?仙游縣校級(jí)期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中b是最小的正整數(shù)，a，c滿足|a+2|+（c﹣5）2＝0．（1）填空；a＝﹣2，b＝1，c＝5．（2）現(xiàn)將點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，1個(gè)單位長(zhǎng)度和1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，AB的長(zhǎng)度是BC長(zhǎng)度的兩倍．②定義，已知M，N為數(shù)軸上任意兩點(diǎn)．將數(shù)軸沿線段MN的中點(diǎn)Q進(jìn)行折疊，點(diǎn)M與點(diǎn)N剛好重合，所以我們又稱線段MN的中點(diǎn)Q為點(diǎn)M和點(diǎn)N的折點(diǎn)．試問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，這三個(gè)點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的折點(diǎn)？【分析】（1）由正整數(shù)的定義，絕對(duì)值及偶次方的非負(fù)性可求解a，c的值；（2）①先用t表示A，B，C三點(diǎn)表示的數(shù)，即可求得AB，BC，AC，再根據(jù)AB＝2BC列關(guān)于t的方程，解方程即可求解t值；②分三種情況：當(dāng)A是BC的中點(diǎn)時(shí)，AB＝AC；當(dāng)B是AC的中點(diǎn)時(shí)，AB＝BC；當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，AC＝BC，分別列方程，計(jì)算可求解．【解答】解：（1）∵b是最小的正整數(shù)，∴b＝1，∵|a+2|+（c﹣5）2＝0，∴a+2＝0，c﹣5＝0，解得a＝﹣2，c＝5；（2）①t秒后A點(diǎn)表示的數(shù)為﹣2+4t，B點(diǎn)表示的數(shù)為1+t，C點(diǎn)表示的數(shù)為5+t，∴AB＝|（1+t）﹣（﹣2+4t）|＝|3﹣3t|，BC＝|（5+t）﹣（1+t）|＝4，∵AB＝2BC，∴|3﹣3t|＝2×4＝8，解得t＝，故當(dāng)經(jīng)過(guò)s時(shí)，AB的長(zhǎng)度是BC長(zhǎng)度的兩倍；②當(dāng)A是BC的中點(diǎn)時(shí)，AB＝AC，則|（1+t）﹣（﹣2+4t）|＝|（5+t）﹣（﹣2+4t）|，即|3﹣3t|＝|7﹣3t|，解得t＝；當(dāng)B是AC的中點(diǎn)時(shí)，∵A，B，C表示的數(shù)分別是﹣2，1，5，∴在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中B點(diǎn)不可能是AC的中點(diǎn)，故該情況下不存在；當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)在C點(diǎn)的右側(cè)，則[5﹣（﹣2）]+t＜4t，解得t＞，∴|（5+t）﹣（﹣2+4t）|＝|（5+t）﹣（1+t）|，即|7﹣3t|＝4，解得t＝或1（舍去），綜上，當(dāng)t＝s或s時(shí)，這三個(gè)點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的折點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，絕對(duì)值及偶次方的非負(fù)性，分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．（2022秋?荔灣區(qū)校級(jí)期末）已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為a，b，且a，b滿足|a+9|+（b﹣6）2＝0．點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸從A出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)．（1）則a＝﹣9，b＝6．（2）若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B距離的2倍，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．（3）若點(diǎn)Q在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒后，從點(diǎn)B出發(fā)以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P，Q兩點(diǎn)相遇后，再同時(shí)都向右運(yùn)動(dòng)（速度不變）．試求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為1？并求出此時(shí)Q點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)．【分析】（1）讀懂題意，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列等式，求出a、b的值；（2）根據(jù)題意分情況列方程求出解即可；（3）分兩種情況討論，一相遇前，二相遇后，分別設(shè)未知數(shù)，列方程求出時(shí)間，再確定Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．【解答】解：（1）∵|a+9|+（b﹣6）2＝0，∴a+9＝0，a＝﹣9，b﹣6＝0，b＝6，故答案為：﹣9，6；（2）根據(jù)題意可知AB＝6﹣（﹣9）＝6+9＝15，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，PA＝2PB，有兩種可能，當(dāng)p點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，此時(shí)PA＝2PB，2t＝2（15﹣2t），t＝5，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右邊時(shí)，PA＝2PB，2t＝2（2t﹣15），t＝10，∴P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B距離的2倍，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為10秒或5秒．（3）設(shè)點(diǎn)Q與點(diǎn)P共同運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，PQ＝1，有兩種可能，相遇前，相遇后，由題意得：相遇前，2（2+t）+1+3t＝15，t＝2，AQ＝（2+2）×2+1＝9，﹣9+9＝0，此時(shí)Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為0，∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2+2＝4秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為1，此時(shí)Q點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為0；設(shè)點(diǎn)Q與點(diǎn)P共同運(yùn)動(dòng)t秒在N點(diǎn)相遇，2（2+t）+3t＝15，t＝2.2，t+2＝4.2，4.2×2＝8.4，﹣9+8.4＝﹣0.6，1÷（3﹣2）＝1，4.2+1＝5.2，﹣0.6+1×3＝2.4綜上所述P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4或5.2s，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為1，此時(shí)Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：0或2.4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意列方程求解．21．（2022秋?順慶區(qū)校級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，表示的數(shù)分別是﹣4、﹣2、3，請(qǐng)回答：（1）若使C、B兩點(diǎn)的距離與A、B兩點(diǎn)的距離相等，則需將點(diǎn)C向左移動(dòng)3或7個(gè)單位；（2）點(diǎn)A、B、C開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)t秒鐘過(guò)后：①點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別是﹣4﹣t、﹣2+2t、3+5t（用含t的代數(shù)式表示）；②若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為d1，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為d2．試問(wèn)：d1﹣d2的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出d1﹣d2值．【分析】（1）由AB＝2，結(jié)合數(shù)軸即可得出點(diǎn)C向左移動(dòng)的距離；（2）①結(jié)合路程＝時(shí)間×速度寫(xiě)出答案；②先求出d1＝3t+5，d2＝3t+2，從而得出d1﹣d2＝2．【解答】解：（1）有數(shù)軸可知：A、B兩點(diǎn)的距離為2，B點(diǎn)、C點(diǎn)表示的數(shù)分別為：﹣2、3，所以當(dāng)C、B兩點(diǎn)的距離與A、B兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，需將點(diǎn)C向左移動(dòng)3個(gè)或7個(gè)單位；故答案為：3或7；（2）①點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4﹣t；點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2+2t；點(diǎn)C所表示的數(shù)是3+5t．故答案為：﹣4﹣t；﹣2+2t；3+5t；②d1﹣d2的值不隨著時(shí)間t的變化而改變，其值是3，理由如下：∵點(diǎn)A都以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，∴d1＝3t+5，d2＝3t+2，∴d1﹣d2＝（3t+5）﹣（3t+2）＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸與絕對(duì)值，通過(guò)數(shù)軸把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．22．（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）已知如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，所表示的數(shù)分別為﹣10，﹣4，點(diǎn)A以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度也向右運(yùn)動(dòng)，如果設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答下列問(wèn)題：（1）運(yùn)動(dòng)前線段AB的長(zhǎng)為6；運(yùn)動(dòng)1秒后線段AB的長(zhǎng)為4；（2）求t為何值時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B恰好重合；（3）在上述運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得線段AB的長(zhǎng)為5，若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可；（2）構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（3）分兩種情形構(gòu)建方程解決問(wèn)題．【解答】解：（1）AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6，運(yùn)動(dòng)1秒后，A表示﹣5，B表示﹣1，∴AB＝﹣1+5＝4．故答案為：6，4．（2）運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)A，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離分別為5t，3t，由題意：（5﹣3）t＝6，∴t＝3．（3）由題意：6+3t﹣5t＝5或5t﹣（6+3t）＝5，解得t＝或，∴t的值為或秒時(shí)，線段AB的長(zhǎng)為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)軸，一元一次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．23．（2022秋?廣陽(yáng)區(qū)期末）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：（1）探究：①數(shù)軸上表示5和2的兩點(diǎn)之間的距離是3．②數(shù)軸上表示﹣1和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是4．③數(shù)軸上表示﹣3和4的兩點(diǎn)之間的距離是7．（2）歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a和數(shù)b的兩點(diǎn)之間的距離等于|a﹣b|．（3）應(yīng)用：①若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與3之間，則|a+4|+|a﹣3|的值＝7．②若a表示數(shù)軸上的一個(gè)有理數(shù)，且|a﹣1|＝|a+3|，則a＝﹣1．③若a表示數(shù)軸上的一個(gè)有理數(shù)，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3．④若a表示數(shù)軸上的一個(gè)有理數(shù)，且|a+3|+|a﹣5|＞8，則有理數(shù)a的取值范圍是a＞5或a＜﹣3．（4）拓展：已知，如圖2，A、B分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣20，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100．若當(dāng)電子螞蟻P從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從B點(diǎn)出發(fā)，以3單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P所表示的數(shù)．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法得出答案，（2）由特殊到一般，得出結(jié)論，（3）①利用數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的計(jì)算方法得出答案；②根據(jù)絕對(duì)值的意義取絕對(duì)值，解方程即可；③由|a﹣1|+|a+2|所表示的意義，轉(zhuǎn)化為求數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)到表示1的點(diǎn)之間的距離；④由|a+3|+|a﹣5|所表示的意義，轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上表示﹣3和5兩側(cè)的點(diǎn)到﹣3和5的距離之和；（4）設(shè)t秒時(shí)，兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度，然后含t的式子表示出點(diǎn)P，Q所表示的數(shù)，在根據(jù)題意列方程，解方程即可．【解答】解：（1）探究：①數(shù)軸上表示5和2的兩點(diǎn)之間的距離是3，②數(shù)軸上表示﹣1和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是4，③數(shù)軸上表示﹣3和4的兩點(diǎn)之間的距離是7；故答案為：①3，②4，③7；（2）歸納：數(shù)軸上表示數(shù)a和數(shù)b的兩點(diǎn)之間的距離等于|a﹣b|，故答案為：|a﹣b|；（3）應(yīng)用：①若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與3之間，|a+4|+|a﹣3|＝a+4﹣a+3＝7；②∵|a﹣1|＝|a+3|，∴a﹣1＝a+3（無(wú)解）或a﹣1＝﹣（a+3），解得a＝﹣1；③當(dāng)a表示的數(shù)在﹣2和1之間時(shí)，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3；④當(dāng)|a+3|+|a﹣5|＞8時(shí)，a應(yīng)該在數(shù)5的右側(cè)或在﹣3的左側(cè)，∴a＞5或a＜﹣3，故答案為：①7，②﹣1，③3，④a＞5或a＜﹣3；（4）設(shè)t秒時(shí)，兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)P表示的數(shù)為4t﹣20，Q表示的數(shù)為100﹣3t，根據(jù)題意得100﹣3t﹣（4t﹣20）＝20或4t﹣20﹣（100﹣3t）＝20，解得t＝或t＝20，此時(shí)4t﹣20＝或60，∴點(diǎn)P所表示的數(shù)為或60．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和一元一次方程的應(yīng)用，注意線段上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離的和最?。?4．（2022秋?武侯區(qū)校級(jí)期末）已知b是最小的正整數(shù)，a，b滿足（c﹣5）2+|a+b|＝0，且a，b，c分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出a，b，c的值：a＝﹣1，b＝1，c＝5．（2）若點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒后，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離的2倍？（3）點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB．假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，BC﹣AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求其值．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的特點(diǎn)，計(jì)算并判斷出a、b、c的值；（2）根據(jù)題意分情況列方程，求解即可；（3）根據(jù)題意求出BC、AB的代數(shù)式，再相減，判斷結(jié)果與t有無(wú)關(guān)系．【解答】解：（1）∵b是最小的正整數(shù)，a，b滿足（c﹣5）2+|a+b|＝0，∴b＝1，c﹣5＝0，c＝5，|a+b|＝0，a+1＝0，a＝﹣1，故答案為：﹣1，1，5；（2）由圖可知：AC＝5﹣（﹣1）＝6，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒后，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離的2倍，情況一，PA＝2PC，P點(diǎn)在A點(diǎn)與C點(diǎn)之間，此時(shí)2x＝2×（6﹣2x），x＝2，情況二，PA＝2PC，P點(diǎn)在C點(diǎn)右邊，此時(shí)2x＝2（2x﹣6），x＝6，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒或6秒后，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離的2倍；（3）根據(jù)題意可知，AB＝1﹣（﹣1）+（2+1）t＝3t+2，BC＝（5﹣1）﹣2t+5t＝3t+4，BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝3t+4﹣3t﹣2＝2，∵BC﹣AB＝2，，結(jié)果2與t無(wú)關(guān)，∴BC﹣AB的值不隨時(shí)間t的變化而改變，BC﹣AB＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意分情況列一元一次方程，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列等式．25．（2021秋?紅河州期末）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為10，點(diǎn)M，N分別以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度，每秒b個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸運(yùn)動(dòng)，a，b滿足|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出a＝5，b＝6；（2）如圖1，點(diǎn)M從A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)原點(diǎn)后立即返回向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從原點(diǎn)O出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)P為線段ON的中點(diǎn)若MP＝MA，求t的值；（3）如圖2，若點(diǎn)M從原點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從原點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的右側(cè)，若此時(shí)以M，N，O，A為端點(diǎn)的所有線段的長(zhǎng)度和為142，求此時(shí)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答；（2）分三種情況解答：①點(diǎn)M未到達(dá)O時(shí)（0＜t≤2時(shí)），NP＝OP＝3t，AM＝5t，OM＝10﹣5t；②點(diǎn)M到達(dá)O返回時(shí)當(dāng)（2＜t≤4時(shí)），OM＝5t﹣10，AM＝20﹣5t；③點(diǎn)M到達(dá)O返回時(shí)，即t＞4時(shí)，不成立；（3）當(dāng)M在A右側(cè)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程并解答．【解答】解：（1）∵|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．∴a﹣5＝0，b﹣6＝0∴a＝5，b＝6故答案為：5，6．（2）①點(diǎn)M未到達(dá)O時(shí)（0＜t≤2時(shí)），NP＝OP＝3t，AM＝5t，OM＝10﹣5t，即3t+10﹣5t＝5t，解得t＝；②點(diǎn)M到達(dá)O返回時(shí)（2＜t≤4時(shí)），OM＝5t﹣10，AM＝20﹣5t，即3t+5t﹣10＝20﹣5t，解得t＝；③當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)O返回，且到A右側(cè)時(shí)，即t＞4時(shí)，不成立；（3）當(dāng)M在A右側(cè)時(shí)，NO+OA+AM+AN+OM+MN＝6t+5t+11t+10+6t+5t＝142，解得t＝4，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為20．答：此時(shí)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)數(shù)軸相關(guān)知識(shí)的掌握情況及利用一元一次解決實(shí)際問(wèn)題的能力．本題涉及數(shù)軸即路程為題，清楚各個(gè)點(diǎn)之間距離的表示方式是解題的關(guān)鍵．另外要注意路程相等的幾種情況．26．（2021秋?恩施市期末）如圖1，長(zhǎng)方形OABC的邊OA在數(shù)軸上，O為原點(diǎn)，長(zhǎng)方形OABC的面積為12，OC邊長(zhǎng)為3．（1）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為4．（2）將長(zhǎng)方形OABC沿?cái)?shù)軸水平移動(dòng)，移動(dòng)后的長(zhǎng)方形記為O′A′B′C′，移動(dòng)后的長(zhǎng)方形O′A′B′C′與原長(zhǎng)方形OABC重疊部分（如圖2中陰影部分）的面積記為S．①當(dāng)S恰好等于原長(zhǎng)方形OABC面積的一半時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)A′表示的數(shù)為6或2．②設(shè)點(diǎn)A的移動(dòng)距離AA′＝x．?。?dāng)S＝4時(shí)，x＝；ⅱ．D為線段AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OO′上，且OE＝OO′，當(dāng)點(diǎn)D，E所表示的數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，求x的值．【分析】（1）利用面積÷OC可得AO長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案；（2）①首先計(jì)算出S的值，再根據(jù)矩形的面積表示出O′A的長(zhǎng)度，再分兩種情況：當(dāng)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別求出A′表示的數(shù)；②i、首先根據(jù)面積可得OA′的長(zhǎng)度，再用OA長(zhǎng)減去OA′長(zhǎng)可得x的值；ii、此題分兩種情況：當(dāng)原長(zhǎng)方形OABC向左移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D表示的數(shù)為，點(diǎn)E表示的數(shù)為，再根據(jù)題意列出方程；當(dāng)原長(zhǎng)方形OABC向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D，E表示的數(shù)都是正數(shù)，不符合題意．【解答】解：（1）∵長(zhǎng)方形OABC的面積為12，OC邊長(zhǎng)為3，∴OA＝12÷3＝4，∴數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為4，故答案為：4．（2）①∵S恰好等于原長(zhǎng)方形OABC面積的一半，∴S＝6，∴O′A＝6÷3＝2，當(dāng)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，A′表示的數(shù)為2當(dāng)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，∵O′A′＝AO＝4，∴OA′＝4+4﹣2＝6，∴A′表示的數(shù)為6，故答案為：6或2．②ⅰ．如圖1，由題意得：CO?OA′＝4，∵CO＝3，∴OA′＝，∴x＝4﹣＝，同法可得：右移時(shí)，x＝故答案為：；ⅱ．如圖1，當(dāng)原長(zhǎng)方形OABC向左移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D表示的數(shù)為，點(diǎn)E表示的數(shù)為，由題意可得方程：4﹣x﹣x＝0，解得：x＝，如圖2，當(dāng)原長(zhǎng)方形OABC向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D，E表示的數(shù)都是正數(shù)，不符合題意．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，關(guān)鍵是正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合列出方程，注意要分類討論，不要漏解．27．（2021秋?紫陽(yáng)縣期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為10．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣4；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，它所表示的數(shù)是1；（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度？【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為10．即可得點(diǎn)B表示的數(shù)；進(jìn)而可得當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，它所表示的數(shù)；（2）根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇前和相遇后之間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度，分兩種情況列方程即可求解．【解答】解：（1）∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為10，∴B點(diǎn)表示的數(shù)為﹣4，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，它所表示的數(shù)為1．故答案為：﹣4、1．（2）根據(jù)題意，得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇前，距離8個(gè)單位長(zhǎng)度：2t+（10﹣4t）＝8，解得t＝1；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇后，距離8個(gè)單位長(zhǎng)度：（4t﹣10）﹣2t＝8，解得t＝9．答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1秒或9秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況列方程．28．（2022秋?金臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）如圖2，將圖1中的三角形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，此時(shí)直線ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得ON在∠AOC的內(nèi)部，探究∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若直線ON恰好平分∠AOC，此時(shí)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少秒？【分析】（1）根據(jù)OM恰好平分∠BOC，用∠BOC的度數(shù)除以2，求出∠BOM的度數(shù)，可求出∠BON的度數(shù)是多少，∠AOC＝60°即可得答案；（2）首先根據(jù)∠AOM﹣∠NOC＝30°，∠BOC＝120°，求出∠A0C＝60°，然后根據(jù)∠AON＝90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，判斷出∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系即可．（3）首先設(shè)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是x秒，根據(jù)∠BOC＝120°，可得∠AOC＝60°，∠BON＝∠COD＝30°；然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)60°時(shí)ON平分∠AOC，可得6x＝60或6x＝240，據(jù)此求出x的值是多少即可．【解答】解：（1）∵OM恰好平分∠BOC，∴∠BOM＝120°÷2＝60°，∴∠BON＝90°﹣60°＝30°，∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°，∴直線ON平分∠AOC；（2）如圖3，，∠AOM﹣∠NOC＝30°，∵∠BOC＝120°，∴∠A0C＝60°，∵∠AON＝90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°．（3）設(shè)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是x秒，∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°，∴∠BON＝30°，∴旋轉(zhuǎn)60°時(shí)ON平分∠AOC，∵6x＝60或6x＝240，∴x＝10或x＝40，即此時(shí)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是10秒或40秒．【點(diǎn)評(píng)】此題主要