第19講與角相關的三大計算類問題壓軸復習（原卷版）

第19講與角相關的三大計算類問題壓軸復習類型一“鐘面角”相關【知識點睛】鐘表的表面特點：鐘表的表面都是一個圓形，共有12個大格，每個大格間有5個小格．圓形的表面恰好對應著一個周角360°，每一大格=30°角，每一小格=6°角．表面一般有時針、分針、秒針三根指針．鐘表時針、分針、秒針的轉動情況：時針：每小時轉1大格，每12分鐘轉1小格，每12個小時轉1個圓周；分針：每5分鐘轉一大格，每1分鐘轉1小格，每小時轉1個圓周；秒針：每5秒鐘轉1大格，每1秒鐘轉1小格，每1分鐘轉一個圓周．時針、分針、秒針的轉速：時針的轉速為：30°/小時或0.5°/分鐘；分針的轉速為：6°/分鐘或0.1°/秒鐘；秒針的轉速為：6°/秒．【類題訓練】時針/分針/秒針間的夾角分題1．如圖所示，鐘表上顯示的時刻是10點10分，再過20分鐘，時針與分針所成的角是（）A．75° B．120° C．135° D．150°2．12月21日16：15，我校七年級SuperSound英語趣配音比賽在學校千人報告廳舉行．為了保證比賽準時開始，年級組長張老師組織同學16：00出發(fā)前往千人報告廳，此時時針與分針的夾角為（）A．37.5° B．75° C．120° D．135°3．北京時間21點30分，此時鐘表的時針和分針構成的角度是°．4．小亮研究鐘面角（時針與分針組成的角），2：15的鐘面角為度．從某一時刻到另一時刻的角度問題1．時鐘上的時針勻速旋轉一周是12小時，從5時到6時，時針轉動的度數(shù)為．2．鐘表上的時針和分針都繞其軸心旋轉，從8點到8點40分，時針轉了度，分針轉了度，8點40分時針與分針所成的角是度．3.圓形鐘面上從2點整到4點整，時針和分針成60度角時的時間是．4．觀察常用時鐘，回答下列問題：（1）早晨7時整，時針和分針構成多少度的角？（2）時針多長時間轉一圈？它轉動的速度是每小時多少度？（3）從7：00到7：40，分針轉動了多少度？由角度求對應時刻時間1．鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角．如圖，在鐘面上，點O為鐘面的圓心，圖中的圓我們稱之為鐘面圓．為便于研究，我們規(guī)定：鐘面圓的半徑OA表示時針，半徑OB表示分針，它們所成的鐘面角為∠AOB；本題中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本題中所指的時刻都介于0點整到12點整之間．（1）時針每分鐘轉動的角度為°，分針每分鐘轉動的角度為°；（2）8點整，鐘面角∠AOB＝°，鐘面角與此相等的整點還有：點；（3）如圖，設半徑OC指向12點方向，在圖中畫出6點15分時半徑OA、OB的大概位置，并求出此時∠AOB的度數(shù)．2．鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角，時針每走1分鐘對應0.5°的角，分針每走1分鐘對度6°的角．（1）如圖1，時鐘所表示的時間為2點30分，則鐘面角為°；（2）若某個時刻的鐘面角為60°，請寫出一個相應的時刻：；（3）如圖2，時鐘所表示的時間為3點，此時鐘角為90°，在4點前，經過多少分鐘，鐘角為35°？3．鐘面上的數(shù)學基本概念鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角．如圖1，∠AOB即為某一時刻的鐘面角，通常0°≤∠AOB≤180°．簡單認識時針和分針在繞點O一直沿著順時針方向旋轉，時針每小時轉動的角度是30°，分針每小時轉動一周，角度為360°．由此可知：（1）時針每分鐘轉動°，分針每分鐘轉動°；初步研究（2）已知某一時刻的鐘面角的度數(shù)為α，在空格中寫出一個與之對應的時刻：①當α＝90°時，；②當α＝180°時，；（3）如圖2，鐘面顯示的時間是8點O4分，此時鐘面角∠AOB＝°；深入思考A類：（4）在某一天的下午2點到3點之間（不包括2點整和3點整）．①時針恰好與分針重疊，則這一時刻是；②時針恰好與分針垂直，求此時對應的時刻．B類：（4）在某一天的下午2點到3點之間（不包括2點整和3點整）①若鐘面角為30°，求此時對應的時刻；②記鐘面上刻度為3的點為C，當鐘面角的兩條邊OA、OB所在射線與射線OC中恰有一條是另兩條射線所成角的角平分線時，請直接寫出此時對應的時刻．類型二與角有關的折疊問題【知識點睛】有折疊必有角度相等→折疊所形成的角與原角相等→折痕所在直線為角平分線；成一條直線的幾個角組成平角——即和為180°；正方形、長方形的一個角均為90°；【類題訓練】1．如圖，把一長方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點D的對應點D'落在∠BAC內部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．12° B．24° C．39° D．45°2．如圖，長方形ABCD沿直線EF、EG折疊后，點A和點D分別落在直線l上的點A′和點D′處，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．50° D．55°3．如圖，將一張長方形紙片ABCD沿對角線BD折疊后，點C落在點E處，連接BE交AD于F，再將三角形DEF沿DF折疊后，點E落在點G處，若DG剛好平分∠ADB，那么∠ADB的度數(shù)是（）A．18° B．20° C．36° D．45°4．如圖，將長方形紙片翻折，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)為．5．如圖，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠AED′＝68°，則∠AEF＝．6．如圖，將書頁的一角斜折過去，使角的頂點A落在A′處，BC為折痕，BD平分∠A′BE．（1）求∠CBD的度數(shù)．（2）若∠A′BE＝120°，求∠CBA的度數(shù)．類型三與角有關的旋轉問題【知識點睛】圖形的旋轉也就是其中線段/射線的旋轉，審題中先考慮“旋轉三要素”——旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度；旋轉角度=射線轉動的速度×轉動的時間；故常引入字母，用代數(shù)式表示角度；根據(jù)角度間的數(shù)量關系，多用方程思想解決動角問題；常見的角度間的數(shù)量關系表述：∠A=∠B，∠A=2∠B，∠A與∠B互余（或互補）等角的邊的位置不確定時，需要分類討論【類題訓練】1．如圖，∠AOB＝90°．∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度數(shù)；（2）若∠BOC＝60°，其他條件不變，則∠MON＝45°；（3）若∠AOB＝α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（4）從上面的結果能看出什么規(guī)律？2．如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度數(shù)；（2）作射線OM平分∠AOC，在∠BOC內作射線ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度數(shù)；（3）過點O作射線OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度數(shù)．3．已知∠AOB與∠COD互補，射線OE平分∠COD，設∠AOC＝α，∠BOD＝β．（1）如圖1，∠COD在∠AOB的內部，①當∠COD＝45°時，求α+β的值．②當α＝3β時，求∠BOE的度數(shù)．（2）如圖2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α與β滿足的等量關系．4．將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O．（1）如圖1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度數(shù)．（2）若三角板AOB保持不動，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點O旋轉．試猜想在旋轉過程中，∠AOC與∠BOD有何數(shù)量關系？請說明理由．5．如圖，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使得∠AOC＝120°，將一個有一個角為30°直角三角板的直角頂點放在點O處，使邊ON在射線OA上，另一邊OM在直線AB的下方，將圖中的三角板繞點O按順時針方向旋轉180°．（1）三角板旋轉的過程中，當ON⊥AB時，三角板旋轉的角度為；（2）當ON所在的射線恰好平分∠BOC時，三角板旋轉的角度為；（3）在旋轉的過程中，∠AOM與∠CON的數(shù)量關系為；（請寫出所有可能情況）（4）若三角板繞點O按每秒鐘20°的速度順時針旋轉，同時射線OC繞點O按每秒鐘5°的速度沿順時針方向，向終邊OB運動，當ON與射線OB重合時，同時停止運動，直接寫出三角板的直角邊所在射線恰好平分∠AOC時，三角板運動時間為．6．已知：如圖1，點A、O、B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉，同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒4°的速度旋轉，如圖2，設旋轉時間為t（0秒≤t≤45秒）．（1）則∠MOA＝，∠NOB＝．（用含t的代數(shù)式表示）（2）在運動過程中，當∠AOB達到60°時，求t的值．（3）在旋轉過程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角（指大于0°而不超過180°的角）的平分線？如果存在，直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．7．【閱讀理解】射線OC是∠AOB內部的一條射線，若∠COA＝∠AOB，則我們稱射線OC是射線OA的“友好線”．例如，如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，則∠AOC＝∠AOB，稱射線OC是射線OA的友好線；同時，由于∠BOD＝∠AOB，稱射線OD是射線OB的友好線．【知識運用】（1）如圖2，∠AOB＝120°，射線OM是射線OA的友