數(shù)學(xué)教案：圓與圓的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7（),\s\do5（整體設(shè)計(jì)）)教學(xué)分析教材通過例題介紹了利用方程判斷兩圓的位置關(guān)系．讓學(xué)生進(jìn)一步感受坐標(biāo)方法在研究幾何問題中的作用．值得注意的是針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況來學(xué)習(xí)坐標(biāo)法討論兩圓的位置關(guān)系，對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生,建議不學(xué)習(xí),對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生可以作為課后閱讀教材，否則本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)完不成．三維目標(biāo)1．掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判定，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．2．了解用坐標(biāo)方法討論兩圓位置關(guān)系，體會(huì)坐標(biāo)方法在研究幾何問題中的作用，提高應(yīng)用能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用方程判定兩圓位置關(guān)系．教學(xué)難點(diǎn):用坐標(biāo)方法討論兩圓位置關(guān)系．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o(\s\up7(）,\s\do5（教學(xué)過程)）導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1。前面我們學(xué)習(xí)了利用方程判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系，那么，圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？如何利用方程判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？教師板書課題:圓與圓的位置關(guān)系．設(shè)計(jì)2.我們知道,日食和月食都是一種自然現(xiàn)象，如果把月球、地球、太陽(yáng)都抽象成圓，那么這兩種自然現(xiàn)象就展現(xiàn)了兩圓的位置關(guān)系，如何利用方程來描述這一現(xiàn)象呢？教師點(diǎn)出課．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題）)eq\a\vs4\al（初中學(xué)過的平面幾何中，圓與圓的位置關(guān)系有幾種？畫圖表示，并指出判斷方法.)討論結(jié)果:外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含d>R＋rd＝R＋r|R－r|<d〈R＋rd＝｜R－r｜d〈｜R－r|eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1判斷下列兩個(gè)圓的位置關(guān)系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；（2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2:x2＋y2－2eq\r(3）x－6＝0.解：（1）已知兩圓的方程可分別變形為（x－1)2＋y2＝22，(x－2）2＋（y＋1）2＝（eq\r(2)）2.由此可知圓心C1的坐標(biāo)為(1,0)，半徑r1＝2；圓心C2的坐標(biāo)為(2,－1),半徑r2＝eq\r（2）.設(shè)兩圓的圓心距為d，則:d＝|C1C2|＝eq\r（2－12＋－12）＝eq\r（2）.r1＋r2＝2＋eq\r（2)，r1－r2＝2－eq\r(2）.所以r1－r2〈d〈r2＋r2。因此這兩個(gè)圓相交．(2）已知兩圓的方程分別變形為：x2＋(y－1)2＝12，(x－eq\r（3））2＋y2＝32。由此可知圓心C1的坐標(biāo)為（0，1)，半徑r1＝1;圓心C2的坐標(biāo)為（eq\r(3)，0），半徑r2＝3,則兩圓的圓心距d＝eq\r（\r(3）2＋12)＝2,所以d＝r2－r1.因此這兩個(gè)圓內(nèi)切．點(diǎn)評(píng)：判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系．幾何法:即兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)、連心線長(zhǎng)的關(guān)系來判別兩個(gè)圓的位置關(guān)系．設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為d，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：①當(dāng)d〉R＋r時(shí)，圓C1與圓C2外離;②當(dāng)d＝R＋r時(shí)，圓C1與圓C2外切;③當(dāng)|R－r|〈d〈R＋r時(shí),圓C1與圓C2相交；④當(dāng)d＝｜R－r|時(shí),圓C1與圓C2內(nèi)切;⑤當(dāng)d<|R－r|時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含．變式訓(xùn)練1．在平面直角坐標(biāo)系中分別作出圓心為C1(0,0)，C2(1,1），半徑分別為1，2的兩圓,并判斷兩圓的位置關(guān)系．解：作出兩圓，如下圖．兩圓半徑分別記作r1和r2，則r1＝1，r2＝2,圓心距d＝｜C1C2|＝eq\r(0－12＋0－12）＝eq\r（2)，于是，1＝|r1－r2|<d<r1＋r2＝3，所以兩圓相交．2．判斷圓C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0與圓C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置關(guān)系,并畫出圖形．解:由已知得圓C1：（x＋1）2＋(y－3）2＝36,其圓心C1(－1，3）,半徑r1＝6；圓C2：(x－2）2＋(y＋1)2＝1，其圓心C2(2，－1)，半徑r2＝1。于是｜C1C2｜＝eq\r(2＋12＋－1－32)＝5。又|r1－r2｜＝5，即｜C1C2|＝｜r1－r2|，所以兩圓內(nèi)切．如下圖．3．x2＋y2－2x＝0和圓O2:x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是（）A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切解析：圓O1：x2＋y2－2x＝0（x－1）2＋y2＝1，故圓心為（1，0）,半徑為1.圓O2：x2＋y2－4y＝0x2＋（y－2）2＝4，故圓心為（0，2)，半徑為2。則圓心距d＝eq\r（1－02＋0－22）＝eq\r（5）.而2－1<eq\r（5）〈1＋2，即兩圓相交．答案:B例2試用坐標(biāo)方法討論兩圓位置關(guān)系．（本題針對(duì)學(xué)生實(shí)際選用)解：如下圖所示，以O(shè)1為坐標(biāo)原點(diǎn),使x軸通過O1，O2，且O2在x軸的正半軸上，建立直角坐標(biāo)系xOy。這樣，可設(shè)⊙O2的圓心的坐標(biāo)為（d，0）．這時(shí)兩圓的圓心距等于d,兩圓的方程分別為x2＋y2＝req\o\al（2,1）①（x－d）2＋y2＝req\o\al（2,2).②將①②兩式聯(lián)立，研究此方程組的解．①－②，整理可得x＝eq\f（r\o\al（2,1）－r\o\al(2,2)＋d2,2d)。將x值代入①，得y2＝req\o\al(2,1)－eq\f（r\o\al(2,1）－r\o\al（2,2)＋d22,4d2）＝eq\f(2dr1＋r\o\al（2,1)－r\o\al(2，2）＋d22dr1－r\o\al（2,1)＋r\o\al(2，2）－d2,4d2)＝eq\f([r1＋d2－r\o\al（2,2）][r\o\al（2，2）－r1－d2]，4d2)＝eq\f(r1＋r2＋dr1－r2＋dr1＋r2－dr2－r1＋d，4d2)＝eq\f（[r1＋r22－d2］［d2－r1－r22],4d2）.由此可見，如果|r1－r2|<d<r1＋r2則等式右邊兩個(gè)因式都為正數(shù)，于是方程組有解，且有兩解．這時(shí)相應(yīng)的兩圓相交于兩點(diǎn)（如下圖）．如果:r1＋r2＝d或|r1－r2｜＝d,則等式右邊分子的因式中至少有一個(gè)為0，則方程組有唯一解,這時(shí)兩圓相切（外切或內(nèi)切)(上圖(2）（3))．如果：r1＋r2〈d或|r1－r2｜>d,則方程組無解,這時(shí)兩圓不相交（相離或內(nèi)含）(上圖(4）(5)）．思路2例3已知圓C1:x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng)．分析：因兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)圓方程，聯(lián)立方程組，消去x2項(xiàng)、y2項(xiàng)，即得兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長(zhǎng)．解：設(shè)兩圓交點(diǎn)為A（x1，y1）、B(x2,y2），則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，,x2＋y2－4x＋2y－11＝0,))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))①－②，得3x－4y＋6＝0。因?yàn)锳、B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程,所以3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在的直線方程．易知圓C1的圓心（－1,3)，半徑r＝3.又點(diǎn)C1到直線的距離為d＝eq\f(｜－1×3－4×3＋6｜,\r(32＋－42)）＝eq\f(9，5）。所以AB＝2eq\r（r2－d2)＝2eq\r（32－\f（9，5)2)＝eq\f(24,5)，即兩圓的公共弦長(zhǎng)為eq\f（24,5).點(diǎn)評(píng)：處理圓有關(guān)的問題,利用圓的幾何性質(zhì)往往比較簡(jiǎn)單,要注意體會(huì)和應(yīng)用．本題中求兩圓公共弦所在直線方程可以作為結(jié)論記?。兪接?xùn)練判斷下列兩圓的位置關(guān)系，如果兩圓相交，請(qǐng)求出公共弦的方程．(1）(x＋2）2＋（y－2）2＝1與（x－2)2＋（y－5)2＝16,(2）x2＋y2＋6x－7＝0與x2＋y2＋6y－27＝0.解：(1)根據(jù)題意，得兩圓的半徑分別為r1＝1和r2＝4，兩圓的圓心距d＝eq\r(［2－－2]2＋5－22)＝5.因?yàn)閐＝r1＋r2，所以兩圓外切．（2)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x＋3）2＋y2＝16，x2＋（y＋3）2＝36。故兩圓的半徑分別為r1＝4和r2＝6，兩圓的圓心距d＝eq\r（0－32＋－3－02）＝3eq\r（2）。因?yàn)椋黵1－r2|〈d〈r1＋r2，所以兩圓相交．兩圓方程相減得公共弦的方程：6x－6y＋20＝0,即3x－3y＋10＝0.例4求過點(diǎn)A(0,6)且與圓C:x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點(diǎn)的圓的方程．分析：如下圖．所求圓經(jīng)過原點(diǎn)和A(0,6），且圓心應(yīng)在已知圓的圓心與原點(diǎn)的連線上．根據(jù)這三個(gè)條件可確定圓的方程．解：將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x＋5）2＋(y＋5）2＝50，則圓心為C（－5,－5），半徑為5eq\r（2)。所以經(jīng)過此圓心和原點(diǎn)的直線方程為x－y＝0.設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋（y－b）2＝r2.由題意，知O(0，0)，A(0,6）在此圓上，且圓心M（a，b)在直線x－y＝0上，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋0－b2＝r2，,0－a2＋6－b2＝r2,，a－b＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3,,b＝3，,r＝3\r（2)。）)于是所求圓的方程是（x－3)2＋(y－3）2＝18。點(diǎn)評(píng)：求圓的方程,一般可從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程入手，至于選擇哪一種方程形式更恰當(dāng)，要根據(jù)題目的條件而定，總之要讓所選擇的方程形式使解題過程簡(jiǎn)單．變式訓(xùn)練求經(jīng)過點(diǎn)A（4，－1),且與已知圓C：（x＋1)2＋（y－3)2＝5相外切于點(diǎn)B(1，2）的圓的方程．解:如下圖，設(shè)所求的圓C′的方程為（x－a)2＋(y－b）2＝R2.因?yàn)镃′既在弦AB的垂直平分線上，又在直線BC上，AB中垂線方程為x－y－2＝0，BC所在直線的方程為x＋2y－5＝0，所以，圓心C′的坐標(biāo)應(yīng)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－2＝0，,a＋2b－5＝0.)）解得a＝3，b＝1。因?yàn)樗髨AC′過點(diǎn)A（4，－1），所以(4－3）2＋（－1－1)2＝R2＝5.所以，所求圓的方程為(x－3）2＋（y－1）2＝5.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練)）1．在（x＋k）2＋(y＋2k＋5)2＝5（k＋1)2(k≠－1)所表示的一切圓中,任意兩圓的位置關(guān)系是（）A．相切或相交B．相交C．相切D．內(nèi)切或相交答案：C2．已知圓x2＋y2＋m＝0與圓x2＋y2－6x＋8y＝0沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．－10〈m〈0B．－100<m<－10C．m〈－100D．答案:C3．半徑為5且與圓x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原點(diǎn)的圓的方程是________．答案：x2＋y2＋6x－8y＝04．一圓過兩圓x2＋y2＋6x－3＝0和x2＋y2－6y－3＝0的交點(diǎn)，圓心在直線x＋y＋6＝0上,求此圓的方程．答案：x2＋y2＋9x＋3y－3＝05．求圓心在直線x－y－4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2＋y2－4x－3＝0和x2＋y2－4y－3＝0的交點(diǎn)的圓的方程．解：設(shè)經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－4x－3＋λ（x2＋y2－4y－3）＝0（λ≠－1)，則其圓心坐標(biāo)為(eq\f（2,1＋λ),eq\f(2λ,1＋λ))．∵所求圓的圓心在直線x－y－4＝0上，∴eq\f(2,1＋λ）－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，λ＝－eq\f（1，3).∴所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－3＝0.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))求經(jīng)過原點(diǎn)，且過圓x2＋y2＋8x－6y＋21＝0和直線x－y＋5＝0的兩個(gè)交點(diǎn)的圓的方程．解法一：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋8x－6y＋21＝0，，x－y＋5＝0，)）求得交點(diǎn)（－2，3）或(－4，1）．設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。因?yàn)?0，0）,(－23），（－4，1）三點(diǎn)在圓上，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋1－4D＋E＋F＝0,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（F＝0，,E＝－\f(9，5），,D＝\f（19,5）。））所以所求圓的方程為x2＋y2＋eq\f（19,5）x－eq\f（9,5)y＝0。解法二：設(shè)過交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋8x－6y＋21＋λ(x－y＋5)＝0（λ為參數(shù))．將原點(diǎn)（0，0)代入上述方程得λ＝－eq\f(21,5）.則所求方程為x2＋y2＋eq\f（19，5）x－eq\f（9,5)y＝0。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）本節(jié)課學(xué)習(xí)了：利用方程判斷兩圓位置關(guān)系,解決與兩圓有關(guān)的問題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)））本節(jié)練習(xí)A1,2題．eq\o（\s\up7（)，\s\do5(設(shè)計(jì)感想）)這堂課是建立在初中已經(jīng)對(duì)圓與圓的位置關(guān)系有個(gè)粗略地了解的基礎(chǔ)上，對(duì)這個(gè)位置關(guān)系的進(jìn)一步深化，而且前一堂課學(xué)習(xí)過直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系的研究和直線與圓的位置關(guān)系的研究方法是類似的,所以可以用類比的思想來引導(dǎo)學(xué)生自主地探究圓與圓的位置關(guān)系．作為解析幾何的一堂課，判斷圓與圓的位置關(guān)系,體現(xiàn)的正是解析幾何的思想：用代數(shù)方法處理幾何問題，用幾何方法處理代數(shù)問題．所以在教材處理上，對(duì)判斷兩圓位置關(guān)系用了幾何方法，使學(xué)生對(duì)解析幾何的本質(zhì)有所了解．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(備課資料）)圓的參數(shù)方程一般地,在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上