數(shù)學(xué)教材梳理幾個(gè)三角恒等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學(xué)1。積化和差恒等式由于sin（α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，則不難得出sinαcosβ=[sin（α+β)+sin（α—β)］.同理可得cosαsinβ=［sin（α+β)-sin(α—β)],cosαcosβ=［cos（α+β)+cos(α—β)］，sinαsinβ=-[cos（α+β)-cos（α—β)]，這組等式稱為三角函數(shù)積化和差公式，熟悉結(jié)構(gòu)，不要求記憶，它的優(yōu)點(diǎn)在于將“積式”化為“和差"，有利于簡化計(jì)算.在告知公式前提下利用該組公式進(jìn)行運(yùn)算.記憶要訣在積化和差公式的展開式右邊的函數(shù)名稱可簡記為“同余弦，異正弦",即當(dāng)展開式為兩個(gè)角的正弦積或余弦積時(shí),展開式為兩角和與差的余弦;當(dāng)展開式為兩角的正弦與余弦之積時(shí)，展開式為兩角和與差的正弦。深化升華積化和差公式實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算結(jié)構(gòu)和角的轉(zhuǎn)化，它將兩個(gè)角的正余弦之積轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)角和與差的正弦或余弦和差的形式。2.和差化積恒等式與萬能公式若令α+β=θ，α—β=φ,則α=，β=,代入sinαcosβ=［sin（α+β)+sin（α-β)］得sincos=[sin(+)+sin（-）］=(sinθ+sinφ）.∴sinθ+sinφ=2sincos。同理，可得sinθ-sinφ=2cossin，cosθ+cosφ=2coscos,cosθ—cosφ=—2sinsin，這組等式稱為和差化積公式,其特點(diǎn)是同名的正(余)弦才能使用.辨析比較和差化積公式也實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算結(jié)構(gòu)與角的轉(zhuǎn)化，只不過它是將兩個(gè)角正弦和與差或余弦和與差的形式化為兩角和差一半的正余弦積的形式，它與積化和差公式相輔相成,配合使用.3。萬能代換公式由于sinα==,cosα=，tanα==，即sinα=,cosα=,tanα=。上述三個(gè)公式統(tǒng)稱為萬能公式(不用記憶).這個(gè)公式的本質(zhì)是用半角的正切表示正弦、余弦、正切即：f（tan）.所以利用它對三角式進(jìn)行化簡、求值、證明，可以使解題過程簡潔。上述公式左右兩邊定義域發(fā)生了變化，由左向右定義域縮小。典題·熱題例1在△ABC中，若sinBsinC=cos2，則△ABC是()A.等邊三角形B。等腰三角形C.不等邊三角形D.直角三角形思路解析：由于sinBsinC=cos2，A+B+C=π，所以有-［cos（B+C)—cos（B—C）]=（1+cosA），—［-cosA-cos(B—C）］=(1+cosA).所以cos(B—C)=1。又B、C為三角形內(nèi)角，則必有B—C=0。故三角形為等腰三角形.答案：B妙解提示本題也可以利用反代法，先驗(yàn)證等腰直角三角形，再驗(yàn)證正三角形即可得出正確結(jié)論。例2計(jì)算sin69°-sin3°+sin39°-sin33°.思路分析：應(yīng)用和差化積、兩角和與差三角公式，二倍角公式，在解題時(shí)可盡可能地出現(xiàn)相同角或特殊角.解:原式=（sin69°+sin39°）-（sin33°+sin3°)=2sin54°cos15°—2sin18°cos15°=2cos15°（sin54°-sin18°)=2cos15°·2sin18°cos36°=2cos15°·=2cos15°·=cos15°=cos（45°—30°)=。方法歸納在利用和差化積公式求值時(shí),要盡量出現(xiàn)兩角和與差為特殊角或?yàn)橄嗤?，以便于求值和提取公因式。?已知=—5，求3cos2θ+4sin2θ的值.思路分析:本題應(yīng)用萬能公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式.可先由已知得出tanα的值，再利用萬能公式解題。解：∵=—5,∴cosθ≠0（否則2=—5).∴=-5,解之，得tanθ=2。∴原式=.方法歸納利用萬能公式對三角式進(jìn)行化簡、求值、證明，可以使解題過程簡潔。本題就是一個(gè)具體的例子，本題還有一種方法，就是先求出tanθ的值,再將所求的式子用倍角公式化為關(guān)于θ的正、余弦二次齊次多項(xiàng)式的形式，再求解，但這種解法要比第一種解法復(fù)雜得多。例4求證：sin3αsin3α+cos3αcos3α=cos32α.思路分析:由于等式的左邊為單角和三倍角，而等式的右邊為二倍角，則可考慮將單角和三倍角利用積化和差等式化為二倍角。證明：左邊=（sin3αsinα)sin2α+(cos3αcosα)cos2α=—（cos4α-cos2α）sin2α+(cos4α+cos2α）cos2α=-cos4αsin2α+cos2αsin2α+cos4αcos2α+cos2αcos2α=cos4αcos2α+cos2α=cos2α(cos4α+1）=cos2α·2cos22α=cos32α=右邊.∴原式得證。深化升華證明三角恒等式的方法，一般是由繁化簡,可由左推右,也可以由右推左，也可以證明兩邊和同一個(gè)式子相等，不論是哪種方法，在證明前一定要仔細(xì)觀察等式的結(jié)構(gòu)，以選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.例5已知cosθ-cosφ=,sinθ—sinφ=-，求sin（θ+φ)的值。思路分析：利用和差化積公式及倍角公式的應(yīng)用.cosθ-cosφ=—2sinsin和sinθ-sinφ=2cossin，從而得出tan，進(jìn)而求出sin（θ+φ)的值。解：∵cosθ—cosφ=，∴-2sinsin=.∵sinθ—sinφ=—，∴2cossin=-.∵sin≠0,∴-tan=—.∴tan=.∴sin(θ+φ）==。方法歸納利用和差化積公式，可以使解題過程簡化。問題·探究交流討論探究問題在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別為角A、B和C，則由2sinB=sinA+sinC能得到哪些結(jié)論？探究過程:學(xué)生甲：直接利用二倍角公式與和差化積公式可得2sincos=4sincos,而sin=sin(—)=cos,cos=cos(—)=sin，則可得cos=2cos。學(xué)生乙：由cos=2cos，再利用兩角和與差的三角公式，可得coscos+sinsin=2（coscos—sinsin)，即coscos=3sinsin.而且還可以進(jìn)一步得到tantan=.學(xué)生丙:由cos=2cos及sin=sin(-）=cos,可得cos=2sin，則2cos·cos=4sin2=cosA+cosC,