新高考數(shù)學概率統(tǒng)計分章節(jié)特訓專題11獨立性檢驗專題練習(原卷版+解析)

專題11獨立性檢驗例1．2019年11月5日至10日，第二屆中國國際進口博覽會在上海舉行．某宣傳媒體組織業(yè)內(nèi)人士對某型號智能機器人進行評分，所得情況如圖所示：（Ⅰ）試估計業(yè)內(nèi)人士評分的平均數(shù)以及方差（用每個小矩形底邊中點近似替代本組數(shù)據(jù)）；（Ⅱ）為了調(diào)查評分與性別是否具有相關(guān)性，研究人員隨機抽取了60位參加評分的業(yè)內(nèi)人士，其中男性與女性人數(shù)各一半，根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，據(jù)此資料，是否有的把握認為評分的高低與性別有關(guān)？分數(shù)不低于60分低于60分合計男性1630女性1030合計60參考公式：（1），其中．（2）．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.0500.0252.0722.7063.8415.024例2．某校舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為進行統(tǒng)計，按照，，，，，，，，，的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在，，，的頻數(shù)分別為16，4．（Ⅰ）求樣本容量和頻率分布直方圖中的，的值；（Ⅱ）估計本次競賽學生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（Ⅲ）在選取的樣本中，若男生和女生人數(shù)相同，我們規(guī)定成績在70分以上稱為“優(yōu)秀”，70分以下稱為“不優(yōu)秀”，其中男女生中成績優(yōu)秀的分別有24人和30人，請完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“學生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”？男生女生總計優(yōu)秀不優(yōu)秀總計0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．例3．某健身館為了宣傳健身效果，吸引顧客，特別請專業(yè)的評估機構(gòu)對他們500名學員的鍛煉成果進行評估打分（滿分100分），并且認為評分不低于80分的參與者為健身達人，得到如表：健身達人非健身達人總計男20050250女100150250總計300200500（Ⅰ）判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為健身達人與性別有關(guān)系？（Ⅱ）若500名學員中40歲以上的有100人，30歲到40歲的有300人，30歲以下的100人，先從中分層抽取5人進行抽獎活動，再從這5人中抽取兩位對其進行全年免單活動，求兩人全年免單都在30歲到40歲之間的概率是多少？附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．例4．某公司為了推廣某項技術(shù)，對旗下200名員工的年齡和人數(shù)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計其對這項技術(shù)的接受程度，從而為后期宣傳工作做準備，并繪制了如下頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)如圖求樣本年齡的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（保留兩位小數(shù)）；（Ⅱ）若將樣本分為兩個年齡段，年齡在區(qū)間，和，分別稱為“青少年”和“中老年”，根據(jù)相關(guān)條件完成下表，并判斷是否有的把握認為對新技術(shù)接受程度與年齡段有關(guān)？青少年中老年合計接受2090不接受110合計200參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.828例5．“微信運動”已成為當下熱門的健身方式，小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：積極型懈怠型總計男女總計男12368女021062（Ⅰ）若采用樣本估計總體的方式，試估計小王的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率；（Ⅱ）已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定“積極型”，否則為“懈怠型”，根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)？附：，0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635例6．為了調(diào)查某大學學生在周日上網(wǎng)的時間，隨機對100名男生和100名女生進行了不記名的問卷調(diào)查，得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果：表1：男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表上網(wǎng)時間（分鐘），，，，，人數(shù)525302515表2：女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表上網(wǎng)時間（分鐘），，，，，人數(shù)1020402010（Ⅰ）若該大學共有女生750人，試估計其中上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù)；（Ⅱ）完成表3的列聯(lián)表（此表應(yīng)畫在答題卷上），并回答能否有的把握認為“學生周日上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”？（Ⅲ）從表3的男生中“上網(wǎng)時間少于60分鐘”和“上網(wǎng)時間不少于60分鐘”的人數(shù)中用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，再從中任取兩人，求至少有一人上網(wǎng)時間超過60分鐘的概率．表上網(wǎng)時間少于60分鐘上網(wǎng)時間不少于60分鐘合計男生女生合計附：，其中0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83例7．某種疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型，為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機抽取了患該疾病的病人進行調(diào)查，其中男性人數(shù)為，女性人數(shù)為，男性患Ⅰ型病的人數(shù)占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人數(shù)占女性病人的．Ⅰ型?、蛐筒『嫌嬆信嫌嫞?）完成聯(lián)表若在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團隊來研發(fā)此疾病的治療藥物，兩個團隊各至多安排2個接種周期進行試驗．每人每次接種花費元．甲團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，根據(jù)以往試驗統(tǒng)計，甲團隊平均花費為；乙團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗，否則進入第二個接種周期．假設(shè)兩個研發(fā)團隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨立．若，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，該公司應(yīng)選擇哪個團隊進行藥品研發(fā)？附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828例8．某房產(chǎn)中介統(tǒng)計了深圳市某高檔小區(qū)從2018年12月至2019年11月當月在售二手房均價（單位：萬元平方米）的散點圖，如圖所示，圖中月份代碼1至12分別對應(yīng)2018年12月至2019年11月的相應(yīng)月份．根據(jù)散點圖選擇和兩個模型進行擬合，根據(jù)數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為和，并得到以下一些統(tǒng)計量的值：殘差平方和0.01485570.0048781總偏差平方和0.069193（1）請利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好；（2）某位購房者擬于2020年5月份購買深圳市福田區(qū)平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）．若該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿3年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：估算該購房者應(yīng)支付的購房金額．（購房金額房款稅費；房屋均價精確到0.01萬元平方米）若該購房者擬用不超過760萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積（精確到1平方米）附注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項稅費，稅費是按照房屋的計稅價格進行征收．（計稅價格房款）征收方式見如表：購買首套房面積（平方米）契稅（買方繳納）的稅率參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，參考公式：相關(guān)指數(shù)．例9．從某小區(qū)抽取50戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖如圖1．（1）求頻率分布直方圖中的值并估計這50戶用戶的平均用電量；（2）若將用電量在區(qū)間，內(nèi)的用戶記為類用戶，標記為低用電家庭，用電量在區(qū)間，內(nèi)的用戶記為類用戶，標記為高用電家庭，現(xiàn)對這兩類用戶進行問卷調(diào)查，讓其對供電服務(wù)進行打分，打分情況見莖葉圖如圖①從類用戶中任意抽取1戶，求其打分超過85分的概率；②若打分超過85分視為滿意，沒超過85分視為不滿意，請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“滿意度與用電量高低有關(guān)”？滿意不滿意合計類用戶類用戶合計附表及公式：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，．例10．某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：，，，，，，，，，分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率．（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828．例11．某市在對學生的綜合素質(zhì)評價中，將其測評結(jié)果分為“優(yōu)秀、合格、不合格”三個等級，其中不小于80分為“優(yōu)秀”，小于60分為“不合格”，其它為“合格”．（Ⅰ）某校高二年級有男生500人，女生400人，為了解性別對該綜合素質(zhì)評價結(jié)果的影響，采用分層抽樣的方法從高二學生中抽取了90名學生的綜合素質(zhì)評價結(jié)果，其各個等級的頻數(shù)統(tǒng)計如表：等級優(yōu)秀合格不合格男生（人308女生（人306根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”？男生女生總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計（Ⅱ）以（Ⅰ）中抽取的90名學生的綜合素質(zhì)評價等級的頻率作為全市各個評價等級發(fā)生的概率，且每名學生是否“優(yōu)秀”相互獨立，現(xiàn)從該市高二學生中隨機抽取4人．求所選4人中恰有3人綜合素質(zhì)評價為“優(yōu)秀”的概率；記表示這4人中綜合素質(zhì)評價等級為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求的數(shù)學期望．附：參考數(shù)據(jù)與公式（1）臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）參考公式：，其中．例12．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷“與性別有關(guān)？（注以上把握說明有關(guān)）非體育迷體育迷合計男女1055合計（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷“人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列，期望和方差附：，0.050.013.8416.635例13．隨著節(jié)能減排意識深入人心以及共享單車在饒城的大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車．為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100名用戶進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合計1087111450（1）如果認為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”，請完成列表（見答題卡），并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)？（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達人”中，隨機抽取4名用戶．①求抽取的4名用戶中，既有男生“騎行達人”又有女“騎行達人”的概率；②為了鼓勵女性用戶使用共享單車，對抽出的女“騎行達人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為，求的分布列及數(shù)學期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828例14．2021年，遼寧省將實施新高考，2018年暑期入學的高一學生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試選，每科目滿分100分．為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取名學生進行調(diào)查．（1）已知抽取的名學生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人數(shù)；（2）學校計劃在高一上學期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到名學生進行問卷調(diào)查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表：選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中按分層抽樣再抽出9名女生，了解女生對“歷史”的選課意向情況，在這9名女生中再抽取4人，設(shè)這4人中含選擇“地理”的人數(shù)為，求的分布列及期望．0.050.013.8416.635參考公式：例15．微信是現(xiàn)代生活進行信息交流的重要工具，據(jù)統(tǒng)計，某公司200名員工中的人使用微信，其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人，其余每天使用微信在一小時以上．若將員工年齡分成青年（年齡小于40歲）和中年（年齡不小于40歲）兩個階段，使用微信的人中是青年人．若規(guī)定：每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信，經(jīng)常使用微信的員工中是青年人．（Ⅰ）若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系，列出列聯(lián)表；青年人中年人合計經(jīng)常使用微信不經(jīng)常使用微信合計（Ⅱ）由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)，是否有的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”？0.0100.0016.63510.828附：．例16．某校高三4班有50名學生進行了一場投籃測試，其中男生30人，女生20人．為了了解其投籃成績，甲、乙兩人分別都對全班的學生進行編號號），并以不同的方法進行數(shù)據(jù)抽樣，其中一人用的是系統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃測試的成績大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不優(yōu)秀，如表是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù)：甲抽取的樣本數(shù)據(jù)編號271217222732374247性別男女男男女男女男女女投籃成績90607580838575807060乙抽取的樣本數(shù)據(jù)編號181020232833354348性別男男男男男男女女女女投籃成績95858570708060657060（Ⅰ）在乙抽取的樣本中任取3人，記投籃優(yōu)秀的學生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男女合計10（Ⅱ）請你根據(jù)乙抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，判斷是否有以上的把握認為投籃成績和性別有關(guān)？（Ⅲ）判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論判斷哪種抽樣方法更優(yōu)？說明理由．下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828（參考公式：，其中例17．已知某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：，，，，，，，，，分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率．（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？（相關(guān)系數(shù)，時有的把握具有相關(guān)性）例18．某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量值落在，的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．表1是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．表1：甲流水線樣本頻數(shù)分布表產(chǎn)品重量（克頻數(shù)，6，8，14，8，4（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)在答題卡上作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；（2）若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少；（3）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答有多大的把握認為“產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)”．甲流水線乙流水線合計合格品不合格品合計參考公式：其中；臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828專題11獨立性檢驗例1．2019年11月5日至10日，第二屆中國國際進口博覽會在上海舉行．某宣傳媒體組織業(yè)內(nèi)人士對某型號智能機器人進行評分，所得情況如圖所示：（Ⅰ）試估計業(yè)內(nèi)人士評分的平均數(shù)以及方差（用每個小矩形底邊中點近似替代本組數(shù)據(jù)）；（Ⅱ）為了調(diào)查評分與性別是否具有相關(guān)性，研究人員隨機抽取了60位參加評分的業(yè)內(nèi)人士，其中男性與女性人數(shù)各一半，根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，據(jù)此資料，是否有的把握認為評分的高低與性別有關(guān)？分數(shù)不低于60分低于60分合計男性1630女性1030合計60參考公式：（1），其中．（2）．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.0500.0252.0722.7063.8415.024【解析】解：（Ⅰ）依題意，所求平均數(shù)為，方差為．（Ⅱ）由題意完善列聯(lián)表如下：分數(shù)不低于60分低于60分合計男性141630女性102030合計243660，沒有的把握認為評分的高低與性別有關(guān)．例2．某校舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為進行統(tǒng)計，按照，，，，，，，，，的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在，，，的頻數(shù)分別為16，4．（Ⅰ）求樣本容量和頻率分布直方圖中的，的值；（Ⅱ）估計本次競賽學生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（Ⅲ）在選取的樣本中，若男生和女生人數(shù)相同，我們規(guī)定成績在70分以上稱為“優(yōu)秀”，70分以下稱為“不優(yōu)秀”，其中男女生中成績優(yōu)秀的分別有24人和30人，請完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“學生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”？男生女生總計優(yōu)秀不優(yōu)秀總計0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．【解析】解：（Ⅰ）由題意可知，樣本容量，，．（Ⅱ）設(shè)本次競賽學生成績的平均數(shù)為，則．（Ⅲ）100位學生中男女生各有50名，成績優(yōu)秀共有54名，所以學生的成績優(yōu)秀與性別列聯(lián)表如下表：男生女生總計優(yōu)秀243054不優(yōu)秀262046總計5050100，沒有的把握認為“學生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”．例3．某健身館為了宣傳健身效果，吸引顧客，特別請專業(yè)的評估機構(gòu)對他們500名學員的鍛煉成果進行評估打分（滿分100分），并且認為評分不低于80分的參與者為健身達人，得到如表：健身達人非健身達人總計男20050250女100150250總計300200500（Ⅰ）判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為健身達人與性別有關(guān)系？（Ⅱ）若500名學員中40歲以上的有100人，30歲到40歲的有300人，30歲以下的100人，先從中分層抽取5人進行抽獎活動，再從這5人中抽取兩位對其進行全年免單活動，求兩人全年免單都在30歲到40歲之間的概率是多少？附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．【解析】解：（Ⅰ）因為，所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為健身達人與性別有關(guān)系．（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣可知在40歲以上的學員中應(yīng)抽取1人，記為；在30歲到40歲的學員中應(yīng)抽取3人，記為，，；在30歲以下的學員中應(yīng)抽取1人，記為，則從這5人中抽取2人，所有可能情況如下：，，，，，，，，，，共10種情況，2人都在30歲到40歲之間的有，，共3種情況，所以兩人全年免單都在30歲到40歲之間的概率．例4．某公司為了推廣某項技術(shù)，對旗下200名員工的年齡和人數(shù)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計其對這項技術(shù)的接受程度，從而為后期宣傳工作做準備，并繪制了如下頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)如圖求樣本年齡的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（保留兩位小數(shù)）；（Ⅱ）若將樣本分為兩個年齡段，年齡在區(qū)間，和，分別稱為“青少年”和“中老年”，根據(jù)相關(guān)條件完成下表，并判斷是否有的把握認為對新技術(shù)接受程度與年齡段有關(guān)？青少年中老年合計接受2090不接受110合計200參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖可知樣本年齡的平均數(shù)．設(shè)樣本年齡的中位數(shù)為，由題知組距為10，，的頻率為，，的頻率為，所以中位數(shù)在區(qū)間，內(nèi)，所以，即，所以樣本年齡的平均數(shù)為44.50，中位數(shù)為38.67．（Ⅱ）由題意知，樣本中的“青少年”共有（人，則“中老年”共有（人．根據(jù)頻率分布直方圖完成列聯(lián)表如下：青少年中老年合計接受207090不接受4070110合計60140200則：，所以有的把握認為對新技術(shù)接受程度與年齡段有關(guān)．例5．“微信運動”已成為當下熱門的健身方式，小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：積極型懈怠型總計男女總計男12368女021062（Ⅰ）若采用樣本估計總體的方式，試估計小王的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率；（Ⅱ）已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定“積極型”，否則為“懈怠型”，根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)？附：，0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【解析】解：（Ⅰ）由題意知，40人中該日走路步數(shù)超過5000步的有35人，頻率為，所以估計他的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率為；（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)，填寫列聯(lián)表如下；積極型懈怠型總計男14620女81220總計221840計算觀測值，所以沒有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)．例6．為了調(diào)查某大學學生在周日上網(wǎng)的時間，隨機對100名男生和100名女生進行了不記名的問卷調(diào)查，得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果：表1：男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表上網(wǎng)時間（分鐘），，，，，人數(shù)525302515表2：女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表上網(wǎng)時間（分鐘），，，，，人數(shù)1020402010（Ⅰ）若該大學共有女生750人，試估計其中上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù)；（Ⅱ）完成表3的列聯(lián)表（此表應(yīng)畫在答題卷上），并回答能否有的把握認為“學生周日上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”？（Ⅲ）從表3的男生中“上網(wǎng)時間少于60分鐘”和“上網(wǎng)時間不少于60分鐘”的人數(shù)中用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，再從中任取兩人，求至少有一人上網(wǎng)時間超過60分鐘的概率．表上網(wǎng)時間少于60分鐘上網(wǎng)時間不少于60分鐘合計男生60女生合計附：，其中0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83【解析】解：（1）設(shè)估計上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù)，依據(jù)題意有，解得：，所以估計其中上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù)是225人；（4分）（2）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：上網(wǎng)時間少于60分鐘上網(wǎng)時間不少于60分鐘合計男生6040100女生7030100合計13070200其中，因此，沒有的把握認為“學生周日上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”；（8分）（3）因為上網(wǎng)時間少于60分鐘與上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù)之比為，所以5人中上網(wǎng)時間少于60分鐘的有3人，記為、、，上網(wǎng)時間不少于60分鐘的有2人，記為、，從中任取兩人的所有基本事件為：、、、、、、、、、共10種，其中“至少有一人上網(wǎng)時間超過60分鐘”包含了7種，故所求的概率為．（12分）例7．某種疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型，為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機抽取了患該疾病的病人進行調(diào)查，其中男性人數(shù)為，女性人數(shù)為，男性患Ⅰ型病的人數(shù)占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人數(shù)占女性病人的．Ⅰ型?、蛐筒『嫌嬆信嫌嫞?）完成聯(lián)表若在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團隊來研發(fā)此疾病的治療藥物，兩個團隊各至多安排2個接種周期進行試驗．每人每次接種花費元．甲團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，根據(jù)以往試驗統(tǒng)計，甲團隊平均花費為；乙團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗，否則進入第二個接種周期．假設(shè)兩個研發(fā)團隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨立．若，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，該公司應(yīng)選擇哪個團隊進行藥品研發(fā)？附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】解：（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下；Ⅰ型病Ⅱ型病合計男女合計若在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，則，解得，由，且，所以的最小值為12，即男性患者至少有12人；（2）設(shè)甲研發(fā)試驗品花費為，則；設(shè)乙研發(fā)試驗品花費為，則的可能取值為、，所以，，所以；因為，所以；①當時，，因為，所以，所以，乙團隊試驗的平均花費較少，所以選擇乙團隊進行研發(fā)；②當時，，因為，所以，所以，甲團隊試驗的平均花費較少，所以選擇甲團隊進行研發(fā)；③當時，，所以，甲團隊試驗的平均花費和乙團隊試驗的平均費用相同，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，該公司應(yīng)選擇甲團隊或乙團隊進行研發(fā)均可．例8．某房產(chǎn)中介統(tǒng)計了深圳市某高檔小區(qū)從2018年12月至2019年11月當月在售二手房均價（單位：萬元平方米）的散點圖，如圖所示，圖中月份代碼1至12分別對應(yīng)2018年12月至2019年11月的相應(yīng)月份．根據(jù)散點圖選擇和兩個模型進行擬合，根據(jù)數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為和，并得到以下一些統(tǒng)計量的值：殘差平方和0.01485570.0048781總偏差平方和0.069193（1）請利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好；（2）某位購房者擬于2020年5月份購買深圳市福田區(qū)平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）．若該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿3年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：估算該購房者應(yīng)支付的購房金額．（購房金額房款稅費；房屋均價精確到0.01萬元平方米）若該購房者擬用不超過760萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積（精確到1平方米）附注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項稅費，稅費是按照房屋的計稅價格進行征收．（計稅價格房款）征收方式見如表：購買首套房面積（平方米）契稅（買方繳納）的稅率參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，參考公式：相關(guān)指數(shù)．【解析】解：（1）設(shè)模型和的相關(guān)指數(shù)分別是和，則，，，，模型的擬合效果更好．（2）2020年5月份的對應(yīng)月份代碼為18，由（1）知，模型的擬合效果更好，利用該模型預測可得，這個小區(qū)2020年5月份的在售二手房均價為：萬元平方米，設(shè)該購房者應(yīng)支付的購房金額為萬元，稅費中買方只需繳納契稅，①當時，契稅為計稅價格的，故；②當時，契稅為計稅價格的，故；③當時，契稅為計稅價格的，故．故．當時，購房金額為萬元；當時，購房金額為萬元；當時，購房金額為萬元．設(shè)該購房者可購買該小區(qū)二手房的最大面積為平方米，由知，當時，應(yīng)支付的購房金額為萬元，又，又房屋均價約為7.16萬元平方米，，，得．由，解得，該購房者可購買該小區(qū)二手房的最大面積為104平方米．例9．從某小區(qū)抽取50戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖如圖1．（1）求頻率分布直方圖中的值并估計這50戶用戶的平均用電量；（2）若將用電量在區(qū)間，內(nèi)的用戶記為類用戶，標記為低用電家庭，用電量在區(qū)間，內(nèi)的用戶記為類用戶，標記為高用電家庭，現(xiàn)對這兩類用戶進行問卷調(diào)查，讓其對供電服務(wù)進行打分，打分情況見莖葉圖如圖①從類用戶中任意抽取1戶，求其打分超過85分的概率；②若打分超過85分視為滿意，沒超過85分視為不滿意，請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“滿意度與用電量高低有關(guān)”？滿意不滿意合計類用戶類用戶合計附表及公式：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，．【解析】解：（1），按用電量從低到高的六組用戶數(shù)分別為6，9，15，11，6，3，所以平均用電量為．（2）①類用戶共9人，打分超過8（5分）的有6人，所以打分超過8（5分）的概率為．②滿意不滿意合計類用戶6915類用戶639合計121224，所以沒有的把握認為“滿意度與用電量高低有關(guān)”．例10．某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：，，，，，，，，，分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率．（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828．【解析】解：（1）由已知得：樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40人，所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中25周歲以上組有人，分別記為：，，，25周歲以下組有工人人，分別記為，，從中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共10種，他們分別是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中“至少有1名”，25周歲以下組的結(jié)果有7種，故所求概率為；（2）由頻率分別直方圖可知：在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手人，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手人，據(jù)此可得列聯(lián)表：生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計3070100所以．所以沒有的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．例11．某市在對學生的綜合素質(zhì)評價中，將其測評結(jié)果分為“優(yōu)秀、合格、不合格”三個等級，其中不小于80分為“優(yōu)秀”，小于60分為“不合格”，其它為“合格”．（Ⅰ）某校高二年級有男生500人，女生400人，為了解性別對該綜合素質(zhì)評價結(jié)果的影響，采用分層抽樣的方法從高二學生中抽取了90名學生的綜合素質(zhì)評價結(jié)果，其各個等級的頻數(shù)統(tǒng)計如表：等級優(yōu)秀合格不合格男生（人308女生（人306根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”？男生女生總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計（Ⅱ）以（Ⅰ）中抽取的90名學生的綜合素質(zhì)評價等級的頻率作為全市各個評價等級發(fā)生的概率，且每名學生是否“優(yōu)秀”相互獨立，現(xiàn)從該市高二學生中隨機抽取4人．求所選4人中恰有3人綜合素質(zhì)評價為“優(yōu)秀”的概率；記表示這4人中綜合素質(zhì)評價等級為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求的數(shù)學期望．附：參考數(shù)據(jù)與公式（1）臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）參考公式：，其中．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)從高二年級男生中抽出人，則，解得．，．列聯(lián)表為：男生女生總計優(yōu)秀303060非優(yōu)秀201030總計504090，沒有的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”．（Ⅱ）由（Ⅰ）知等級為“優(yōu)秀”的學生的頻率為，從該市高二學生中隨機抽取一名學生，該生為“優(yōu)秀”的概率為．記“所選4名學生中恰有3人綜合素質(zhì)評價為‘優(yōu)秀’學生”為事件，則事件發(fā)生的概率為：（A）．表示這4個人中綜合速度評價等級為“優(yōu)秀”的個數(shù)，由題意，隨機變量，的數(shù)學期望．例12．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷“與性別有關(guān)？（注以上把握說明有關(guān)）非體育迷體育迷合計男女1055合計（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷“人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列，期望和方差附：，0.050.013.8416.635【解析】解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得．（5分）因為，所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關(guān)．（6分）（2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率．（7分）由題意知，從而的分布列為0123（10分），．（12分）例13．隨著節(jié)能減排意識深入人心以及共享單車在饒城的大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車．為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100名用戶進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合計1087111450（1）如果認為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”，請完成列表（見答題卡），并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)？（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達人”中，隨機抽取4名用戶．①求抽取的4名用戶中，既有男生“騎行達人”又有女“騎行達人”的概率；②為了鼓勵女性用戶使用共享單車，對抽出的女“騎行達人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為，求的分布列及數(shù)學期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（1）由圖中表格可得列聯(lián)表如下：不喜歡騎行共享單車喜歡騎行共享單車合計男104555女153045合計2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得，所以在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，不能認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)．（2）視頻率為概率，在我市“騎行達人”中，隨機抽取1名用戶，該用戶為男“騎行達人”的概率為，女“騎行達人”的概率為．①抽取的4名用戶中，既有男“騎行達人”，又有女“騎行達人”的概率為；②記抽出的女“騎行達人”人數(shù)為，則．由題意得，，1，2，3，，的分布列為01234的分布列為0500100015002000所以，所以的數(shù)學期望元．例14．2021年，遼寧省將實施新高考，2018年暑期入學的高一學生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試選，每科目滿分100分．為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取名學生進行調(diào)查．（1）已知抽取的名學生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人數(shù)；（2）學校計劃在高一上學期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到名學生進行問卷調(diào)查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表：選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中按分層抽樣再抽出9名女生，了解女生對“歷史”的選課意向情況，在這9名女生中再抽取4人，設(shè)這4人中含選擇“地理”的人數(shù)為，求的分布列及期望．0.050.013.8416.635參考公式：【解析】解：（1）由題意得：，解得，男生人數(shù)為：人．（2分）（2）列聯(lián)表為：選擇“物理”選擇“地理”總計男生451055女生252045總計7030100所以有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)．（7分）（3）從45名女生中分層抽樣抽9名女生，所以這9名女生中有5人選擇物理，4人選擇地理，9名女生中再選擇4名女生，則這4名女生中選擇地理的人數(shù)可為0，1，2，3，4．設(shè)事件發(fā)生概率為，則，，，，，的分布列為：01234期望．（12分）例15．微信是現(xiàn)代生活進行信息交流的重要工具，據(jù)統(tǒng)計，某公司200名員工中的人使用微信，其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人，其余每天使用微信在一小時以上．若將員工年齡分成青年（年齡小于40歲）和中年（年齡不小于40歲）兩個階段，使用微信的人中是青年人．若規(guī)定：每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信，經(jīng)常使用微信的員工中是青年人．（Ⅰ）若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系，列出列聯(lián)表；青年人中年人合計經(jīng)常使用微信不經(jīng)常使用微信合計（Ⅱ）由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)，是否有的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”？0.0100.0016.63510.828附：．【解析】解：（Ⅰ）由已知可得，該公司員工中使用微信的共：人經(jīng)常使用微信的有人，其中青年人：人所以可列下面列聯(lián)表：青年人中年人合計經(jīng)常使用微信8040120不經(jīng)常使用微信55560合計13545180（Ⅱ）將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得：所以有的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”．例16．某校高三4班有50名學生進行了一場投籃測試，其中男生30人，女生20人．為了了解其投籃成績，甲、乙兩人分別都對全班的學生進行編號號），并以不同的方法進行數(shù)據(jù)抽樣，其中一人用的是系統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃測試的成績大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不優(yōu)秀，如表是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù)：甲抽取的樣本數(shù)據(jù)編號271217222732374247性別男女男男女男女男女女投籃成績90607580838575807060乙抽取的樣本數(shù)據(jù)編號181020232833354348性別男男男男男男女女女女投籃成績958585