專題31圓中的重要模型之四點共圓模型

專題31圓中的重要模型之四點共圓模型四點共圓是初中數(shù)學的常考知識點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點共圓性質(zhì)的應用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點共圓模型的應用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點共圓的四種重要模型。四點共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。模型1、定點定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于定長點的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個點O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓（其中圓心為O）。例1．（2023春·廣東梅州·九年級?？计谥校┤鐖D，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線從處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點E，第20秒時點E在量角器上運動路徑長是．

【答案】【分析】首先連接，由，易得點，，，C共圓，然后由圓周角定理，求得點E在量角器上對應的讀數(shù)．【詳解】解：連接，

∵，∴A，B，C在以點O為圓心，AB為直徑的圓上，∴點E，A，B，C共圓，∵，∴．∴點E在量角器上運動路徑長，故答案為：2π．【點睛】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．例2．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，AB=AC=5，點在上，且，點E是AB上的動點，連結(jié)，點，G分別是BC，DE的中點，連接，，當AG=FG時，線段長為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，∠DFE=90°，然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得AE的長度，從而求解．【詳解】解：連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB∵在中，，點G是DE的中點，∴AG=DG=EG又∵AG=FG∴點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，且DE是圓的直徑∴∠DFE=90°∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，點是BC的中點，∴CF=BF=，F(xiàn)N=FM=又∵FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，∴四邊形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=又∵，∴∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=ANAD=∴AE=AM+ME=3∴在Rt△DAE中，DE=故選：A．【點睛】本題考查直徑所對的圓周角是90°，四點共圓及正方形的判定和性質(zhì)和用勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形的邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點D作的垂線，垂足E在線段上，連接．若，，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】連接與，與相交于點O，可知點五點共圓，從而得到，又易知在中，，，從而得到，從而得解．【詳解】解：連接與，與相交于點O，連接，

∵四邊形形是矩形，∴，，O是的中點，，又∵于E，即是直角三角形，∴，∴，∴點五點共圓，作出這個圓如圖所示：則有，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，又∵，，∴，在中，，，∴，∴．故答案為：30．【點睛】本題考查隱圓問題，根據(jù)題意找出這個隱圓，從而得到是解題的關(guān)鍵．例4．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，為的中點，平分交于點，，分別與，交于點，，連接，，則的值為；若，則的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)條件，證明，從而推斷，進一步通過角度等量，證明，代入推斷即可.（2）通過，可知四點共圓，通過角度轉(zhuǎn)化，證明，代入推斷即可.【詳解】解：（1）∵，為的中點∴又∵平分∴又∵∴∴∴∴在與中,∴（2∵∴四點共圓，如下圖：∵∴又∵∴∵∴∴∴∴即∵∴∵∴∵∴∴故答案為：【點睛】本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識點，根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．模型2、定邊對雙直角共圓模型同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AC為直徑。例1．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，，于點．若，，則線段的長為．【答案】【分析】設(shè)交于點F，過C作，用求出，即求出BC的長，又因為，從而求得AB．【詳解】如圖，設(shè)交于點F，過C作，在以為直徑的圓上，，在和中=，【點睛】本題考查了圓的直徑所對的圓周角為，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，本題能找到是解題的關(guān)鍵．例2．（2022春·山東·九年級專題練習）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．【答案】（1）①20°；②，理由見解析；（2）證明見解析【分析】（1）①根據(jù)題目定義推出∠E＝∠A，從而得出結(jié)論；②直接根據(jù)求解①過程證明即可；（2）首先根據(jù)題意推出A、B、C、D四點共圓，然后作四邊形ABCD的外接圓交CE于點F，連接AF，DF，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等推出∠AFD＝∠DFE，然后根據(jù)“遙望角”的定義推出∠E＝∠DAF，即可證△DAF≌△DEF，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點共圓，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點F，連接AF，DF，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．【點睛】本題考查新定義問題，涉及三角形角平分線的拓展運用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，理解題目定義，靈活運用“四點共圓”的證明方法是解題關(guān)鍵．例3．（2022·湖北武漢·?？级＃┤鐖D，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；（2）如圖2，P為AD上一點，且∠BPD＝45°，連接CP．若AP＝2，求△APC的面積；【答案】（1）證明見解析；（2）①△APC的面積＝1；②．【分析】（1）由題意可證點A，點B，點E，點C四點共圓，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）通過證明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF＝1，即可求解；【詳解】證明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點A，點B，點E，點C四點共圓，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①如圖2，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，過點C作CF⊥AD于F，∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴點A，點B，點E，點C四點共圓，∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝，∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面積＝×AP×CF＝1；【點睛】本題是三角形綜合題，考查了四點共圓，圓的有關(guān)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，，是的中點，是的中點，若，，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，根據(jù)且為中點，求證是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中線，角平分線三線合一的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，求得，，于是得出結(jié)論．【詳解】連接，，如圖，

∵且為中點，∴，，∴，∵為中點，∴，∵∠，∴，，，四點共圓，∵，，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，故選：．【點睛】此題主要考查圓內(nèi)接四邊形，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)等知識點，解答此題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形，求出線段．模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點共圓.例1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點共圓．【答案】（1）10°；（2）見解析【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和已知條件求得∠C的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度數(shù)；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABC＝∠AED，由四點共圓的判定得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，∵將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點落在BC邊上，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°證明（2）∵將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四點共圓．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、外角定理以及四點共圓的判定，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形對應邊相等，對應角相等．例2．（2023·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如圖2，在底邊BC上取一點D，連結(jié)AD，使得∠DAC=∠ACD．如圖3，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，連結(jié)BE，得到四邊形ABED．則BE的長是（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】只要證明，得，求出、即可解決問題．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，，即，，，，、、、四點共圓，，，，，．故選：．【點睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，本題需要三次相似解決問題，題目比較難，屬于中考選擇題中的壓軸題．例3．（2022·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．【答案】

80

##【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個點在同一個圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個點在同一個圓上，∵點D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時線段AF長度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°90°60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過點F作FG⊥DE于點G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AEFE=4，故答案為：80；4．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．例4．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實踐：“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．提出問題：如圖1，在線段同側(cè)有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（依據(jù)2）點，，，四點在同一個圓上(1)反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關(guān)于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．【答案】(1)圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等(2)45°(3)①見解析；②不發(fā)生變化，值為8【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等作答即可；（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求解；（3）①根據(jù)（1）中的結(jié)論證明即可得證；②證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（圓內(nèi)接四邊形對角互補）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（同圓中，同弧所對的圓周角相等）點，，，四點在同一個圓上故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等（2）在線段同側(cè)有兩點，，四點共圓，故答案為：（3）①∵，，點與點關(guān)于對稱，，，四點共圓；②，理由如下，如圖，四點共圓，，關(guān)于對稱，，，，，，，，又，，，，，．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，同弧所對的圓周角相等，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．模型4、對角互補共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓.1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，再判斷出點四點共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據(jù)圓周角定理可得，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，，，，，，，點四點共圓，在以為直徑的圓上，如圖，連接，

由圓周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確判斷出點四點共圓，在以為直徑的圓上是解題關(guān)鍵．例2．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一動點，滿足，若，，，則的長度為．【答案】/【分析】過點B作交的延長線于點H，過點D作于點E，過點D作于點F，點A,M,B,C四點共圓，得，解直角三角形，，面積法求解，，得．【詳解】解析：過點B作交的延長線于點H，過點D作于點E，過點D作于點F，如圖所示：∵∴點A,M,B,C四點共圓∵∴∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴【點睛】本題考查四點共圓，圓周角定理，解直角三角形，角平分線性質(zhì)定理，添加輔助構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點、分別是線段、射線上的動點，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】連接并延長，利用四點共圓的判定定理得到，，，四點共圓，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到，得到點的軌跡，最后利用垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接并延長，如圖，

，，，，，，，四點共圓，為等腰直角三角形，，，，點的軌跡為的平分線上，垂線段最短，當時，取最小值，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓的判定，圓周角定理，點的軌跡，垂線段的性質(zhì)，利用已知條件求得點D的軌跡是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在探究“四點共圓的條件”的數(shù)學活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓．請應用此結(jié)論．解決以下問題：如圖1，中，（）．點D是邊上的一動點（點D不與B，C重合），將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

(1)求證：A，E，B，D四點共圓；(2)如圖2，當時，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；(3)已知，點M是邊的中點，此時是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點M距離的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明，進而證明，可以得到，由，可得，即可證明A、B、D、E四點共圓；（2）如圖所示，連接，根據(jù)等邊對等角得到，由圓周角定理得到，再由，得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，即，由此即可證明是的切線；（3）如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，先求出，再由三線合一定理得到，，解直角三角形求出，則，再解得到，則；由是四邊形的外接圓，可得點P一定在的垂直平分線上，故當時，有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴A、B、D、E四點共圓；（2）證明：如圖所示，連接，∵，∴，∵是四邊形的外接圓，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；

（3）解：如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，∵，∴，∵點M是邊的中點，∴，，∴，∴，在中，，∴，∵是四邊形的外接圓，∴點P一定在的垂直平分線上，∴點P在直線上，∴當時，有最小值，∵，∴在中，，∴圓心P與點M距離的最小值為．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外接圓的性質(zhì)，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．課后專項訓練1．（2023秋·河北張家口·九年級?？计谀┤鐖D①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜邊，則A、B、C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點共圓”．如圖②，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點H，則圖②中“四點共圓”的組數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)兩個直角三角形公共斜邊時，四個頂點共圓，結(jié)合圖形求解可得．【詳解】解：如圖，以AH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、F、H、E），以BH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（B、F、H、D），以CH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（C、D、H、E），以AB為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、E、D、B），以BC為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（B、F、E、C），以AC為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、F、D、C），共6組．故選D．【點睛】本題考查四點共圓的判斷方法．解題的關(guān)鍵是明確有公共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓．2．（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，O是的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．B．C．D．平分【答案】D【分析】以點O為圓心，長為半徑作圓．再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理逐項判斷即可．【詳解】如圖，以點O為圓心，長為半徑作圓．由題意可知：．即點A、B、C、D都在圓O上．A．∵，∴，故A不符合題意；B．∵，∴，故B不符合題意；C．∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故C不符合題意；D．∵和不一定相等，∴和不一定相等，∴不一定平分，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查圓周角定理及其推論，充分理解圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇宿遷·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，點P為平面內(nèi)一點，且，過C作交PB的延長線于點Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得A、B、C、P四點共圓，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值與PC有關(guān)，當PC最大時CQ即取最大值．【詳解】解：∵在中，，，，∴A、B、C、P四點共圓，AB為圓的直徑，AB=∵∴∴△ABC∽△PQC∴，，即∴當PC取得最大值時，CQ即為最大值∴當PC=AB=5時，CQ取得最大值為故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及四點共圓，掌握同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等確定四點共圓，利用相似三角形性質(zhì)得到線段間等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2023·北京海淀·九年級?？计谥校┤鐖D，點O為線段的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接，．請寫出圖中任意一組互補的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標和字母）【答案】【分析】首先判斷出點A，B，C，D四點共圓，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出答案．【詳解】解：∵點B，C，D到點O的距離相等，且，∴點A，B，C，D四點共圓，∴，，∴圖中互補的角為和，和，故答案為：，（或，）．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東·二模）如圖，點為線段的中點，點到點的距離相等，若則的度數(shù)是【答案】130【分析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示，∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案為：130．【點睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，P是上一動點，于點E，于點D，則線段的最小值為（）

A． B．1 C． D．【答案】A【分析】當時，線段的值最小，利用四點共圓的判定可得：A、E、P、D四點共圓，且直徑為，得出，有一公共角，根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似得，則，設(shè)，表示出和的長，求出和的比，代入比例式中，可求出的值．【詳解】解：當時，線段的值最小（因為A、E、P、D四點共圓，是直徑，是定值，所以直徑最小時，所對的弦最?。鐖D1，

∵于點E，于點D，∴，∴，∴A、E、P、D四點共圓，是直徑，在中，，∴是等腰直角三角形，，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，如圖2，取的中點O，連接，則，∵，∴，過E作于M，則，，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，則線段的最小值為，故選：A【點睛】本題考查了四點共圓的問題，四點共圓的判定方法有：①將四點連成一個四邊形，若對角互補，那么這四點共圓；②連接對角線，若這個四邊形的一邊同側(cè)的兩個頂角相等，那么這四點共圓；通過四點共圓可以利用同弧所對的圓周角得出角相等，從而證得三角形相似，得比例式，使問題得以解決．7．（2023·浙江·模擬預測）如圖，中，，中，，直線與交于，當繞點任意旋轉(zhuǎn)的過程中，到直線距離的最大值是．【答案】/【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)動點的運動情況判斷點的運動軌跡，再根據(jù)角度以及勾股定理求解最大值．【詳解】解：如圖旋轉(zhuǎn)，連接以為直徑作，以為半徑作，過點作的切線交于點在和中∴點共圓，點共圓，點在上運動，的半徑為∴又∵，∴當點運動到點時，到直線距離的最大，過點作，過點作，，∴四邊形是矩形，

是圓心，設(shè)解得：（舍去）∴故答案為：．【點睛】本題考查圓動點的最值問題，熟練運用四點共圓性質(zhì)以及勾股定理解直角三角形是解決本題關(guān)鍵．8．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，點D為上一點，，點E在線段上，，若，，則的最大值為．【答案】/【分析】將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，可知、、、四點共圓，令其圓心為，連接、、過作，交于，交圓于，過、分別作圓的切線，交于，連接交于，連接、，利用的直角三角形求得，由，與圓相切，可得（SSS），利用其性質(zhì)證得，計算出，，由，知，可得四邊形為平行四邊形，則，由三角形三邊關(guān)系可知：（當、、在同一直線上時去等號），即可求得的最大值．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，∵，，∴、、、四點共圓，令其圓心為，連接、、∴，則，過作，交于，交圓于，過、分別作圓得切線，交于，連接交于，連接、，∵，，∴，，∴，，∵，與圓相切，∴，∴（SSS）∴，∴，，，又∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，由三角形三邊關(guān)系可知：（當、、在同一直線上時去等號）∴的最大值為：．故答案為：．【點睛】本題屬于幾何綜合題，考查了四點共圓，垂徑定理，切線長定理，解直角三角形，平行四邊形的判定及三角形的三邊關(guān)系，構(gòu)造輔助線，利用圓的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段長度及角度，構(gòu)造三角形三邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．9．（2023·廣東惠州·九年級?？茧A段練習）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點與點對應，點與點對應．(1)畫出．(2)直線與直線相交于點，證明：A，，，四點共圓．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）過點A作，且，過點A作，且，連接即可得到；（2）根據(jù)題意可得，證明，推算出，得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補可得到A，，，四點共圓．【詳解】（1）解：如下圖所示，過點A作，且，過點A作，且，連接即可得到；（2）證明：如下圖所示由題意可知逆時針旋轉(zhuǎn)得到邊，，則，，，，，，，，，四點共圓．【點睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補．10.（2023·湖北九年級課時練習）如圖1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F．直線BE交直線CD于G點．(1)小智同學通過思考推得當點E在AB上方時，∠AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，（填寫數(shù)量關(guān)系）∴∠AEB＝°．(2)如圖2，連接BF，求證A、B、F、C四點共圓；(3)線段AE最大值為，若取BC的中點M，則線段MF的最小值為．【答案】(1)，45；(2)見解析；(3)8，【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半解答；（2）由題意知，CD垂直平分BE，連接BF，則BF=EF，求得∠EBF=∠AEB＝45°，利用外角的性質(zhì)得到∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，即可得到結(jié)論；（3）當點A、C、E在一條直線上時，線段AE最大，最大值為4+4=8，當MF⊥BC時線段MF最小，根據(jù)BC的中點M，得到CF=BF，設(shè)BG=FG=x，則CF=BF=x，CG=(+1)x，由勾股定理得，求出，根據(jù)，即可求出．【詳解】（1）解：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，∴∠AEB＝45°．故答案為：，45；（2）解：由題意知，CD垂直平分BE，連接BF，則BF=EF，∴∠EBF=∠AEB＝45°．∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴A、B、F、C在以AB為直徑的圓上，即A、B、F、C四點共圓；（3）解：當點A、C、E在一條直線上時，線段AE最大，最大值為4+4=8，當MF⊥BC時線段MF最小，∵BC的中點M，∴CF=BF，

設(shè)BG=FG=x，則CF=BF=x，CG=(+1)x，∵，∴，得，∵，∴，得，故答案為：8，．．【點睛】此題考查了圓周角定理，四點共圓的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾