專題926正方形（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題9.26正方形（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】正方形的定義有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形【知識點二】正方形的性質(zhì)1.正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.2.正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.【知識點三】正方形的判定定義法有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形矩形+對角線互相垂直對角線互相垂直的矩形是正方形菱形+一個角為直角有一個角是直角的菱形是正方形菱形+對角線相等對角線相等的菱形是正方形特別提醒：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).【知識點四】正方形的對稱性1.正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸，分別是對邊中點所在的直線和兩條對角線所在的直線.2.正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是對稱中心.特別提醒：【知識點五】四邊形之間的關(guān)系1.四邊形之間的關(guān)系四邊形四條邊都相等是菱形四邊形有三個角是直角是矩形四邊形只有一組對邊平行是矩形矩形兩腰相等是等腰梯形矩形一個角是直角是直角梯形四邊形兩組對邊分別平行（或兩組對邊分別相等或一組對邊平行且相等）是平行四邊形四邊形兩條對角線互相平分是平行四邊形四邊形兩組對角分別相等是平行四邊形平行四邊形有一組鄰邊相等（或?qū)蔷€互相垂直）是菱形平行四邊形有一個角是直角，有一組鄰邊相等是正方形平行四邊形有一個角是直角（或?qū)蔷€相等）是矩形菱形有一個角是直角（或?qū)蔷€相等）是正方形矩形有一組鄰邊相等（或?qū)蔷€互相垂直）是正方形2.四種特殊四邊形的性質(zhì)邊角對角線對稱性平行四邊形對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分中心對稱圖形矩形對邊平行且相等四個角都是直角兩條對角線互相平分且相等軸對稱圖形，中心對稱圖形菱形對邊平行、四條邊都相等對角相等兩條對角線互相垂直評分，且每條對角線平分一組對角軸對稱圖形，中心對稱圖形正方形對邊平行、四條邊都相等四個角都是直角兩條對角線互相垂直評分且相等，每條對角線平分一組對角軸對稱圖形，中心對稱圖形【考點目錄】【正方形性質(zhì)與判定的理解】【考點1】正方形性質(zhì)的理解；【考點2】正方形判定的理解；【正方形性質(zhì)定理】【考點3】利用正方形性質(zhì)證明與求值【正方形判定定理】【考點4】利用正方形判定定理證明與求值【正方形性質(zhì)定理與判定定理】【考點5】利用正方形性質(zhì)定理和判定定理證明與求值【正方形性質(zhì)與判定的理解】【考點1】正方形性質(zhì)的理解；【例1】（2023下·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊三角形，連接，．

（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）證明見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，可得，最后利用全等三角形的判定即可得證；（2）根據(jù)等邊對等角可得，，由等邊三角形的性質(zhì)可得，最后代入計算可得出答案．解：（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，，又∵，∴，∴的度數(shù)為．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等邊對等角．掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022下·湖南湘西·八年級統(tǒng)考期末）菱形、矩形、正方形都具有的特點是（

）A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角線平分對角【答案】C【分析】本題考查了菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，理解菱形、矩形、正方形之間的關(guān)系，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：A.矩形的對角線不一定互相垂直，故不符合題意；B.菱形的對角線不一定相等，故不符合題意；C.菱形、矩形、正方形的對角線互相平分，故符合題意；D.矩形的對角線不一定平分對角，故不符合題意；故選：C．【變式2】（2023下·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形與正方形的頂點，，，在同一條直線上，且，．

（1）的度數(shù)為（2）點與點之間的距離為．【答案】/15度4【分析】（1）連接，交于點O，根據(jù)題意可得，即可求出的大小；（2）由菱形的性質(zhì)可得，結(jié)合即可得到是等邊三角形，即可求出的長，再由正方形的性質(zhì)得到．解：（1）連接，交于點O，∵四邊形是菱形，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，

故答案為：．（2）∵四邊形是菱形，四邊形是正方形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．故答案為：4．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，【考點2】正方形判定的理解；【例2】（2023上·全國·八年級課堂例題）如圖所示，點A在線段上，分別以為直角邊在的同側(cè)作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接，射線交于點O，連接．

（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）證明見分析；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意證出，利用性質(zhì)及內(nèi)角和定理即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意過點A分別作于點M，于點N，利用等面積法可知，再利用正方形判定即可得到四邊形是正方形，繼而得到本題答案．（1）解：證明：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，∴．∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，過點A分別作于點M，于點N，

，∵，∴，，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴點A在的平分線上．∴．【點撥】本題考查等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正方形判定及性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．【變式1】（2023下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知在四邊形中，與相交于點O，那么下列條件中能判定這個四邊形是正方形的是（）A．，， B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查正方形的判定，根據(jù)判別一個四邊形為正方形的方法逐一進(jìn)行判定即可．解：A、不能，對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形可判定為菱形，故本選項不符合題意．B、能，對角線互相平分且相等且一組鄰邊相等的四邊形是正方形，可判定該四邊形是正方形．故本選項符合題意．C、不能，根據(jù)平行線的性質(zhì)和一組對角相等的四邊形是平行四邊形，可判定該四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意．D、不能，一組對邊平行且相等，對角線相等可判定為矩形，故本選項不符合題意．故選：B．【變式2】（2023·福建福州·閩清天儒中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列四個命題：①對角線互相垂直的四邊形是菱形；②對角線相等的菱形是正方形；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；④有一個角是的四邊形是矩形．其中是真命題的是（只填序號）．【答案】②③/③②解：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以①錯誤；對角線相等的菱形是正方形，所以②正確；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，所以③正確；有一個角是的平行四邊形是矩形，所以④錯誤．故答案為：②③．【點撥】本題考查了命題與定理∶判斷一件事情的語句，叫做命題，許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…．那么…”形式，有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理，也考查了逆命題．也考查了正方形菱形和矩形的判定．【正方形性質(zhì)定理】【考點3】利用正方形性質(zhì)證明與求值【例3】（2024上·廣東深圳·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點，分別在，上，，垂足為．（1）求證：；（2）若正方形的邊長是8，，點是的中點，求的長．【答案】（1）見解答；（2）【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，結(jié)合可得即可得證；（2）由題意知即可求出，則，根據(jù)勾股定理即可求出，由是中點可得即可解答．解：（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，是中點，，．【變式1】（2023下·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，為正方形外一點，且是等邊三角形，的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得，，，可求，可求解，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．解：是等邊三角形，四邊形是正方形，，，，，，，故選：B．【變式2】（2023上·河南駐馬店·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，是正方形，點的坐標(biāo)是，則點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、三角形全等的判定與性質(zhì)，作軸于點，軸于點，則，證明，結(jié)合點的坐標(biāo)是，得出，即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造三角形全等是解此題的關(guān)鍵．解：如圖，作軸于點，軸于點，∵四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，故答案為：．【正方形判定定理】【考點4】利用正方形判定定理證明與求值【例4】（2023上·福建漳州·九年級校聯(lián)考期中）已知：如圖，在中，，，垂足為點．

（1）尺規(guī)作圖：以，為邊作矩形（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）當(dāng)滿足什么條件時，四邊形是一個正方形?并給出證明．【答案】（1）見分析；（2）滿足時，四邊形是一個正方形【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一可得，因此作的角平分線，可得，再過點C作于點E，即可得到矩形；（2）先根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形是矩形，再令四邊形的一組對邊相等，即可證明四邊形是正方形，因此添加條件證明即可．（1）解：矩形如下圖所示：

（2）解：當(dāng)滿足時，四邊形是一個正方形．證明如下：中，，，，由作圖知平分，，，又，，四邊形是矩形，，，，，，，四邊形是正方形．【點撥】本題考查角平分線的作法、垂線的作法、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定等，解題的關(guān)鍵是掌握矩形和正方形的判定定理．【變式1】（2023上·福建寧德·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，對角線垂直平分．關(guān)于四邊形的形狀，下列說法不正確的是（

）

A．若，則四邊形是矩形；B．若，則四邊形是菱形；C．若，，則四邊形是正方形；D．若，則四邊形是正方形．【答案】A【分析】根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”即可判定B；根據(jù)“有一個角為直角的菱形是正方形”即可判定C；根據(jù)“有一個角是直角的菱形是正方形”即可判定D．解：令對角線、相交于點O，如圖，

A、沒有辦法證明四邊形是矩形，故該項錯誤；B、∵對角線垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵對角線垂直，∴四邊形是菱形，故該選項正確，不符合題意；C、由B得：，四邊形是菱形，∵，∴四邊形是正方形，故該選項正確，不符合題意；D、∵對角線垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴四邊形是正方形，故該選項正確，不符合題意；故選：A．【點撥】本題考查四邊形的判定，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法是基礎(chǔ)，這類題目往往涉及到全等三角形的判定．【變式2】（2023上·河南平頂山·九年級?？计谥校┤鐖D，菱形的對角線相交于點O，點E，F(xiàn)同時從O點出發(fā)在線段上以的速度反向運動（點E，F(xiàn)分別到達(dá)A，C兩點時停止運動），設(shè)運動時間為．連接，已知是邊長為的等邊三角形，當(dāng)s時，四邊形為正方形．【答案】3【分析】由題意可知,即,由菱形的性質(zhì)得，所以當(dāng)時，四邊形是正方形，而是邊長為的等邊三角形，則,所以據(jù)此求解即可．掌握菱形的性質(zhì)以及正方形的判定是解題的關(guān)鍵．解：由題意得，∴，∵菱形的對角線相交于點O，∴，∴四邊形是菱形，∴當(dāng)時，四邊形是正方形，∵是邊長為的等邊三角形，∴，∴由得，解得，∴當(dāng)時，四邊形是正方形，故答案為：3．【正方形性質(zhì)定理與判定定理】【考點5】利用正方形性質(zhì)定理和判定定理求值【例5】（2020上·福建龍巖·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，已知，于，，，把、分別以、為對稱軸翻折變換，點的對稱點為，，延長、相交于點．（1）求證：四邊形是正方形；（2）求的長．【答案】（1）見分析（2）6【分析】（1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到AE＝AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型（x?2）2＋（x?3）2＝52，求出AD＝x＝6．解：（1）證明：由對折的性質(zhì)可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°，∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∴四邊形AEGF為矩形，∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：根據(jù)對稱的性質(zhì)可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，設(shè)AD＝x，則正方形AEGF的邊長是x，則BG＝EG?BE＝x?2，CG＝FG?CF＝x?3，在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理可得：（x?2）2＋（x?3）2＝52，解得：x＝6或?1（舍去）．∴AD＝6．【點撥】本題考查了對折的性質(zhì)，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)：翻折前后圖形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等；有四個角是直角的四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形．【變式1】（2023下·四川眉山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，E為對角線AC上一點，連接，過點E作，交BC延長線于點F，以為鄰邊作矩形，連接．在下列結(jié)論中：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①過E作于M點，過E作于N點，如圖所示：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，推出四邊形為正方形，由矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，故①正確；②利用已知條件可以推出矩形為正方形；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，推出，故②正確；③根據(jù)②的結(jié)論可得，所以，故③正確；④當(dāng)時，點C與點F重合，得到不一定等于，，故④錯誤．解：①過E作于M點，過E作于N點，如圖所示：

∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴四邊形為正方形，∵四邊形是矩形，∴，，∴，又，在和中，

，∴，∴，故①正確；②∵矩形為正方形；∴，，∵四邊形是正方形，∵，，∴，在和中，，∴，∴，故②正確；③根據(jù)②得，，∴，∴，故③正確；④當(dāng)時，點C與點F重合，∴不一定等于，，故④錯誤，綜上所述：①②③正確，共3個．故選：C．【點撥】本題屬于中考選擇題的壓軸題，主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，．若點P滿足，且，則．

【答案】【分析】本題考查正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形與正方形是解題的關(guān)鍵．過點P作交延長線于M，交延長線于N，過點P作于Q，交于E，證明四邊形是矩形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，現(xiàn)證明，從而證明四邊形為正方形，利用正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：過點P作交延長線于M，交延長線于N，過點P作于Q，交于E，如圖，

∵矩形∴，，，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，∵∴，∴∵∴在與∴∴，，∴四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴四邊形為正方形，∴．故答案為：．【考點6】利用正方形性質(zhì)定理和判定定理證明【例6】（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，正方形的邊長為5，點E為正方形邊上一動點，過點B作于點P，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，延長BP交于點F，連接．（1）判斷四邊形的的形狀，并說明理由；（2）若，求的長度；（3）在（2）的條件下，求．【答案】（1）四邊形是正方形；（2）；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，進(jìn)而可證四邊形是矩形，結(jié)合可證四邊形是正方形；（2）設(shè)，在中利用勾股定理求解即可；（3）過點C作于點G，根據(jù)證明得，根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解．解：（1）四邊形是正方形．理由如下：由繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得可得：，∵，，，在正方形中，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形；（2）設(shè)，由（1）知，在中，∵，∴，解得（不符合題意，舍去），，∴；（3）過點C作于點G．∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點撥】此題考查了矩形的判定，正方形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)