專題71銳角三角函數(shù)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（蘇科版）

專題7.1銳角三角函數(shù)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】銳角三角函數(shù)正弦：sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切：tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b).【知識(shí)點(diǎn)二】特殊三角函數(shù)度數(shù)三角函數(shù)30°45°60°1【知識(shí)點(diǎn)三】解直角三角形的常用關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系：；(2)銳角之間的關(guān)系：；(3)邊角之間的關(guān)系：，，.【知識(shí)點(diǎn)四】解直角三角形的應(yīng)用(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用表示，則有.(3)方向角：平面上，通過觀察點(diǎn)作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點(diǎn)出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角.(4)解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：a.弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；b.將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；c.選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；d.得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解．【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】銳角三角函數(shù)；【考點(diǎn)2】特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算；【考點(diǎn)3】解直角三角形；【考點(diǎn)4】銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)綜合【考點(diǎn)5】三角函數(shù)與實(shí)際問題【考點(diǎn)一】銳角三角函數(shù)【例1】（2022上·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，于，．（1）求證：．（2）若，，求的面積．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的概念可知，，根據(jù)即可得結(jié)論；（2）由的余弦值和（1）的結(jié)論即可求得，利用勾股定理求得，即可求解．解：（1）證明：，，，，；（2）解：，，，，，，，，的面積=．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形中的有關(guān)問題，主要考查了勾股定理，三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算，熟練掌握三角函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2021上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意即可得出，設(shè)，則，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)，代入數(shù)據(jù)求值即可．解：如圖，根據(jù)題意可知，故可設(shè)，則，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查銳角三角形函數(shù)和勾股定理．掌握正弦和正切的定義是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023上·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)，則（1）與是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如圖，作于，的延長(zhǎng)線于，由題意知，，，由，，證明，則，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．（1）解：如圖，作于，的延長(zhǎng)線于，

由題意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案為：；（3）解：由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算【例2】（2023上·上?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算【答案】【分析】根據(jù)0指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，負(fù)指數(shù)冪及特殊角三角函數(shù)直接求解即可得到答案；解：原式；【點(diǎn)撥】本題主要考查0指數(shù)冪，負(fù)指數(shù)冪及特殊角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：，，．【舉一反三】【變式1】（2022上·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知?jiǎng)t（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可.解：∵，∴，故選：A.【點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，比較簡(jiǎn)單，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.【變式2】（2020·河南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．【答案】【分析】利用冪的乘方與積的乘方法則、特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪分別計(jì)算各項(xiàng)，再作加減法即可.解：原式====故答案為：.【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方與積的乘方法則.【考點(diǎn)三】解直角三角形【例3】（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的中線，

求：（1）的長(zhǎng)；（2）的正弦值．【答案】（1）6；（2）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解決問題；（2）在中，求出，即可解決問題．（1）解：如圖，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值為．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，，以為邊向上作正方形，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)C，則正方形的邊長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，證明，可得，，再根據(jù)，可得，設(shè)，，，可得，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求得，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．解：過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，

∵四邊形是正方形，∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，即，設(shè)，則，∴，，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，∴，即（負(fù)值舍去），∴，，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2019上·山西太原·九年級(jí)太原市志達(dá)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿著折疊得到，連接，分別交和于點(diǎn)和，已知，，若與相似，則的長(zhǎng)是．

【答案】1或3【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，分別進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．解：當(dāng)時(shí)，，

四邊形是矩形，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，

；綜上所述，的長(zhǎng)是1或3，故答案為：1或3．【考點(diǎn)四】銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)綜合【例4】（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)，，.（1）求的值；（2）點(diǎn)在上，且，過作，垂足為點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）5【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再由勾股定理確定，利用正弦函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)題意及相似三角形的判定得出，再由其性質(zhì)得出，繼續(xù)利用勾股定理求解即可（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣東深圳·九年級(jí)校考期中）如圖，等腰內(nèi)接于圓，底邊是直徑，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與相交于點(diǎn)，則的正切值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作于，交于，設(shè)，則，，利用圓周角定理得到，則根據(jù)勾股定理計(jì)算出，，再證明，利用相似比計(jì)算出，根據(jù)平行線分線段成比例定理，利用可計(jì)算出，利用，，所以，接著利用勾股定理計(jì)算出，然后利用正切的定義得到的值．解：作于，交于，如圖，設(shè)，則，，為的中點(diǎn)，，為直徑，，在中，，在中，，，，，即，解得，，，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形外接圓與外心：找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．【變式2】（2023·廣東湛江·?？家荒＃┤鐖D，菱形的一邊在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，與交于點(diǎn)D，若的面積為30，則k的值等于．

【答案】【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)和解直角三角形，由題意得，，進(jìn)一步有，由得，，結(jié)合菱形面積求得x，可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可求得答案．解：如圖，過點(diǎn)D作過點(diǎn)C作，，設(shè)，

∵四邊形為菱形，∴，，∵，∴，同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，解得：，∴，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，∴代入點(diǎn)C得：，故答案為：．【考點(diǎn)五】三角函數(shù)與實(shí)際問題【例5】（2023上·上海·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）八年級(jí)二班學(xué)生到某勞動(dòng)教育實(shí)踐基地開展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)天，他們先從基地門口A處向正北方向走了450米，到達(dá)菜園B處鋤草，再從B處沿正西方向到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了300米，到達(dá)手工坊D處進(jìn)行手工制作，最后從D處回到門口A處，手工坊在基地門口北偏西65°方向上．求菜園與果園之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】菜園與果園之間的距離為630米【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，四邊形是矩形，在中，求得，CF=240，進(jìn)而求得AE=210，在中，利用正切進(jìn)行求解即可．解：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，∵∠B=90°，四邊形是矩形，，BC=EF，在中，，∴BE=240，∴AE=ABBE=210，在中，，，米．∴BC=EF=DF+DE=180+450=630答：菜園與果園之間的距離630米．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2019上·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D所示，某人站在樓頂觀測(cè)對(duì)面的筆直的旗桿AB．已知觀測(cè)點(diǎn)C到旗桿的距離（CE的長(zhǎng)度）為8m，測(cè)得旗桿的仰角∠ECA為30°，旗桿底部的俯角∠ECB為45°，那么，旗桿AB的高度是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，根據(jù)AB=AE+BE進(jìn)行求解即可.解：在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8，在△AEC中，有AE=EC×tan30°=，∴AB=BE+AE=（8+）（米），故選D.【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，借助其關(guān)系構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（