專題235解直角三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（滬科版）

專題23.5解直角三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】 1【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】 5【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算與應(yīng)用】 9【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】 11【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】 18【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】 19【題型7解雙直角三角形】 22【題型8解直角三角形與四邊形的綜合應(yīng)用】 27【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】【例1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB=BC=AD，AD⊥BC于點(diǎn)E，AC

【答案】4【分析】設(shè)AB=BC=AD=1，AE=x，則DE=1-x【詳解】解：設(shè)AB=BC=AD∵AD⊥BC，∴∠D∴∠DAC∴tan∠∴ECAE∴EC∴BE=1-在Rt△ABE中，∴12整理得，5x解得：x=0或x∴sinB故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023秋·廣西賀州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE=2，cosA=【答案】20【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC=CD=AD，結(jié)合cosA=【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=∵DE⊥∴∠DEA∴cosA=設(shè)AE=3k，則∴BE=5∴k=1∴AD=5∴菱形的周長=4AD故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記銳角的余弦的定義，并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．【變式12】（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥CD交BC于點(diǎn)E，若tanA=

【答案】15【分析】由∠ACB=90°，tanA=43，可設(shè)AC=3x，【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴設(shè)AC=3∴AB=∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD=∴∠DCB又DE⊥∴∠A∴tanA=∴DE=∴CE=∵BE=7∴4x解得x=8∴DE=故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、三角函數(shù)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，掌握三角函數(shù)，直角三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分別在CA、CB上，點(diǎn)F在△ABC【答案】10【分析】連接AF，過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=2，BE=3，根據(jù)勾股定理得到FG【詳解】解：連接AF，過點(diǎn)F作FG⊥AB于∵四邊形CDFE是邊長為1的正方形，∴CD=∵AC=3∴AD=2∴AB=設(shè)BG=∴AG=5-∵FG∴5-5-x2=10-∴FG=∴sin∠故答案為：1010【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】【例2】（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知菱形的一個(gè)角(∠O)為60°，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，且線段AB，CD相交于點(diǎn)P，則tan∠BPD的值是

A．13 B．12 C．33【答案】D【分析】如圖取格點(diǎn)E，連接EC、DE．設(shè)小菱形的邊長為1．首先證明∠APC=∠ECD，再證明∠【詳解】解：如圖取格點(diǎn)E，連接EC、DE．設(shè)小菱形的邊長為1．∵AC∴四邊形ACEB是平行四邊形，∴EC∥∴∠APC依題意∠O=60°，則則∠CDO=60°，∴∠CDE∵CD=2，

如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥DE，∵∴∠BDF=1∴DF=又∵DF∴DE=∴tan∠故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式21】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC

【答案】2【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接AC,CD，先根據(jù)勾股定理可得AC=【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接AC,

∵AC∴AC又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD∴sin故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．【變式22】（2023秋·上海·九年級(jí)上海外國語大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC'B'，使點(diǎn)B'

【答案】5【分析】取網(wǎng)格點(diǎn)D點(diǎn)，連接BD，BB'，由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC=10，CD=2，BD=2【詳解】解：如圖所示：取網(wǎng)格點(diǎn)D點(diǎn)，連接BD，BB

由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC=10，CD=∴CD∴△CDB則BD⊥∴cos∠故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查了利用網(wǎng)格圖求解角的余弦函數(shù)值的知識(shí)，理解余弦的意義，作出合理的輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．【變式23】（2023·四川廣元·統(tǒng)考二模）如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin(A．277 B．77 C．2【答案】A【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α=30°，同理可得出∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結(jié)合∠AED=∠【詳解】解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠∴∠α同理得：∠CDE又∵∠AEC∴∠AED設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，∴AD=∴sinα故選：A【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的變化規(guī)律，構(gòu)造出含一個(gè)銳角等于∠α【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算與應(yīng)用】【例3】（2023春·山東泰安·九年級(jí)?？计谀┰凇鰽BC中，若cosA=22，tanB=3，則這個(gè)三角形一定是（

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【詳解】試題解析：∵cosA=22，tanB=3∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°45°60°=75°．∴△ABC為銳角三角形．故選A．【變式31】（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：2【答案】0【分析】先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，再根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：原式=2×1=1+1-3+1=0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，熟知相關(guān)特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測）計(jì)算：(1)12(2)sin45°?【答案】(1)3+2(2)2+【分析】（1）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘法，再算加法；（2）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加減．【詳解】（1）解：原式=1=1==3+2（2）原式==1=1+1+=2+2【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，掌握特殊角三角函數(shù)值以及二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．【變式33】（2023秋·甘肅嘉峪關(guān)·九年級(jí)?？计谀┰凇鰽BC中，2cosA-1+【答案】等邊三角形【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出2cosA-【詳解】∵2cosA∴2cosA-即cosA=1∴∠A=60°，∴∠C則△ABC故答案為:等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，等邊三角形的判定，數(shù)量掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】【例4】（2023·江蘇·九年級(jí)江陰市祝塘中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，長度為5的動(dòng)線段AB分別與坐標(biāo)系橫軸、縱軸的正半軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于AB對稱，連接CA、CB，過點(diǎn)C作x軸的垂線段CD，交x軸于點(diǎn)D(1)移動(dòng)點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)在某一時(shí)刻，△AOB和以點(diǎn)B、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求這一時(shí)刻點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)移動(dòng)點(diǎn)A，當(dāng)tan∠OAB=【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為154,53【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得：AB是OC的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)得：OB=BC，OA=AC，△AOB和以點(diǎn)B、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠ABO=∠CBD時(shí)，②當(dāng)∠ABO=∠BCD時(shí)，根據(jù)角的關(guān)系分別計(jì)算點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；（2）先根據(jù)三角函數(shù)定義求OB=5，OA=25，利用面積法得OG和OC的長，根據(jù)等角的三角函數(shù)可知：OG=2BG，證明△BGO∽△CDO，列比例式可得結(jié)論．【詳解】(1)連接OC，交AB于G，∵點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于AB對稱，∴AB是OC∴OB∴∠ABO∵∠AOB∴ΔAOB和以點(diǎn)B①當(dāng)∠ABO=∠CBD∴∠BAO∵AB∴OB∴OD∴C②當(dāng)∠ABO=∠BCD∴AB∵CD∴AB綜上所述，ΔAOB和以點(diǎn)B、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似，這一時(shí)刻點(diǎn)(2)∵tan設(shè)OB=x，則∴xx=5或-5(∴OBSΔAOB5?2OG=∴OC∵∠GOB∴tan∴OG∴OB∵∠GOB∴ΔBGO∴OG∴2∴OD∴OD∴C【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是△AOB和以點(diǎn)B、D、C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)分不同情況解決問題．【變式41】（2023春·吉林長春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊直角三角形紙板如圖放置，直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A、B恰好分別落在函數(shù)y=-1x(x<0)，

A．13 B．64 C．25【答案】D【分析】點(diǎn)A，B落在函數(shù)y=-1x(x【詳解】解：過點(diǎn)A、B分別作AD⊥x軸，BE⊥x軸，垂足為

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-1x(x∴S△AOD又∵∠AOB∴∠AOD∴△AOD∽△∴(OA∴OA設(shè)OA=m，則OB=2在Rt△AOB中，故選：D．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的幾何意義、相似三角形的性質(zhì)，將面積比轉(zhuǎn)化為相似比，利用勾股定理可得直角邊與斜邊的比，求出sin∠【變式42】（2023春·江蘇連云港·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，點(diǎn)A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，OA=AB，∠OAB=90°，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角度數(shù)至△OA'B'【答案】5【分析】如圖，過A'作A'H⊥OA于H，過B'作B'Q⊥A'H于Q，證明△A'OH≌△B'A'Q【詳解】解：如圖，過A'作A'H⊥OA于H，過B∴∠OHA'∴∠O∴∠O∵OA∴△A'OH∴OH=A'∴B'∴OA'，OB'的中點(diǎn)坐標(biāo)為：∵反比例函數(shù)y=kxk>0∴14∴mn解得：mn=-∴tan∠故答案為：5-【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求解銳角的正切，熟練的建立方程求解是解本題的關(guān)鍵．【變式43】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線y=kx-152交x軸于點(diǎn)A，交y（1）求直線AB的解析式；（2）在線段AB上有一點(diǎn)P，連接OP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△AOP的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t（3）在（2）的條件下，在直線y=2x的第一象限上取一點(diǎn)D，連接AD，若S=15，∠【答案】（1）y=34x-152；（2）S【分析】（1）先根據(jù)解析式求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再用三角函數(shù)求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入解析式即可；（2）用t表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，利用三角形面積公式列出函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)S=15求出點(diǎn)P坐標(biāo)，得出∠AOP+∠BPO=2∠ADO=90°，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，2a），點(diǎn)【詳解】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-152，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-152∵tan∠∴OBOA=34，OA=10，A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），代入y=直線AB的解析式為y=（2）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t代入y=34∵點(diǎn)P在線段AB上，∴S=12（3）當(dāng)S=15時(shí)，15=-154t+752點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，3），∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-15∴BP=62∴BP=OB，∴∠BOP∠AOP∵∠AOP∴∠ADO作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，2a），點(diǎn)E坐標(biāo)為（b，2b），OE=OF2+∵AE2∴102-(5b則點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，4），AE=DE=42OD=25∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，2a），∴a2+4a2=180D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，12）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理列出方程．【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】【例5】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）已知sin30°=a+1a，則一元二次方程A．有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法判斷【答案】C【分析】先利用sin30°=a+1a求出【詳解】由sin30°=1a則有x由Δ所以方程無實(shí)根．故選C【點(diǎn)睛】本題考查特殊度數(shù)的三角函數(shù)值和一元二次方程的根的情況．熟練利用一元二次方程的根判別式Δ=【變式51】（2023秋·山東東營·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+【答案】45°【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0，則tanα＝1，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求α的值．【詳解】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0，所以tanα＝1，所以銳角α＝45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．【變式52】（2023·北京朝陽·九年級(jí)專題練習(xí)）α為銳角，且關(guān)于x的一元二次方程x2－22sinα·x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則αA．30° B．45° C．30°或150° D．60°【答案】B【詳解】試題解析：關(guān)于x的一元二次方程x2－22sinα·x＋1＝0∴Δ整理得：sinα=α為銳角，∴α故選B.【變式53】（2023春·九年級(jí)單元測試）若cosα是關(guān)于x的一元二次方程2x2－33x＋3＝0的一個(gè)根，則銳角α＝．【答案】30°【分析】先求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)特殊角的函數(shù)值即可得出【詳解】∵2x2－33x＋3＝0∴Δ=b2-4ac∴x=-b±∴x1=3，x2=3∵cosα是關(guān)于x的一元二次方程2x2－33x＋3＝0的一個(gè)根，且cos30°=3∴α＝30°【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】【例6】（2023秋·廣東河源·九年級(jí)校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，【答案】見解析【分析】根據(jù)含有30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理解決此題．【詳解】解：如圖．在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠B∴AC∴BC【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式61】（2023秋·甘肅張掖·九年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c（1）已知a＝6，b＝23，解這個(gè)直角三角形（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解這個(gè)直角三角形（3）已知sinA＝12，c＝6【答案】（1）c=43；（2）a=b=3，c=3【分析】（1）直角三角形中知兩邊，求第三邊，運(yùn)用勾股定理即可（2）∠B=45°，即a=b，（3）sinA=ac【詳解】解：依題意（1）在Rt△ABC中，∵a=6，∴根據(jù)勾股定理a2+b∴c（2）∵∠B∴Rt∵a∴a∴根據(jù)勾股定理得，c=∴c=3∴此三角形的三邊分別為：a=32，b=3（3）∵在△ABC中，∠∴sinA∵c∴a根據(jù)勾股定理得．b=∴此三角形的三邊分別為：a=3，b=33【點(diǎn)睛】此題主要考查直角三角形勾股定理的運(yùn)用，要掌握三角形“知二求三”的技巧，熟練運(yùn)用勾股定理．【變式62】（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在RtΔABC中，∠C=90°，【答案】a＝23、b＝2、c＝【分析】利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程組求出∠A，∠B的值，再利用正切的定義得a=3b【詳解】解：由題意知：∠A解得：∠A∵tanA=∴a=由a-解得：a=2∵sinB=∴c【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程組解決問題．【變式63】（2023秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在ΔABC中，已知∠C=90°，b+【答案】∠A=60°，∠B=30°，a=10【分析】根據(jù)∠C=90°可得∠A+∠B=90°，再結(jié)合∠A∠B=30°可算出∠A、∠B、∠C的度數(shù)，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算出三邊長即可．【詳解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A∠B=30°，∴∠A=60°，∠B=30°，∵sin30°=bc=1∴b=12c∵b+c=30，∴12c+c=30解得c=20，則b=10，a=202-10【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值．【題型7解雙直角三角形】【例7】（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=2，tanB=12，點(diǎn)D

(1)求點(diǎn)A到BD的距離；(2)求sinA的值．【答案】(1)3(2)2【分析】（1）作AE⊥BD于點(diǎn)E，設(shè)AE=3x，由tanB=12可得BE=2AE=6x，由tan∠ACE=AE（2）作CF⊥AB于點(diǎn)F，由（1）可得BE=6，CE=4，由勾股定理得到AB=35，AC=5，由S【詳解】（1）解：作AE⊥BD于點(diǎn)

設(shè)AE=3在Rt△ABE中，∵tanB=∴BE=2在Rt△ACE中，∵tan∠