《離散型隨機(jī)變量及其分布列》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《離散型隨機(jī)變量及其分布列》教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容隨機(jī)變量，離散型隨機(jī)變量及其分布列.2.內(nèi)容解析研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，首先需要建立試驗的樣本空間，用樣本空間的子集表示隨機(jī)事件.進(jìn)而根據(jù)樣本空間的特征建立概率模型，計算事件的概率.接著建立一系列概率運算法則（公式），求復(fù)雜事件的概率，在此基礎(chǔ)上，引入隨機(jī)變量，使我們可以量化地描述各種隨機(jī)現(xiàn)象；利用數(shù)學(xué)工具和方法，系統(tǒng)、全面地研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律；建立概率模型，解決實際問題；研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征，為決策提供依據(jù).離散型隨機(jī)變量的取值可以一一列出，包括取值是有限的或可列無限的兩種情形，因此包括能夠取無窮多個不同值的離散型隨機(jī)變量.對一個離散型隨機(jī)變量，我們不僅關(guān)心它的可能取值，更重要的是要知道取每個值的概率.分布列是描述離散型隨機(jī)變量取值概率規(guī)律的工具.離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律完全由它的分布列所決定，分布列的性質(zhì)有助于我們深入了解隨機(jī)變量.兩點分布、二項分布等典型的分布列，為我們理解分布列并運用分布列了解隨機(jī)現(xiàn)象提供了范例.隨機(jī)變量和普通變量有著很大的不同.通過具體實例，有助于更好地理解用隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，感悟隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系，深入體會隨機(jī)思想在解決實際問題中的作用.基于以上的分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：隨機(jī)變量的概念與離散型隨機(jī)變量的分布列.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)通過具體實例，了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量的分布列.2.目標(biāo)解析達(dá)成以上目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能通過建立樣本點與實數(shù)之間的關(guān)系，知道隨機(jī)試驗樣本空間中的每一個樣本點都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng).會根據(jù)概率的性質(zhì)獲得離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，會求簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列.在此過程中提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).三、教學(xué)問題診斷分析隨機(jī)變量概念的形成過程是具體問題數(shù)學(xué)化的過程，對學(xué)生的抽象思維能力有較高的要求由于學(xué)生對于隨機(jī)問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗不足，可能對隨機(jī)變量的概念存在理解上的困難；由于離散型隨機(jī)變量的分布列描述的是隨機(jī)變量的概率分布，用于研究隨機(jī)事件的概率，學(xué)生也可能存在應(yīng)用上的困難因此需要在關(guān)聯(lián)的情境中，通過具體實例幫助學(xué)生抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)將隨機(jī)現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)問題，用概率的語言表征隨機(jī)現(xiàn)象，提升數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).本節(jié)課的教學(xué)難點是隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量分布列含義的理解.四、教學(xué)過程設(shè)計1.情境創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)語1：我們知道，在求隨機(jī)事件的概率時，往往需要為隨機(jī)試驗建立樣本空間，樣本空間的確定是研究概率的基礎(chǔ).引例：請為以下隨機(jī)試驗建立樣本空間：（1）擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).（2）擲兩枚骰子，觀察兩個點數(shù)之和.（3）擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正、反面的情況.（4）從裝有5個紅球、3個白球的袋中依次摸出兩球，觀察球的顏色.師生活動：讓學(xué)生獨立完成以上隨機(jī)試驗的樣本空間的建立.通過師生互動平臺，呈現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果.預(yù)計學(xué)生建立的樣本空間會有多種表現(xiàn)形式，如果學(xué)生中有將（3）（4）兩個隨機(jī)試驗的樣本空間以數(shù)量形式表示，則可以讓學(xué)生講述想法，以利于引入課題.設(shè)計意圖：引例中的4個問題都來自學(xué)生的生活經(jīng)驗，前兩個問題學(xué)生一般會建立數(shù)集表示的樣本空間，而后兩個問題，學(xué)生一般會根據(jù)具體問題用文字符號表示樣本空間.通過情境創(chuàng)設(shè)引入課題.2.形成概念引導(dǎo)語2：從前面的問題我們可以知道，如果我們在隨機(jī)試驗的樣本空間與實數(shù)集之間建立某種對應(yīng)，不僅可能為一些隨機(jī)事件的表示帶來方便，還可能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)試驗.問題1：如果有些隨機(jī)試驗的樣本點與數(shù)值沒有關(guān)系，我們?nèi)绾螌⑦@個試驗的樣本點與實數(shù)建立聯(lián)系？例如，隨機(jī)抽一件產(chǎn)品，有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能的結(jié)果，那么如何建立樣本點和實數(shù)之間的對應(yīng)？師生活動：通過追問引發(fā)學(xué)生思考，提示學(xué)生聯(lián)想函數(shù)表示中的分段函數(shù)的表示方法.如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義那么這個試驗的樣本點與實數(shù)就建立了對應(yīng)關(guān)系.教師進(jìn)一步指出：仿照這種辦法，我們可以把一些隨機(jī)試驗的樣本點與實數(shù)建立對應(yīng)關(guān)系并總結(jié)：對于任何一個隨機(jī)試驗，總可以把它的每一個樣本點與一個實數(shù)對應(yīng)，即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化.因為在隨機(jī)試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機(jī)性，所以變量X的取值也具有隨機(jī)性.最后，讓學(xué)生建立引例（3）（4）中樣本空間與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.設(shè)計意圖：通過具體實例，了解一個隨機(jī)現(xiàn)象可以通過一個變量來刻畫，隨機(jī)試驗結(jié)果不論是否與數(shù)量直接有關(guān)，都可以數(shù)量化.問題2：考察下列隨機(jī)試驗及其引入的變量：試驗1：從100個電子元件（至少含3個以上次品）中隨機(jī)抽取三個進(jìn)行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù).試驗2：拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).這兩個隨機(jī)試驗的樣本空間各是什么?各個樣本點與變量的值是如何對應(yīng)的?變量有哪些共同的特征?師生活動:對于試驗1,如果用0表示“元件為合格品”,1表示“元件為次品”,用0和1構(gòu)成的長度為3的字符串表示樣本點,要求學(xué)生寫出樣本空間,以及各樣本點與變量的值的對應(yīng)關(guān)系.樣本空間,各樣本點與變量的值的對應(yīng)關(guān)系如表1所示.表1對于試驗2,如果用表示“正面向上”,表示“反面向上”,要求學(xué)生寫出樣本空間,以及各樣本點與變量的值的對應(yīng)關(guān)系.樣本空間,這個樣本包含無窮多個樣本點,各樣本點與變量的值的對應(yīng)關(guān)系如表2所示.表2追問（1）：觀察兩個隨機(jī)試驗,請你歸納試驗1和試驗2的樣本空間中樣本點與對應(yīng)變量有什么共同點?師生活動:師生共同歸納,在上面兩個隨機(jī)試驗中,每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng).變量有如下共同點:（1）取值依賴于樣本點.（2）所有可能取值是明確的.追問（2）：根據(jù)對問題2的分析和歸納,你能類比函數(shù)中的對應(yīng)關(guān)系,將樣本空間中的樣本點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系用一般化的數(shù)學(xué)語言表示嗎?師生活動:類比函數(shù)的定義,先由學(xué)生歸納、抽象、表達(dá),利用師生交互平臺進(jìn)行交流、討論,然后教師規(guī)范地表達(dá)隨機(jī)變量的概念:一般地,對于隨機(jī)試驗樣本空問中的每個樣本點,都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng),我們稱為隨機(jī)變量.給出隨機(jī)變量的概念后,教師進(jìn)一步指出:試驗1中隨機(jī)變量的可能取值為,共有4個值;試驗2中隨機(jī)變量的可能取值為有無限個取值,但可以一一列出.進(jìn)而給出離散型隨機(jī)變量的概念:像這樣,可能取值為有限個或可以一一列出的隨機(jī)變量,我們稱為離散型隨機(jī)變量.通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量,例如;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如.教師進(jìn)一步指出：隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似,這里樣本點相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量,而樣本空間相當(dāng)于函數(shù)的定義域,不同之處在于不一定是數(shù)集.隨機(jī)變量的取值隨著試驗結(jié)果的變化而變化.使得我們可以利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)事件.隨機(jī)變量的概念是俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫(Chebyshev,)在19世紀(jì)中葉建立和提倡使用的.追問(3)：你能舉出一些離散型隨機(jī)變量和不是離散型的隨機(jī)變量的例子嗎?師生活動：先由學(xué)生自由發(fā)言,通過師生互動平臺進(jìn)行交流,教師進(jìn)行補充和點評.如果學(xué)生因為學(xué)習(xí)經(jīng)驗的不足,無法舉出準(zhǔn)確的例子,教師可以直接舉例.例如,某射擊運動員射擊一次可能命中的環(huán)數(shù),它的可能取值為;在一個裝有8個紅球,4個白球的袋子中,隨機(jī)摸出4個球,這4個球中白球的個數(shù),它的可能取值為.這些都是離散型隨機(jī)變量的例子.而像種子含水量的測量誤差;某品牌電視機(jī)的使用壽命;某一個零件長度的測量誤差等.這些都是可能取值充滿了某個區(qū)間、不能一一列出的隨機(jī)變量,稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.設(shè)計意圖：通過從特殊到一般地歸納形成隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的概念，用類比函數(shù)定義的方法給出隨機(jī)變量的定義.通過舉例的方式，加深學(xué)生對隨機(jī)變量概念的內(nèi)涵和外延的認(rèn)識,這是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的重要方法,通過上述過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).3.隨機(jī)變量的分布列問題3:根據(jù)問題引入合適的隨機(jī)變量,有利于我們簡潔地表示所關(guān)心的隨機(jī)事件,以及隨機(jī)試驗中的概率問題.你能嘗試著舉一個具體例子嗎?師生活動:可以舉以下實例.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,表示擲出的點數(shù),則事件“擲出點”可以表示為,事件“列出的點數(shù)不大于2點”可以表示為,等等.由擲出各種點數(shù)的等可能性,可得.這一規(guī)律也可以用表3表示.表3教師進(jìn)一步指出,可以仿照隨機(jī)變量的定義,將上面的問題一般化.一般地,設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為,我們稱取每一個值的概率為的概率分布列,簡稱分布列.離散變量的分布列也可以用表格表示,如表4所示.表4設(shè)計意圖：通過實例抽象概括出隨機(jī)變量的概念.問題4：你能根據(jù)概率的性質(zhì),研究離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)嗎?寫出你的研究結(jié)果并與同學(xué)交流.師生活動:學(xué)生通過概率性質(zhì)的學(xué)習(xí),已具有探究離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的能力.在學(xué)生交流研究結(jié)果之后,教師總結(jié)出離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個性質(zhì):（1）（2）.并進(jìn)一步指出:利用分布列和概率的性質(zhì),可以計算由離散型隨機(jī)變量表示的事件的概率.例如:P（擲出的點數(shù)不大于2,P（擲出偶數(shù)）.設(shè)計意圖：對于離散型隨機(jī)變量的分布列的概念學(xué)生容易理解，以教師講授的方式為主可以提高教學(xué)效率.而對于離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，由學(xué)生自主探究，有利于學(xué)生加深對性質(zhì)的理解,為利用分布列的性質(zhì)計算概率作準(zhǔn)備.4.例題分析例1一批產(chǎn)品中次品率為,隨機(jī)抽取1件,定義求的分布列.師生活動：先由學(xué)生自主完成本例題的解答,隨后教師板書解答過程:根據(jù)的定義,“抽到次品”,“抽到正品”,的分布列為0.05.在此基礎(chǔ)上一般化:對于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗,用表示“成功”,表示“失敗”,定義如果，則，那么X的分布列如表5所示.表5我們稱服從兩點分布或分布.實際上,為在一次試驗中成功(事件)發(fā)生的次數(shù)或1).像購買的彩券是否中獎,新生嬰兒的性別,投籃是否命中等,都可以用兩點分布來描述.設(shè)計意圖：通過具體實例，學(xué)習(xí)兩點分布.兩點分布的概念由教師在例題評析時直接引入.在今后學(xué)習(xí)二項分布、超幾何分布等典型的離散型隨機(jī)變量的分布列時也宜采用這樣的學(xué)習(xí)方式.例2某學(xué)校高二年級有200名學(xué)生,他們的體育綜合測試成績分5個等級,每個等級對應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如表6所示.表6從這200名學(xué)生中任意選取1人,求所選同學(xué)分?jǐn)?shù)的分布列,以及.師生活動：教師先組織學(xué)生討論事件表示的意義,引導(dǎo)學(xué)生分析隨機(jī)試驗是否符合古典概型的條件,然后要求學(xué)生自主解決.通過師生交互平臺交流學(xué)生解題的結(jié)果.在分析學(xué)生解題的過程中,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題的一般步驟:（1）確定離散型隨機(jī)變量的取值集合：是一個離散型隨機(jī)變量,其可能取值為,4,5,且“不及格”,“及格”,“中等”,“優(yōu)".（2）根據(jù)古典概型的知識,求隨機(jī)變量取每個值時的概率,如表7所示.表7（3）利用分布列求概率:.設(shè)計意圖：通過具體實例,學(xué)習(xí)求離散型隨機(jī)變量分布列的方法,學(xué)習(xí)如何根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求一些隨機(jī)事件的概率.例3一批筆記本電腦共有10臺,其中品牌3臺,品牌7臺.如果從中隨機(jī)挑選2臺,求這2臺筆記本電腦中品牌臺數(shù)的分布列.師生活動:由于有解決例1、例2的經(jīng)驗,學(xué)生具備了自主解決本例題的能力,可能存在的問題是概率的計算.本例題宜采用學(xué)生自主完成,學(xué)生互評、教師點評的方式完成.師生共同給出具有一般性的解題步驟:（1）確定離散型隨機(jī)變量的取值集合：設(shè)挑選的2臺電腦中品牌的臺數(shù)為,則的可能取值為.（2）根據(jù)古典概型的知識,求隨機(jī)變量取每個值時的概率,即的分布列,.用表格表示的分布列,如表8所示.表8最后,教師總結(jié)求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟：（1）根據(jù)問題設(shè)立一個隨機(jī)變量,并寫出隨機(jī)變量的所有可能取值.（2）利用古典概型,求隨機(jī)變量的每一個可能取值所對應(yīng)的概率.(3)用解析式或表格表示的分布列.設(shè)計意圖：通過具體實例,歸納出求離散型隨機(jī)變量分步列的一般步驟.5.總結(jié)提升教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，并讓學(xué)生回答以下幾個問題（1）通過類比函數(shù)定義引入隨機(jī)變量的概念，對你有什么啟示？（2）為什么要研究離散型隨機(jī)變量的分布列？離散型隨機(jī)變量的分布列有什么作用？（3）根據(jù)本節(jié)課所舉的例題，請你歸納求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟.分布列的性質(zhì)在