舉一反三系列高二高考數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版選擇性必修2專題4.9 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型精講）（含答案及解析）

專題4.9等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型精講）1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和公式為

=.2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)q=1時(shí)，=是關(guān)于n的正比例函數(shù)，點(diǎn)(n,)是直線y=x上的一群孤立的點(diǎn).(2)當(dāng)q≠1時(shí)，=.記A=，則=+A是一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和.當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，y=是指數(shù)函數(shù)，此時(shí)，點(diǎn)(n,)是指數(shù)型函數(shù)y=+A圖象上的一群孤立的點(diǎn).3．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.4．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)公式法求和

①直接用等差、等比數(shù)列的求和公式.

②掌握一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.(2)倒序相加法求和

如果一個(gè)數(shù)列{}中，與首、末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng),的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(3)錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法求和適用于型數(shù)列，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(4)裂項(xiàng)相消法求和

利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂項(xiàng)前后保持相等.【題型1求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，求解等比數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項(xiàng)之和S3=12A．a(chǎn)n=16??C．a(chǎn)n=4 D．a(chǎn)【變式1-1】（2022·安徽銅陵·高一期末）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn.若a2?a5=?78，SA．2n B．2n?1 C．3n【變式1-2】（2022·湖南·高三階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2S3=3A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-3】（2022·陜西·高二階段練習(xí)）等比數(shù)列{an}中,若公比A．4n?1 B．4n C．3n【題型2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即可得解.【例2】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3A．488

B．508

C．511

D．567【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二）已知等比數(shù)列an共有32項(xiàng)，其公比q=3，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列an的所有項(xiàng)之和是（A．30 B．60 C．90 D．120【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列{an}A．5 B．7 C．9 D．11【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿足S2mA．?2 B．2 C．?3 D．3【題型3求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)條件，求出等比數(shù)列的基本量，得到首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，進(jìn)行求解即可.【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比數(shù)列an中，a1=1，且a5+A．15 B．31 C．63 D．64【變式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an>0，公比q>1，a3+A．31 B．36 C．48 D．63【變式3-2】（2022·河北高三階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若8a1=2A．510 B．511 C．1022 D．1023【變式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a3＝16，且a2與a4的等差中項(xiàng)為20A．2n?2 C．4n＋1【題型4等比數(shù)列的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化、實(shí)際問(wèn)題，讀懂其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立合適的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式進(jìn)行求解.【例4】（2022·河南濮陽(yáng)·高二期末（理））5G是第五代移動(dòng)通信技術(shù)的簡(jiǎn)稱，其意義在于萬(wàn)物互聯(lián)，即所有人和物都將存在于有機(jī)的數(shù)字生態(tài)系統(tǒng)中，它把以人為中心的通信擴(kuò)展到同時(shí)以人與物為中心的通信，將會(huì)為社會(huì)生活與生產(chǎn)方式帶來(lái)巨大的變化．目前我國(guó)最高的5G基站海拔6500米．從全國(guó)范圍看，中國(guó)5G發(fā)展進(jìn)入了全面加速階段，基站建設(shè)進(jìn)度超過(guò)預(yù)期．現(xiàn)有8個(gè)工程隊(duì)共承建10萬(wàn)個(gè)基站，從第二個(gè)工程隊(duì)開(kāi)始，每個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)都比前一個(gè)工程隊(duì)少16，則第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)（單位：萬(wàn)）約為（

A．10×686C．80×676【變式4-1】（2022·四川省高三階段練習(xí)（文））中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【變式4-2】（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（文））我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見(jiàn)每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人最后一天走的路程是（

）A．192里 B．96里 C．12里 D．6里【變式4-3】（2022·山東青島·高二期中）集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾于十九世紀(jì)末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽(yù)其為“數(shù)學(xué)思想的驚人產(chǎn)物，在純粹理性范疇中人類活動(dòng)的最美表現(xiàn)之一”.取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮.由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段的數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集.若在前n次操作中共去掉的線段長(zhǎng)度之和不小于2930，則n的最小值為（

（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lgA．9 B．8 C．7 D．6【題型5等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】根據(jù)具體條件，借助等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、求和公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差數(shù)列an?和等比數(shù)列bn?滿足a1=b1(1)求an(2)求和：b1【變式5-1】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知在等比數(shù)列an中，a1+a2=4，且a1,a2+2,a(1)求an(2)設(shè)cn=2bn?a【變式5-2】（2022·山西·高三期中）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q>0)，已知a1=(1)求an，b(2)將an，bn中相同的項(xiàng)剔除后，兩個(gè)數(shù)列中余下的項(xiàng)按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列cn【變式5-3】（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+a3=6，a(1)求數(shù)列an與b(2)設(shè)cn=3an+54?b【題型6數(shù)列的求和】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于具體的數(shù)列求和問(wèn)題，選擇合適的數(shù)列求和方法，進(jìn)行求解.【例6】已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)求證：an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S【變式6-1】數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b3=a2，b7=【變式6-2】（2022·安徽·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)令bn=an2n，求數(shù)列【變式6-3】（2022·江蘇·高二期中）已知數(shù)列an中，a1=1，a2=2(1)證明：數(shù)列bn(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，求(3)設(shè)cn=an+11+bn?2+專題4.9等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型精講）1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和公式為

=.2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)q=1時(shí)，=是關(guān)于n的正比例函數(shù)，點(diǎn)(n,)是直線y=x上的一群孤立的點(diǎn).(2)當(dāng)q≠1時(shí)，=.記A=，則=+A是一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和.當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，y=是指數(shù)函數(shù)，此時(shí)，點(diǎn)(n,)是指數(shù)型函數(shù)y=+A圖象上的一群孤立的點(diǎn).3．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.4．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)公式法求和

①直接用等差、等比數(shù)列的求和公式.

②掌握一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.(2)倒序相加法求和

如果一個(gè)數(shù)列{}中，與首、末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng),的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(3)錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法求和適用于型數(shù)列，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(4)裂項(xiàng)相消法求和

利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂項(xiàng)前后保持相等.【題型1求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，求解等比數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項(xiàng)之和S3=12A．a(chǎn)n=16??C．a(chǎn)n=4 D．a(chǎn)【解題思路】設(shè)公比為q，求出首項(xiàng)a1的公比q【解答過(guò)程】設(shè)公比為q，則a1q2=4a所以an=4或故選：D．【變式1-1】（2022·安徽銅陵·高一期末）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn.若a2?a5=?78，SA．2n B．2n?1 C．3n【解題思路】設(shè)公比為q的等比數(shù)列an，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程，解方程即可得到首項(xiàng)和公比，即可得到數(shù)列a【解答過(guò)程】由各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列ana2?a可得a1q?a解得a1=1，則an=a故選：D.【變式1-2】（2022·湖南·高三階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2S3=3A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】根據(jù)第一個(gè)等量關(guān)系得到關(guān)于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二個(gè)等量關(guān)系得到關(guān)于首項(xiàng)的方程，解方程得到首項(xiàng)，從而得到a2【解答過(guò)程】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q（q則由2S3=3即6a1+即6+q?2q解得q=2（q=?3由S8=2S7+2將q=2代入得27解得a1則a2故選：A.【變式1-3】（2022·陜西·高二階段練習(xí)）等比數(shù)列{an}中,若公比A．4n?1 B．4n C．3n【解題思路】依題意列方程直接求解a1【解答過(guò)程】由條件得a1+a則a故選：A.【題型2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即可得解.【例2】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3A．488

B．508

C．511

D．567【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6?【解答過(guò)程】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6?S3，S9?故選：C.【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二）已知等比數(shù)列an共有32項(xiàng)，其公比q=3，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列an的所有項(xiàng)之和是（A．30 B．60 C．90 D．120【解題思路】設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)之和為S1，偶數(shù)項(xiàng)之和為S2,則S2【解答過(guò)程】設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)之和為則S1=又S1+60=S2，則故數(shù)列{an}故選：D.【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列{an}A．5 B．7 C．9 D．11【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)an=a1·【解答過(guò)程】根據(jù)題意，數(shù)列{an}又由數(shù)列{a則q=21?1故Sn故選：A.【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿足S2mA．?2 B．2 C．?3 D．3【解題思路】根據(jù)S2mSm=9,a2ma【解答過(guò)程】設(shè)數(shù)列an的公比為q若q=1，則S2m故q≠1.∵∴m=3,∴q故選：B.【題型3求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)條件，求出等比數(shù)列的基本量，得到首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，進(jìn)行求解即可.【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比數(shù)列an中，a1=1，且a5+A．15 B．31 C．63 D．64【解題思路】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)已知求出q的值即得解.【解答過(guò)程】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題得q4所以S5故選：B.【變式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an>0，公比q>1，a3+A．31 B．36 C．48 D．63【解題思路】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得a2a6【解答過(guò)程】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得a2又a3解得a3=4a當(dāng)a3=4a5=16當(dāng)a3=16a所以a3=4a此時(shí)a1所以S6故選：D.【變式3-2】（2022·河北高三階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若8a1=2A．510 B．511 C．1022 D．1023【解題思路】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)可得6+q?2q2=0，即可求出q，進(jìn)而求出【解答過(guò)程】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)則由2S3=3即6a1+a2解得q=2（q=?3由S2=a所以S8故選：A．【變式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a3＝16，且a2與a4的等差中項(xiàng)為20A．2n?2 C．4n＋1【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的應(yīng)用求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可.【解答過(guò)程】設(shè)該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a由題意知a3=16a解得a1所以Sn故選：B.【題型4等比數(shù)列的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化、實(shí)際問(wèn)題，讀懂其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立合適的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式進(jìn)行求解.【例4】（2022·河南濮陽(yáng)·高二期末（理））5G是第五代移動(dòng)通信技術(shù)的簡(jiǎn)稱，其意義在于萬(wàn)物互聯(lián)，即所有人和物都將存在于有機(jī)的數(shù)字生態(tài)系統(tǒng)中，它把以人為中心的通信擴(kuò)展到同時(shí)以人與物為中心的通信，將會(huì)為社會(huì)生活與生產(chǎn)方式帶來(lái)巨大的變化．目前我國(guó)最高的5G基站海拔6500米．從全國(guó)范圍看，中國(guó)5G發(fā)展進(jìn)入了全面加速階段，基站建設(shè)進(jìn)度超過(guò)預(yù)期．現(xiàn)有8個(gè)工程隊(duì)共承建10萬(wàn)個(gè)基站，從第二個(gè)工程隊(duì)開(kāi)始，每個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)都比前一個(gè)工程隊(duì)少16，則第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)（單位：萬(wàn)）約為（

A．10×686C．80×676【解題思路】8個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)依次成等比數(shù)列，比為56，第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)為a1（萬(wàn)），由等比數(shù)列前【解答過(guò)程】由題意，8個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)依次成等比數(shù)列，比為56，記第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)為a1（萬(wàn)），則a1故選：B．【變式4-1】（2022·四川省高三階段練習(xí)（文））中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【解題思路】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為q=12的等比數(shù)列{an}【解答過(guò)程】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為q=12的等比數(shù)列設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則S故S6=a則an故a5a3S3=192(1?由S6故選：D.【變式4-2】（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（文））我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見(jiàn)每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人最后一天走的路程是（

）A．192里 B．96里 C．12里 D．6里【解題思路】根據(jù)題意可知，此人每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列an，公比為12，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可解出a1【解答過(guò)程】設(shè)第n天走的路程為an，n∈1,2,3,4,5,6，所以此人每天走的路程可構(gòu)成等比數(shù)列an，依題可知，公比為12，所以所以a6故選：D．【變式4-3】（2022·山東青島·高二期中）集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾于十九世紀(jì)末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽(yù)其為“數(shù)學(xué)思想的驚人產(chǎn)物，在純粹理性范疇中人類活動(dòng)的最美表現(xiàn)之一”.取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮.由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段的數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集.若在前n次操作中共去掉的線段長(zhǎng)度之和不小于2930，則n的最小值為（

（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lgA．9 B．8 C．7 D．6【解題思路】通過(guò)歸納法歸納出每次舍棄的線段的長(zhǎng)度，然后由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得前n次舍棄的線段的和，然后列不等式求解．【解答過(guò)程】第一次操作去掉的線段長(zhǎng)度為13，第二次操作去掉的線段長(zhǎng)度和為23×13，第三次操作去掉的線段長(zhǎng)度和為2由此得13所以1?(23nlg23所以n的最小值是9.故選：A．【題型5等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】根據(jù)具體條件，借助等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、求和公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差數(shù)列an?和等比數(shù)列bn?滿足a1=b1(1)求an(2)求和：b1【解題思路】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，利用a1=1，a（2）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為q2的等比數(shù)列，利用b2b4=b32=9求出b3【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由a1=1，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以an的通項(xiàng)公式a（2）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為q由（1）可得a5=9，等比數(shù)列bn滿足b由于b1=1>0，可得b3所以q2則b2n?1是公比為3，首項(xiàng)為1b1【變式5-1】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知在等比數(shù)列an中，a1+a2=4，且a1,a2+2,a(1)求an(2)設(shè)cn=2bn?a【解題思路】（1）由已知條件求得等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)，即可求得其通項(xiàng)公式；（2）求得bn的通項(xiàng)公式，結(jié)合（1）的結(jié)論可得cn=【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍1,a2+2,a又因?yàn)樵诘缺葦?shù)列an中，a1+a2=4,所以所以a1+3a1=4（2）由bn>0,b1=1，則bn是等差數(shù)列，因?yàn)閎1=1則cn則T=(2+2=2(1?4n【變式5-2】（2022·山西·高三期中）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q>0)，已知a1=(1)求an，b(2)將an，bn中相同的項(xiàng)剔除后，兩個(gè)數(shù)列中余下的項(xiàng)按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列cn【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；（2）由題意，求得等差數(shù)列的第100項(xiàng)，逐項(xiàng)求解等比數(shù)列，利用等差數(shù)列建立方程，找出相同項(xiàng)，分組求和，可得答案.【解答過(guò)程】（1）由S9=9b4，得9a結(jié)合q=23d，可得1+32q=q2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為b（2）由（1）可知，當(dāng)n=100時(shí)，a100又bn=2n，所以b1=2，b2=4，b3=8，b4令2=3n+1，解得n=13，令4=3n+1，解得n=1，令8=3n+1，解得n=73，令16=3n+1，解得n=5，令32=3n+1，解得n=313，令64=3n+1，解得n=31，令128=3n+1，解得所以數(shù)列an的前100項(xiàng)中與數(shù)列bn中相同的項(xiàng)共有4項(xiàng)，即4，16，64，256，即為將an，bn中相同的項(xiàng)剔除后，兩個(gè)數(shù)列中余下的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列cn，則cn的前100項(xiàng)為數(shù)列an的前100項(xiàng)中剔除與數(shù)列b所以cn的前100項(xiàng)和為4+301【變式5-3】（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+a3=6，a(1)求數(shù)列an與b(2)設(shè)cn=3an+54?b【解題思路】（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)列出方程組求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則a1+a3=2∴an設(shè)