舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題7.4 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（重難點(diǎn)題型檢測）（含答案及解析）

題7.4復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（重難點(diǎn)題型檢測）【人教A版2019】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①?1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復(fù)數(shù)a+bia,b∈R是某一元二次方程的根，則a?bi一定是方程的另一個(gè)根；④若z為純虛數(shù)i，則A．3 B．2 C．0 D．12．（3分）（2022秋·云南·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為1,?2，則z?2z=（A．?1?6i B．C．1?6i D．3．（3分）已知復(fù)數(shù)z=1+3i3?mim∈A．3 B．1 C．?1 D．?34．（3分）若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=2i，則A．45 B．42 C．255．（3分）（2022秋·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知z=1+i1?i?A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．（3分）（2023春·福建泉州·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)1?i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0p,q∈RA．4 B．5 C．22 D．7．（3分）（2022春·北京西城·高一階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）設(shè)fx=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知關(guān)于x的方程fx=xA．方程只有虛根解，其中兩個(gè)是純虛根B．可能方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根的解C．可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，兩個(gè)純虛數(shù)根D．可能方程沒有純虛數(shù)根的解二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022秋·湖南長沙·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=?1+2iiA．z=2?i B．C．z=5 10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)平行四邊形OABC，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=1+i，點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=1+2i，點(diǎn)A．點(diǎn)C位于第二象限 B．z1+z3=z11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=a?2iA．zB．zC．若2z1D．若z2=?12．（4分）（2023秋·重慶·高三學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z1,z2是關(guān)于x的方程A．z1=z2 B．z1z2∈R三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=i+i214．（4分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若向量OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1?i，?1+2i，則向量CD對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.15．（4分）（2022·吉林長春·長春模擬預(yù)測）已知m是實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2?m+2x+m2+3m+1=0的兩個(gè)虛數(shù)根為z16．（4分）（2022春·上海浦東新·高一期末）以下四個(gè)命題中所有真命題的序號是．（1）若z1、z2∈（2）若z1、z2∈（3）若z1、z2∈C，z1（4）若z1、z2∈C，z1四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)1+2i(2)5i(3)a+bi18．（6分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z，分別作出下列運(yùn)算的結(jié)果對應(yīng)的向量：（1）z+1；（2）z?i；（3）z+(?2+i).19．（8分）（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z+z=8?4i，且z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程20．（8分）（2022·高一單元測試）復(fù)數(shù)z=a+bia,b>0滿足(1)求復(fù)數(shù)z；(2)求z1?21．（8分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)a1+b1i，a2+b2i，a3+b(1)z1(2)z1(3)z122．（8分）（2022·高一單元測試）已知z為復(fù)數(shù)，ω=z+9(1)當(dāng)?2<ω<10時(shí)，求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合；(2)當(dāng)?4<ω<2時(shí)，若u=α?zα+z（α>0）為純虛數(shù)，求α的值和專題7.4復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（重難點(diǎn)題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①?1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復(fù)數(shù)a+bia,b∈R是某一元二次方程的根，則a?bi一定是方程的另一個(gè)根；④若z為純虛數(shù)i，則A．3 B．2 C．0 D．1【解題思路】對于①②，根據(jù)平方根的定義即可判斷；對于③，舉反例即可排除；對于④，利用平方根的定義與復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)求得z=i【解答過程】對于①，?1的平方根有兩個(gè)，分別為i和?i，故①對于②，1的平方根是?1和1，故②錯誤；對于③，令a=1,b=0，則a+bi=1是方程x2+x?2=0的一個(gè)根，但方程x2實(shí)際上，只有實(shí)系數(shù)方程的虛根才是共軛復(fù)數(shù)，故③錯誤；對于④，設(shè)z=i的平方根為x+yix,y∈R，則故x2?y2=0所以z=i的平方根為22+22i或綜上：①②③錯誤，④正確，故真命題的個(gè)數(shù)為1.故選：D.2．（3分）（2022秋·云南·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為1,?2，則z?2z=（A．?1?6i B．C．1?6i D．【解題思路】由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，共軛復(fù)數(shù)定義可得答案.【解答過程】由題意知z=1?2i，z故選：A.3．（3分）已知復(fù)數(shù)z=1+3i3?mim∈A．3 B．1 C．?1 D．?3【解題思路】求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計(jì)算.【解答過程】z=1+3因?yàn)閺?fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則3?3m=09+m≠0，解得m=1故選：B.4．（3分）若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=2i，則A．45 B．42 C．25【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得出z+i【解答過程】因?yàn)閦1+i=2i，則所以，z+i因此，z+i故選：D.5．（3分）（2022秋·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知z=1+i1?i?A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，可得其共軛復(fù)數(shù)z，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【解答過程】因?yàn)閕4=1，則i2022所以，z=1?i，因此，復(fù)數(shù)故選：D.6．（3分）（2023春·福建泉州·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)1?i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0p,q∈RA．4 B．5 C．22 D．【解題思路】將1?i代入方程，利用復(fù)數(shù)相等得到方程組解出p,q【解答過程】由題意可得1?i即1?2i所以p+q?p+2所以p+q=0p+2=0，解得p=?2所以p+qi故選：C.7．（3分）（2022春·北京西城·高一階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.【解答過程】因?yàn)镺為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，又因?yàn)閦1所以由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可得，z2故選：C.8．（3分）（2023秋·上?！じ叨谀┰O(shè)fx=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知關(guān)于x的方程fx=xA．方程只有虛根解，其中兩個(gè)是純虛根B．可能方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根的解C．可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，兩個(gè)純虛數(shù)根D．可能方程沒有純虛數(shù)根的解【解題思路】根據(jù)給定條件，設(shè)x=mi【解答過程】a,b,c∈R，f(x)=ax2+bx+c，關(guān)于x的方程則有f(mi)=mi，即?am2+c+bmi方程f(x)=x化為x2+m方程f(f(x))=x化為：a2整理得(a2x2+2ax+因此方程f(f(x))=x有兩個(gè)純虛數(shù)根±m(xù)i而方程a2x2因此方程a2x2所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B，C，D均不正確.故選：A.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022秋·湖南長沙·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=?1+2iiA．z=2?i B．C．z=5 【解題思路】先化簡復(fù)數(shù)z，然后求出z的共軛復(fù)數(shù)即可驗(yàn)證選項(xiàng)AB，求出復(fù)數(shù)z的模驗(yàn)證選項(xiàng)C，化簡選項(xiàng)D即可【解答過程】因?yàn)閦=?1+2所以z=2?z的虛部為?1，故選項(xiàng)B錯誤；由z=由1+i所以z=3?故選項(xiàng)D錯誤，故選：AC.10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)平行四邊形OABC，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=1+i，點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=1+2i，點(diǎn)A．點(diǎn)C位于第二象限 B．z1+z3=z【解題思路】由題意畫出圖形，求出C的坐標(biāo)，得到z3，然后逐一分析【解答過程】解：如圖，由題意，O(0,0)，A(1,1)，B(1,2)，∵OABC為平行四邊形，則C(0,1)，∴z3=i，點(diǎn)z1+z|z1?z1z3故選：BC．11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=a?2iA．zB．zC．若2z1D．若z2=?【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等等知識確定正確答案.【解答過程】A選項(xiàng)，z1B選項(xiàng)，z1C選項(xiàng)，2zz1若2z1+z2D選項(xiàng)，當(dāng)a=0時(shí)，z2故選：AC.12．（4分）（2023秋·重慶·高三學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z1,z2是關(guān)于x的方程A．z1=z2 B．z1z2∈R【解題思路】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程得z1【解答過程】Δ=b2?4<0，∴x=?b±z1z1z1z2=1，∴z1b=1時(shí)，z1=?12+z22=z1故選：ACD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=i+i2+i【解題思路】先利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求出z=i?i【解答過程】z====i因?yàn)閕4n=1,i所以i2023=?i故答案為：i.14．（4分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若向量OA，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1?i，?1+2i，則向量CD對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2?3i.【解題思路】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由OA?【解答過程】因?yàn)橄蛄縊A，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1?i，?1+2i，所以O(shè)A故答案為：2?3i.15．（4分）（2022·吉林長春·長春模擬預(yù)測）已知m是實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2?m+2x+m2+3m+1=0的兩個(gè)虛數(shù)根為z1,【解題思路】根據(jù)Δ<0求出參數(shù)m的取值范圍，再由韋達(dá)定理及虛根成對原理求出z1，z2【解答過程】解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2?m+2x+m2+3m+1=0則Δ=(m+2)2?4(m所以z1+z根據(jù)虛根成對原理可得z1=z2，又因?yàn)閦1于是m+222+1=m2+3m+1故答案為：?4±2716．（4分）（2022春·上海浦東新·高一期末）以下四個(gè)命題中所有真命題的序號是（1）．（1）若z1、z2∈（2）若z1、z2∈（3）若z1、z2∈C，z1（4）若z1、z2∈C，z1【解題思路】設(shè)出復(fù)數(shù)z1、z2，由共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可判斷（1）、（2）；取特殊的復(fù)數(shù)z1【解答過程】設(shè)z1=a+bi,z=ac+bd+bc?ad對于（2），z1z12+2對于（3），取z1=i,z2=1+i，顯然滿足z對于（4），取z1=1+2i,z2=2+i，顯然滿足z故答案為：（1）.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)1+2i(2)5i(3)a+bi【解題思路】（1）（2）（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求解；【解答過程】(1)解：1+2i(2)解：5i(3)解：a+bi18．（6分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z，分別作出下列運(yùn)算的結(jié)果對應(yīng)的向量：（1）z+1；（2）z?i；（3）z+(?2+i).【解題思路】復(fù)數(shù)與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，根據(jù)平行四邊形法則作出相應(yīng)向量即可.【解答過程】（1）復(fù)數(shù)1與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A(1,0)一一對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示：（2）復(fù)數(shù)?i與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A(0,?1)一一對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示：（3）復(fù)數(shù)?2+i與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A(?2,1)一一對應(yīng)，利用平行四邊形法則作出所求向量如圖所示：19．（8分）（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z+z=8?4i，且z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程【解題思路】設(shè)z=a+bia,b∈R,根據(jù)條件求出z，由z和z為實(shí)系數(shù)一元二次方程【解答過程】設(shè)z=a+bia,b∈R，則得a2+所以z=3+4i，z=3?4i所以m=?z+20．（8分）（2022·高一單元測試）復(fù)數(shù)z=a+bia,b>0滿足(1)求復(fù)數(shù)z；(2)求z1?【解題思路】（1）由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，純虛數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的模長公式求解即可；（2）有復(fù)數(shù)的除法與乘方運(yùn)算求解即可【解答過程】（1）因?yàn)閦=a+bi所以z2則由題意可得：a2+b所以z=1+i（2）z1?21．（8分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)a1+b1i，a2+b2i，a3+b(1)z1(2)z1(3)z1【解題思路】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則即可證明（1）（2）（3）【解答過程】（1）z1z2則z1（2）z=az==a則z1（3）z=az===a則z122．（8分）（2022·高一單元測試）已知z為復(fù)數(shù)，ω=z+9(1)當(dāng)?2<ω<1