微積分期末復習-微分方程

第七章微分方程非線性方程1.可分離變量的微分方程如果一個一階微分方程能寫成的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含的函數(shù)和，另一端只含的函數(shù)和，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。將上式兩端積分，得，即可求出該方程的通解（隱式通解）。2.齊次微分方程如果微分方程中的函數(shù)可寫成的函數(shù)，即，則稱這方程為齊次方程。在齊次方程中，引進新的未知函數(shù)，則就可化為可分離變量的方程。齊次方程（課后及課件）復習題參考課后習題及課件例求微分方程通解。解:令，則，原方程化為，。（注：）線性方程3．一階線性微分方程方程叫做一階線性微分方程，通解為：其中積分號中不含常數(shù)C，當時，方程稱為一階線性齊次的，通解為：。例求微分方程的通解。解:此題把看作未知函數(shù)，看作自變量，再按照一階線性非齊次方程求解。此題微分方程為，，說明注意一階微分方程求解中的可同等看待，即對同一一階微分方程，可以把看作自變量，也可以把看作因變量，求解方法一樣。復習題參考課后習題及課件4．伯努利（Bernoulli）方程方程叫做伯努利（Bernoulli）方程。引入新的未知函數(shù)，那么通過上述代換便得一階線性非齊次方程，求出這方程的通解后，以代便得到伯努利方程的通解。復習題參考課后習題及課件練習：求方程的通解5.一階二階線性方程齊次與非齊次方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)及其求解（包括特解與通解）復習資料教材及課件二階線性微分方程二階線性微分方程的一般形式為：當方程右端時，方程叫做齊次的；當時，方程叫做非齊次的。1.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1如果函數(shù)與是方程的兩個解，那么也是該方程的解，其中、是任意常數(shù)。定理2如果與是方程的兩個線性無關(guān)的特解，那么（、是任意常數(shù)）就是該方程的通解。定理3設是二階非齊次線性方程的一個特解。是對應的齊次方程的通解，那么是二階非齊次線性微分方程的通解。定理4若與分別是方程與的特解，那么就是方程的特解。注意兩種特殊情況：2.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解，其中、是常數(shù)，則稱其為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。叫做微分方程的特征方程。特征方程的兩個根設為、，則微分方程的通解情況如下表：特征方程的根微分方程的通解實根3.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解，其中、是常數(shù)，稱其為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。若微分方程右端函數(shù)，其中是的一個次多項式，,則該微分方程具有特解：，其中是與同次（次）的多項式，而按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0、1或2。例1設線性無關(guān)的函數(shù)都是的解，是任意常數(shù)，則該方程的通解是。答：例2寫出微分方程的待定特解的形式解：設的特解為設的特解為則所求特解為，特征根，（重根）練習求微分方程的通解例3若滿足，則可微函數(shù)=解：等式求導，得，是一元線性非齊次微分方程，即，又因為，所以所以例4．求滿足方程。解：，得到，代入一階線性非齊次方程通解公式，又，因此例5．能夠通過方程的解求方程解：（１）由題設可得：解此方程組，得（２）原方程為所以補充：高階微分方程求解例1求方程的通解.解：特征方程即特征根二重根，微分方程通解例2寫出微分方程的待定特解的形式解：設的特解為設的特解為則所求特解為對應齊次方程為特征方程為，特征根是二重根，所以設，于是待定特解的形式為例3求下列高階常系數(shù)非齊次線性微分方程的初值問題：（1），；（2），.分析：求高階常系數(shù)非齊次線性微分方程的方法同二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的方法一樣.解：（1）方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，，，。因此齊次方程的通解為.在中，由于是相應齊次方程的特征根，因此它有形如的特解，將它代入中，注意到，，因此，有特解，其通解為將初值條件代入通解中可得由此可求得，，所求初值問題的解為.（2）方程對應的齊次方程為，它的特征方程為