江蘇省南京市2024年高二年級(jí)上期中模擬測（數(shù)學(xué)）含答案

2024年高二年級(jí)上期中模擬測（數(shù)學(xué)）2024年10月28日一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的模（）A. B.1 C. D.5【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由，得，所以.故選：B.2.設(shè)，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系求式子的取值范圍.【詳解】如圖：問題轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)時(shí)，直線斜率的取值范圍.因?yàn)?，，且?dāng)傾斜角是銳角時(shí)，，隨著傾斜角的增大，斜率增大；當(dāng)傾斜角是鈍角時(shí)，，隨著傾斜角的增大，斜率增大.所以斜率的取值范圍是：或.故選：C3.已知直線在軸、軸上的截距相等，則直線與直線間的距離為（）A. B. C.或 D.0或【答案】A【解析】【分析】由題意利用直線的截距的定義求得m的值，再利用兩條平行線之間的距離公式，計(jì)算即可．【詳解】直線在軸、軸上的截距相等，令，得，令，得，所以，解得，故直線，即，化簡為，則直線與直線間的距離為故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的截距的定義，兩條平行線之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．4.已知向量，滿足，，，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定義計(jì)算即可求得在方向上的投影向量.【詳解】因?yàn)椋?，，，所以，所以在方向上的投影向量為．故選：C.5.在中，角所對的邊分別是，已知，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大內(nèi)角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理可得，再利用基本不等式求的最小值以及成立的條件，再根據(jù)余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，可得，即，由正弦定理可得，又因，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，若取得最小值，則，此時(shí)最大角為角A，，所以的最大內(nèi)角的余弦值是.故選：C.6.如圖，太陽灶是一種將太陽光反射至一點(diǎn)用來加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，已知太陽灶的口徑（直徑）為4m，深度為0.5m，則該拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（）A.0.25m B.0.5m C.1m D.2m【答案】D【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，求出拋物線方程即可求解.【詳解】以該拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)此拋物線方程為，依題意點(diǎn)在此拋物線上，所以，解得，則該拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.故選：D7.已知直線，圓，若直線上存在兩點(diǎn)，圓上存在點(diǎn)，使得，且，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為圓心在直線上且半徑為的動(dòng)圓與圓有交點(diǎn)，分直線與圓的位置關(guān)系討論，利用圓心到直線的距離即可得解.【詳解】若直線上存在兩點(diǎn)，圓上存在點(diǎn)，使得，且，則條件等價(jià)于圓心（設(shè)為D）在直線上且半徑為的動(dòng)圓與圓有交點(diǎn)，圓的圓心為到直線的距離，當(dāng)圓與直線相離時(shí)，即時(shí)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的最小距離為，此時(shí)只需滿足即可，所以；當(dāng)時(shí)，圓與直線有交點(diǎn)，此時(shí)圓和直線上一定分別存在點(diǎn)，使得，符合題意.綜上，.故選：C.8.如圖，雙曲線左右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與該雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)（在線段上），⊙與⊙分別為與的內(nèi)切圓，其半徑分別為、，則的取值范圍是：（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)而可得.可求得，進(jìn)而求得的范圍即可.【詳解】設(shè)，，，.在△與△中：，即：，，當(dāng)雙曲線的斜率為正的漸近線時(shí)，取最大，此時(shí)，，當(dāng)與軸重合時(shí)，取最小，此時(shí)，經(jīng)上述分析得：，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題，考查焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓，解題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的性和圓的切線的性質(zhì)得到的范圍，數(shù)形結(jié)合的思的應(yīng)用.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對得6分，部分選對得部分分．9.設(shè)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，若線段的中點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則（）A. B.點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2C. D.直線的方程為【答案】AC【解析】【分析】焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，由拋物線定義可列方程解得，即可依次求得、，即可求解.【詳解】由題意得，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)的坐標(biāo)為，由為的中點(diǎn)得，，即由點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，得，解得，故A正確；則拋物線為，，則，故，所以的坐標(biāo)為0,2或，故B錯(cuò)誤；的面積為，故C正確；由、M0,2或知，直線的方程為，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知曲線．點(diǎn)，，則以下說法正確的是（）A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱B.曲線C存在點(diǎn)P，使得C.直線與曲線C沒有交點(diǎn)D.點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q向作垂線，垂足分別為A，B，則【答案】CD【解析】【分析】分的零的大小討論，得到曲線方程，并畫出圖形，由對稱性可得A錯(cuò)誤；由雙曲線的定義可得B錯(cuò)誤；由漸近線方程可得C正確；由點(diǎn)到直線的距離公式可得D正確；【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線，即；當(dāng)時(shí)，曲線，即；不存在；時(shí)，曲線，即；時(shí)，曲線，即；畫出圖形如下：對于A，由圖可得A錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤；對于B，方程是以為上下焦點(diǎn)的雙曲線，當(dāng)時(shí)，曲線C存在點(diǎn)P，使得，故B錯(cuò)誤；對于C，一三象限曲線的漸近線方程為，所以直線與曲線C沒有交點(diǎn)，故C正確；對于D，設(shè)，設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線，則由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，所以，又點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，代入曲線方程可得，故D正確；故選：CD.11.已知正方體的棱長為1，M為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，N為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.若，則M的軌跡長度為B.若，則到直線的距離的最小值為C.若，則，且直線平面D.若，則與平面所成角正弦的最小值為【答案】BD【解析】【分析】分析點(diǎn)軌跡，求出軌跡長度，可判斷A的真假；根據(jù)直線與圓上的點(diǎn)的距離范圍可判斷B的真假；根據(jù)面面平行，可證線面平行，判斷C的真假；根據(jù)線面角的概念求線面角正弦的最小值.【詳解】如圖：對A：因?yàn)?，所以，即點(diǎn)的軌跡是在平面內(nèi)，以為圓心，以為半徑的圓的，故M的軌跡長度為：，故A正確；對B：由A知：點(diǎn)的軌跡是在平面內(nèi)，以為圓心，以為半徑的圓的一部分，且點(diǎn)到直線的距離為，所以到直線的距離的最小值為，故B錯(cuò)誤；對C：根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知平面，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，所以平面；又根?jù)正方體的性質(zhì)，平面平面，所以平面.故C正確；對D：設(shè)到平面的距離為，則，又，，所以.設(shè)與平面所成角為，則又,所以，故D錯(cuò)誤.故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何線面角求解方法：（1）作出輔助線，找到線面角，并結(jié)合余弦定理或勾股定理進(jìn)行求解.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量相關(guān)公式求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)(3,4)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)垂直和中點(diǎn)列方程組可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)（3，4）關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：13.已知，是圓：（為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圓的一般方程寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到圓心坐標(biāo)和半徑，利用中垂線的性質(zhì)和橢圓的定義得到該點(diǎn)的軌跡形狀，再進(jìn)一步求出軌跡方程.【詳解】連接、、，則；將化為，即，，所以，故的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，故的軌跡方程為.故答案為：.14.如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個(gè)問題進(jìn)行過研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性．在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于E，F(xiàn)，在截口曲線上任取一點(diǎn)A，過A作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于C，B，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓．如圖②，一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求出，得出離心率.【詳解】切于,切于E，，球半徑為2，所以，，，中，，，故,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)知：球O與相切的切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且，,c=4，橢圓的離心率為.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題要求有一定的空間圖形辨別能力，能從整體上認(rèn)識(shí)圖形，并且對圓錐曲線的來源有一定的認(rèn)識(shí)，借助平面圖形來求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某學(xué)校為了解本校身體素質(zhì)情況，分別從男生中隨機(jī)抽取人的體育測試成績得到樣本甲，從女生中隨機(jī)抽取人的體育測試成績得到樣本乙，根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖.已知乙樣本中數(shù)據(jù)在的有個(gè).（1）求和乙樣本直方圖中的值；（2）試估計(jì)該校女生本次體育測試成績的平均值和男生本次體育測試成績的上四分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）；（3）采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中抽取人，并從這人中任取人，求這兩人分?jǐn)?shù)都在中的概率.【答案】（1），（2）平均值為，四分位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖得乙樣本中數(shù)據(jù)在的頻率為，這個(gè)組學(xué)生有人，由此能求出，由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖能求出；（2）利用乙樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖，即可求出該校女生本次體育測試成績的平均值，利用甲樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖可求出男生本次體育測試成績的上四分位數(shù)；（3）由頻率分布直方圖可知從分?jǐn)?shù)在中人數(shù)分別為：人，人，人，利用列舉法，求出基本事件的個(gè)數(shù)及分?jǐn)?shù)都在中的個(gè)數(shù)，再利用古典概率公式，即可求解．【小問1詳解】由題有，解得，又由，得到.【小問2詳解】由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖知，該校女生本次體育測試成績的平均值為，設(shè)男生本次體育測試成績的上四分位數(shù)為，由甲樣本數(shù)據(jù)直方圖知，，解得.小問3詳解】甲樣本數(shù)據(jù)直方圖知的樣本比為：，所以抽取的人中，分?jǐn)?shù)在中人數(shù)分別為：人，人，人，將從分?jǐn)?shù)在中抽取的名學(xué)生記為，將從分?jǐn)?shù)在中抽取的名學(xué)生記為，將從分?jǐn)?shù)在中抽取的名學(xué)生記為，則從這人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有：，，共計(jì)個(gè)，又兩人分?jǐn)?shù)都在中的有，共計(jì)個(gè)，所以這兩人分?jǐn)?shù)都在中的概率為.16.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面平面，為等腰直角三角形，，，為的中點(diǎn)．（1）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面PAD？若存在，請說明理由；（2）求四面體的體積．【答案】（1）在上存在一點(diǎn)，且F為的中點(diǎn)，使得平面PAD（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，可說明四邊形是平行四邊形，即可解決問題；（2）取AD的中點(diǎn)H，先證得平面ABCD．再通過等體積即可求解.【小問1詳解】在上存在一點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，使得平面．理由如下：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接．為的中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，．平面，平面，平面．【小問2詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接．為等腰直角三角形，，．平面平面，平面平面，平面，平面．又為的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于的一半，又，，，點(diǎn)到平面的距離等于．在菱形中，，．，，，四面體的體積為．17.在中，，.（1）求的值；（2）若，求的面積;（3）設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，，，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到，再由，利用兩角差的余弦公式展開，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；（2）由余弦定理求出、，再由面積公式計(jì)算可得；（3）在中，設(shè)，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，即可得解.【小問1詳解】在中由正弦定理，又，所以，又，所以，所以，即，即，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，在中由余弦定理，即，解得（?fù)值已舍去），則，所以；【小問3詳解】在中，設(shè)，令，則，，在中，可得，，由正弦定理，得，所以，可得，即．18.已知圓．（1）過點(diǎn)作圓C的切線l，求l的方程；（2）若直線AB方程為與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求．（3）在（2）的前提下，若點(diǎn)Q是圓上的點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）討論切線l斜率是否存在設(shè)方程，利用相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑列關(guān)系計(jì)算即得結(jié)果.（2）計(jì)算到直線AB的距離d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦長.（3）求出點(diǎn)到直線的距離最大值，再求出三角形面積.【小問1詳解