海南省?？谑?025屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁海口市2025屆高三摸底考試數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合，即可根據(jù)交運算求解.【詳解】由于，故，故，故選：D2.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的共線的坐標(biāo)關(guān)系，即可根據(jù)充要條件的定義判斷.詳解】由，，若，則，解得，故“”是“”的充要條件，故選：C3.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)為負即可求解.【詳解】的定義域為0,+∞，，令，解得，故單調(diào)遞減區(qū)間為0,1，故選：B4.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷與的大小關(guān)系，然后計算即可.詳解】由題可知，，故故選：A5.?？谑凶鳛槭着皣H濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨特的生態(tài)環(huán)境，?？谑心持袑W(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組計劃利用5月1日至5月5日共5天假期實地考察美舍河濕地公園、五源河濕地公園、三江紅樹林濕地公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個濕地公園，每天考察1個，其中對美舍河濕地公園的考察安排在5月1日或5月2日，則不同的考察安排方法有（）A.24種 B.48種 C.98種 D.120種【答案】B【解析】【分析】先排特殊，再一般，最后按照計數(shù)原理計算即可.【詳解】先安排美舍河濕地公園的考察時間，方式有種；再安排剩下四天的行程有，所以一共有種安排方法.故選：B6.如圖，在平面四邊形中，與交于點，且，，，剪去，將沿翻折，沿翻折，使點與點重合于點，則翻折后的三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得兩兩垂直，再補形成長方體，借助長方體求出球的表面積.【詳解】依題意，在三棱錐中，，因此三棱錐可以補形成以為共點三條棱的長方體，該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)球半徑為，則，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C7.已知是拋物線上的動點，則點到直線的距離的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，利用點到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的最值可求得點到直線的距離的最小值.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，則點到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.所以，點到直線的距離的最小值是.故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可將問題轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】記，則，故為的奇函數(shù)，又，因此為上的單調(diào)遞增函數(shù)，因為，由可得，進而，故，解得，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某校為了解學(xué)生的身體狀況，隨機抽取了50名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學(xué)生的體重數(shù)據(jù)（單位：千克）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.頻率分布直方圖中的值為0.04B.這50名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5C.該校學(xué)生體重的上四分位數(shù)約為61.25D.這50名學(xué)生中體重不低于65千克的人數(shù)約為10【答案】ABC【解析】【分析】利用頻率之和為1可判斷選項A，利用頻率分布直方圖中眾數(shù)的計算方法求解眾數(shù)，即可判斷選項B，由分位數(shù)的計算方法求解，即可判斷選項C，利用頻率即可計算個數(shù)求解D.【詳解】由，解得，故選項A正確；50名學(xué)生體重的眾數(shù)約為，故選項B正確；因為體重不低于60千克的頻率為0.3，而體重在,的頻率為，所以計該校學(xué)生體重的分位數(shù)約為，故選項C正確．體重不低于65千克的頻率為，所以這50名學(xué)生中體重不低于65千克的人數(shù)為人，故選項D錯誤；故選：ABC．10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（）A.B.C.關(guān)于對稱D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)可得，代入最高點可得，進而求出函數(shù)的表達式，即可判斷AB，代入驗證即可判斷C，根據(jù)平移即可求解D.【詳解】由圖象可知，，解得，，又，所以，即，結(jié)合，可知，得的表達式為，故A正確，B錯誤，對于C，由于，即的圖象關(guān)于對稱，故C正確；對于D，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)，故D錯誤．故選：AC．11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點，，直線，相交于點，且直線與直線的斜率之積為，其中，．下列選項正確的是（）A.當(dāng)時，動點的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓，且除去，兩點B.當(dāng)時，動點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線，且除去，兩點C.當(dāng)且時，動點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且除去，兩點D.當(dāng)，時，動點的軌跡為曲線，過點且傾斜角為的直線與曲線交于，兩點，則【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)點，顯然，，，然后根據(jù)不同選項的情況判斷即可.【詳解】設(shè)點，顯然，，當(dāng)時，得且，，所以有動點的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓，且除去，兩點，故選項A正確；當(dāng)時，有，顯然因為，，所以動點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線，且除去，兩點，故選項B正確；當(dāng)且時，顯然，，，得當(dāng)，即時，得動點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且除去，兩點；當(dāng)，即時，得動點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且除去，兩點，故選項C錯誤；當(dāng)，時，得動點的軌跡為曲線的方程為，過點且傾斜角為的直線方程為設(shè)，聯(lián)立方程，，化簡得得利用韋達定理可知所以，故選項D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______．【答案】3【解析】【分析】利用指數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】由題可知故答案為：313.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，且，則______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解.【詳解】由以及正弦定理可得，故，即，故.故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在唯一的負整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時，由可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，由可得，則，令，其中，則，當(dāng)時，令，可得，列表如下：增極大值減且，，，，如圖所示：要使得存在唯一的負整數(shù)，使得，即，只需，即，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記為數(shù)列的前項和，已知．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，可求出的值；令，由可得，兩個等式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法可求得.【小問1詳解】解：因為為數(shù)列的前項和，且，當(dāng)時，則有，解得；當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，整理得，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，.【小問2詳解】解：因為，所以，.16.如圖，在正四棱柱中，，點滿足，是的中點．（1）證明：過、、三點的平面截正四棱柱所得的截面為梯形；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面交棱于點，利用面面平行的性質(zhì)可得出，根據(jù)求出的值，可得出，由此可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角的正弦值.【小問1詳解】證明：在正四棱柱中，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面交棱于點，設(shè)，則、、，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，因為，，因為，設(shè)，即，所以，，解得，所以，，即且，因此，過、、三點的平面截正四棱柱所得的截面為梯形.【小問2詳解】解：因為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，則，，所以，，易知平面的一個法向量為n=0,1,0所以，，所以，，因此，二面角正弦值為.17.制定適合自己的學(xué)習(xí)計劃并在學(xué)習(xí)過程中根據(jù)自己的實際情況有效地安排和調(diào)整學(xué)習(xí)方法是一種有效的學(xué)習(xí)策略．某教師為研究學(xué)生制定學(xué)習(xí)計劃并堅持實施和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：

成績分成績分合計制定學(xué)習(xí)計劃并堅持實施沒有制定學(xué)習(xí)計劃合計50（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“制定學(xué)習(xí)計劃并堅持實施”和“數(shù)學(xué)成績高于分”有關(guān)聯(lián)？（2）若該校高三年級每月進行一次月考，該校學(xué)生小明在高三開學(xué)初認真制定了學(xué)習(xí)計劃，其中一項要求自己每天要把錯題至少重做一遍，做對為止．以下為小明堅持實施計劃的月份和他在學(xué)校數(shù)學(xué)月考成績的校內(nèi)名次數(shù)據(jù)：月考時間月初月初次年月初次年月初次年月初時間代碼月考校內(nèi)名次參考數(shù)據(jù)：，．（?。┣笤驴夹?nèi)名次與時間代碼的線性回歸方程；（ⅱ）該校老師給出了上一年該校學(xué)生高考（月初考試）數(shù)學(xué)成績在校內(nèi)的名次和在全省名次的部分數(shù)據(jù)：校內(nèi)名次全省名次利用數(shù)據(jù)分析軟件，根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出了兩個回歸模型和決定系數(shù)：模型①模型②在以上兩個模型中選擇“較好”模型（說明理由），并結(jié)合問題（?。┑幕貧w方程，依據(jù)“較好”模型預(yù)測小明如果能堅持實施學(xué)習(xí)計劃，他在次年高考中數(shù)學(xué)成績的全省名次（名次均保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）附：（ii），其中．（i）對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．【答案】（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認為“制定學(xué)習(xí)計劃并堅持實施”和“數(shù)學(xué)成績高于分”有關(guān)聯(lián)（2）（?。?，（ⅱ）模型②較好，全省名次預(yù)測為【解析】【分析】（1）計算卡方，即可與臨界值比較作答，（2）根據(jù)最小二乘法即可求解回歸方程，利用決定系數(shù)的大小比較即可選擇模型②，代入方程即可求解名次.【小問1詳解】零假設(shè)：制定學(xué)習(xí)計劃并堅持實施和數(shù)學(xué)成績高于分沒有關(guān)聯(lián)因為，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為不成立，即認為“制定學(xué)習(xí)計劃并堅持實施”和“數(shù)學(xué)成績高于120分”有關(guān)聯(lián)【小問2詳解】（?。?，，，．回歸直線方程為，模型②較好，由于模型②與模型①相比較，模型②決定系數(shù)大于模型①，因此擬合效果更好，由于回歸直線方程為，當(dāng)六月初月考時，，小明的月考校內(nèi)名次預(yù)測值為，故省內(nèi)排名預(yù)測為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有兩個不同的零點，，求的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，即可求解，（2）求導(dǎo)，對進行討論，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，（3）將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，即可利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，故，故y=fx在處的切線方程為【小問2詳解】，當(dāng)時，令f′x>0，解得或，令f′x<0故此時在單調(diào)遞增，在的單調(diào)遞減，當(dāng)時，f′x≥0在0,+∞上恒成立，故此時在當(dāng)時，令f′x>0，解得或，令f′x<0故此時在單調(diào)遞增，在的單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，令f′x>0，解得，令f′x故此時在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，【小問3詳解】，令，則，記，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故?x在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，當(dāng)時?x>0恒成立，要使有兩個零點，則由兩個交點，故，解得19.對于二次曲線，我們有：若是曲線上的一點，則過點與曲線相切的直線方程為．已知橢圓，，動圓，點是與在第一象限的交點．（1）求橢圓的離心率；（2）過點作動圓的切線，經(jīng)過橢圓的右焦點，求與滿足的關(guān)系式；（3）若，直線與，均相切，切點在上，切點在上，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用橢圓離心率公式計