河北省重點(diǎn)高中2024屆高三年級下冊5月模擬考試數(shù)學(xué)試題（二）（解析版）

河北省重點(diǎn)高中2024屆高三下學(xué)期5月模擬考試

數(shù)學(xué)試題（二）

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A=W葉T相I而口，則）

A.（癡,+oo）B.[3,婀

C.[3,+00）D.（-710,3]

K答案』B

R解析H由|x-1+|尤+2以（x-1）-（尤+2）|=3,

當(dāng)且僅當(dāng)（X—l）（x+2）W0,即—24x41時，等號成立，得4=[3,+8）；

由10-/>o^-Vio<x<A/W.即§=卜\/15,"3）.

故選：B.

7-1-31

2.已知復(fù)數(shù)2=l+i,貝（=（）

z+1

K答案1B

K解析X由z=l+i可得z=l-i，

、z+3i_l+2i_（l+2i）（2-i）_2-i+4i-2i2_4+3i_43.

所以z+]—2+i—（2+i）（2—i）-5~~5+5lf

故選：B.

3.已知圓。的半徑為2,弦MN的長為2石，若2旃=兩，則礪?麗=（）

A.-4B.-2C.2D.4

（答案》B

k解析力如圖，設(shè)肱V的中點(diǎn)為。，連接。。，則OQLMN.由|而H函=2,

\MN\=273,得|MQ|=G,QQ|=I,

所以NOMQ=W，|赤卜半，所以|PQ|=￥，

所以NPOQ=9,所以NPOM=殳,|而|=氈,

66113

所以礪.麗=—?.麗=—|兩'礪kos6=—2x^-x+=—2.

11

4.已知數(shù)列｛%｝滿足/+1—，若。[=一，則出023=()

1

A.2B.-2C.-1D.-

2

(答案UD

11

K解析》因為4+1=^——，%=—,

1-42

a=1=^—=211111

所以2]_%，?3-------?4=---------=,/=7,

11=^-=-1,n

1-—]-。2121-^31-(-1)2

所以數(shù)列｛%｝的周期為3.

1

所以/023=a3x674+1=%

2

故選:D.

5.已知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)/'（x）=（x+2乂V+x+時，若函數(shù)〃尤）有一極大值點(diǎn)為

一2，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.(-2,+oo)B.(-4,-2]

—GO,D.(-co,-2

(答案』D

I［解析U由題意/'(x)=(x+2)(尤2+%+時，令8(%)=*+*+7“，

若g(x)20恒成立，易知:當(dāng)xe(—8,—2)時r(x)WO,當(dāng)2,”)時/'(020,

所以-2是/(尤)的極小值點(diǎn)，不合題意，故g(x)有兩個不同零點(diǎn).

，

設(shè)g(x)的兩個零點(diǎn)分別為七,%(石<%)，則/(X)=(A:-^)(X+2)(X-X2),

結(jié)合三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：%!<-2<x2,

,

在(-co,%)、(-2,X2)±/(X)<0,/(無)單調(diào)遞減，在(%,-2)、(x2,+co)±

r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，—2是/(X)的極大值點(diǎn)，符合題意，

此時需g(—2)=2+加<0,得m<—2,所以實數(shù)機(jī)的取值范圍為(—，―2).

故選：D.

6.已知實數(shù)。>〃>0,則下列選項可作為。―》<1的充分條件的是()

A.4a-y［b-1B.

ba2

ab

C.2-2=ID.log2?-log2/7=l

k答案』C

K解析U取a=4,b=l,滿足G-腦=1，但是推不出。一》<1,故排除A；

取a=2,b=l,滿足工—工=工，但是推不出a—》<1,故排除B；

ba2

取。=4,b=2,滿足Iog2a-log2》=l,但是推不出a—》<1,故排除D；

由2。一2"=1，a>b>0,可推出2"=2"+l<2"i，即a<〃+l，即。一5<1,故充分

性成立.故選：C.

7.已知四面體ABCD滿足

兀11

ZBAC=cos^CAD=cos^DAB=-,AB=2,AC=3,AD=2,則點(diǎn)A到平面

334

BCD的距離為()

A.立B.-C.拒D.

222

［答案XD

k解析》因為四面體A5CD滿足

兀11

ZBAC=-,cosZCAD=-,cosZDAB=-,AB=2,AC=3,AD=2,

334

可得通."=3,而.亞=2,亞.初=1,

設(shè)平面BCD的一個法向量n=xAB+yAC+zAD，

"BC=1AB+yAC+zAD).(AC-AB)=-x+6y+z=

-BD=^xAB+yAC+zAD^-^AD—AB^=—3x—y+3z=

令z=l,解得x=Ly=。，所以］=荏+蒞，

所以W=yjAB2+AD2+2AB-ADcos^BAD=題?萬=4+1=5,

|AB?同5JFQ

設(shè)點(diǎn)A到平面5。。的距離為。，則。=^^=二="_.

\n\V102

故選：D.

8.在邊長為4的正方體鈣。一4耳012中，點(diǎn)石是8。的中點(diǎn)，點(diǎn)「是側(cè)面4544內(nèi)

的動點(diǎn)（含四條邊），且tan/APD=4tanNEPfi,則尸的軌跡長度為（）

兀2兀4兀8兀

A.-B.――C.—D.—

9999

［答案XD

k解析》在長方體ABC。—中，由于平面AA3與，Cfi_L平面

在RtZXEW和Rt^PBC中，tan/4PD=^—，tanZEPB=—,

APPB

■.■tanZAPD=4tanZEPB,BE=-BC=-AD,:.PA=-PB,

222

在平面A551A，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,A4,為無,y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)

系，

設(shè)尸(羽y),則4(0,0),8(4,0),

則由PA=gpB可得Jx2+y2=gj(x_4/+y2,化簡可得［工+：］+9=^，

由于xN0,y20,故P的軌跡表示圓心在［-。刀）半徑為r=|的圓在第一象限的弧

長，

由于故=因此軌跡為=1所對弧長，故長度為

兀88兀

—x—=—,

339

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.甲袋中有20個紅球.10個白球，乙袋中紅球、白球各有10個，兩袋中的球除了顏色有

差別外，再沒有其他差別.現(xiàn)在從兩袋中各換出1個球，下列結(jié)論正確的是（）

A.2個球都是紅球的概率為-

3

B.2個球中恰有1個紅球的概率為工

2

c.不都是紅球的概率為2

3

D,都不是紅球的概率為2

3

（答案XABC

k解析》記事件A：從甲袋中任取1個球為紅球，事件4：從乙袋中任取1個球為紅

球，

則P（A）=；P（4）=；,

對于A選項，即求事件44的概率，尸（A&）=尸（A）p（&）=g,所以A正確；

對于B選項，即求事件A4+A4的概率，

尸（A無+4&）=尸⑷尸（無）+尸閭尸（4）=|x[i_；]+[i一|>；=1.所以B正確,

對于c選項，由于“都是紅球”與“不都是紅球”互為對立事件，

所以概率為1—P（A4）=I—；=|，c正確；

對于D選項，即求事件入氐的概率，P（44）=[I—|]X]—￡|=：，所以D錯誤.

故選：ABC.

10.如圖所示，有一個棱長為4的正四面體P-ABC容器，。是PB的中點(diǎn)，E是CD上

的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.直線AE與P3所成的角為四

2

B.AABE的周長最小值為4+衣

c.如果在這個容器中放入1個小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為好

3

D.如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為

2娓-2

5

K答案》ACD

K解析UA選項，連接AD,由于。為PB的中點(diǎn)，

所以P3_LC￡),PB±AD，

又AD,C￡>u平面A8,

所以直線尸3_L平面ACD,又AEu平面ACD,

所以P_B_LAE,故A正確；

B選項，把AACD沿著CD展開與平面瓦）。同一個平面內(nèi)，連接AB交CD于點(diǎn)E，

則AE+BE的最小值即為AB的長,

由于AC=4,

cosNADB=cosl|+ZADCj=-sinZADC=

所以AB?=BD2+AD2-2.BD-ADcosZADB=

C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內(nèi)切球,

設(shè)球心為。，取AC的中點(diǎn)加，連接過點(diǎn)P作PR垂直于3M于點(diǎn)尸,

則尸為VABC的中心，點(diǎn)。在PF上，過點(diǎn)。作ON,于點(diǎn)N,

因為AM=2,AB=4,所以={AB?-AM?=2也，同理尸河=26,

則板=J3〃=^^,故PF=dPM，-MF?=，

333

設(shè)OF=ON=R,故OP=PF-OF=^~-R,

3

4瓜p

ONOPR丁一R

因為&PNOsAPFM,所以——即—~r=-----T—'

FM~PM2V32V3

a

解得R=K5,C正確;

3

p

D選項，4個小球分兩層（1個，3個）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則4個小球外切，

且小球與三個平面相切，

設(shè)小球半徑為r,四個小球球心連線是棱長為2r的正四面體。

由C選項可知，其高為亞廠，

3

由C選項可知，PR是正四面體P-ABC的高，PR過點(diǎn)。且與平面VKG交于S,與平

面印J交于Z,

則。5=乎廠，SF=r,

由C選項可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的J得，如圖正四面體尸―H〃中，

4

QZ=r,QP=3r,

正四面體P—ABC高為3廠+友r+r=^x4,解得廠=2區(qū)二2,D正確.

335

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/(尤)滿足：①對任意x,yeR,

f(Jc+y)+f(x)+f(y)=f(x)-f(y)+2；②若x/y,則則()

A./(O)的值為2B./(%)+/(-%)>4

C.若/⑴=3,貝I/⑶=9D.若〃4)=10,貝!]/(—2)=4

K答案』ABC

K解析X對于A,令x=y=o,得3/(0)=[/(0)1+2,解得/(0)=1或/(0)=2,

若"0)=1,令y=0,得2〃x)+l=〃x)+2,即/(九)三1,

但這與②若則/(尤卜/(日矛盾，

所以只能/'(0)=2,故A正確；

對于B,令丁=-x,結(jié)合/(0)=2得,

f(x)+/(-x)=/(x)-/(-x)<”)，

解得/(x)+/(—x)N4或/■(x)+/(_x)KO,

又/⑼=2,所以27?⑼=4>0,

所以只能/'(xH"—1)24,故B正確；

對于C,若/。)=3,令y=l得，/(x+l)+/(x)+3=3/(x)+2,

所以/(x+l)=2/(x)—1,所以/■⑵=2/(1)—1=6—1=5,

所以/■⑶=2/(2)—1=10—1=9,故C正確;

對于D,取〃x)=(6)+1,

則/?⑴"⑴+2=[(可+1][(可+1卜2=陵廠+⑹+(可+3

=/(x+y)+/(x)+/(y)且"x)=(6『+i單調(diào)遞增，

滿足"4)=10,但〃-2)=g,故D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/.斜率為后的直線經(jīng)過焦點(diǎn)產(chǎn)，

交C于點(diǎn)A,交準(zhǔn)線/于點(diǎn)B(A,8在x軸的兩側(cè))，若|A31=16,則拋物線C的方程

為.

K答案Hy2=8x

(解析力拋物線。：/=2°以°>0)的焦點(diǎn)為廠已,0],準(zhǔn)線方程為x=-g

依題意直線I的方程為y=

令x=-]■可得y=-Gp,即T，—Gp),

1、3

=2px，解得x=：p或x=7；P，

62

3（3

又A,8在x軸的兩側(cè)，所以則丁從二6。，所以A],。,

所以|AB|二J（/_切+上島一上6二16，解得P=4或夕=一4（舍去）,

所以拋物線C的方程為y2=8x.

13.關(guān)于雙曲線C：5一馬=1（?！?力〉0），四位同學(xué)給出了四個說法：

a~b

小明：雙曲線C的實軸長為8；

小紅：雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3；

3

小強(qiáng)：雙曲線C的離心率為一；

2

小同：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為1；

若這4位同學(xué)中只有1位同學(xué)的說法錯誤，則說法錯誤的是；雙曲線C的方程為

.（第一空的橫線上填“小明”、“小紅”、“小強(qiáng)”或“小同”）

22

[答案》小強(qiáng)土-工=1

169

c3

k解析》由題意，小明正確則有。=4,小紅正確有b=3,小強(qiáng)正確有一=—,小同正

a2

確則有c—a=l,

由此分析小明、小紅、小強(qiáng)三個人中必有1位同學(xué)說法錯誤，則小同的說法一定是正確

的，

22

即c—。=1,則小明和小紅正確，即雙曲線C：---工=1,故小強(qiáng)的說法錯誤.

169

14.設(shè)A,B,C,。為平面內(nèi)四點(diǎn)，已知|初|=2,|定|=1,而與就的夾角為60°，

M為A8的中點(diǎn)，|說1=1,則玄.礪的最大值為

3

《答案》-

2

K解析X以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，過河作的垂線為V軸建立平面直角坐

標(biāo)系，如圖所不，

因為|無豆1=2,|恁1=1,荏與近的夾角為60。，

l+4-2xlx2x；

-2ACAB=布,

由于=3。2+4。2,故6C，AC,所以c(_g,當(dāng))，

因為/為AB的中點(diǎn)，|礪|=1,所以。在以"為圓心，半徑為1的圓上,

設(shè)D(cos0,sin夕),。e[0,2兀),

則/=(1,#),AD=(l+cos6>,sin6i),

WAC-AD=—+—cos0+—sin0=—+sin(6>+—)，

22226

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，已知多面體ABC—4用￡，44月民GC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AA=4,￡C=1,AB=BC=與3=2.

（1）求證：A及1?平面A4G；

（2）求直線AG與平面A34所成角的正弦值.

（1）證明：[方法一]:幾何法

由AB=2,AA]=4,BB]=2,AA^J_AB,BB]J_AB得-A4=2A,

所以A42+AB]2=A4]2,即有A與，A4.

由3c=2,BB1=2,CCi=l,BBl工BC,CC［工BC得BCi=布,

由A3=3C=2,ZA3C=120。得AC=26，

由CG，AC,得AG=JB,所以4哥+4。：=公。2，即有4片，耳￡,又

與與，因此平面

4n31G=AB}1444.

［方法二］:向量法

如圖，以AC的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以射線08,0c為x,y軸的正半軸，建立空間直角

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

A(0,-Ao),B(1,0,0),A(o,-V3,4),B,(1,0,2),Cx(0,Al),

因此函=(1,若,2),M=(1,73,-2),而=(0,2g,—3),

由福瓦=0得人耳，A片；由福?胡=0得A用，4G，

所以A5i，平面44G.

(2)解：［方法一］:定義法

如圖，過點(diǎn)q作4瓦，交直線4用于點(diǎn)。，連結(jié)AO.

由ABX1平面44cl得平面451cl1平面ABB,,

由C［D，44得GD1平面ABB,,

所以NG是AG與平面ABB,所成的角.

由4G=6,A4=20,AG=?得cos/q,sin/qA5=喪，

所以GD=g，故5布/。［4。=2=叵

1'AC,13

因此，直線AC1與平面河4所成的角的正弦值是普.

［方法二］:向量法

設(shè)直線AG與平面ABB1所成的角為夕

由(I)可知AQ=(0,2A/3,1),AB=(1,g,0),函=(0,0,2),

設(shè)平面A34的法向量"=（x,y,z）?

h-AB=Q；+q，=°,可取萬=（一0,1,0）,

由＜_,即

0

in-BB,1=

所以sin9=cos(AC”為

廣陽U利-13

因此，直線AC】與平面耳所成的角的正弦值是叵.

13

［方法三］:【最優(yōu)解】定義法+等積法

設(shè)直線ACi與平面山珥所成角為。，點(diǎn)Ci到平面AB四距離為d（下同）.因為〃平

面始，所以點(diǎn)C到平面用的距離等于點(diǎn)G到平面"4的距離.由條件易得，點(diǎn)C

到平面AB4的距離等于點(diǎn)。到直線AB的距離，而點(diǎn)C到直線A3的距離為行，所以

廠dV39

d=?故sin3=-----=I——=------.

AQV1313

［方法四］:定義法+等積法

設(shè)直線AG與平面AB4所成的角為。，由條件易得

A4=2形,4G=6,46=7^1,所以

4年+8。：—4G2TioV15

cosN24131G=2A4g-一行‘因此sm幺與a=可

于是得黑妙￡=耳?遙，易得

g44cl-sin44G=5AAABI=4

11廠

由％-2烏=匕-AB?得-,AB],解得d=6.

故sine=X-=￡=叵.

AC,屈13

［方法五］:三正弦定理的應(yīng)用

7T

設(shè)直線AQ與平面ABB.所成的角為0,易知二面角Q-AA.-B的平面角為NA4C=-

6

2G

易得sin/GM=奈

所以由三正弦定理得sin6=sinZC,AA-sinABAC=汨x-=—

而213

［方法六］:三余弦定理的應(yīng)用

設(shè)直線ACi與平面AB4所成的角為。，如圖2,過點(diǎn)C作垂足為G,易得

CG_L平面42月，所以否可看作平面ABB］的一個法向量.

圖2

結(jié)合三余弦定理得

I----.—.?,,2A/3J3J39

sin3=|cos<AC,,CG)|=|cosZQAC-cosZGC4|=笳x蘢=秣.

［方法七］:轉(zhuǎn)化法+定義法

如圖3,延長線段4A至￡,使得AE=GC.

聯(lián)結(jié)CE,易得EC//AQ,所以AC】與平面ABB,所成角等于直線EC與平面ABB,所成

角.過點(diǎn)C作CGLAB,垂足為G,聯(lián)結(jié)GE,易得CG,平面筋片，因此EG為比

在平面上的射影，所以NC￡G為直線與平面池4所成的角.易得CE=5,

i—R口.CGA/3y/39

CG=y/3，因此sin/CEG=----=-?==------.

CEV1313

［方法八］:定義法+等積法

如圖4,延長4片,A3交于點(diǎn)E,易知5E=2,又AB=BC=2,所以故

CEL面A&GC.設(shè)點(diǎn)G到平面山珥的距離為人，由%—MG二匕「ME得

1X|/L41-AE-/Z=|X|A41-AC-CE,解得/?=百.

圖4

又A3=屈,設(shè)直線AC與平面月所成角為。，所以sin6?=^=叵.

V1313

16.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且S4=4S2，%"=2%+l（/eN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

JL,9

⑵數(shù)列也｝滿足乙=3,令%也=?！?2也+1,求證：

k=\'

解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛aj的首項為生,公差為d.

4%+6d=8,+4d

由S4=4S2，〃2〃=2%+1,得＜

a1+（2〃-1）d=2〃]+2（〃-1）d+1

解得：q=l,d=2,所以4=1+2（“一l）=2〃-l（"eN*）.

（2）由（1）知，（2n-l）bn=（2n+3）bn+1,

即%_2/_1bn_2/2-3%_2n-5b3_5b2_1

bn2〃+3'bn_x2〃+1'bn_22n-l廠子廠二

2n—32n-53

利用累乘法可得:b=五&IT

"%*?;2〃+12n—l

99<11）

=（2I）（2〃+ldr仇=3也符合上式,

X%=4+么+&+…+^T+2

99

]-------—----I---------|—.??―|—

23355712rl—12〃+122〃+1

k=i99

所以24=-<-.

?22/7+12

17.已知拋物線C:必=—4y,直線/垂直于V軸，與C交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

過點(diǎn)N且平行于y軸的直線與直線OM交于點(diǎn)P,記動點(diǎn)尸的軌跡為曲線E.

(1)求曲線￡1的方程；

(2)點(diǎn)A在直線y=-1上運(yùn)動，過點(diǎn)A作曲線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為片,鳥，在平面

內(nèi)是否存在定點(diǎn)3,使得若存在，請求出定點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

解：⑴設(shè)尸(x,y),〃■(如%),則NJ%%),

由題意線/垂直于V軸，與C交于M,N兩點(diǎn)，知七片0,

過點(diǎn)N且平行于y軸的直線方程為：%=-%，

直線OM的方程為：＞=

令x=—七,得＞=一％,即尸(一/，一%),

x0=-X

y0=-y

因為M在拋物線C上，即為2=—4%,

則(一)2=—4(—y)，化簡得d=4y

由題意知O、M不重合，故xwO,

所以曲線E的方程為d=4y(xwO)

(2)由(1)知曲線E的方程為X2=4y(xwO),

點(diǎn)A在直線y=-1上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)A在特殊位置(0,—1)時,

兩個切點(diǎn)品《關(guān)于y軸對稱，

故要使得A3工《2,則點(diǎn)B在y軸上.

1

故設(shè)A(皿—1),3(0,〃),片,

4

曲線E的方程為>=#("。)，求導(dǎo)得“片,

所以切線的斜率匕=；石，直線A片的方程為y-；片=g%(x—%),

又點(diǎn)A在直線A4上,

所以-=5玉(加—石)，

整理得x；-2mx1-4=0,

同理可得無；—2ntY2—4=0,

2

故d和x2是一元二次方程x-2mx—4=0的根,

X+%=2m

由韋達(dá)定理得

xxx2=-4

_￡2一；內(nèi)21.(一根，〃+1)=；(/一%)[-4根+(〃+1)(入2+

愿.屈=X2%，4X?

=^-(x2-x1)[-4m+2m(n+l)]=^m(x2_%)(〃一1),

當(dāng)〃=1時，蔗?麗=0恒成立，

所以存在定點(diǎn)3(0,1),使得恒成立.

18.現(xiàn)有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進(jìn)入市場，已知甲、乙、丙三個工廠生

25I

產(chǎn)的產(chǎn)品能達(dá)到優(yōu)秀等級的概率分別為一，一，一，現(xiàn)有某質(zhì)檢部門，對該產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量

362

檢測，首先從三個工廠中等可能地隨機(jī)選擇一個工廠，然后從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品抽取一件

進(jìn)行檢測.

（1）若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級，求該件產(chǎn)品是從乙

工廠抽取的概率；

（2）因為三個工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個工廠進(jìn)入市場的產(chǎn)品的比例為2：1：1,若

該質(zhì)檢部門從已經(jīng)進(jìn)入市場的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，求能達(dá)到優(yōu)秀等級的產(chǎn)

品的件數(shù)J的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：（1）設(shè)4="抽的產(chǎn)品是優(yōu)秀等級”，片="產(chǎn)品是從甲工廠生產(chǎn)”，

為="產(chǎn)品是從乙工廠生產(chǎn)”，&="產(chǎn)品是從丙工廠生產(chǎn)”，

1951

貝IJP(4)=P(32)=P(4)=§,P(A|B1)=-,P(A|B2)=-,P(A|B3)=-)

則P（A）=尸（4）尸（W4）+尸（員）尸（4忸2）+尸（團(tuán)尸（A］國）

1215112

=-XF—X—+—X—=—,

3336323

15

P(4)P(A同)3*6=5

則P（為

P(A)212

3

所以該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率為2.

12

（2）依題意，設(shè)從市場中任抽一件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為，,

,2215112

則n〃=—X—+—X—+—X—=一

4346423

由題意可知自?10,g

則=Q==苧（左〈lOhN）,

則&的分布列為：

012345678910

2℃2yo22維2yo2y25或26或27或2yo2yo

P乙Jo

310310310310310310310310310310310

故E（J）=10xg=?

19.數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或者局部）

自然數(shù)范圍內(nèi)成立.證明分為下面兩個步驟：1.證明當(dāng)〃=%（%eN）時命題成立；

2.假設(shè)〃=左（左eN,且左25）時命題成立，推導(dǎo)出在〃=左+1時命題也成立.用模

取余運(yùn)算：amodZ?=c表示"整數(shù)”除以整數(shù)》，所得余數(shù)為整數(shù)用帶余除法可表示