2025年高考數(shù)學(xué) 圓錐曲線的綜合應(yīng)用 教案

突破5圓錐曲線的綜合應(yīng)用

由學(xué)生用書P202

命題點1圓錐曲線的綜合問題

例1［多選慚高考卷I］已知曲線C：mx1+ny1=l.(ACD)

A.若機>〃>0,則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若機=〃>0,則C是圓，其半徑為迎

C.若修〃<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±『fr

D.若加=0,〃>0,則C是兩條直線

解析對于選項A,；m>n>0,方程優(yōu)/+町2=1可變形為］+［=1,

mn

該方程表示焦點在y軸上的橢圓，正確；對于選項B,'：m=n>0,方程:加+町2=1可

變形為該方程表示半徑為的圓，錯誤；對于選項C,：<0,...該方程表

示雙曲線，令》!f十〃、2=0=>,=±正確；對于選項D,'.'m=0,n>0,二方程

如2+”>2=1變形為wy2=］今y=±該方程表示兩條直線，正確.綜上選ACD.

例2已知斜率為左的直線/與橢圓C：。+：=1交于A,8兩點，線段AB的中點為M

43

(1,m)(m>0).

(1)證明：k<-l，

(2)設(shè)尸為C的右焦點，尸為C上一點，且而+京+而=0.證

明：I而I,\FP\,I而I成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

解析(1)解法一設(shè)A(用，>1),5(X2,>2),

則？+苧=1,f+f=l,兩式相減,

并由g=左得。+0.左=(),

x1~x243

由題設(shè)知心￡=1左土及=機，于是左=一二①.

由題設(shè)得0<相<|,故k<.—

解法二設(shè)直線/的方程為》=無(X—1)+m,

y=k(%—1)+m,

2—

由%2v2得(3+49)f+8Z(m—%)x+4(加一%)12=0,

土+匕=1

43

A=64R(m-fc)2-4(3+43)［4(機一女)2-12］=48(3^+2m^-m2+3).

8k(k—m)

設(shè)A(xi,%),B(X2,”),則為+%2=

3+4k2

因為線段A8的中點為M（1,m）（m>0）,所以衛(wèi)三^=1,

即竺上"=化簡得加=一二.

3+4/c*2*44k

q

由相>0得，一二>0,所以左〈0.

4k

又點M（1,777）在橢圓內(nèi)部，

所以工+空<1,即工+二7c1,解得k<一士

43416k22

q1

經(jīng)檢驗，當機=一三，左<一乙時，滿足A>。.

4k2

故k<—

2

（2）由題意得/（1,0）.

設(shè)尸（乃，為），則由而+西+麗=0,

得（工3—1,、3）+（X1—1,%）+（X2—1,丁2）=（0,0）.

由（1）及題設(shè)得I3=3—（為+%2）=1,y?>=~（與+丁2）=—2m<0.

又點尸在。上，所以m=-,從而P（1,FP

42,II2

于是IFXI=J、+W=J（久「I）、+3（1-￡）=2-）.

同理I而I=2-^.

所以I黨I+I而I=4-|（X1+X2）=3.故2|而1=1同|+|而I,

即I市I,\FP\9IFBI成等差數(shù)列.

設(shè)該數(shù)列的公差為d,則21dl=I\FB\~\FA\I|尤i—尤2I=

12

（%1+比2）—②.

2

將根=2代入（1）中的①得上=—1.

4

所以/的方程為了=一尤+4代入C的方程，并整理得7x2—14x+工=0.

44

故％I+%2=2,xiX2=—,代入②解得IdI=?紅.

2828

所以該數(shù)列的公差為阻或一到紅.

2828

訓(xùn)練1⑴已知橢圓C：捻+*1Q>6>0）的左、右焦點分別是F1（—c,0）,F2（c,0）,點

尸是橢圓C上一點，滿足I聞+而I=I兩一配I,若以點尸為圓心、r為半徑的圓

222

與圓B：（x+c）+y=4af圓/2：（x-c）2+尸=〃2都內(nèi)切，其中（）〈/<〃，則橢圓C

的離心率6為（C）

D.W

AiC岑

解析將IM+MI=I隔一訊I兩邊同時平方，得耐?西=o,則耐_L電.

如圖，延長尸1P交圓尸于N,延長尸2尸交圓尸于加，

結(jié)合已知可得「P&l=1&N—PNI=2a-r,

IIPF2I=|F2M\-\PM\=a-r,

所以IPPM—IPF2I=a,

由IPPM+I睡I=2a,得IPFiI=y,IPF,I=].

____>____>222q〃22c

在△尸尸尸中，尸F(xiàn)1J_PF2可得尸&PFFF,所以竺+n匕=4，，所以

12II+I2I=I12I44

e2=0=*所以6=逗.故選C.

az84

（2）[2023西安一中調(diào)研]如圖，圓柱。。1的軸截面A8S4是正方形，

D,E分別是A4i和881的中點，C是弧A2的中點，則經(jīng)過C,D,E的

平面與圓柱。。1側(cè)面相交所得到的曲線的離心率是

解析設(shè)正方形A8B14的邊長為2,G是弧囪4的中點，且與C關(guān)于

圓柱的中心對稱，連接CG,由題意可知，所得曲線為橢圓,

橢圓的短軸長為2,長軸長GC=2V^,所以長半軸長a=V^,短半軸長b=l,故半焦距

c=la2-b2=1,所以橢圓的離心率e=（=j.

命題點2圓錐曲線在實際生活中的應(yīng)用

例3（1）[2023高三名校聯(lián)考（二）]如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦

點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲

22

線E：號-3=1（。>0，b>0）的左、右焦點分別為B，尸2,從尸2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中

azoz

的A,8兩點反射后（A,F2,B三點共線）,分別經(jīng)過點C和點D且cos/BAC=—|,

AB±BD,則E的離心率為（

AV5

A—

2B岑

解析如圖，連接AE,BFi,設(shè)IAF2I=m,IBF2I=〃，由雙曲線的定

義可得IAFiI=2a+m,IBFrI=2a+n,由cosZBAC=-|,可得

COSZFIAF7=",在RtAABiB中，sinZFiAF7=^^-=-①，(2a+n)2+

52a+m5

(m+n)2=(2tz+m)2②.

在△ABB中，可得4c2=加2+(2^+m)2—2m(2。+機)?|③.

n=1a,「斤7

3代入③可得9c2=17層，則離心率e=￡=竺.故選B.

m=-a,a3

{3

(2)某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(如圖1所示)時，發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為

拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形狀為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚

焦到焦點處(如圖2所示).已知接收天線的口徑(直徑)為5.2m,深度為1m,則該拋物

線的標準方程為y2=6.76x.

圖1圖2

解析如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立直角坐標系，使接收天線V

的頂點(即拋物線的頂點)與原點。重合，焦點E在無軸上，IASI=5.2.設(shè)拋

物線的標準方程為(p>0),由已知條件可得，點A(1,2.6)在拋物線\

上，所以2P=2d=6.76,所以所求拋物線的標準方程為^=6.76尤.

訓(xùn)練2[2023上海模擬]“中山橋”是位于蘭州市中心、橫跨黃河之上的一座百年老橋，如

圖1,橋上有五個拱形橋架緊密相連，每個橋架的內(nèi)部有一個水平橫梁和八個與橫梁垂直

的立柱，氣勢宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱.一個拱形橋架可以近似看作是由等腰梯

形A8EM和其上方的拋物線MOP(部分)組成，建立如圖2所示的平面直角坐標系，已

知IABI=44m,ZA=45°,IACI—4m,ICDI=5m,立柱IDNI=5.55m.

圖1圖2

(1)求立柱ICMI及橫梁IMFI；

(2)求拋物線MOP的方程和橋梁的拱高IOHl.

解析(1)由NA=45°,可知ICMI=IACI=4m.

因為四邊形ABFM是等腰梯形，由對稱性知：|ACI=IBEI=4m,

所以IA/FI=ICEI=IABI—IACI—IEBI=44—4—4=36(m).

(2)由(1)知ICHI=IA”I—IACI=18,所以點M的橫坐標為一18,

則N的橫坐標為一(18—5)=-13.

設(shè)點N的縱坐標分別為yi,以，

由圖形，知Iy\~yiI=I5.55—4I=1.55.

設(shè)拋物線的方程為爐二一2py(p>0),將點A/,N的坐標代入，得(—18)2——1py\,

(—13)2=—2娛，

兩式相減，得2P(以一yi)=182—132=155,解得2〃=100,故拋物線的方程為久2=

-100y.

因此，當X=—18時，y=--x2=--X324=-3.24,

100100

故I%I=3.24,所以橋梁的拱高IOHI=3.24+4=7.24(m).

1.［命題點2A024北京市陳經(jīng)綸中學(xué)模擬］如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面

(橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分，過對稱軸的截口A4c是橢圓的一部

分，燈絲位于橢圓的一個焦點為上，片門位于另一個焦點6上.由橢圓一個焦點B發(fā)出的

光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點尸2.已知IFJBI=

y,IF1F2I=4,則截口BAC所在橢圓的離心率為，.

解析以QB的中點為原點，尸所在直線為無軸建立平面直角坐標系，由及

橢圓性質(zhì)可得，8C為橢圓的通徑，所以IF\BI,IF1F2I=2c=4.又々2=32+

a3

c2,解得。=6,c—2,b—442,所以截口1MC所在橢圓的離心率為

2.［命題點2/2023東北三省四市聯(lián)考］早在一千多年之前，我國已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造

橋，以減輕橋身重量和水流對橋身的沖擊，現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的四個溢流孔，橋拱和

溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個溢流孔輪廓線對應(yīng)的拋物線相同，建立如圖所

示的平面直角坐標系無?！犯鶕?jù)圖上尺寸，拱橋輪廓線OAC所在拋物線的方程為x2=

-80y,溢流孔與橋拱交點A的橫坐標為詈.

解析設(shè)橋拱所在拋物線的方程為/=-2py(p>0),由題圖可知，曲線經(jīng)過點C(20,

-5),代入方程得2()2=-2pX(-5),解得p=4。，所以橋拱所在拋物線的方程為_?=

—80y.因為四個溢流孔輪廓線對應(yīng)的拋物線相同，所以從右往左看，設(shè)第一個拋物線Ci：

(x-14)2^-2p'y,由題圖知拋物線Ci經(jīng)過點C(20,一5),則(20—14)2=-2p'X

(—5),解得p'=￡,所以Ci：(%—14)2=—色，點4為橋拱所在拋物線/=-80〉與

x2=—80y,

(%—14)2———y，解得

{7<x<14,5

尤=詈，所以點A的橫坐標為詈.

f---------------------------:練習(xí)幫:練透好題精準分層-------------------------、

d學(xué)生用書?練習(xí)幫P371

1.[2024安徽六校聯(lián)考]若1cMi<4,橢圓C：5+丁=1與雙曲線D言一"1的離心

率分別為d，e2,則（C）

AF的最小值為:B.皂的最小值為更

e22e22

C：的最大值為:D：的最大值為￥

e22e22

解析由橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)得e2=二—,

所以幺二｝二.三二（魚）2=/3=5…2一4=三_（m+l）?三一1=,當且僅當

e2Vm2e2m44m44m44

加=2時等號成立，所以幺W士故選C.

e22

2.如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂離水面5m,水面寬I48I=30m.若水面下降5m,

則水面寬是（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：72^1.41,遮心2.24,77^2.65）

(B)

A.43.8mB.44.8m

C.52.3mD.53.0m

解析建立如圖所示的平面直角坐標系，其中。為頂點，。為A5的中點，為下降后的

水面.因為拱橋是等軸雙曲線，則設(shè)雙曲線的方程為《一9=1（a>

0）,C（0,-fl）.因為IABI=30,ICDI=5,則B（15,~a~

2

5）,將點2坐標代入雙曲線方程，可得—a/）一與=i解得。=

20,即亮一亮=1.當水面下降5m后，縱坐標處=一30,代入雙曲線方程可得知=

10V5,所以lA/Nl=2孫=20?Q44.8.故選B.

3.［多選Z2024江西臨川一中檢測］2022年卡塔爾世界杯會徽正視圖（如

圖）近似伯努利雙紐線.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各

布?伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標系xOy中，把到定點

FiLa,0）,F（a,0）距離之積等于，（>0）的點的軌跡稱為雙

2flFIFAWORLDCUP

Qatuir2O22

紐線，已知點尸（xo,jo）是。=1時的雙紐線C上一點，下列說法正確

的是（ABD）

A.雙紐線C是中心對稱圖形

B.—

C.雙紐線C上滿足IPBI=IPF2I的點有2個

D.IPOI的最大值為企

解析由到定點外（一a,0）,F2（a,0）距離之積等于a2的點的軌跡稱為雙紐線，得雙

紐線C的方程為J（x+1）2+y2xJ（x-1）?+y2=i,用一%,一了替換方程中的工,

y,方程不變，故雙紐線C關(guān)于原點。成中心對稱，故A正確；

易知IPFiIIPF2I=1,IF1F2I=2,由等面積法得稱\PFi\■\PFiI-sinNF"=

-1-1-1-1

-IF1F2I-IyoI,則IyoI=--sin/F",所以一故B正確；

IPFiI=IPFiI,則J（Xo+1）2+羽=J（x。-1）解得無o=O,則

+%xjl+羽=1,解得加=o,所以雙曲線C上滿足I尸尸1I=IPF］I的點尸有一

個，故C錯誤；

因為而=1（麗+電）,所以同2=+2］兩］|電|.COSNF1PF2+

22

由余弦定理得22=|西|+\PK\-2\PFI\-\7F^\-COS/F1PF2,

所以而2=1+,COSZFIPF2=1+COSZ.F1PF2W2,所以I而I的最大值為

V2,故D正確.故選ABD.

4.在平面直角坐標系尤Oy中，雙曲線G：，一《=1（a>0,Z?>0）的漸近線與拋物線

1

C2：x=2py（p>0）交于點。，A,B,若△OAB的垂心為C2的焦點，則G的離心率為—

3

2--------■

解析雙曲線G：a一色=1（〃>。，b>0）的漸近線方程為產(chǎn)土，

由對稱性不妨取A（亞，畔），B（一亞，岑），。2：x1=2py（p>0）的焦點F（0,

aazaaz

2pb2_p

即竺=%a2b2c_3

則k=aU2=1￡i=+=2

AFa24fa2a24a2

a

5.已知數(shù)列｛廝｝,｛b｝中各項均為正數(shù)，且仍“｝是公差為2的等差數(shù)列，若點巳(斯，b”)

(”dN*)均在雙曲線C：f一藝=1上，則斯+1—詼的取值范圍是(魚一1,1).

4--------------------------

解析由題可知點P”(詼，b")在第一象限，尸,島+1的斜率為=如+匚如=—J.根據(jù)雙曲

an+lanan+lan

線的性質(zhì)，知當點尸八越靠近X軸時，廄越大，點尸”越遠離X軸時，履越小.由雙曲線上的兩

點A(1,0)和8(V2,2)可得kAB=一—,而C的一條漸近線斜率為2,所以2c

V2—1

——,故魚——tz<1.

V2—1(i

6.[2024江西九校聯(lián)考]如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑上^

為1個單位長度，在球的右上方有一個燈泡尸(當成質(zhì)點),籃球的

影子是橢圓，籃球與桌面的接觸點(切點)就是影子橢圓的焦點，點-a

尸到桌面的距離為4個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點為A,影子橢圓的右頂點到A

點的距離為3個單位長度，則這個影子橢圓的離心率e=..

解析以A為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，由題

y

意可得P(0,4),R(-3,0),則直線PR的斜率上依=%

直線H?:4x—3y+12=0.設(shè)影子橢圓的長半軸長為a,半焦距

為c,則IQRI=a-c.設(shè)籃球球心M(%1),則橢圓焦點QA—*

(w,0),點Af到直線尸R的距離4"3+12]=],解得〃=一1(舍去)或〃=一2,

>+(-3)22

71

則IQRI=I—；一(-3)I=：=a—c.設(shè)直線PN:依一>+4=0,N(冏，0),則點M

7|—~k—1+4|

1)到直線PN的距離小=1=2=1,得45F—84A+32=0,A>0,所以kpR-k

(-D

=||,則％=總直線PN:各一,+4=0,令y=0,得尤產(chǎn)一率故2a=I—y—(一3)I

=|,則a=3，故c=：.故橢圓的離心率

7.[2024惠州市一調(diào)]已知橢圓C：^+^=1(G>fe>0)的左頂點為A,上頂點為8,右焦

點、為F(1,0),。為坐標原點，線段。4的中點為。，且IBDI=I。尸I.

(1)求C的方程;

(2)已知點M,N均在直線尤=2上，以MN為直徑的圓經(jīng)過。點，圓心為點T,直線

AM,AN分別交橢圓C于另一點P,Q,證明：直線P。與直線OT垂直.

解析(1)由題意知，橢圓C的半焦距c=l,D(-|,0),B(0,b),

：.\BD\=]>+爐,|DFI=5+1,?,?占+62=1+1,即b2=a+l

又層=從+，，/.a2—a~2=0(〃>0),解得a=2,故從=3,

；.C的方程為9+1=1.

（2）解法一設(shè)M（2,機），N（2,n）,則T（2,"搭與，而入（一2，0）,

則直線產(chǎn)G+2）?

(狂+片=1,

聯(lián)立得《43整理得(加2+12)%2+4m2工+4m2-48=0,A>0.

y=7(%+2)，

47n2

設(shè)尸（xi,yD,則由根與系數(shù)的關(guān)系得，xi~2

m2+12

2(12—m2)12m

..XI，則yi=

m2+12m2+12

12n

設(shè)。（X2,>2）,同理可得，無2=2V,則=

JV27~12^+--1--2--

??kpQ=yx—y26(mn-12)(n—m)mn—12

22

x1—x224(n—m)4(n+m)

如圖，連接OM,ON,?:MN為魚徑,：.OM±ON,：.kOM-kON

1,即日n-7n--n=一i1,...mn~4,

，22

4

:-kpQ=~^

n+m

而koT=

4

：.kPQ-koT^-1,則直線尸0與直線OT垂直，得證.

解法二設(shè)M(2,m),N(2,71),則T(2,與3).

如解法一圖，連接OM,ON,為直徑，：.OM±ON,即南?標=0,即4+?m=0.

m—0m

'：A(-2,0),：.k=

AM2—(-2)4

則直線AM■:y=-(x+2).

4

(立+藝=1,

聯(lián)立得《43整理得(%2+12)x2+Wx+4m2-48=0,A>0.

y=7(x+2),

4m2

設(shè)尸（xi,yD,則由根與系數(shù)的關(guān)系得，xi~2

m2+12

2(12-m2)ni12m

??沏=，則力=許，

m2+12

.z2(12-m2)12m）

??1\z

7712+12療+廿’

中/，毋"屈=（2(12—九2)2(12-m2)12n12m

同理得。（),

九2+12m2+12'n2+12m2+12

m+n>.

又。r=(2,

2，

---->---->4(12—n2)4(12—m2)?6mn?6n26m26mn24+2n224+2m2

：.PQOT=-=2-2=

n2+12m2+12n2+12n2+12m2+12m2+12n2+12m2+12

0.

/.PQXOT,即尸。_LOT,得證.

丫2

8.［2023陜西模擬］已知橢圓Ci的方程為―+^=1，雙曲線C2的左、右焦點分別是Ci的

左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.

(1)求雙曲線。2的標準方程；

(2)若直線/：y=fcv+/與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和'且瓦『話＞2(其中O

為坐標原點)，求實數(shù)上的取值范圍.

解析(1)設(shè)雙曲線C2的方程為拶一占=1(o＞0,b＞0'),半焦距為c,則層=3,c2—

由〃2+廬=，，得廬=1,

v2-

故雙曲線Q的標準方程為了一9二