陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2025屆高三年級(jí)上冊(cè)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2},5={X|X2>1},則僅3)=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,1}

2.若復(fù)數(shù)z滿足iz=l-3i,則目=()

A.VsB.V10C.5D.10

3.已知平面向量1=(2,1),1=(-2,4),若(2Z+3)M蘇一可，則實(shí)數(shù)%=()

A.-1B.-2C.1D.2

若

4.sin(a-￡)=J,且tana=2tan/?,則sin(a+/?)=()

6

A."1

D.---c.-D.-

2232

5.蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活,

蒙古包下半部分近似一個(gè)圓柱，高為2m；上半部分近似一個(gè)與下半部分同底的圓錐，其母

線長(zhǎng)為2月n軸截面(過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是面積為3百m2的等腰鈍角三角形，則該蒙

古包的體積約為()

A.2171m3B.187rm3C.(18+3后)D.(20+3班)兀11?

-2

ax+2x-l(x>2)

已知函數(shù)丫是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

6.Id一5一R

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A.(一8,-1]B.8,—gIC.(-8,0]D.(-8,1]

7.函數(shù)/(%)=1口1-(：054%的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

8.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足〃0)=0,/(x)+/(l-x)=l,=且當(dāng)

0WX]＜X2Wl時(shí)，/(xJW/Xw)，則/()

1111

A------B.----C.—D.—

2561286432

二、多選題

9.下列說(shuō)法中，正確的是()

A.數(shù)據(jù)40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位數(shù)為32

B.已知隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(2,*),尸偌＜4)=0.84；則尸(2＜〈＜4)=0.34

C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為？=&+去；若5=2,元=1，頁(yè)=3,

貝(I&=1

D.若樣本數(shù)據(jù)占,/的方差為2,則數(shù)據(jù)2再-1,2尤2-1,…,2再。-1的方差為4

10.已知函數(shù)f(x)=d-x+1,則()

A./(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.7(x)有一個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線＞=/(x)的對(duì)稱中心

D.直線＞=2x是曲線y=/(x)的切線

11.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在

研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，4-2,0),5(2,0),

動(dòng)點(diǎn)尸滿足盧，4卜|尸目=5,其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C,則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線。與y軸的交點(diǎn)為(0,1)和(0,T)

B.曲線C關(guān)于x軸、夕軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱

C.點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的范圍是[-3,3]

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

D.|。尸|的取值范圍為口,2]

三、填空題

12.一*;的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是.(用數(shù)字作答)

13.若斜率為6的直線與N軸交于點(diǎn)A,與圓/+(y-1)2=1相切于點(diǎn)B,則

.

14.九宮格數(shù)獨(dú)游戲是一種訓(xùn)練推理能力的數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個(gè)小宮格，某小九

宮格如圖所示，小明需要在9個(gè)小格子中填上1至9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過(guò)推理已經(jīng)得

到了4個(gè)小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，a/,c,d,e這5個(gè)數(shù)字未知，且6,d為奇數(shù)，則。+6>5的概

率為.

9a7

bcd

4e5

四、解答題

15.記V/BC的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin/+Gcos/=2.

⑴求4

⑵若a=2,06sinC=csin23，求V/2C的周長(zhǎng).

16.已知橢圓C：]+/=1(。>6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(2,0),且離心率為9.

(1)求橢圓。的方程；

⑵直線/：y=x+機(jī)與橢圓c交于4,2兩點(diǎn)，若面積為百，求直線/的方程.

17.已矢口函數(shù)/(')=〃(e*+a)—x.

⑴討論了(x)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)a〉0時(shí)，/(x)>21m+—.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

18.如圖，在四棱錐P-/8CD中，底面48CD為正方形，PA=PD=AB,E為線段的

中點(diǎn)，平面/EC，底面/BCD.

⑴求證：/E_L平面尸2。；

（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

19.中國(guó)女排是中國(guó)各體育團(tuán)隊(duì)中成績(jī)突出的體育團(tuán)隊(duì)之一，曾是世界上第一個(gè)“五連冠”

得主，并十度成為世界冠軍，2023年在杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)上女排再度獲得冠軍.她們那種

團(tuán)結(jié)協(xié)作、頑強(qiáng)拼搏的精神極大地激發(fā)了中國(guó)人的自豪、自尊和自信，為我們?cè)谛抡鞒躺蠆^

進(jìn)提供了強(qiáng)大的精神力量.如今，女排精神廣為傳頌，家喻戶曉，各行各業(yè)的人們?cè)谂啪?/p>

神的激勵(lì)下，為中華民族的騰飛頑強(qiáng)拼搏.某中學(xué)也因此掀起了排球運(yùn)動(dòng)的熱潮，在一次排

球訓(xùn)練課上，體育老師安排4人一組進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，其中甲、乙、丙、丁四人剛好圍成一

個(gè)矩形（如圖），已知當(dāng)某人控球時(shí)，傳給其相鄰?fù)瑢W(xué)的概率為（，傳給對(duì)角線上的同學(xué)的

概率為g,由甲開(kāi)始傳球.

（1）求第3次傳球是由乙傳給甲的概率；

（2）求第"次傳球后排球傳到丙手中的概率;

⑶若隨機(jī)變量％服從兩點(diǎn)分布，且尸（X,=1）=1-尸（X,=0）=2，:1,2,…，n,則

記前〃次（即從第1次到第〃次傳球）中排球傳到乙手中的次數(shù)為y,求

Ii=\);=1

E(Y).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BBDDCABDBCABC

題號(hào)11

答案AC

1.B

【分析】根據(jù)補(bǔ)集結(jié)合一元二次不等式求備5,再根據(jù)交集運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?={尤>1},則”={X|，V1}={X|-1VXM1},

所以41佃8)={-1,0,1}.

故選：B.

2.B

【分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，然后由復(fù)數(shù)模公式可得.

【詳解】因?yàn)樨?1-3i,所以z=上曰■=

1

所以閆=J(一3丫+(-1)2=麗.

故選：B

3.D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】因?yàn)椋?(2,1),方=(-2,4),

所以2a+B=(2,6),Aa—b—(22+2,2—4),

因?yàn)?20+否)_1_(/10-3),

所以(2公+可—可=(2,6>(22+2,；1—4)=4/1+4+6/1—24=0,

解得2=2.

故選：D

4.D

【分析】利用正弦的差角公式結(jié)合弦切關(guān)系分別計(jì)算sinacos民coscsin/?,再根據(jù)和角公

式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閟in((z-夕)=sinacos。-costzsin夕=—,

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

sina2sin尸.

又tana=2tanp,即----=------,則sinacos4=2cosasmp,

cosacos/3

所以sinacos=—,cosasin/3=—

36f

故sin(a+力)=sinacos/3+cosasinp=—+—=—.

362

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)題意求圓錐的高和底面半徑，再結(jié)合錐體、柱體體積運(yùn)算求解.

【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，設(shè)頂角為?<71,

r

因?yàn)槠漭S截面(過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是腰長(zhǎng)為2百m,面積為3扇2的等腰三角形,

所以工產(chǎn)sina=Lx(267xsina=38,解得sina=也，則a==或a=?(舍去),

22'/233

由a=型得力=/cos—=2A/3xcos—=V3,r=Zsin—=2出xsin—=3,

32323

2

則上半部分的體積為g兀/〃=|TCX3XV3=36ml2,下半部分體積為兀/〃=18re,

33

故蒙古包的體積為(18+3君)7im3.

故選：C.

6.A

【分析】首先由題意有/(2)=-1,若/'(x)是R上的減函數(shù)，故只需當(dāng)x>2時(shí)，

/(x)=aY+2xT單調(diào)遞減，從而列出不等式組，解不等式組即可.

【詳解】當(dāng)x42時(shí)，/*)=&］一：?jiǎn)握{(diào)遞減，asR,且/(x)最小值為"2)=-1,

當(dāng)x>2時(shí)，當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=2x7單調(diào)遞增，不符題意，

又注意到/(x)是R上的減函數(shù)，

故只能拋物線/(x)=江+2x-1的開(kāi)口向下即0<0,其對(duì)稱軸為x=」，

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

。<0

則由題意有-,解得

a

cix2?+2x2--1

故選：A.

7.B

【分析】函數(shù)/(x)=lnx-cos4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)g(x)=lnx與〃(尤)=cos4尤(x>0)的圖

像在區(qū)間(0,+8)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】函數(shù)/（x）=lnx-cos4x,定義域?yàn)椋?,+<?）,

令g（x）=lnx,h（x）=s*cos4x（x>0）,

函數(shù)〃尤)=Inx-cos4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)g(x)與"(x)的圖像在區(qū)間(0,+。)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

作出函數(shù)g(x)與〃(X)的圖像，如圖所示,

In—<1,hcos271=1,

2

g（兀）=ln兀>1,h（7i）=COS4TI=1,g（兀）〉"（兀）,

函數(shù)g(x)與〃(x)的圖像在區(qū)間(0,+e)上有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)"X)=lnx-cos4x的零點(diǎn)有3

個(gè).

故選：B

8.D

【分析】先由已知條件求出一些特值，/(1)=1,〃!)=；，反復(fù)利用/j)=，x)，可得

八人"高)=M再由盤(pán)］與/舄?)、/［盤(pán)］與〃高)的大小關(guān)系從而

得出結(jié)論.

【詳解】???/(0)=0,/(x)+/(l-x)=l,

令x=l得：/⑴=1,又/(1)=5(x)n/(H

反復(fù)利用公)=g/(x)可得：

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

f(-----)=—f()=—f()=—f(—)=—f(-)=—①，

31252625412582516532一

再令X=g,由/(x)+/(1)=l,可求得嗎)=；,

同理反復(fù)利用/(|)=可得：

f(-----)=—f()=—f(—)=—f(—)=—f(1)=—②,

1250225045081016232

由①②可得：有〃三次)='(?］葛)==,

-m"#小2)，而°<自/蔣(1'

所以"2024””3125)F'”2024)'"1250)=豆'

故〃一1一)」.

202432

故選：D.

9.BC

【分析】根據(jù)第50百分位數(shù)為中位數(shù)判斷A,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B,根據(jù)回歸直線

方程的性質(zhì)判斷C,根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)數(shù)據(jù)排列：27,30,31,32,38,40,列54,因?yàn)榈?0百分位數(shù)為中位數(shù)，所以50百

分位數(shù)為35,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)殡S機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(2,*),尸(4<4)=0.84,所以尸(算4)=0.16,所以

P(^<0)=0.16,所以P(0<J<4)=0.68,所以P(2<4<4)=0.34,故B正確；

因?yàn)?=2，x=1,y=3,貝U2=歹一宸=3—2=1,故C正確；

因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)占，…，%的方差為2,所以數(shù)據(jù)2再-1,2%-1,…,2/-1的方差為232=8,

故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.ABC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念、零點(diǎn)的存在性定理即可判斷AB；

根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和函數(shù)圖象的平移變換即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可

判斷D.

【詳解】A：r(x)=3x2-l,

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

令r(x)＞0得x＞立或一且，令八x)＜0得一立＜x3,

3333

所以/(X)在(一8，一日)，(等,+◎上單調(diào)遞增，(-g,g)上單調(diào)遞減，

所以x=土立時(shí)取得極值，故A正確；

3

B：因?yàn)?]+與＞0,/(%=＞與＞0,/(-2)=-5＜0,

所以函數(shù)/(X)只在-甩-上有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)/(X)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；

\7

C：令〃(x)=xJx,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,，(-x)=(-尤了-(-x)=-X，+尤=-〃(x),

則〃(X)是奇函數(shù)，(0,0)是〃(x)的對(duì)稱中心，將a(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到了(X)的圖

象，

所以點(diǎn)(0,1)是曲線了=/(%)的對(duì)稱中心，故C正確；

D：令/'(x)=3*-l=2,可得x=±l,又/⑴=

當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為了=2x-l,

當(dāng)切點(diǎn)為(T，D時(shí)，切線方程為P=2x+3,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移變換，其中

選項(xiàng)C,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/-x,奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱推出“X)的對(duì)稱性是解決本題的

關(guān)鍵.

11.AC

【分析】根據(jù)題意，求得曲線C的軌跡方程為舟+產(chǎn)=J16/+25-4，利用軌跡方程，結(jié)合

選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)尸(x,P),因?yàn)閨上4卜|尸理=5,[(x+2)2+.[(x-2)2+/]=25,

整理得：f+j?=。6工2+25-4,

對(duì)于A中，當(dāng)x=0時(shí)，解得y=±l,即曲線C與y軸的交點(diǎn)為(0,-1),(0,1),所以A正確；

對(duì)于B中，因?yàn)閤2+j?=，16/+25-4,

用-y替換歹，方程不變，則曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，

用-x替換x,方程不變，則曲線C關(guān)于夕軸對(duì)稱，

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

同時(shí)用-無(wú)替換X,用-y替換V,方程不變，可得曲線c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于C中，因?yàn)楱D+丁=&6八25-4,即可得j?=J161+25-4-/20,

即J16尤2+2524+X?，BPX4-8X2-9<0>解得04/<9，

即-3WxW3,所以點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-3,3],所以C正確；

對(duì)于D中，因?yàn)閨。尸"犬+"=]16/+25-4,

由C項(xiàng)知-3WxW3,所以故1<|。尸|<3,所以D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.-40

【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出指定項(xiàng)即可.

【詳解】由12/的展開(kāi)式的通項(xiàng)得:

=(-l)rC；25-r?5-5\

令15-5r=0,得1=3,故為=-C；2?=-40.

故答案為：-40.

13.V3

【分析】設(shè)直線N5的方程為y=Gx+6,則點(diǎn)/（。）），利用直線與圓一+5-1）2=1相

切求出6的值，求出|/C|,利用勾股定理可求得|/卻.

【詳解】設(shè)直線48的方程為y=6x+b,則點(diǎn)/（0）），

由于直線與圓/+&一1）2=1相切，且圓心為C（0,l）,半徑為1,

則也”=1,解得方=-1或6=3,所以|/C|=2,

因?yàn)殁頲|=i,故|明=卮問(wèn)所二君.

故答案為：百.

14.2

3

【分析】根據(jù)題意列出這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果，然后求解概率即可；

【詳解】這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果用下表表示：

abcde

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

21638

21836

61238

61832

81236

81632

23618

23816

63218

63812

83216

83612

共有12種等可能的結(jié)果，其中。+6>5的結(jié)果有8種,

所以a+b>5的概率為：=|.

2

故答案為：

JT

15.(1)^=-

(2)2+76+3^

【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件sin/+Gcos/=2進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法

還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬(wàn)能公式解決;

（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出8,然后根據(jù)正弦定理算出瓦c即可得出周長(zhǎng).

【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）

由sin/+抬'cos/=2可得-sin4+也^cosA=1,即sin（/+三）=1,

223

-r*//c、.71,714兀、.,/兀兀,.71

由t于《€（0,兀）=>4+；€（二,-^）,故/+彳=彳，h解TX/x得=/

333326

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）

由sin4+6cos4=2,Xsin2A+cos2A=1f消去sinZ得到：

4cos2A-4y/3cosA+3=0<^=>(2cosA-A^)2=0,解得cos4=^^,

IT

又Ze(0,兀)，故/

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)/(x)=sinx+Gcosx(0<x<兀)，則/(x)=2sin[x+<x<兀)，

顯然x——時(shí)，/(x)max=2,注意到/(4)=sinA+V3COSA=2=2sin(/+—),

63

/(%)max=/■)，在開(kāi)區(qū)間(0,兀)上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，

即/'(/)=0=cos/sin/,BPtanA=,

又/￡(0,兀)，故力

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

設(shè)。=(1,=(sin4cos4),由題意，a-b=sinA+V3cosA=2

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，屐3=同|年荻,3=2cos(％鄉(xiāng),

貝(J2cos落3=2ocos"B=1,此時(shí)點(diǎn)1=0,即同向共線，

巧

根據(jù)向量共線條件，l.cosZ=6?sinZ=tan4=——，

3

又Ze(0,兀)，故/=F

6

方法五：利用萬(wàn)能公式求解

設(shè)/=12!1(，根據(jù)萬(wàn)能公式，sinN+Aos/=2=同二),

21+r1+Z2

整理可得，》一2(2-揚(yáng)/+(2-⑻2=0=(7-(2-囪了，

解得tan《=/=2-百，根據(jù)二倍角公式，tan/=P=巫，

2I-r3

又Ze(0,兀)，故/=?

(2)由題設(shè)條件和正弦定理

41bsmC=csin28o逝sinSsinC=2sinCsinBcosB<

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

又瓦Ce（O,兀）,則sinBsinCwO,進(jìn)而cos3=變，得到3=巴,

24

7兀

于是。=兀-4—B=—,

一12

V2+V6

sinC=sin（兀一4-5）=sin（4+5）=sin4cosB+sinBcosA=

4

2bc

abc==z-

由正弦定理可得,——-=—~?，艮Rfln.兀?兀.7兀,

sinZsin5sinCsin—sin—sin——

6412

解得b=2\/2,c=A/6+應(yīng)，

故V4BC的周長(zhǎng)為2+a+次歷

16.（1）—+4=1

62

（2）y=x±2

【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率求出a，c,從而求出6,即可求解方程;

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離求出高，根據(jù)面積建

立方程求解即可.

【詳解】（1）由焦點(diǎn)為尸（2,0）得c=2,又離心率6=二="，得到°=指,

a3

所以〃=4—/=6—4=2,所以橢圓。的方程為二+^=1.

62

（2）設(shè)力（久1，%），8（%2，、2），

卜-—1

聯(lián)上V62，消>得4/+6冽x+3冽之一6二0,

y=x+m

22

A=36m—16（3加2_6）=—12加2+96>0,得至|Jm<s,

3m3m2-6

由韋達(dá)定理得,玉+工2=一號(hào)-，西工2二一；一

又因?yàn)?J1++2民-xj=+%

H

又原點(diǎn)到直線的距離為〃=7F

所以S.ABO=J.小|=gx-7=x-^Vs-rn~4見(jiàn)8_”彳）^Ti,

所以〃/-8〃/+16=0,所以加2=4,即機(jī)=±2,滿足〃/<8,

所以直線/的方程為y=x±2.

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

17.(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先求導(dǎo)，再分類討論aW0與a>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即

可得解；

(2)方法一：結(jié)合(1)中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為Ina>0的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)

g(?)=a2-1-ln?(?>0),利用導(dǎo)數(shù)證得g(a)>0即可.

方法二：構(gòu)造函數(shù)〃(x)=e*-x-l,證得e'Nx+l,從而得到/(x)2x+lna+l+/-x,進(jìn)

而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/>0的恒成立問(wèn)題，由此得證.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=a(e*+a)-無(wú)，定義域?yàn)镽,所以/'(x)=ae-l,

當(dāng)a?0時(shí)，由于e、>0,貝！UlVO,故/'(x)=〃e、—1<0恒成立，

所以/(“在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)〃〉0時(shí)，令/'(%)=〃廿一1=0,解得x=-lna,

當(dāng)》<-ln〃時(shí),/,(%)<0,則在(-8,-In。)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x〉—In〃時(shí)，r(x)>0,則/(x)在(—Ina,+8)上單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)〃〉0時(shí)，/(x)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減，/(x)在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增.

(2)方法一：

由(1)得，/(工上出=/(一Ina)="e"11"+Q)+ln〃=1+/+]n〃，

331

要證/(x)〉21na+—,即證1+/+1口?！?1n“d■—,即證"----ln?〉0恒成立，

222

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

令g(〃)=〃2—彳―In”(a>0),則g，(q)=2〃=——-，

2aa

令/⑷<0,則0<"冬令g，(a)>0,貝0>亨；

所以g(。)在0,半上單調(diào)遞減，在寧,+8上單調(diào)遞增，

(萬(wàn)、(5、1卜

所以g(a)m,n=g苧=拳-L-ln^=ln^>0,則g(a)>0恒成立，

11111I2JI2J22

3

所以當(dāng)。>0時(shí)，/(x)〉21n〃+5恒成立，證畢.

方法二：

令〃(x)=e"-x-1,則"(x)=e"一1,

由于>=/在R上單調(diào)遞增，所以"(x)=e“-1在R上單調(diào)遞增，

又/(0)=e。-1=0,

所以當(dāng)x<0時(shí)，/?"(%)<0；當(dāng)%>0時(shí)，Az(x)>0；

所以“X)在(-*。)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故〃(x)2〃(O)=O,則e-x+l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

因?yàn)?(%)=Q(e"+〃)-1=aex+a2-x=Qx+]na4-^2-x>x+lna+l+tz2-x,

當(dāng)且僅當(dāng)x+lna=0,即x=-lna時(shí)，等號(hào)成立，

331

所以要證/(x)>2Ind!+—,BPffix+lntz+l+4Z2-x>21ntz+—,即證〃之一,一出〃>0,

令g(〃)=〃2—彳—ln〃>0),則g'(q)=2〃=——-,

2aa

令/⑷<0,則令g，(a)>0,貝卜〉日；

所以g(〃)在0,半上單調(diào)遞減，在十,+8上單調(diào)遞增，

(5、(萬(wàn)丫16

所以g(a)min=g苧=拳-y-ln^=ln^>0,則g(a)>。恒成立，

I2JI2722

3

所以當(dāng)〃>0時(shí)，/(x)〉21n〃+5恒成立，證畢.

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

18.(1)證明見(jiàn)解析

⑵澤

【分析】(1)先證明8。1平面/EC,所以5￡)_1他，又因?yàn)?P=/8,￡為尸5中點(diǎn)，所

以4ELPB,由線面垂直的判定即可得證；

(2)建立空間直角建系，不妨取NB=2,得出平面PBC的法向量，利用空間向量求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)槠矫?EC_L平面/BCD,且平面力￡。1平面488=/。，

BDLAC,3Ou平面/BCD,所以8。1平面/EC,/￡u平面NEC,所以

又因?yàn)?P=/B,E為P8中點(diǎn)，所以/E_LPB,

又PBcBD=B,PB,BDu平面PBD,所以N￡_L平面尸8D；

(2)設(shè)點(diǎn)P在底面48CD的射影為點(diǎn)。，則尸。上平面ABC。，

又/。u平面N3CD,所以尸Q_L4D,取/。中點(diǎn)

因?yàn)槭?尸。，所以4DJ_W,

又PQcPM=P,20,尸加＜=平面尸°朋\所以4。，平面尸0M,

因?yàn)?Mu平面尸。所以/。，加，即。在/O的中垂線上，

如圖建立空間直角建系，不妨取/8=2,

則設(shè)尸為(,S),a2+b2=3,/(2,0,0),8(2,2,0),

所以存=[—1],麗=(2,2,0),通=(0,2,0),

由(1)可知瓦.麗=0，計(jì)算得。=-1,b=4i，所以尸收)，

又無(wú)=(2,0,0),CP=(1,-3,V2),

設(shè)平面PBC的法向量為比=(x,y,z),

m-CB=Q2x=0/i—\

則一，即f+后=0'取而=(?，

m-CP=0

2拒

2x72+911

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】（1）設(shè)第"次傳球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分別為。“也,c“Z，”eN*,

2124

得到%=0,4=]勺=94=）,求出仇=石，從而得到第3次傳球是由乙傳給甲的概率；

（2）求出?！耙睳*之間的關(guān)系式，聯(lián)立后得到a,-c.,bn=dn,進(jìn)而得到

工+1-口一是以一3為首項(xiàng)，公比為一1的等比數(shù)列