第1章 特殊平行四邊形（6類壓軸題專練）

第1章特殊平行四邊形（壓軸題專練）題型01：存在性問題1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線AB：y=33x+2分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過點(diǎn)A的直線AC與y軸交于點(diǎn)C(1)求直線AC的解析式；(2)若D為線段AC上一點(diǎn)，E為線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)S△ABD=13S(3)在（2）的結(jié)論下，將△CDE沿射線DB方向平移得△C'D'E'，使C'落在直線AB上，若M為直線AB2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△COD（點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D(1)求直線CD的解析式；(2)點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥y軸交直線AB于點(diǎn)F，作EG∥x軸交直線AB于點(diǎn)G，當(dāng)EF+EG=AD時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線CD上一點(diǎn)，點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．3．如圖，直角三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊BC在y軸上，AB,BC的長分別是一元二次方程x2?14x+48=0的兩個(gè)根，AB<BCA，且BC=2OB，P為AB上一點(diǎn)，且(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式；(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，直線CD：y=?12x+b交AB于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)D(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P為線段CE上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF//y軸，交AB于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，連接FD，設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為m，△DFP的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，連接BP并延長與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN⊥BM，與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)SΔDFP=12S四邊形PFBC時(shí)，在直線CD上是否存在一點(diǎn)R，過點(diǎn)作RQ//x軸交直線PN于點(diǎn)Q題型02：動態(tài)問題5．如圖①，的頂點(diǎn)P是正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，∠QPN=α，將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）

(1)如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，M是AD中點(diǎn)，其他條件不變，當(dāng)α=60°時(shí)，求證：△MPE(3)在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中的邊與線段AD延長線交于點(diǎn)E，其他條件不變，探究在整個(gè)運(yùn)動變化過程中，DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系．6．【證明推斷】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AD>AB，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊得到△AB'P，點(diǎn)B'落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長AB'交求證：①EB'=EC；②AP⊥EP；③若CE=ED=

【類比探究】（2）如圖2，將（1）中“矩形ABCD”改為“平行四邊形ABCD”，其他條件不變，（1）中的①②結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，AD>AB，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊得到△AB'P，點(diǎn)B'落在?ABCD的內(nèi)部，延長AB'交CD于點(diǎn)E，連接PE．連接BB'與AP交于點(diǎn)求證：四邊形PMB7．如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=2，∠ABC=60°，點(diǎn)E為邊BC上動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)H為DF中點(diǎn)．（1）若∠BAE=30°，求DH的長；（2）作CG⊥AE，垂足為G，當(dāng)CG=2時(shí)，求∠（3）在（2）的條件下，設(shè)射線GH交CD于M，求CM的長．8．如圖．四邊形ABCD、BEFG均為正方形．（1）如圖1，連接AG、CE，請直接寫出AG和CE的數(shù)量和位置關(guān)系（不必證明）．（2）將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角（0°＜β＜180°），如圖2，直線AG、①AG和CE是否仍然滿足（1）中的結(jié)論？如果是，請說明理由：如果不是，請舉出反例：②連結(jié)MB，求證：MB平分∠AME（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)A作AN⊥MB交MB的延長線于點(diǎn)N，請直接寫出線段CM與題型03：情景探究題9．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動：數(shù)學(xué)活動課上，老師提出如下數(shù)學(xué)問題：已知四邊形ABCD與四邊形BEDG都為正方形，P為DF的中點(diǎn)，連接AP，EP，如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，求證：AP=PE．(1)獨(dú)立思考：請你證明老師提出的問題；(2)合作交流：解決完上述問題后，“翱翔”小組的同學(xué)受此啟發(fā)，把正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在對角線BD上時(shí)（如圖2），他們認(rèn)為老師提出的結(jié)論仍然成立．請你予以證明；(3)問題解決：解決完上述問題后，“善思”小組提出如下問題，把正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖3），當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上時(shí)，DE與BC交于點(diǎn)H．若AD=5，BG=1，請直接寫出的值．10．已知四邊形ABCD和AFGH都為正方形，連接BD，BH，F(xiàn)H，點(diǎn)N，M，K分別是BD，BH，F(xiàn)H的中點(diǎn)．(1)觀察思考如圖①，點(diǎn)F，分別在AB，AD上，線段MN和MK的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系為______；(2)探究證明如圖②，將正方形AFGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中MN和MK的上述關(guān)系是否發(fā)生變化？請結(jié)合圖②說明理由；(3)綜合實(shí)踐如圖③，連接DF，取DF的中點(diǎn)，連接NR，KR.①判斷四邊形MNRK的形狀，并說明理由；②若AD=6，AH=2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形MNRK的周長的最大值為______.題型04：最值問題11．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=42，點(diǎn)D為直線AC上一點(diǎn)，連接BD

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，過點(diǎn)C作交BD的延長線于點(diǎn)E，連接AE，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，當(dāng)CE=2時(shí)，求EF的長；(2)如圖2，延長BD至點(diǎn)G，使AG=AC，作∠BAG的平分線交BD于點(diǎn)H，交GC的延長線于點(diǎn)K．求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，取BC的中點(diǎn)M，連接KM、GM，當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上運(yùn)動時(shí)，直接寫出的最大值．12．已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，∠EDF=90°，DE=DF，連接AE，CF．

(1)如圖1，求證：△ADE(2)直線AE與CF相交于點(diǎn)G．①如圖2，BM⊥AG于點(diǎn)M，BN⊥CF于點(diǎn)N，求證：四邊形BMGN正方形；②如圖3，連接BG，若AB=5，，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．13．在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,AB上，AF=CE，連接DE，過點(diǎn)F作FG⊥DE，垂足為G．

(1)如圖1，延長GF，交DA的延長線于，請完成畫圖并證明：AH=CD；(2)如圖2，點(diǎn)E,F分別在CB,AB的延長線上，連接AG．求AG的長；(3)如圖3，連接，則的最小值為________（直接寫出結(jié)果）．題型05：解答證明題14．在四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，對角線BD平分∠ABC

(1)如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；(2)如圖2，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)在射線DE上，連接CH，BH，∠HCB的角平分線交BH于點(diǎn)M，若CM⊥BH，求證：∠DHC=∠(3)如圖3，在（2）的條件下，若∠BHD=∠BAD=120°，連接AH，BM=3，AH=6，求線段DH15．如圖1，F(xiàn)為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AD上（不與端點(diǎn)A，D重合），垂直平分交于點(diǎn)O，連接CF．過點(diǎn)D作DG∥CF交射線于點(diǎn)G．

(1)求∠AFC(2)求證：AF=2(3)如圖2，連接OD，若OD⊥DG，求16．如圖1，正方形ABCD的邊長為6cm，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/秒的速度移動，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動（不到點(diǎn)A）．設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)

(1)在點(diǎn)E，F(xiàn)移動過程中，連接CE，CF，EF，則△CEF的形狀是(2)如圖2，連接EF，設(shè)EF交BD移動M，當(dāng)t=2時(shí)，求AM的長；(3)如圖3，點(diǎn)G，分別在邊AB，CD上，且GH=35cm，連接EF，當(dāng)EF與GH的夾角為45°，求t17．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)P,Q分別是邊AB,AD上的兩動點(diǎn)（點(diǎn)P,Q不與點(diǎn)A,B,D重合），以AP,AQ為鄰邊作矩形APEQ,PE交BD于M點(diǎn)，QE交BD于N點(diǎn)．設(shè)AP=x,AQ=y，已知xy=32．

(1)證明：BM(2)連接AM,AN．①如圖1，當(dāng)時(shí)，求∠MAN的大小；②如圖2，當(dāng)x≠y時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．題型06：相似三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用18．如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB上，連接DE、EF、DF，DEDE平分∠FDC，過點(diǎn)E作EM⊥DF于(1)求證：DE⊥(2)若G是DF的中點(diǎn)，連接EG、CG，CG交DE于點(diǎn)H．①求證：DE②若CD=6，DF=8，求GH的長．19．綜合與實(shí)踐問題情境在綜合實(shí)踐課上，老師組織興趣小組開展數(shù)學(xué)活動，探究正方形的旋轉(zhuǎn)問題．在正方形ABCD和正方形AEFG中，點(diǎn)G，A，B在一條直線上，連接DG，（如圖1）．

操作發(fā)現(xiàn)（1）圖1中線段DG和的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形AEFG繞著點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，（1）中的結(jié)論是否成立？請僅就圖2的情況說明理由．類比探究（3）如圖3，若將圖2中的正方形ABCD和正方形AEFG中都變?yōu)榫匦?，且AD=2AB，AG=2AE，請僅就圖3的情況探究拓展探索（4）在（3）的條件下，若AD=6，AE=2，矩形AEFG在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線時(shí)，請直接寫出的值．20．如圖1，矩形ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動點(diǎn)，連接AP，作DE⊥AP，BF⊥AP，垂足分別是E，F(xiàn)，連接OE，OF．(1)求證：OE=OF；(2)如圖2，延長OF交BP于點(diǎn)G，若∠BFG=∠BAP，猜想OG與AD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，已知AB=8，AD=10，求EF的值．21．（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB>DE），連接CE,AG交于點(diǎn)H，請直接寫出線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；（2）如圖2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，將矩形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AG，CE交于點(diǎn)H，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段AG,CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG=6，AB=2DE=8，將矩形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線AG，CE交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，請直接寫出線段AE的長．22．【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了有關(guān)正方形的一個(gè)問題：已知正方形ABCD的邊長為6，E為對角線AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），連接，過E作EG⊥BE交CD于點(diǎn)G，探索線段、EG有何數(shù)量關(guān)系？

（1）數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)做出了回答，解題思路如下：如圖1，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線EN、EM，證明△BEN≌△GEM，發(fā)現(xiàn)和EG的數(shù)量關(guān)系是_________．【問題探究】該小組小麗同學(xué)受此問題啟發(fā)，對上面的問題進(jìn)行了探究，并提出了如下問題：（2）如圖2，過點(diǎn)G作GF⊥AC交AC于點(diǎn)F，EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個(gè)不變的值；若變化，請說明理由；【深度探究】如圖3，連接BG交AC于點(diǎn)H．（3）圖中△BEG的面積S（4）若CG=2，則EH的長是_________．

第1章特殊平行四邊形（壓軸題專練）題型01：存在性問題1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線AB：y=33x+2分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過點(diǎn)A的直線AC與y軸交于點(diǎn)C(1)求直線AC的解析式；(2)若D為線段AC上一點(diǎn)，E為線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)S△ABD=13S(3)在（2）的結(jié)論下，將△CDE沿射線DB方向平移得△C'D'E'，使C'落在直線AB上，若M為直線AB【答案】(1)y=(2)23，(3)23?3，4?3，23【分析】（1）根據(jù)直線AB的解析式可以求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可以求出直線AC的解析式；（2）根據(jù)S△ABD=13S△AOC可以求出△ABD的面積，設(shè)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且滿足S△ABP=S△ABD=23，過點(diǎn)P作直線AB的平行線，與直線（3）先根據(jù)題意，找到點(diǎn)C'、D【解析】（1）解：在y=33x+2中，令x=0∴B令y=0，得x=?23∴A∵OC=6∴C設(shè)直線AC的解析式為，將A?23，0，?23k+b=0b=6∴直線AC的解析式為y=3（2）解：由A?23，0∴S∴S設(shè)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且滿足S△∴S∴BP=2，∴P過點(diǎn)P作直線AB的平行線，與直線AC的交點(diǎn)就是點(diǎn)D，記直線PD的解析式為，將代入可得b1=4，∴直線PD的解析式為y=3聯(lián)立y=3x+6y=則D?3，3，顯然點(diǎn)D如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)G，則G23，0，作直線，則直線的解析式為：y=?過點(diǎn)D作DF⊥CG于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求，易得直線DF的解析式為：y=33x+4（3）Ⅰ.如圖，當(dāng)C'①C'D'=C'根據(jù)題意可得，∠BAO=30°，∠CAO=60°，則∠CAB=30°則AC=43易得∠ACC'=90°由C'M'在Rt△AM1T中，M∴OT=AT?AO=2∴M同理可得，M2②C根據(jù)題意可得，D'3，1∴MⅡ.如圖，當(dāng)C'根據(jù)題意可得，D'3，1又M3可得M3綜上，當(dāng)以點(diǎn)M，C'，D'，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，M的坐標(biāo)分別為：23【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查平移變換，菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決直線的交點(diǎn)問題．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△COD（點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D(1)求直線CD的解析式；(2)點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥y軸交直線AB于點(diǎn)F，作EG∥x軸交直線AB于點(diǎn)G，當(dāng)EF+EG=AD時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線CD上一點(diǎn)，點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)y=?(2)E(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為N1,12或【分析】（1）先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得出OA和OB的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式；（2）設(shè)Ea,?12a+1，則可將點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)表示出來，進(jìn)而得出EF,EG的表達(dá)式，最后根據(jù)（3）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①OM為矩形的邊時(shí)；②OM為矩形的對角線時(shí)．【解析】（1）解：把x=0代入y=2x+2得：y=2，把y=0代入y=2x+2得：，解得：x=?1，∴A?1,0∴OA=1,OB=2，∵△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△COD∴OA=OC=1,OB=OD=2，∴C0,1設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+bk≠0把C0,10=2k+b1=b，解得：k=?∴直線CD的函數(shù)解析式為y=?1（2）∵A?1,0∴AD=3，∵點(diǎn)E在線段CD上，∴設(shè)0≤a≤2，∵EF∥y軸，EG∥∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為?1把x=a代入y=2x+2得：；把y=?12a+1代入y=2x+2得：?∴Fa,2a+2，G∴EF=2a+2??12∵EF+EG=AD，∴52解得：a=2∴E2（3）①當(dāng)OM為矩形的邊時(shí)，過點(diǎn)M作MP⊥OM，交直線CD于點(diǎn)N'，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交直線CD于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NP⊥ON交MP于點(diǎn)P，過點(diǎn)N'作N'P'根據(jù)作圖可得：四邊形OMPN和四邊形OMN∵ON⊥∴∠MOB+∵∠MOB+∴∠NOC=∵△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△COD∴OA=OC,∠在△OCN和△OAM∠OCN=∴△OCN∴OM=ON，∵點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，AB=CD，∴M?12,1，OM=ON=1∵C0,1∴N1,設(shè)直線ON的解析式為y=kx，把點(diǎn)N1,12∴直線ON的解析式為y=1∵ON∥∴設(shè)直線MP的解析式為y=1把M?12,1代入得：∴直線MP的解析式為y=1聯(lián)立直線MP和直線CD的解析式為：y=12x+∴N'②當(dāng)OM為矩形的對角線時(shí)，過點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)∵M(jìn)?12∴MC⊥過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，∴點(diǎn)C和點(diǎn)N重合，∴N0,1綜上：點(diǎn)N的坐標(biāo)為N1,12或N【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)．3．如圖，直角三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊BC在y軸上，AB,BC的長分別是一元二次方程x2?14x+48=0的兩個(gè)根，AB<BCA，且BC=2OB，P為AB上一點(diǎn)，且(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式；(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)y=(3)存在．N17,?3，N【分析】（1）用因式分解法求出方程的兩個(gè)根即可求解；（2）根據(jù)S△BCP=（3）分3種情況，畫出圖形，結(jié)合圖形特點(diǎn)求解即可．【解析】（1）x2x?6x?8x1=6，∵，∴．∴．（2）∵S△∴BP=1∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,4．設(shè)過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為y=kx．將點(diǎn)P2,4∴過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為y=8（3）存在．如圖1，當(dāng)AC為正方形AMCN的對角線時(shí)，過點(diǎn)M作ME⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥ME交直線EM于點(diǎn)F．∵四邊形AMCN是正方形，∴∠AMC=90°,AM=CM∵∠CMF+∴∠EAM=∵∠AEM=∴△AEM∴EM=CF．AC=A∴AM=NC=2設(shè)Mx,y，則EM=4?y=CF=?x∴x=y?4．∵x?62∴y?4?62∴y2∴y1=3，∴x=3?4=?1，∴M?1,3∵把M?1,3先向右平移7個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得，∴把C0,?4先向右平移7個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得；如圖2，當(dāng)AC為正方形AMNC的邊時(shí)，過點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)∵四邊形AMNC是正方形，∴∠ACM=90°,AC=CN∵∠HNC+∴∠HNC=∵∠CHN=∴△CHN∴HN=BC=8,CH=AB=6，∴OH=CH?CO=2，∴N?8,2如圖3，當(dāng)AC為正方形ANMC的邊時(shí)，由圖2可知，M?8,2∵把C0,?4先向右平移6個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位得，∴把M?8,2先向右平移6個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位得N綜上可知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：N17,?3，N2【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解一元二次方程，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解（3）的關(guān)鍵．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC，直線CD：y=?12x+b交AB于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)D(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)P為線段CE上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF//y軸，交AB于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，連接FD，設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為m，△DFP的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，連接BP并延長與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN⊥BM，與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)SΔDFP=12S四邊形PFBC時(shí)，在直線CD上是否存在一點(diǎn)R，過點(diǎn)作RQ//x軸交直線PN于點(diǎn)Q【答案】(1)B（10，4）(2)S=(3)存在；R4，3或【分析】（1）先求出直線CD的解析式即可解決問題；（2）用M表示PF的長，利用三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）由題意可知：14m2?12m=12?124+4??12m+5?10?m，整理得：3m2?8m?60=0，解得m=6或?103（舍去），則P6,2，根據(jù)PF=PG=2，∠FPB=∠MPG，∠PFB=∠PGM=90°，可證△FPB≌△GPM（AAS），則FB=GM，PM=PB，則M（2，0），根據(jù)直線BM解析式為：y=12【解析】（1）解：由題意知C（2b，0），D（0，b），∴OC=2b，OD=b，∵AE∥∴DADO∴DAb∴DA=1，∵OA=4，∴OD=5，∴b=5，∴直線y=?1當(dāng)y=0時(shí)，x=10，∴C（10，0），∴B（10，4）．（2）解：如圖所示，∵Pm,?∴PF=4??∴S=1（3）解：如圖2所示：由題意可知：14整理得：3m解得m=6或?10∴P6,2∵PF=PG=2，∠FPB=∠MPG，∠PFB=∴△FPB∴FB=GM，PM=PB，∴M（2，0），∵直線BM解析式為：y=1∵PN⊥∴直線PN的解析式為：y=2x+14，∴N（7，0），MN=5，當(dāng)點(diǎn)再點(diǎn)P上方時(shí)，設(shè)R（a，?12則Q（a∵2RQ=MN?OM，∴2a∴a=4，∴R4，3根據(jù)對稱性可知，R'∴R4，3或R【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，平行線分段成比例定理，一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵．題型02：動態(tài)問題5．如圖①，的頂點(diǎn)P是正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，∠QPN=α，將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）

(1)如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，M是AD中點(diǎn)，其他條件不變，當(dāng)α=60°時(shí)，求證：△MPE(3)在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中的邊與線段AD延長線交于點(diǎn)E，其他條件不變，探究在整個(gè)運(yùn)動變化過程中，DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)DE+DF=AD(2)見解析(3)DF?DE=【分析】（1）根據(jù)題意證明△PAE（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)用“ASA”即可證明；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)證明△MPE≌△DPFASA，可得ME=DF【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠APD=90°，∠PAD=∠PDF=45°，PA=PD，∵∠QPN=α=90°∴∠APE=∴△PAE∴DF=AE，∴DE+DF=AD（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AD=CD，，AC⊥BD∴∠ADP=∵AM=MD，∴PM=MD，∴△MDP∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，∵∠QPN=60°∴∠MPE=∴△MPE（3）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AD=CD，，AC⊥BD∴∠ADP=∵AM=MD，∴PM=MD，∴△MDP∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，∵∠QPN=60°∴∠MPE=∴△MPE∴ME=DF，∴DF?DE=ME?DE=DM=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題,涉及全等三角形,正方形及菱形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)三角形全等,巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找所求線段與線段之間的等量關(guān)系．6．【證明推斷】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AD>AB，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊得到△AB'P，點(diǎn)B'落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長AB'交求證：①EB'=EC；②AP⊥EP；③若CE=ED=

【類比探究】（2）如圖2，將（1）中“矩形ABCD”改為“平行四邊形ABCD”，其他條件不變，（1）中的①②結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，AD>AB，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊得到△AB'P，點(diǎn)B'落在?ABCD的內(nèi)部，延長AB'交CD于點(diǎn)E，連接PE．連接BB'與AP交于點(diǎn)求證：四邊形PMB【答案】（1）①見解析；②見解析；③102【分析】（1）①②根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及全等三角形的判定證明Rt△B'PE≌Rt△CPEHL，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平角定義可證明結(jié)論正確；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)得到∠PB'E=∠PCE，在圖2中，連接B'C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定可證明EB'=EC；再證明（3）根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)證明AP垂直平分BB'，PE垂直平分B'【解析】解：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD，∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴，∵△ABP沿直線AP折疊得到△A∴AB=AB'，BP=B'P則B'P=CP,在Rt△B'B'∴Rt△∴∠B'PE=∠CPE，E∴∠APE=∴AP⊥EP；故③∵CE=ED=1∴EB'=12，在Rt△ADE中，∴AD=A（2）結(jié)論仍然成立．理由為：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B+∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴，∵△ABP沿直線AP折疊得到△A∴AB=AB'，BP=B'P則B'∵∠A∴∠P在圖2中，連接B'

∵B'∴∠P∴∠PB'E?∠P∴EB'=EC在△B'PEB'∴△B∴∠B∴∠APE=∴AP⊥EP，故（3）由（2）證明過程知：AB=AB'，BP=B'P∴AP垂直平分BB'，PE垂直平分∴∠PMB'=∠∴四邊形PMB【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合思想尋找知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，進(jìn)而推理論證．7．如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=2，∠ABC=60°，點(diǎn)E為邊BC上動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)H為DF中點(diǎn)．（1）若∠BAE=30°，求DH的長；（2）作CG⊥AE，垂足為G，當(dāng)CG=2時(shí)，求∠（3）在（2）的條件下，設(shè)射線GH交CD于M，求CM的長．【答案】（1）1；（2）；（3）1【分析】（1）如圖1中，證明點(diǎn)F與C重合，可得結(jié)論．（2）如圖2中，連接AC．證明ΔACG是等腰直角三角形，可得結(jié)論．（3）如圖3中，證明∠DHM=30°，過點(diǎn)作交DM的延長線于Q，在DM上取一點(diǎn)T，使得，連接（見左邊圖），求出DM，可得結(jié)論．【解析】解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，，∵∠ABC=60°∴Δ，∵∠BAE=30°，∴AE⊥BC，此時(shí)點(diǎn)F．（2）如圖2中，連接AC．∵Δ∴AC=AB=2，，，CG=2，，，，∴∠BAE=（3）如圖3中，由翻折可知，，∴∠BAF=30°∵∠∴∠，∴DF=2，，，AH⊥DF，，，，∴∠GAH=60°，，，，∠ADH=45°，過點(diǎn)作交DM的延長線于Q，在DM上取一點(diǎn)T，使得HT=DH，連接，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30°角的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．8．如圖．四邊形ABCD、BEFG均為正方形．（1）如圖1，連接AG、CE，請直接寫出AG和CE的數(shù)量和位置關(guān)系（不必證明）．（2）將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角（0°＜β＜180°），如圖2，直線AG、①AG和CE是否仍然滿足（1）中的結(jié)論？如果是，請說明理由：如果不是，請舉出反例：②連結(jié)MB，求證：MB平分∠AME（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)A作AN⊥MB交MB的延長線于點(diǎn)N，請直接寫出線段CM與【答案】（1）AG=EC，AG⊥EC；（2）①滿足，理由見解析；②見解析；（3）CM=2BN．【分析】（1）由正方形BEFG與正方形ABCD，利用正方形的性質(zhì)得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS得出三角形ABG與三角形CBE全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得證；（2）①利用SAS得出△ABG≌△CEB即可解決問題；②過B作BP⊥EC，BH⊥AM，由全等三角形的面積相等得到兩三角形面積相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上得到BM為角平分線；（3）在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到BQ=2BN，接下來證明BQ=CM，即要證明三角形ABQ與三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由三角形ANM為等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性質(zhì)得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證．【解析】解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由為：∵正方形BEFG，正方形ABCD，∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABG和△BEC中，BG=BE∠∴△ABG≌△BEC（SAS），∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，延長CE交AG于點(diǎn)M，∴∠BEC=∠AEM，∴∠ABC=∠AME=90°，∴AG=EC，AG⊥EC；（2）①滿足，理由是：如圖2中，設(shè)AM交BC于O．∵∠EBG=∠ABC=90°，∴∠ABG=∠EBC，在△ABG和△CEB中，AB=BC∠∴△ABG≌△CEB（SAS），∴AG=EC，∠BAG=∠BCE，∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM，∴∠BCE+∠COM=90°，∴∠OMC=90°，∴AG⊥EC．②過B作BP⊥EC，BH⊥AM，∵△ABG≌△CEB，∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，∴12EC?BP=1∴BP=BH，∴MB平分∠AME；（3）CM=2BN，理由為：在NA上截取NQ=NB，連接BQ，∴△BNQ為等腰直角三角形，即BQ=2BN，∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN為等腰直角三角形，即AN=MN，∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，∴∠MBC=∠BAN，在△ABQ和△BCM中，AQ=BM∠∴△ABQ≌△BCM（SAS），∴CM=BQ，則CM=2BN．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．題型03：情景探究題9．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動：數(shù)學(xué)活動課上，老師提出如下數(shù)學(xué)問題：已知四邊形ABCD與四邊形BEDG都為正方形，P為DF的中點(diǎn)，連接AP，EP，如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，求證：AP=PE．(1)獨(dú)立思考：請你證明老師提出的問題；(2)合作交流：解決完上述問題后，“翱翔”小組的同學(xué)受此啟發(fā)，把正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在對角線BD上時(shí)（如圖2），他們認(rèn)為老師提出的結(jié)論仍然成立．請你予以證明；(3)問題解決：解決完上述問題后，“善思”小組提出如下問題，把正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖3），當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上時(shí)，DE與BC交于點(diǎn)H．若AD=5，BG=1，請直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)HC=【分析】（1）延長EP交AD于M，可證△DPM≌△FPE（ASA），于是EP=MP=（2）連接PC，過點(diǎn)P作PN⊥BC于N，可證PA=PC，進(jìn)一步求證PN∥CD∥EF，由平行線分線段成比例定理，得FPPD=ENNC，從而得（3）延長AP至M，使AP=PM，連接FM，EM，AE，證得△APD≌△MPF（SAS），進(jìn)一步求證∠EFM=∠ABE，結(jié)合正方形性質(zhì)得AB=FM，求證△ABE≌△MFE（SAS），可得△AEM為等腰直角三角形，于是AP=PE，AP⊥PE，運(yùn)用勾股定理求得【解析】（1）證明：延長EP交AD于M，∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，∴EF∥CB，∴AD∥∴∠PDM=∠EFP，∵點(diǎn)P是線段DF的中點(diǎn)，∴FP=DP，又∵∠DPM=∠FPE，∴△DPM≌∴EP=MP=1又∵∠EAM=90°，PE=PM，∴AP=1∴AP=PE；（2）證明：連接PC，過點(diǎn)P作PN⊥BC于N，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)A，C關(guān)于BD對稱，∴PA=PC，∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，∴∠BCD=∠BEF=90°，∴CD∥∵PN⊥BC，∴∠PNE=90°，∴∠PNE=∠BCD，∴PN∥∴PN∥∴FPPD∵P是DF的中點(diǎn)，∴PF=PD，∴EN=NC，∴PN垂直平分EC，∴PE=PC，∴AP=PE；（3）解：延長AP至M，使AP=PM，連接FM，EM，AE，∵PD=PF，∠APD=∠FPM，AP=PM，∴△APD≌∴AD=FM，∠DAP=∠PMF，∴AD∥∵AD∥∴FM∥∴∠EFM=∠BHF，∵∠BHF=∠HBE+∠BEH=∠HBE+90°，∠ABE=∠ABC+∠HBE=90°+∠HBE，∴∠BHF=∠ABE，∴∠EFM=∠ABE，∵四邊形BEFG是正方形，∴BG=EF，∵AB=AD，AD=FM，∴AB=FM，∴△ABE≌∴AE=EM，∠AEB=∠FEM，∴∠AEM=∠AED+∠FEM=∠AED+∠AEB=90°，∴△AEM為等腰直角三角形，又∵AP=PM，∴AP=PE，AP⊥PE，設(shè)DP=PF=x，則AP=x+1，∵AP∴（x+1∴x=1（∴DP=PF=1，∴PE=PF+EF=1+1=2，∴AP=2，∵∠ADP+∠HDC=90°，∠HDC+∠DHC=90°，∴∠ADP=∠DHC，∵∠APD=∠C=90°，∴△APD∽∴APCD∴25∴HC=5【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，結(jié)合中點(diǎn)條件添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．已知四邊形ABCD和AFGH都為正方形，連接BD，BH，F(xiàn)H，點(diǎn)N，M，K分別是BD，BH，F(xiàn)H的中點(diǎn)．

(1)觀察思考如圖①，點(diǎn)F，分別在AB，AD上，線段MN和MK的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系為______；(2)探究證明如圖②，將正方形AFGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中MN和MK的上述關(guān)系是否發(fā)生變化？請結(jié)合圖②說明理由；(3)綜合實(shí)踐如圖③，連接DF，取DF的中點(diǎn)，連接NR，KR.①判斷四邊形MNRK的形狀，并說明理由；②若AD=6，AH=2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形MNRK的周長的最大值為______.【答案】(1)MN=MK且MN(2)不變，理由見解析(3)①四邊形MNRK是正方形，理由見解析；②16【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BF=DH，BF⊥DH，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到MN∥DH且MN=12DH，MK∥BF（2）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到MN∥DH且MN=12DH，MK∥BF且MK=12BF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和正方形邊的性質(zhì)得到∠BAF=∠DAH，BA=DA，F(xiàn)A=HA，推出△BAF≌△DAH（3）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到NR∥BF，NR=12BF，MK∥BF，MK=12BF，推出NR∥MK，NR=MK，得到四邊形MNRK是平行四邊形，根據(jù)NM=MK，且NM⊥MK，推出?MNRK是正方形；【解析】（1）解：∵四邊形ABCD和AFGH都為正方形，∴AB⊥AD，AB=AD，∴BF=DH，BF⊥∵M(jìn)，N，K分別為BH，BD，F(xiàn)H的中點(diǎn)，∴MN∥DH且MN=12DH∴MN=MK且MN⊥故答案為：MN=MK且MN⊥（2）MN=MK且MN⊥∵M(jìn)，N，K分別為BH，BD，F(xiàn)H的中點(diǎn)，∴MN∥DH且MN=12DH由旋轉(zhuǎn)知，∠BAF=∵BA=DA，F(xiàn)A=HA∴△BAF∴BF=DH，∠FBA=∴∠=90°，∴與DH的夾角為90°，∴BF∴MN=MK且MN⊥（3）①四邊形MNRK是正方形，理由如下：∵N，分別為BD，DF的中點(diǎn)∴NR∥BF，由（2）知，MK∥BF，∴NR∥MK，∴四邊形MNRK是平行四邊形∵NM=MK，且NM⊥∴?MNRK②當(dāng)點(diǎn)A在線段DH上時(shí)，DH長最大，此時(shí)，DH=AD+AH=6+2=8,∴MN=4，∴四邊形MNRK的周長的最大值為，CMNRK故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形，旋轉(zhuǎn)，三角形的中位線，全等三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定和邊角性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．題型04：最值問題11．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=42，點(diǎn)D為直線AC上一點(diǎn)，連接

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，過點(diǎn)C作交BD的延長線于點(diǎn)E，連接AE，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，當(dāng)CE=2時(shí)，求EF的長；(2)如圖2，延長BD至點(diǎn)G，使AG=AC，作∠BAG的平分線交BD于點(diǎn)H，交GC的延長線于點(diǎn)K．求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，取BC的中點(diǎn)M，連接KM、GM，當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上運(yùn)動時(shí)，直接寫出的最大值．【答案】(1)2(2)見解析(3)2【分析】（1）令∠BAF=∠1，，，，，，，證明△ABF≌△ACEASA，即可得，問題隨之得解；（2）過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)Q，令，，，，，先證明在等腰△AGB中，AK垂直平分BG，即有GK=BK，△ABK≌△AGK，再證明△ABQ≌△ACKASA，即有，，進(jìn)一步有△AQK是等腰直角三角形，問題隨之得解；（3）根據(jù)（2）可得：△AQK是等腰直角三角形，△ABQ≌△ACKASA，AK垂直平分BG，先證明∠BKC=∠CKA+∠BKA=90°，即可得KM=12BC=4，AM=12BC=4，即GMKM=GM4，即當(dāng)GM最大時(shí)，有最大值；易知點(diǎn)G在以A點(diǎn)為圓心，AG為半徑的圓上，即當(dāng)點(diǎn)【解析】（1）如圖1，

令∠BAF=∠1，，，，，，，由題意∠5+∠7=90°，∠4+∠6=90°，而∠6=∴∠4=又∵∠1+∴∠1=∠3，AB=AC，∴△ABF∴，在Rt△ABC中，∴BC=8，在Rt△BCE中，利用勾股定理同理可得∴；（2）如圖2，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)Q，

令，，，，，∵AG=AC，AB=AC，∠BAG的平分線交BD于點(diǎn)H，∴AG=AB，，∴在等腰△AGB中，AK垂直平分BG∴GK=BK，△ABK∴，∴，∵∠1+∴∠1=∠KAC，又AB=AC，∴△ABQ∴，，∴△AQK∴．∵，∴；（3）如圖，

根據(jù)（2）可得：△AQK是等腰直角三角形，△ABQ≌△ACKASA，∴∠CKA=∠AQB=45°，∠CKA=∴∠BKC=∵BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M，∴KM=12BC=4即GMKM∴當(dāng)GM最大時(shí)，有最大值，∵AG=AC=42∴點(diǎn)G在以A點(diǎn)為圓心，AG為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)G1，且G1M⊥BC∴G1∴GM最大為42∴GMKM即最大值為2+1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作出科學(xué)的輔助線，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．12．已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，∠EDF=90°，DE=DF，連接AE，CF．

(1)如圖1，求證：△ADE(2)直線AE與CF相交于點(diǎn)G．①如圖2，，BM⊥AG于點(diǎn)M，BN⊥CF于點(diǎn)N，求證：四邊形BMGN正方形；②如圖3，連接BG，若AB=5，，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)SAS證明三角形全等即可；（2）①根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；②作DH⊥AG交AG于點(diǎn)，作BM⊥AG于點(diǎn)M，證明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得結(jié)論．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∠EDF=90°，∴∠∴∠∴△（2）①證明：如圖，設(shè)AG與CD相交于點(diǎn)P．

∠ADP=90°∠DAP+∵△∴∠∵∠∴∠∠PGN=90°∵BM⊥AG，BN⊥∴四邊形BMGN是矩形，∴∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∴∠又∵∠∴△∴MB=NB∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于點(diǎn)，作BM⊥AG于點(diǎn)M，

此時(shí)△AMB∴BM=AHAH2=A∴DH最大時(shí)，AH最小，DH=DE=2，，由（2）①可知，△BGM∴B【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．13．在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,AB上，AF=CE，連接DE，過點(diǎn)F作FG⊥DE，垂足為G．

(1)如圖1，延長GF，交DA的延長線于，請完成畫圖并證明：AH=CD；(2)如圖2，點(diǎn)E,F分別在CB,AB的延長線上，連接AG．求AG的長；(3)如圖3，連接，則的最小值為________（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)見解析(2)2(3)2【分析】（1）由正方形ABCD、FG⊥DE，可得出∠FGE=∠DGH=90°，結(jié)合在四邊形BFGE中：∠FGE+∠B+∠2+∠3=360°，∠4+∠3=180°，可得出∠2=∠4，即可得出∠1=∠4，由ASA即可的而出△HAF?△DCE，即可證得AH=CD．（2）延長FG，交DA的延長線于，由ASA即可的而出△HAF?△DCE，故是DH的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出AG的長為2．（3）連接AG、AC，由（1）可知：AH=CD，∠DGH=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出AG的長為2，根據(jù)勾股定理可得AC=22，根據(jù)CG≥AC?AG【解析】（1）證明：如圖：

在正方形ABCD中：∠C=∴∠BAH=90°∵FG⊥∴∠FGE=在四邊形BFGE中：∠FGE+∴∠2+∵∠4+∴∠2=∵∠1=∴∠1=又∵AF=CE，∠FAH=∴△HAF∴AH=CD．（2）解：延長FG，交DA的延長線于，

在正方形ABCD中：∠C=∠BAD=∠ABC=90°，AD=2，∴∠BAH=90°，∠EBF=90°∴∠2+∵FG⊥∴∠DGH=∴∠1+∵∠1=∴∠F=又∵AF=CE，∠FAH=∴△HAF∴AH=CD．∴是DH的中點(diǎn)，∴AH=4，在Rt△HDG中，∴AG的長為2．（3）解：連接AG、AC，由（1）可知：AH=CD，∠DGH=90°∴是DH的中點(diǎn)，在Rt△HDG中，

在正方形ABCD中：∠ADC=90°，AD=CD=2，∴AC=A∴CG≥AC?AG，當(dāng)A、G、C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為：22?2故答案為：22【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，線段最小的求法，其中直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，線段最小的求法是解題的關(guān)鍵．題型05：解答證明題14．在四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，對角線BD平分∠ABC

(1)如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；(2)如圖2，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)在射線DE上，連接CH，BH，∠HCB的角平分線交BH于點(diǎn)M，若CM⊥BH，求證：∠DHC=∠(3)如圖3，在（2）的條件下，若∠BHD=∠BAD=120°，連接AH，BM=3，AH=6，求線段DH【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)83【分析】（1）利用由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可；（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（3）過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥BH，交BH的延長線于點(diǎn)G，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到AG=AF，BG=DF，HG=HF，∠AHG=∠AHF，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，邊角關(guān)系定理求得線段HG，BG的長度，則DH=DF+FH，結(jié)論可得．【解析】（1）證明：，AB=CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∴∠∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∴AB=AD∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）證明：∵CM∴∠∵CM是∠HCB∴∠在ΔHMC和ΔBMC中，∠HMC=∴ΔHMC∴CH=CB由（1）知：四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，∴∠DHC=（3）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥BH，交BH的延長線于點(diǎn)G，如圖，

∵∠BHD=∠BAD=120°∴∠在ΔGBA和ΔFDA中，∠AGB=∴ΔGBA∴AG=AF，BG=DF．在RtΔGHA和RtΔAH=AHAG=AF∴RtΔ∴HG=HF，∠AHG=∵∠∴∠∴∠∵AH=6∴AG=∴HG=HF=由（2）知：ΔHMC?∴BM=HM=，∴BG=BH+HG=5∴DF=BG=5∴DH=DF+FH=5【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用已知條件添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖1，F(xiàn)為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AD上（不與端點(diǎn)A，D重合），垂直平分交于點(diǎn)O，連接CF．過點(diǎn)D作DG∥CF交射線于點(diǎn)G．

(1)求∠AFC(2)求證：AF=2(3)如圖2，連接OD，若OD⊥DG，求【答案】(1)∠(2)見解析(3)10【分析】（1）連接，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得到AB=BF，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到AB=BC，∠ABC=90°，推出BC=BF=AB，根據(jù)∠BCF+∠BFC+∠AFB+∠BAF+∠ABC=360°得到∠CFB+∠AFB=135°從而求出∠AFC的大??；（2）過點(diǎn)D作DH⊥AG于點(diǎn)，由（1）可得∠GFC=45°，根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠DGF=∠CFG=45°，得到DH=HG，根據(jù)勾股定理求出DH=22DG，可證△ABO≌△DAHAAS，得到AO=DH（3）連接，DF，設(shè)AG與CD交于點(diǎn)M，根據(jù)正方形性質(zhì)和直角三角形得到∠ADO=∠CDG，推出△ODG為等腰直角三角形，可證△DAO≌△DCGSAS，推出△CGF為等腰直角三角形，推出∠AFD=90°，AF=2DF，利用勾股定理表示出AD=5DF，【解析】（1）證明：連接．

垂直平分，∴AB=BF∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°∴BC=BF=AB∴∠BCF=∠BFC，∠BAF=∵∠∴2∴∠∴∠（2）過點(diǎn)D作DH⊥AG于點(diǎn)

，由（1）可得∠GFC=45°∵DG∴∠∴DH=HG在Rt△DHG中，∴DH=∵∠由∠DAH+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，得∠ABO=又，∴△ABO，又，∴AF=2AO=2DH=2×（3）如圖，連接，DF，設(shè)AG與CD交于點(diǎn)M，

∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ADC=90°∵OD∴∠∴∠由（2）知：∠AGD=45°∵OD∴△，∴△DAO∴AO=CG，∠DAO=∵∠∴∠∴△∴CG=FG∴OF=AO=CG∴OF=FG∴DF⊥OG，DF=OF=OA，∴∠AFD=90°，AF=2DF，在Rt△ADF中，由勾股定理得在中，由勾股定理得DG=DF∴DG【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題型，考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖1，正方形ABCD的邊長為6cm，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/秒的速度移動，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動（不到點(diǎn)A）．設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)

(1)在點(diǎn)E，F(xiàn)移動過程中，連接CE，CF，EF，則△CEF的形狀是(2)如圖2，連接EF，設(shè)EF交BD移動M，當(dāng)t=2時(shí)，求AM的長；(3)如圖3，點(diǎn)G，分別在邊AB，CD上，且GH=35cm，連接EF，當(dāng)EF與GH的夾角為45°，求t【答案】(1)等腰直角三角形(2)2(3)3【分析】（1）通過證明得到CF=CE，∠DCE=∠BCF，則易推知△CEF是等腰直角三角形；（2）過點(diǎn)E作EN∥AB，交BD于點(diǎn)N，∠END=∠ABD=∠EDN=45°，EN=ED=BF，可證△EMN≌△FMB，得到EM=FM，由勾股定理求得EF的長度，即可得到答案；（3）連接CE，CF，設(shè)EF與GH交于P，通過證明四邊形GFCH是平行四邊形得到CF=GH=35，由勾股定理計(jì)算得到BF=3【解析】（1）解：等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=BC，根據(jù)題意可得：，在△CDE和△CBFDC=BC∠∴△∴CF=CE，∴∠∴△故答案為：等腰直角三角形；（2）解：如圖2，過點(diǎn)E作EN∥AB，交BD于點(diǎn)N，

，則∠NEM=∴∠∴EN=ED=BF在△EMN與△FMB∠NME=∴△∴EM=FM∵Rt△AEF中，AE=4∴EF=∴AM=（3）解：如圖3，連接CE，CF，設(shè)EF與GH交于P，

，由（1）得∠CFE=45°又∵∠EPQ=45°∴GH∵AF∴四邊形GFCH是平行四邊形，∴CF=GH=3在Rt△CBF中，得∴t=3【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)P,Q分別是邊AB,AD上的兩動點(diǎn)（點(diǎn)P,Q不與點(diǎn)A,B,D重合），以AP,AQ為鄰邊作矩形APEQ,PE交BD于M點(diǎn)，QE交BD于N點(diǎn)．設(shè)AP=x,AQ=y，已知xy=32．

(1)證明：BM(2)連接AM,AN．①如圖1，當(dāng)時(shí)，求∠MAN的大??；②如圖2，當(dāng)x≠y時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)①45°；②成立，見解析【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合正方形的性質(zhì)，運(yùn)用完全平方公式計(jì)算證明．（2）①證明是等腰直角三角形，利用角的計(jì)算求解即可．②將△ABM繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADF，連接FN，證明△MAN【解析】（1）證明：∵邊長為8的正方形ABCD，AP=x,AQ=y，∴，∴，∴∴MN=BD?BM?ND=2∵xy=32，∴MN故BM（2）解：①如圖1，

連接AE交BD于G點(diǎn)，∵，∴四邊形APEQ是正方形，AE平分∠PEQ∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵∠DAB=90°∴；②如圖2，①中的結(jié)論仍然成立，理由如下：將△ABM繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADF，連接FN，∴，DF=BM，∴，∴，∵M(jìn)N∴MN=NF，∵AM=AFMN=NF∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，完全平方公式，三角形全等的判定的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，完全平方公式，三角形全等的判定的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型06：相似三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用18．如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB上，連接DE、EF、DF，DEDE平分∠FDC，過點(diǎn)E作EM⊥DF于(1)求證：DE⊥(2)若G是DF的中點(diǎn)，連接EG、CG，CG交DE于點(diǎn)H．①求證：DE②若CD=6，DF=8，求GH的長．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)已知條件先證明△DEM≌△DEC(HL)，再證明△BEF≌△MEF(HL)，由于∠BEF+∠MEF+∠DEM+∠DEC=180°，則知∠FED=90°（2）①證明△DEF～△DCE，利用相似三角形各邊的比例即可求出結(jié)果；②根據(jù)①的結(jié)果求出，再根據(jù)條件求出CG=27，證明△GHE～△CHD，根據(jù)邊之間的比例求出GH即可．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∴EC⊥∵DE平分∠FDC，EM⊥DF，EC⊥∴EM=EC，在Rt△DEM和EM=ECDE=DE∴△DEM∴∠DEM=∵E是BC的中點(diǎn)，∴EB=EC，∴EB=EM，在Rt△BEF和EB=EMEF=EF∴△BEF∴∠BEF=∵∠BEF+∴∠FED=90°∴DE⊥（2）解：①證明：∵，∠DEF=∠∴△DEF∴DFDE∴DE②解：∵DE2=DF?DC∴，∵在Rt△DEF中，G是∴EG=1∵，∴EG=GD，∵DE平分∠FDC∴∠GED=∴GE=CD，∴∠CEG=∴CG=G∵GE=CD，∴△GHE∴即4∴GH=【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線，平行線的性質(zhì)，以及三角形的全等和相似，題目較為復(fù)雜，找到突破點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．19．綜合與實(shí)踐問題情境在綜合實(shí)踐課上，老師組織興趣小組開展數(shù)學(xué)活動，探究正方形的旋轉(zhuǎn)問題．在正方形ABCD和正方形AEFG中，點(diǎn)G，A，B在一條直線上，連接DG，（如圖1）．

操作發(fā)現(xiàn)（1）圖1中線段DG和的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形AEFG繞著點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，（1）中的結(jié)論是否成立？請僅就圖2的情況說明理由．類比探究（3）如圖3，若將圖2中的正方形ABCD和正方形AEFG中都變?yōu)榫匦?，且AD=2AB，AG=2AE，請僅就圖3的情況探究拓展探索（4）在（3）的條件下，若AD=6，AE=2，矩形AEFG在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線時(shí)，請直接寫出的值．【答案】（1）BE=DG；；（2）成立；理由見解析；（3）DG=2BE；（4）BE=6【分析】（1）延長交DG于點(diǎn)H，證明△AGD≌△AEB，得出BE=DG，∠AEB=∠AGD，求出∠BHG=90°，即可證明結(jié)論；（2）延長交DG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)T，證明△AGD≌△AEB，得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，求出∠DHT=90°，即可證明結(jié)論；（3）延長交DG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)T，證明△ADG∽△ABE，得出DGBE=ADAB（4）分兩種情況討論，當(dāng)F在線段DE上時(shí)，當(dāng)E在線段DF上時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理，求出結(jié)果即可．【解析】解：（1）延長交DG于點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，∴，AD=AB，∠EAG=∠∴△AGD∴BE=DG，∠AEB=∵∠ABE+∴∠ABH+∴∠BHG=90°∴．故答案為：BE=DG；．（2）成立；理由如下：延長交DG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)T，如圖所示：

∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形，∴，AD=AB，∠EAG=∠∴∠DAG+∴∠DAG=∴△AGD∴BE=DG，∠ABE=∵∠ABE+∠ATB=90°，∠ATB=∴∠DTH+∴∠DHT=90°∴．故答案為：BE=DG；．（3）延長交DG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)T，如圖所示：

∵四邊形ABCD和AEFG都是矩形，∴∠EAG=∴∠DAG+∴∠DAG=∵AD=2AB，∴ADAB∴△ADG∴DGBE即DG=2（4）當(dāng)F在線段DE上時(shí)，如圖所示：

∵四邊形AEFG為矩形，∴∠AEF=∠GFE=90°，GF=AE=2，EF=AG，∴∠DFG=90°∴DE=A∵AG=2∴EF=22∴DF=DE?EF=22∴DG=D根據(jù)解析（3）可知，DG=2∴BE=2當(dāng)E在線段DF上時(shí)，如圖所示：

∵四邊形AEFG為矩形，∴∠AEF=∠GFE=90°，GF=AE=2，EF=AG=2∴∠AED=90°∴DE=A∴DF=DE+EF=62∴DG=D根據(jù)解析（3）可知，DG=2∴BE=2綜上分析可知，BE=6或38【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等和三角形相似的判定方法，注意進(jìn)行分類討論．20．如圖1，矩形ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動點(diǎn)，連接AP，作DE⊥AP，BF⊥AP，垂足分別是E，F(xiàn)，連接OE，OF．(1)求證：OE=OF；(2)如圖2，延長OF交BP于點(diǎn)G，若∠BFG=∠BAP，猜想OG與AD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，已知AB=8，AD=10，求EF的值．【答案】(1)詳見解析(2)，詳見解析(3)EF=【分析】（1）如圖所示，延長FO交DE于點(diǎn)Q，根據(jù)垂直可證DE∥BF，根據(jù)矩形對角線可得BO=DO，可證△BOF≌△DOQ(AAS)，得到點(diǎn)O是FQ的中點(diǎn)，在Rt△EFQ中，（2）∠ABC=90°，∠AFB=90°，及角的和差關(guān)系，可得∠FBG=∠BFG，，再根據(jù)∠BFP=90°可得GF=GP，點(diǎn)G是BP的中點(diǎn)，在Rt△BFP中，GF=12BP，OE是△ACP的中位線，即點(diǎn)E是（3）如圖所示，過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，可得OM是中位線，可求出OM,BM,BP,PC,OE,AP的長，再根據(jù)OE是△ACP的中位線，OE∥BC，可證△EO