2024-2025學(xué)年云南省昆明市五華區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市五華區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)．用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)．將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中．只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則（）A. B.C. D.2.已知，都為單位向量，若在上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.33.在正方體中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.與所成角為C.平面 D.與平面所成角4.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過(guò)程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè)．某農(nóng)戶種植一種觀賞花?，為了解花卉的長(zhǎng)勢(shì)，隨機(jī)測(cè)量了枝花的高度（單位：），得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，則（）A.樣本花卉高度的極差不超過(guò)B.樣本花卉高度的中位數(shù)不小于眾數(shù)C.樣本花高度的平均數(shù)不小于中位數(shù)D.樣本花升高度小于的占比不超過(guò)5.設(shè)等比數(shù)列公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.即不充分也不必要條件6.已知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，體積為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.7.已知、為直線上的兩個(gè)定點(diǎn)，，為上的動(dòng)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，、，以為圓心，為半徑作圓；以為圓心，為半徑作圓，則兩圓公共點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)和兩點(diǎn)，，設(shè)曲線過(guò)原點(diǎn)的切線為，且，則所在的大致區(qū)間為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)的最大值為，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.在上有4個(gè)零點(diǎn)，則D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?0.已知函數(shù)，則（）A. B.若，則的極大值點(diǎn)為C.若至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增11.拋物線C：的準(zhǔn)線為，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，則（）A.為銳角三角形 B.的最小值為4C.，，成等差數(shù)列 D.，，成等比數(shù)列三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．13.正項(xiàng)數(shù)列中，，且，則______．14.甲口袋中有標(biāo)號(hào)為、、的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號(hào)為、、、的四張卡片，從兩個(gè)口袋中不放回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個(gè)口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的不同抽法共有______種（用數(shù)字作答）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角、、所對(duì)的邊分別是、、，且．（1）求角；（2）已知的角平分線交于點(diǎn)，若，，求．16.如圖，在多面體中，，，均垂直于平面，，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．17.一項(xiàng)沒(méi)有平局的對(duì)抗賽分為兩個(gè)階段，參賽者在第一階段中共參加2場(chǎng)比賽，若至少有一場(chǎng)獲勝，則進(jìn)入第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結(jié)束；進(jìn)入第二階段比賽的參賽者共參加3場(chǎng)比賽．在兩個(gè)階段的每場(chǎng)比賽中，獲勝方記1分，負(fù)方記0分，參賽者參賽總分是兩個(gè)階段得分的總和，若甲在第一階段比賽中每場(chǎng)獲勝的概率都為，在第二階段比賽中每場(chǎng)獲勝的概率都為，每場(chǎng)比賽是否獲勝相互獨(dú)立．已知甲參賽總分為2分的概率為．（1）求；（2）求甲參賽總分X分布列和數(shù)學(xué)期望．18.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，下中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率．（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線．①若與交于另一點(diǎn)，為中點(diǎn)，記斜率為，斜率為，證明：為定值；②若與相切，且與直線相交于點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.行列式最早起源于對(duì)線性方程組的研究，起初是一種速記的表達(dá)式，發(fā)展到現(xiàn)在已經(jīng)成為一種非常有用的數(shù)學(xué)工具．已知表示二階行列式，規(guī)定；表示三分行列式，規(guī)定．設(shè)．（1）求；（2）以為切點(diǎn)，作直線交的圖象于異于的另一點(diǎn)，其中．若，當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列an．①求an②證明：．2024-2025學(xué)年云南省昆明市五華區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)．用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)．將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中．只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出，再利用復(fù)數(shù)的減法以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，所以，，化簡(jiǎn)可得.故選：A.2.已知，都為單位向量，若在上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.3【正確答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合投影向量可得，平方結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律分析求解.【詳解】由題意可知：，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，可得，又因?yàn)?，所?故選：B.3.在正方體中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.與所成角為C.平面 D.與平面所成角為【正確答案】D【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，所以，與所成角的大小為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，則，所以，，又因?yàn)槠矫?，所以，平面，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，所以，，所以，與平面所成角為，D錯(cuò).故選：D.4.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過(guò)程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè)．某農(nóng)戶種植一種觀賞花?，為了解花卉的長(zhǎng)勢(shì)，隨機(jī)測(cè)量了枝花的高度（單位：），得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，則（）A.樣本花卉高度的極差不超過(guò)B.樣本花卉高度的中位數(shù)不小于眾數(shù)C.樣本花的高度的平均數(shù)不小于中位數(shù)D.樣本花升高度小于的占比不超過(guò)【正確答案】D【分析】利用極差的定義可判斷A選項(xiàng)；利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用平均數(shù)公式求出樣本花卉高度的平均數(shù)，可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出樣本花升高度小于的占比，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可知，樣本花卉高度的極差為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，樣本花卉高度的眾數(shù)為，設(shè)樣本花卉高度的中位數(shù)為，前三個(gè)矩形的面積和為，前四個(gè)矩形的面積和為，故，由中位數(shù)的定義可得，解得，則，所以，樣本花卉高度的中位數(shù)小于眾數(shù)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可知，樣本花卉高度的平均數(shù)為，且，所以，樣本花的高度的平均數(shù)小于中位數(shù)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，樣本花升高度小于的占比為，D對(duì).故選：D.5.設(shè)等比數(shù)列公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.即不充分也不必要條件【正確答案】D【分析】要判斷“”與“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”之間的條件關(guān)系.需要分別從充分性和必要性兩方面進(jìn)行分析，即看“”能否推出“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”，以及“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”能否推出“”.【詳解】假設(shè).對(duì)于等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.當(dāng)，時(shí)，根據(jù)通項(xiàng)公式可得.此時(shí)，等比數(shù)列不是遞增數(shù)列.這說(shuō)明僅僅不能保證等比數(shù)列一定是遞增數(shù)列，所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分條件.假設(shè)等比數(shù)列為遞增數(shù)列，那么.由通項(xiàng)公式可得，，所以.當(dāng)時(shí)，不等式兩邊同時(shí)除以（因?yàn)?，，不等?hào)方向改變），得到.例如當(dāng)時(shí)，，解得.這說(shuō)明等比數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有，所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要條件.則“”是“an為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.故選：D.6.已知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，體積為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用母線長(zhǎng)和高，求出上底面半徑和下底面半徑的等式關(guān)系，然后利用體積求出上底面半徑和下底面半徑的另一個(gè)等式關(guān)系，然后求出上下底面半徑，再用側(cè)面積公式即可求解.【詳解】如下圖所示，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，則，設(shè)為圓臺(tái)的一條母線，連接、，則四邊形為直角梯形，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，根據(jù)題意，，，，，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，，，則，由勾股定理可得，即，可得，①又因?yàn)閳A臺(tái)的體積為，可得，②所以，，解得，所以，圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：C.7.已知、為直線上的兩個(gè)定點(diǎn)，，為上的動(dòng)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，、，以為圓心，為半徑作圓；以為圓心，為半徑作圓，則兩圓公共點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】作出圖形，分析可知，點(diǎn)不在線段（不包括端點(diǎn)）上，對(duì)點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合雙曲線的定義可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如下圖所示：設(shè)圓、圓的半徑分別為、，則，，設(shè)兩圓的一個(gè)公共點(diǎn)為，由題意可知，點(diǎn)不能與點(diǎn)或點(diǎn)重合，若點(diǎn)在線段（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，事實(shí)上，，此時(shí)點(diǎn)不存在；當(dāng)點(diǎn)在以點(diǎn)為端點(diǎn)以的方向?yàn)榉较虻纳渚€上時(shí)，此時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在以點(diǎn)為端點(diǎn)且以的方向?yàn)榉较虻纳渚€上時(shí)，此時(shí)，.綜上，，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，則，可得，因此，兩圓公共點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A.8.已知函數(shù)和兩點(diǎn)，，設(shè)曲線過(guò)原點(diǎn)的切線為，且，則所在的大致區(qū)間為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，根據(jù)直線平行可得，構(gòu)建，可知為的非零零點(diǎn)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)椋?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率，則切線的方程為，若切線過(guò)原點(diǎn)，則，解得，可在切線的，若，且直線的斜率，則，即，整理可得，構(gòu)建，則，可知為的非零零點(diǎn)，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則分別在、內(nèi)至多一個(gè)零點(diǎn)且，又因?yàn)?，所以所在的大致區(qū)間為.故選：C.方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解．這類(lèi)問(wèn)題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)的最大值為，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.在上有4個(gè)零點(diǎn)，則D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椤菊_答案】ABC【分析】對(duì)于A：根據(jù)函數(shù)周期分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)函數(shù)最值分析判斷；對(duì)于C：令，可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：整理可得，結(jié)合正切函數(shù)分析求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，由圖象可知：函數(shù)的最小正周期，且，則，解得，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由圖可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，則，整理可得，解得，則，所有為偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，因?yàn)?，則，若在上有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋忠驗(yàn)?，則，可得，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.若，則的極大值點(diǎn)為C.若至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)函數(shù)解析式運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性和極值；對(duì)于CD：分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和零點(diǎn).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且，令，解得或；令，解得；可知在，?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若至少有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)B可知：，即，解得；綜上所述：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?dāng)，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)，則，對(duì)于，可得，此時(shí)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；綜上所述：在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：ACD.11.拋物線C：的準(zhǔn)線為，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，則（）A.為銳角三角形 B.的最小值為4C.，，成等差數(shù)列 D.，，成等比數(shù)列【正確答案】ABD【分析】設(shè)，Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】由題意可知：焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線，直線的斜率不為0，且與拋物線必相交，設(shè)，Ax1,y可得，聯(lián)立方程x=my+1y2=4x，消去x則，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可得，可知，所以為直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)CD：因?yàn)?，則，即，顯然不恒相等，且不為0，所以，，成等比數(shù)列，不成等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD.方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題的求解方法（1）涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解；（2）面積問(wèn)題常采用底高，其中底往往是弦長(zhǎng)，而高用點(diǎn)到直線距離求解即可，選擇底很重要，選擇容易坐標(biāo)化的弦長(zhǎng)為底．有時(shí)根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達(dá)形式，若求多邊形的面積問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解；（3）在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【正確答案】##【分析】利用二倍角公式、弦化切以及兩角和的正切公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故答案為.13.在正項(xiàng)數(shù)列中，，且，則______．【正確答案】【分析】推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的表達(dá)式.【詳解】在正項(xiàng)數(shù)列中，，則，可得，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，且，則，因?yàn)?故答案.14.甲口袋中有標(biāo)號(hào)為、、的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號(hào)為、、、的四張卡片，從兩個(gè)口袋中不放回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個(gè)口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的不同抽法共有______種（用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】計(jì)算出從甲、乙兩個(gè)口袋中，每個(gè)口袋至少抽一張卡片，共抽取三張卡片的抽法種數(shù)，以及抽取的三張卡片都是奇數(shù)的抽法種數(shù)，利用間接法可得結(jié)果.【詳解】從甲、乙兩個(gè)口袋中，每個(gè)口袋至少抽一張卡片，共抽取三張卡片，不同的抽法種數(shù)為，其中，抽取的三張卡片都是奇數(shù)的抽法種數(shù)為，因此，抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的不同抽法種數(shù)為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角、、所對(duì)的邊分別是、、，且．（1）求角；（2）已知的角平分線交于點(diǎn)，若，，求．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可求出的值，再利用結(jié)合三角形的面積公式可求得的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，所以，，因?yàn)?、，則，可得，則，故.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，因?yàn)椋?，整理可?16.如圖，在多面體中，，，均垂直于平面，，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線方向向量和平面內(nèi)任意向量，得到向量垂直，從而得到線線垂直，即可證明線面垂直；（2）由空間直角坐標(biāo)系求出面的法向量，由面的法向量求出二面角的余弦值的絕對(duì)值，由三角恒等變換得到角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作一條直線與垂直，則以為原點(diǎn)，為軸，的垂直為軸，為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∴，∵∴∴，，，∴，，∵，∴，又∵，平面，平面∴平面【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∴，即，則可取，即，設(shè)二面角為，則，∴17.一項(xiàng)沒(méi)有平局的對(duì)抗賽分為兩個(gè)階段，參賽者在第一階段中共參加2場(chǎng)比賽，若至少有一場(chǎng)獲勝，則進(jìn)入第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結(jié)束；進(jìn)入第二階段比賽的參賽者共參加3場(chǎng)比賽．在兩個(gè)階段的每場(chǎng)比賽中，獲勝方記1分，負(fù)方記0分，參賽者參賽總分是兩個(gè)階段得分的總和，若甲在第一階段比賽中每場(chǎng)獲勝的概率都為，在第二階段比賽中每場(chǎng)獲勝的概率都為，每場(chǎng)比賽是否獲勝相互獨(dú)立．已知甲參賽總分為2分的概率為．（1）求；（2）求甲參賽總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【正確答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）利用獨(dú)立事件概率的乘法公式來(lái)求解，要根據(jù)甲參賽總分為分的情況進(jìn)行分析，求的值，（2）需要考慮所有可能取值，再分別計(jì)算每個(gè)取值的概率，最后根據(jù)分布列求數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】甲參賽總分為分有兩種情況：第一種情況是在第一階段兩場(chǎng)比賽一勝一負(fù)（概率為），然后在第二階段三場(chǎng)比賽一勝兩負(fù)（概率）.第二種情況是在第一階段兩場(chǎng)比賽全勝（概率為），然后在第二階段三場(chǎng)比賽全負(fù)（概率為）.根據(jù)甲參賽總分為分的概率為，可列出方程：先計(jì)算組合數(shù)，.方程變?yōu)?化簡(jiǎn)得.即.因式分解得.解得或，因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】甲參賽總分的可能取值為，，，，，.包括：在第一階段兩場(chǎng)全輸，概率為.包括：在第一階段一勝一負(fù)（概率為），然后在第二階段三場(chǎng)全輸（概率為），所以.：前面已求出為.包括：在第一階段兩場(chǎng)全勝（概率為），然后在第二階段一勝兩負(fù)（概率為），此時(shí).也包括在第一階段一勝一負(fù)（概率為），然后在第二階段兩勝一負(fù)（概率為）.此時(shí).則包括：在第一階段兩場(chǎng)全勝（概率為），在第二階段兩勝一負(fù)（概率為），此時(shí).也包括在第一階段一勝一負(fù)（概率為），然后在第二階段三場(chǎng)全勝（概率為），此時(shí).則.包括：在第一階段兩場(chǎng)全勝（概率為），然后在第二階段三場(chǎng)全勝（概率為），所以.所以的分布列為：12345根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式，18.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，下中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率．（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線．①若與交于另一點(diǎn)，為中點(diǎn)，記斜率為，斜率為，證明：為定值；②若與相切，且與直線相交于點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②是，且定點(diǎn)坐標(biāo)為1,0【分析】（1）根據(jù)可得出，可得出關(guān)于的方程，解出