微積分 第3版 課件全套 范周田 第1-9章 函數(shù)- 常微分方程

1.1函數(shù)設(shè)D為實(shí)數(shù)集R的非空子集,如果對(duì)任意的

都存在唯一的與之對(duì)應(yīng),可用表示,并稱(chēng)x為自變量,y為因變量.則稱(chēng)y是x的一元函數(shù),而定義域就是自變量的取值范圍,分別記為因變量的取值范圍,值域就是或者簡(jiǎn)記為

第一章函數(shù)例如,令D到R的對(duì)應(yīng)關(guān)系是:

3對(duì)應(yīng)15.

1對(duì)應(yīng)5;2對(duì)應(yīng)10;這個(gè)對(duì)應(yīng)方式滿(mǎn)足唯一性的要求,因此是一個(gè)函數(shù),記之為

f.

函數(shù)f

可以描述為:D中的每個(gè)數(shù)值都對(duì)應(yīng)其自身的5倍.把集合

D中的每個(gè)數(shù)值用x表示,

1,2,3這三個(gè)數(shù)值中的任意一個(gè).即x取值可以是則函數(shù)f

可以描述為:x對(duì)應(yīng)5x,記為定義域值域需要注意的是,f與是有所不同的:

f是對(duì)應(yīng)關(guān)系,即函數(shù),而則表示函數(shù)f在x處的值.另外,函數(shù)的表示與自變量和因變量所使用的字母是無(wú)關(guān)的,也不一定有表達(dá)式.是單調(diào)遞增函數(shù);如果對(duì)任意的都有1.單調(diào)函數(shù)1.2幾種具有特殊性質(zhì)的函數(shù)一個(gè)函數(shù)往往在其定義域中的某些區(qū)間上是遞增的,如果對(duì)任意的都有是單調(diào)遞減函數(shù).單調(diào)遞增函數(shù)與單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù).這樣的區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.而在另外的區(qū)間上是遞減的,2.奇函數(shù)與偶函數(shù)如果對(duì)任意都有我們就說(shuō)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),而且的圖形關(guān)于坐標(biāo)系原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),即如果對(duì)任意就稱(chēng)函數(shù)為奇函數(shù).都有則稱(chēng)為奇函數(shù).關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),而且的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),即如果對(duì)任意就稱(chēng)函數(shù)為偶函數(shù).都有則稱(chēng)為偶函數(shù).3.周期函數(shù)如果存在正數(shù)T,使得對(duì)定義域中的任意x成立,

通常情況下,我們關(guān)心周期函數(shù)的最小正周期,就稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù),T是一個(gè)周期.

也有例外的情況,例如常函數(shù)是周期函數(shù),任意正數(shù)都是它的周期,因此它沒(méi)有最小正周期.簡(jiǎn)稱(chēng)周期.有界無(wú)界4.有界函數(shù)yxoDyxoD有六個(gè)常見(jiàn)的有界函數(shù):設(shè)是一元函數(shù),如果

都存在唯一的使得

1.3反函數(shù)

則稱(chēng)函數(shù)f有反函數(shù).

函數(shù)f的反函數(shù)記為函數(shù)的反函數(shù)可以記為也可以記為函數(shù)與的圖像是相同的,與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).

1.4函數(shù)的表示

通?？梢杂眉?圖表,數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng),圖形和解析稱(chēng)為顯函數(shù).

1.解析表達(dá)式(顯函數(shù))2.分段函數(shù)

一個(gè)函數(shù)在其定義域的不同部分可以有不同

表達(dá)式等表示函數(shù).

的表達(dá)式,即所謂的分段函數(shù).例1.1

符號(hào)函數(shù)xyo例1.2

分段函數(shù)例1.3取整函數(shù)表示不超過(guò)x的最大整數(shù).如當(dāng)階梯曲線

定義域值域例1.4狄里克萊(Dirichlet)函數(shù)狄里克萊十分特殊:它是有界函數(shù),偶函數(shù),也是周期函數(shù),以任意的正有理數(shù)為周期,由于沒(méi)有最小的正有理數(shù),也就沒(méi)有最小正周期.另外,我們無(wú)法畫(huà)出D(x)的圖像.3.隱函數(shù)通常情況下,隱函數(shù)不一定能化成顯函數(shù).如果

都存在唯一的y,滿(mǎn)足方程

則稱(chēng)y是由方程確定的x的隱函數(shù).例如,1.冪函數(shù)1.5基本初等函數(shù)微積分中除了常數(shù)函數(shù)外最常見(jiàn)的函數(shù)分為五類(lèi),冪函數(shù)的定義域與的取值有關(guān).稱(chēng)為基本初等函數(shù),包括冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù).特別地，2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

稱(chēng)為自然對(duì)數(shù).特別地，記為定義域?yàn)橹涤驗(yàn)檎液瘮?shù)3.三角函數(shù)與反三角函數(shù)該函數(shù)是奇函數(shù).定義域值域反正弦函數(shù)該函數(shù)是奇函數(shù).定義域?yàn)橹涤驗(yàn)橛嘞液瘮?shù)該函數(shù)是偶函數(shù).定義域值域反余弦函數(shù)該函數(shù)非奇非偶.定義域值域正切函數(shù)定義域值域反正切函數(shù)定義域值域余切函數(shù)反余切函數(shù)定義域值域正割函數(shù)常用三角函數(shù)公式:余割函數(shù)和、差化積公式:積化和、差公式:1.6復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)閯t稱(chēng)函數(shù)

為x的復(fù)合函數(shù).x是自變量,u稱(chēng)為中間變量,y是因變量.注意:

復(fù)合函數(shù)可由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成.函數(shù)的值域,設(shè)定義種形式多層復(fù)合得到.基本初等函數(shù)只有11種形式,復(fù)合函數(shù)的11種形式如下：簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)也只有11種形式,更復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)則可以由這11其中

形如的函數(shù)稱(chēng)為冪指函數(shù),

也是復(fù)合函數(shù),冪指函數(shù)因

由常數(shù)函數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù),叫作初等函數(shù).初等函數(shù)一定可以用一個(gè)解析式表示.1.7經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)

1.8極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)方程

1.極坐標(biāo)系在平面上取定一點(diǎn)O,

取定一個(gè)長(zhǎng)度單位,稱(chēng)為極軸,稱(chēng)為極點(diǎn),這樣就組成了極坐標(biāo)系.以O(shè)為起點(diǎn)作射線并平面上的任一點(diǎn)P都可用稱(chēng)為點(diǎn)P的極徑,稱(chēng)為點(diǎn)P的極角,通常限定極角取值范圍為

一對(duì)有序數(shù)`組確定:

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)有如下關(guān)系2.極坐標(biāo)方程某些平面曲線用極坐標(biāo)方程表示更為簡(jiǎn)單.例如,表示以原點(diǎn)為圓心,以a為半徑的圓.表示以原點(diǎn)為起點(diǎn),與x軸正向夾角為的一條射線.解例1.5將下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程:(1)由有解得極坐標(biāo)方程為:(2)由有極坐標(biāo)方程為:例1.6將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程:解(1)由(2)同理等式兩邊同時(shí)乘以r,得

直角坐標(biāo)方程為:的直角坐標(biāo)方程為:記作點(diǎn)

稱(chēng)為鄰域的中心,稱(chēng)為鄰域的半徑.記作也稱(chēng)空心鄰域,稱(chēng)為設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù),且1.8區(qū)間與鄰域2.1數(shù)列無(wú)窮小與極限

數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)數(shù)列簡(jiǎn)記為例如,簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為第二章極限與連續(xù)數(shù)列的定義域正整數(shù)集是無(wú)限集,沒(méi)有最大正整數(shù).

即對(duì)任意給定的正數(shù)C,總存在正整數(shù)N,使得

依次取

在幾何上,數(shù)列可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

數(shù)列的變化過(guò)程包含兩個(gè)相關(guān)的無(wú)限過(guò)程:n的主動(dòng)變化過(guò)程是自變量n的主動(dòng)變化過(guò)程和因變量的被動(dòng)變化過(guò)程.即n從1開(kāi)始,不斷增大(每次加1,無(wú)限重復(fù)).我們將n的這種變化過(guò)程稱(chēng)為n趨于無(wú)窮大,記為考察數(shù)列變化趨勢(shì).對(duì)于數(shù)列我們主要研究當(dāng)時(shí)的是一個(gè)確定的正數(shù),對(duì)任意給定的正數(shù),而在所有正整數(shù)中,大于的正整數(shù)有無(wú)限多個(gè),

我們從中任意選定一個(gè),記之為N,即等價(jià)于都存在正整數(shù)N,于是當(dāng)時(shí),有即數(shù)列從某一項(xiàng)(第N+1項(xiàng))開(kāi)始,我們把具有這種特征的數(shù)列稱(chēng)為無(wú)窮小,對(duì)任意給定的,使得

每一項(xiàng)與常數(shù)0的距離都小于

也說(shuō)它的極限是

定義2.1(數(shù)列極限的定義)

如果使得當(dāng)時(shí),不等式成立,記作設(shè)為數(shù)列,或稱(chēng)數(shù)列是無(wú)窮小.

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是0,

如果存在某個(gè)常數(shù)A,使得

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是A,

或稱(chēng)數(shù)列收斂于A.

記作如果不存在這樣的常數(shù)A,使得

則稱(chēng)數(shù)列沒(méi)有極限,

或稱(chēng)數(shù)列發(fā)散.

定理2.1(無(wú)窮小比較定理)

證正整數(shù)

n,

由定義,如果存在正數(shù)C,設(shè)則故對(duì)任意的使得對(duì)于所有證及無(wú)窮小比較定理,有證及無(wú)窮小比較定理,有證及無(wú)窮小比較定理,有練習(xí)證明證注意到及無(wú)窮小比較定理,有由

練習(xí)證明幾何解釋:只有有限個(gè)

(至多有N個(gè))落在其外.2.2函數(shù)無(wú)窮小與極限

2.2.1函數(shù)在一點(diǎn)極限

在數(shù)軸上,常量對(duì)應(yīng)于定點(diǎn),變量對(duì)應(yīng)于動(dòng)點(diǎn).我們用表示自變量x無(wú)限接近但不等于

即且動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)的距離無(wú)限接近0.考察函數(shù)和

當(dāng)時(shí),

無(wú)限接近0,無(wú)限接近1,我們說(shuō)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限是

0,是無(wú)窮小,也稱(chēng)當(dāng)時(shí)而函數(shù)的極限是

1.定義2.2(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無(wú)窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時(shí),

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)的極限是0,

或稱(chēng)當(dāng)時(shí),如果A是常數(shù),且

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)的極限是A,

記作由可得其中

C為正數(shù).無(wú)窮小比較定理顯然,

即當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小.例2.3證明證因由有例2.4設(shè)證因由

有

證明練習(xí)證明證因而所以例2.5證因不妨設(shè),

顯然有,

證明即,

故.

對(duì),

有

而所以我們用表示點(diǎn)x從的

右側(cè)無(wú)限接近但不等于的過(guò)程.我們用表示點(diǎn)x從的

左側(cè)無(wú)限接近但不等于的過(guò)程;單側(cè)極限在定義2.2中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義,

分別稱(chēng)為f(x)在點(diǎn)的左極限與右極限.等價(jià)于

定理2.2(極限與左、右極限的關(guān)系)

注:也記成

也記成

例2.6證明不存在.由于左、右極限存在但不相等,證所以,不存在.2.2.2函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)的極限考察函數(shù)

我們用表示x無(wú)限地遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn),即無(wú)限增大的過(guò)程.

當(dāng)時(shí),無(wú)限增大,因此無(wú)限接近0,

我們說(shuō)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限是0,也稱(chēng)當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小.定義2.3(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無(wú)窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時(shí),

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)的極限是0,

或稱(chēng)當(dāng)時(shí),如果A是常數(shù),且

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)的極限是A,

記作的幾何意義:之內(nèi).函數(shù)的圖形完全落在帶型區(qū)域比較法的思想同樣可以研究自變量趨于無(wú)窮時(shí)由可得其中

C為常數(shù).例2.7證明證由有函數(shù)的極限.其中n為正整數(shù).

不妨設(shè)

當(dāng)時(shí),因例2.8證明證由有當(dāng)時(shí),不妨設(shè)

在定義2.3中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義.

等價(jià)于

例如,

因此

不存在.

2.2.3極限的性質(zhì)證設(shè)取有即在

的空心鄰域內(nèi)有界.定理2.3(唯一性)若存在,則極限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,則在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有界.由極限的定義

于是定理2.5(局部保號(hào)性)

證只需證第一部分.

不妨設(shè)(1)若因即于是設(shè)則在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)與A同號(hào).(2)如果在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)2.2.4

無(wú)窮大考察函數(shù)

當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì).

任意給定的正數(shù)M,無(wú)論M多么大,

就有

我們稱(chēng)當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大.是無(wú)窮大,

是正無(wú)窮大,

定義2.4記作如果則稱(chēng)當(dāng)時(shí)

不會(huì)和任意一個(gè)固定的常數(shù)無(wú)限接近,因而極限不存在.注意:當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大,

如果且,

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)

記作是負(fù)無(wú)窮大,

如果且,

記作則稱(chēng)當(dāng)時(shí)

證不妨設(shè)

因于是只要證所以故例2.9證明2.3極限的運(yùn)算法則證設(shè)且于是

定理2.6兩個(gè)無(wú)窮小之和為無(wú)窮小.即有

定理2.7

無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積為無(wú)窮小.定理2.7其實(shí)是比較法的直接推論.都是無(wú)窮小.例如,當(dāng)解練習(xí)求由有界,有由有界,有例2.10求解幾個(gè)極限不存在的例子:因因定理2.8(極限四則運(yùn)算法則)

則有

證(2)設(shè)

故由

再由定理2.6

是無(wú)窮小.

所以是無(wú)窮小.

特別地

即:常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.有,都是無(wú)窮小,且在附近有界.有利用極限的運(yùn)算法則及我們可以求解一些簡(jiǎn)單的極限問(wèn)題:

例如,對(duì)任意的多項(xiàng)式函數(shù)注意:(1)和(2)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù).

例2.11

求

解由函數(shù)商的極限法則,有解消去零因子法時(shí),分子、分母的極限都是零.例2.12

求

一般地,設(shè)

則商的法則不能使用.則當(dāng)時(shí),有解時(shí),分子、分母的極限都是無(wú)窮大,例2.13

求

分子、分母同時(shí)除以

x的最高次冪.解由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得練習(xí)求

一般地,當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí),有解根式有理化

原式例2.14

求

解原式練習(xí)求

定理2.9(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限法則,為了求

如果

設(shè)復(fù)合函數(shù)在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義.

再求令(稱(chēng)為變量代換),先求得

例2.15

求解由有如果定理2.10(函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系)則

且

例2.16證明不存在.

證令則

令由定理2.10,有則

如果

存在,設(shè)

矛盾。

答案原式練習(xí)(1)

求

解原式(2)

求

(3)試確定常數(shù)

a,

使解令則即準(zhǔn)則I(夾擠定理)

則2.4

極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

這一節(jié)介紹極限存在的兩個(gè)充分條件,稱(chēng)之為極限存在準(zhǔn)則,并用它們證明兩個(gè)重要的極限.的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,且滿(mǎn)足以下條件:在x0證所以是無(wú)窮小，所以由有由有如果數(shù)列及滿(mǎn)足以下條件:則準(zhǔn)則I’(數(shù)列夾擠定理)

證有而例2.17證明,為自然數(shù).

所以第一個(gè)重要極限:證于是作單位圓O,作單位圓的切線AC,即由夾擠定理因即再由夾擠定理第一個(gè)重要極限對(duì)于復(fù)合函數(shù)有其中的非零無(wú)窮小.解例2.18求下列極限:

練習(xí)解單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.如果數(shù)列滿(mǎn)足:第二個(gè)重要極限:

(1)數(shù)列形式(2)函數(shù)形式解解例2.19求

例2.20

求

2.5

函數(shù)的連續(xù)性2.5.1函數(shù)的連續(xù)性定義2.5(函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性)則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),稱(chēng)為的連續(xù)點(diǎn).如果注意:函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性包含以下三個(gè)條件:設(shè)所以,在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于:則顯然,

定義2.6(函數(shù)在一點(diǎn)左、右連續(xù))點(diǎn)左、右連續(xù).例2.21討論函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性.證因函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)且右連續(xù),所以在該點(diǎn)連續(xù).處右連續(xù),在在處左連續(xù),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.定義2.7(函數(shù)在區(qū)間連續(xù))則稱(chēng)它在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù);如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù),則稱(chēng)它在閉區(qū)間上連續(xù).通常把所有區(qū)間I

上的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記作

如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體記為

如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),證由夾擠定理,

因例2.22證明函數(shù)

內(nèi)連續(xù).同理,定理2.11(函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性)例如,故在其定義域內(nèi)連續(xù).定理2.12(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)定理2.13

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)而且連續(xù),則其反函數(shù)也單調(diào)且連續(xù).由此,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).即注:初等函數(shù)的連續(xù)性提供了極限的簡(jiǎn)單求法.例2.23求解因函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

是定義區(qū)間內(nèi)點(diǎn).

定理2.14(初等函數(shù)的連續(xù)性)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例2.24已知

解因求由極限的保號(hào)性,在的某個(gè)空心鄰域內(nèi),有

在這個(gè)空心鄰域內(nèi)有由初等函數(shù)的連續(xù)性,有例2.25求解所以因2.5.2函數(shù)的間斷點(diǎn)的一個(gè)間斷點(diǎn).下列三種情形至少有一種會(huì)發(fā)生:

例如,函數(shù)在

點(diǎn)左右極限都存在但不相等,所以,為的間斷點(diǎn).函數(shù)在

點(diǎn)左右極限都存在且相等,但函數(shù)在點(diǎn)無(wú)定義,所以,為的間斷點(diǎn).如果和中至少一個(gè)不存在,例如,函數(shù)因所以,為函數(shù)的間斷點(diǎn).點(diǎn)是間斷點(diǎn).函數(shù)在

點(diǎn)左右極限都不存在,另外,也是函數(shù)的間斷點(diǎn).根據(jù)間斷點(diǎn)的具體情形,可以將其做如下分類(lèi):第一類(lèi)間斷點(diǎn):第一類(lèi)間斷點(diǎn)又可以分成兩種情形:

如果左、右極限相等,則稱(chēng)其為可去間斷點(diǎn);如果左、右極限不相等,則稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn).間斷點(diǎn).的間斷點(diǎn),如果和都存在,則稱(chēng)的第一類(lèi)例如,為的跳躍間斷點(diǎn);如果補(bǔ)充定義

為的可去間斷點(diǎn).在間斷是因?yàn)楹瘮?shù)在這個(gè)點(diǎn)沒(méi)有定義,

這也是把稱(chēng)為可去間斷點(diǎn)的原因.那么它就在連續(xù)了.第二類(lèi)間斷點(diǎn):除去第一類(lèi)間斷點(diǎn)之外的間斷點(diǎn),若其中有一個(gè)為則稱(chēng)為無(wú)窮間斷點(diǎn).事實(shí)上,和中至少有一個(gè)不存在,則點(diǎn)就是第二類(lèi)間斷點(diǎn).

統(tǒng)稱(chēng)第二類(lèi)間斷點(diǎn).初等函數(shù)無(wú)定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn);分段函數(shù)的分段點(diǎn)是可能的間斷點(diǎn),需要討論.求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法:并判斷其間斷點(diǎn)的類(lèi)型.解函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

由初等函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).例2.26

討論函數(shù)的連續(xù)性,所以函數(shù)的間斷點(diǎn)是所以,x

=0為可去間斷點(diǎn).所以,x

=1為第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn).2.5.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)在區(qū)間I有定義,則稱(chēng)是函數(shù)在區(qū)間I的最大值(最小值).定理2.15(最大最小值定理)設(shè)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有最大值最小值.有即若注意:

若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間或區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.推論2.1

(有界性定理)設(shè)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有界.

顯然,函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個(gè)上界和一個(gè)下界.定理2.16(零點(diǎn)定理)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),使得則至少有一點(diǎn)證由零點(diǎn)定理,所以,方程使得例2.27設(shè)證明方程至少有一個(gè)小于的正實(shí)根.證由零點(diǎn)定理,得證.使得例2.28證明方程至少有一個(gè)小于的正根.令練習(xí)

證明方程證由零點(diǎn)定理,一根.所以,方程使得練習(xí)設(shè)函數(shù)證由零點(diǎn)定理,使得即定理2.17

(介值定理)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),若則至少有一點(diǎn)使得證設(shè)由零點(diǎn)定理,故推論2.2

閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.證則如果例2.29設(shè)在上連續(xù)，且證明：至少存在一點(diǎn)，使得不妨設(shè)則結(jié)論成立.如果則由介值定理,至少存在一點(diǎn),使得得證.例如,當(dāng)不可比.下面我們對(duì)無(wú)窮小趨于零的速度進(jìn)行比較.觀察各極限極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不存在,2.6

無(wú)窮小的比較定義2.8

(無(wú)窮小的階的比較)

記作記作等價(jià)無(wú)窮小;是同階無(wú)窮小;的高階無(wú)窮小;例2.30證明當(dāng)

證(1)因

(2)因(3)因例2.31常用等價(jià)無(wú)窮小:證明當(dāng)

證(1)因

(2)令故(3)

由(2)有

再由(1)有

證因定理2.18

(無(wú)窮小的等價(jià)代換)意義:利用等價(jià)無(wú)窮小代換,可以簡(jiǎn)化極限的計(jì)算.

所以故解注意:無(wú)窮小的等價(jià)代換適用于乘、除情形,代數(shù)和的情形需慎用.例2.32

用無(wú)窮小的等價(jià)代換求解解錯(cuò)例2.33求性質(zhì):一個(gè)無(wú)窮小例如,當(dāng)特別地,如果當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小,習(xí)慣將同冪函數(shù)進(jìn)行比較.

例2.34當(dāng)時(shí),試確定下列無(wú)窮小的階數(shù):

解(1)注:

如果用表示任意一種極限,包括六種情況下函數(shù)的極限和數(shù)列極限,

則可以用代替定義2.8和定理2.18中的即無(wú)窮小的等價(jià)代換仍然成立.解分子、分母同乘以因子

則練習(xí)1.求解故2.求1.三個(gè)基本無(wú)窮小第一章習(xí)題課(極限部分)一、重點(diǎn)內(nèi)容2.

關(guān)于無(wú)窮小的比較定理且在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)

如果成立，其中

C為常數(shù).3.設(shè)q為常數(shù),則4.

常用等價(jià)無(wú)窮小證因二、典型例題例1證明數(shù)列是無(wú)窮小.

而是無(wú)窮小,根據(jù)比較定理,數(shù)列是無(wú)窮小.例2證明證因當(dāng)時(shí),

是無(wú)窮小

.例3證明證因由比較定理,例4求極限解由夾擠定理得

例5設(shè)解令由夾擠定理則求例6設(shè)解顯然求且例7已知求常數(shù)a,b.解例8設(shè)解分子、分母同乘以因子

則求解例9設(shè)解原極限例10已知求常數(shù)a,b.故例11當(dāng)是

x的幾階無(wú)窮小?解設(shè)其為

x

的

k

階無(wú)窮小,所以,當(dāng)則證因一、證明數(shù)列是無(wú)窮小.

而是無(wú)窮小,練習(xí)題根據(jù)比較定理,數(shù)列是無(wú)窮小.二、證明證因由比較定理,三、求下列極限:

四、已知極限存在,求常數(shù)

a.解因因由于極限存在,所以左、右極限相等,故所以所以五、求出曲線的水平與鉛直漸近線.解

的一條水平漸近線.又因所以,的鉛直漸近線.

的一條水平漸近線.證(舍負(fù))的極限存在,并求其極限值.六、證明數(shù)列于是即所以間斷點(diǎn)分為兩類(lèi):第二類(lèi)間斷點(diǎn):第一類(lèi)間斷點(diǎn):及均存在,及中至少一個(gè)不存在.若稱(chēng)為可去間斷點(diǎn).若稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn).若其中有一個(gè)為稱(chēng)為無(wú)窮間斷點(diǎn).第一章習(xí)題課(連續(xù)部分)例1討論的連續(xù)性.解顯然,解即求常數(shù)a,b.例2設(shè)為連續(xù)函數(shù),即得證討論:令例3設(shè)由零點(diǎn)定理知,綜上所述:必存在一點(diǎn)若則及可去間斷點(diǎn)試確定常數(shù)a及b.為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),存在例4設(shè)函數(shù)有無(wú)窮間斷點(diǎn)解故

x

=–1為第一類(lèi)可去間斷點(diǎn);x=1為第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn);x

=0為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn).例5求的間斷點(diǎn),并判別其類(lèi)型.解是間斷點(diǎn),例6設(shè)函數(shù)內(nèi)有定義,對(duì)任意實(shí)數(shù)證可得x,y

滿(mǎn)足關(guān)系式處處連續(xù).由點(diǎn)連續(xù).試證:可得所以,一、證明奇次多項(xiàng)式至少存在一個(gè)實(shí)根.二、設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且證明函數(shù)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).練習(xí)題解三、求的間斷點(diǎn),并判斷其類(lèi)型.

易判斷,x

=0為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn).問(wèn)題1

平面曲線的切線及切線的斜率

3.1導(dǎo)數(shù)的概念第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)平面曲線Γ

的方程為Γ

上一定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M,N的直線稱(chēng)為曲線的割線.上一動(dòng)點(diǎn),為曲線為曲線其中曲線Γ在點(diǎn)M處的切線.割線MN的斜率為如果當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N沿曲線Γ

無(wú)限趨近于定點(diǎn)M時(shí),割線MN無(wú)限的接近于某定直線MT,直線MT就稱(chēng)為切線MT的斜率為設(shè)為某種商品的總成本函數(shù),表示的是當(dāng)產(chǎn)量增加一個(gè)單位問(wèn)題2邊際問(wèn)題為商品產(chǎn)量.

當(dāng)產(chǎn)量由增加到時(shí)，成本的增加量為.時(shí)成本的平均變化率，也稱(chēng)其為產(chǎn)量由增加到時(shí)的平均邊際成本.如果極限存在，就稱(chēng)這個(gè)極限值是生產(chǎn)這種商品時(shí)在點(diǎn)的邊際成本.如果極限存在,即定義3.1

(導(dǎo)數(shù)的概念)記為或?qū)?shù)也可寫(xiě)成也稱(chēng)導(dǎo)數(shù)不存在.如果極限不存在,注:是無(wú)窮大,記為關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：記為都存在,則稱(chēng)在閉區(qū)間上可導(dǎo).如果在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且及定理3.1(可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系)證所以注意:

該定理的逆定理不成立.處切線方程為法線方程為導(dǎo)數(shù)的幾何意義:處的切線方程為處的切線斜率.例3.1求拋物線解所求切線斜率為所求切線方程為法線方程為和法線方程.處的切線方程解練習(xí)求處的導(dǎo)數(shù).解練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即例3.2設(shè)函數(shù)解即同理解例如,例3.3求函數(shù)即的導(dǎo)數(shù).練習(xí)

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解即特別地,例3.4

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解即練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解即例3.5求曲線解所求切線斜率為所求切線方程為法線方程為和法線方程.處的切線方程例3.6設(shè)某商品的需求函數(shù),

解求邊際需求函數(shù).在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通常把導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為邊際或邊際函數(shù).例如，如果是成本函數(shù),則是邊際成本.是需求函數(shù),則是邊際需求函數(shù).★2.右導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)

★例3.7討論函數(shù)處的可導(dǎo)性.解因解練習(xí)設(shè)求解練習(xí)設(shè)曲線在點(diǎn)處有切線

處的可導(dǎo)性處是否有切線?解練習(xí)討論函數(shù)不存在,處的連續(xù)性與可導(dǎo)數(shù)性.練習(xí)設(shè)函數(shù)解由定理3.2若函數(shù)3.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算3.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則則它們的和、差、積、商(分母不為零)在點(diǎn)x處均可導(dǎo),且證(2)由導(dǎo)數(shù)的定義及可導(dǎo)必連續(xù),有

設(shè)推論例3.8設(shè)求解故練習(xí)設(shè)求解練習(xí)

求的導(dǎo)數(shù).解同理得即例3.9

求的導(dǎo)數(shù).解練習(xí)設(shè)解故3.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3.3設(shè)函數(shù)即:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).內(nèi)可導(dǎo),且有證因?yàn)檫B續(xù),于是,

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例3.10求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解同理可得即:

因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變3.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3.4若函數(shù)復(fù)合而成,量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)(鏈?zhǔn)椒▌t)推廣:解例3.11求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為設(shè)解例3.13求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解設(shè)例3.12求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解因例3.14求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即導(dǎo)數(shù)基本公式:特別地,特別地,注意:

初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).說(shuō)明:任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出;解練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例3.15求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).練習(xí)求函數(shù)問(wèn)題:變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.3.2.4高階導(dǎo)數(shù)變化率,因加速度a是速度v對(duì)時(shí)間

t的定義3.2

若導(dǎo)數(shù)存在,的二階導(dǎo)數(shù),記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為四階導(dǎo)數(shù),

二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù),記作二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).

求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)就是多次連續(xù)地對(duì)函數(shù)求規(guī)定:導(dǎo)數(shù),仍應(yīng)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)．例3.16求下列函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)反復(fù)求導(dǎo)有解(3)同理可得練習(xí)設(shè)解練習(xí)設(shè)解則練習(xí)設(shè)解高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則萊布尼茲公式設(shè)函數(shù)u和v

具有n階導(dǎo)數(shù),則例3.17設(shè)解由萊布尼茲公式練習(xí)設(shè)解因我們并不需要將隱函數(shù)顯化后求導(dǎo).

1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.2.5幾種特殊的求導(dǎo)法利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可.

而是方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),等式仍然成立,將

y視為x的函數(shù),解解得方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),例3.18求由Kepler方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3.19

求方程所確定的隱函數(shù)解解得方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),y的導(dǎo)數(shù)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),代入得解得例3.20

求由方程確定的隱函數(shù)y

解解得方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),的二階導(dǎo)數(shù)將代入,得練習(xí)求方程所確定的隱函數(shù)y解解得方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),的導(dǎo)數(shù)練習(xí)設(shè)曲線C的方程為解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),所求切線方程為顯然通過(guò)原點(diǎn).法線方程為法線通過(guò)原點(diǎn).練習(xí)設(shè)解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),方程(1)兩邊再對(duì)x求導(dǎo),得得得代入代入觀察函數(shù)求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函數(shù)的情形.方法:

先在等式兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的例3.21求的導(dǎo)數(shù).解等式兩邊取對(duì)數(shù),得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),練習(xí)設(shè)解等式兩邊取對(duì)數(shù),得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),例3.22求的導(dǎo)數(shù).解等式兩邊取對(duì)數(shù),得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),練習(xí)設(shè)解等式兩邊取對(duì)數(shù),得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),實(shí)例:

正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.3.3微分3.3.1微分的定義正方形面積定義3.3(微分定義)則稱(chēng)注意:對(duì)應(yīng)的增量,增量時(shí);就是切線縱坐標(biāo)微分的幾何意義當(dāng)是曲線的縱坐標(biāo)在點(diǎn)M的附近,切線段MP可近似代替曲線段MN.1.基本微分公式3.3.2微分的運(yùn)算法則

由導(dǎo)數(shù)的基本公式和求導(dǎo)法則立即得到微分特別地,

特別地,

基本公式和微分法則.

2.函數(shù)四則運(yùn)算的微分法則特別地,

結(jié)論:無(wú)論x是自變量還是中間變量,一階微分形式的不變性3.一階微分的形式不變性的微分形式總是例3.23設(shè)解解練習(xí)求由方程解得方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),解例3.24

求函數(shù)3.3.3高階微分于是

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微分,

則它的把看作的一元函數(shù),

若該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍可微分,

微分為.

則它的微分為稱(chēng)為的二階微分,

記為,記,

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)階可導(dǎo),

則3.3.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)充分小時(shí),利用微分可以將一些復(fù)雜的計(jì)算公式用簡(jiǎn)單的或近似公式來(lái)代替，使某些復(fù)雜計(jì)算得到簡(jiǎn)化.或解例3.25在附近求函數(shù)的近似式,并近似計(jì)算.解例3.26求的近似值.解例3.27求的近似值.例1設(shè)解1第三章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題課典型例題例1設(shè)解2其中則故解例2若函數(shù)求例3設(shè)解等式兩邊取對(duì)數(shù),得例4設(shè)解求所確定,例5設(shè)函數(shù)解兩邊取對(duì)數(shù)所確定,求例6問(wèn)a何值時(shí),拋物線解由題意所求切線方程為相切,求出切點(diǎn)與切線方程.解得切點(diǎn)為例7設(shè)解討論不存在,故例8求過(guò)點(diǎn)解所求切線斜率為切點(diǎn)為所求切線方程為由解出即解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),有所求切線斜率為所求切線方程為即例9求曲線處的切線方程.解得解設(shè)例10利用微分求的近似值.例11設(shè)函數(shù)解因(2)求處曲線的法線方程.由(2)所求法線方程為即例12設(shè)解例13設(shè)解練習(xí)題一、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解答3.取對(duì)數(shù),得兩邊對(duì)x求導(dǎo),有二、設(shè)

f(x),g(x)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解三、設(shè)

f(x)二階可導(dǎo),求函數(shù)

二階導(dǎo)數(shù).解解不一定存在,因可導(dǎo),用定義求解因?yàn)槲?、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù),且所以再由函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù)，可得從而不能直接用極限的四則運(yùn)算法則求解的極限問(wèn)題方法:型4.1洛必達(dá)法則其它能化成這兩種形式的未定式第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方法:型方法:型定理4.1(型的洛必達(dá)法則)則設(shè)在

的某空心鄰域內(nèi)滿(mǎn)足下列條件：定理4.1(型的洛必達(dá)法則)則設(shè)在

的某空心鄰域內(nèi)滿(mǎn)足下列條件:例4.1求解例4.2求解練習(xí)求解練習(xí)

求解練習(xí)求解注意:

洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法,與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好.練習(xí)

求解注意洛必達(dá)法則的使用條件!極限不存在此時(shí)不能使用洛必達(dá)法則.例4.3求解例4.4求解例4.5求解例4.6求解例4.8求解例4.7求解例4.9求解練習(xí)求解練習(xí)求解練習(xí)求解練習(xí)求解練習(xí)求解定理4.2(費(fèi)爾馬引理)

4.2微分中值定理內(nèi)的最大值或最小值,證不妨設(shè)設(shè)是在點(diǎn)

的某鄰域有根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)條件及極限的保號(hào)性,有所以,的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).

且曲線在該點(diǎn)有切線,如果在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上一定有最大值和最小值.最大、最小值點(diǎn)只可能是駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn).定理4.3(羅爾定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)使得證若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:必有最大值M和最小值m.由費(fèi)爾馬引理

推論4.1可微函數(shù)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有的一個(gè)零點(diǎn)．例4.13證明是方程的唯一實(shí)根.證矛盾.由羅爾定理,原命題得證.使得在[0,1]上二階可導(dǎo),且則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)練習(xí)若證使得使得上使用羅爾定理,使得使用羅爾定理,常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法：

常數(shù)k法基本思路是令待證等式中的常數(shù)為k，通過(guò)恒等變形將含有的式子寫(xiě)成的形式，

然后用羅爾定理則就是需要的輔助函數(shù),進(jìn)行證明.例4.14設(shè)分析證令羅爾定理,整理得使得故即定理4.4(拉格朗日中值定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);使得若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:幾何解釋:分析:

在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C,在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB.證作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式即或故就可以同時(shí)得到兩個(gè)不等式有限增量公式應(yīng)用：不等式的證明例4.15證明不等式證由拉格朗日中值定理,存在使得由得到例4.16如果證不妨設(shè)例4.17證明當(dāng)證而故練習(xí)證明當(dāng)證而故定理4.5設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增;單調(diào)遞減.4.3.1函數(shù)的單調(diào)性在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).證(1)由拉格朗日定理在[a,b]上在[a,b]上4.3

單調(diào)性及其應(yīng)用證明定義域?yàn)樽?:

定理4.5對(duì)于開(kāi)、閉、有限或無(wú)窮區(qū)間都正確.注2:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,例4.18證明函數(shù)在上單調(diào)遞增.

解例4.19討論函數(shù)的單調(diào)性.

定義域?yàn)榻舛x域?yàn)閷?dǎo)數(shù)不存在.例4.20

討論函數(shù)的單調(diào)性.

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).的分界點(diǎn)．則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間解定義域?yàn)槔?.21

討論函數(shù)的單調(diào)性.

解定義域?yàn)榫毩?xí)

討論函數(shù)的單調(diào)性.

導(dǎo)數(shù)不存在;單調(diào)性是證明函數(shù)不等式的一個(gè)有效方法.證例4.22證明當(dāng)所以在區(qū)間單調(diào)遞增.

因此當(dāng)時(shí),

得證.練習(xí)

證明當(dāng)證則即即(1)式成立.證練習(xí)證明不等式原不等式等價(jià)于設(shè)4.3.2函數(shù)的極值定義4.1

的一個(gè)極大值(或極小值),

如果在x0的

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)設(shè)在x0

附近有定義,某個(gè)空心鄰域內(nèi),恒有注意:

極值的概念是一個(gè)局部性的概念,它僅涉取得極值的點(diǎn)x0稱(chēng)為極值點(diǎn).及函數(shù)在一點(diǎn)附近的性質(zhì).定理4.6

(極值的必要條件)注意:可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn),例如,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).則必有設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),且在處取得極值,

的駐點(diǎn).另外:連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是極值點(diǎn).例如,設(shè)函數(shù)在x0

處連續(xù),定理4.7(極值的第一充分條件)在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo),則(1)如果有而有則在處取得極大值;(2)如果有而有則在處取得極小值;(3)如果當(dāng)及時(shí),符號(hào)相同,則在處無(wú)極值.是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形求函數(shù)極值的基本步驟:(3)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,得到相應(yīng)的極值.的點(diǎn)和的點(diǎn);(2)對(duì)(1)中求得的每個(gè)點(diǎn),根據(jù)

在其左、

如果是極值點(diǎn),進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是(1)求出

的所有可能的極值點(diǎn),即的不可導(dǎo)右是否變號(hào),確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn).

極小值點(diǎn);例4.23求函數(shù)的極值.解極大值極小值函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).導(dǎo)數(shù)不存在;不存在無(wú)極值不存在定理4.8(極值的第二充分條件)

注意:則設(shè)

在

處具有二階導(dǎo)數(shù),且(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值.此時(shí)仍需用定理4.7.極大值極小值解定義域?yàn)榫毩?xí)求函數(shù)的極值.求函數(shù)最大值與最小值的一般步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求出區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,3.在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用中,問(wèn)題本身可以保證目標(biāo)4.3.3函數(shù)的最值是最小值;比較大小,其中最大者就是最大值,最小者就種思想求取應(yīng)用問(wèn)題的最值.函數(shù)的最大值或最小值一定存在,我們通常用這例4.24求函數(shù)在[-1,4]上的最大解計(jì)算值與最小值.(-1,4)內(nèi)駐點(diǎn)比較得,最大值最小值例4.25欲建造一個(gè)糧倉(cāng),糧倉(cāng)內(nèi)部的下半部分為圓柱規(guī)定糧倉(cāng)儲(chǔ)藏量為,問(wèn)如何選取圓柱形的尺寸

能使造價(jià)最低.形,頂部為半球形,設(shè)用于建造圓柱形部分的材料的單價(jià)為,用于建造半球形部分的材料的單價(jià)為.如果糧食只能儲(chǔ)存在圓柱形部分，且解設(shè)圓柱的高和半徑分別為則糧倉(cāng)的內(nèi)表面積為材料的總價(jià)為代入上式得求導(dǎo)得又因?yàn)楣柿?

得駐點(diǎn).

所求問(wèn)題最小值一定存在,故唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn),

就是最小值點(diǎn),

故時(shí)造價(jià)最低.例4.26鐵路線上段的距離為工廠距處為垂直于(見(jiàn)圖).為了運(yùn)輸需要,要在線上選定一點(diǎn)向工廠修筑一條公路.已知鐵路上每公里貨運(yùn)的費(fèi)用與公路上每公里的費(fèi)用之比為3:5.為了使貨物從供應(yīng)站運(yùn)到工廠的運(yùn)費(fèi)最少,問(wèn)點(diǎn)應(yīng)選在何處？則解則設(shè)鐵路上每公里貨運(yùn)的費(fèi)用為,公路上每公里的費(fèi)用,從點(diǎn)到點(diǎn)的總運(yùn)費(fèi)為,故時(shí),求導(dǎo)得令得唯一駐點(diǎn)

所求問(wèn)題的最小值一定存在,故駐點(diǎn)就是問(wèn)題的最小值點(diǎn),總運(yùn)費(fèi)最少.解得練習(xí)

求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的

半徑為R.設(shè)圓柱體的高為2h,底半徑為

r,體積為V,

圓柱體的最大體積一定存在,故唯一駐點(diǎn)

就是最大值點(diǎn),

最大體積為令得(舍去負(fù)值)唯一駐點(diǎn),4.4.1曲線的凹凸性及拐點(diǎn)左圖中的曲線弧是向下凸的,它具有兩個(gè)特征:

(1)連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞增.

4.4

函數(shù)圖形總位于這兩點(diǎn)間的曲線弧的上方;

右圖中的曲線弧是向上凸的,它具有兩個(gè)特征:

(1)連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞減.

有時(shí)把向下凸的弧稱(chēng)為凹的,而把向上凸的弧總位于這兩點(diǎn)間的曲線弧下方;

稱(chēng)為凸的.曲線的這種性質(zhì)稱(chēng)作曲線的凹凸性.

恒有設(shè)在區(qū)間I上連續(xù),如果

恒有如果

定義1如果單調(diào)遞增,

定義2設(shè)在區(qū)間I可導(dǎo),如果單調(diào)遞減,

在區(qū)間I是向上凸的,或稱(chēng)凸的.定理4.9

設(shè)解例4.30

判斷曲線的凹凸性.解例4.31

判斷曲線的凹凸性.解定義4.2連續(xù)曲線上凹凸性發(fā)生變化的點(diǎn)稱(chēng)為練習(xí)判斷曲線的凹凸性.曲線的拐點(diǎn).定理4.10(拐點(diǎn)的第一充分條件)

設(shè)函數(shù)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在空心鄰域內(nèi)存在,(1)(2)定理4.11(拐點(diǎn)的第二充分條件)

曲線的拐點(diǎn).解凹的凸的凹的拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)例4.32求曲線的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間.

函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).不存在練習(xí)

證明證所以曲線在上是嚴(yán)格向下凸的.有即令1.垂直漸近線

(垂直于x軸的漸近線)4.4.2曲線的漸近線一條漸近線.移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí),如果點(diǎn)P到某定直線L的距離趨向于零,如果例如有兩條垂直漸近線:2.水平漸近線

(平行于x軸的漸近線)例如有兩條水平漸近線:如果3.斜漸近線斜漸近線求法如果或若且注意:解如果定義域?yàn)榫毩?xí)求的漸近線.不存在;不存在;可以斷定不存在斜漸近線.所以,是曲線的垂直漸近線.所以,是曲線的一條斜漸近線.(1)確定函數(shù)的定義域、間斷點(diǎn)、奇偶性和周期性.和拐點(diǎn).(2)確定曲線的漸近線,把握函數(shù)的變化趨勢(shì).

確定曲線的凹凸性(4)適當(dāng)計(jì)算曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo),如極值,拐點(diǎn)的坐標(biāo),注意曲線是否與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn).函數(shù)作圖的具體步驟可歸納如下:

(3)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值,例4.33描繪函數(shù)的圖形.解函數(shù)非奇非偶.定義域?yàn)樗綕u近線:垂直漸近線:無(wú)斜漸近線.極大值拐點(diǎn)列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):作圖拐點(diǎn)極大值補(bǔ)充點(diǎn)水平漸近線:垂直漸近線:極大值拐點(diǎn)練習(xí)描繪函數(shù)的圖形.解函數(shù)非奇非偶.定義域?yàn)樗綕u近線:不存在拐點(diǎn)極小值間斷點(diǎn)無(wú)斜漸近線.列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):鉛直漸近線作圖拐點(diǎn)極小值補(bǔ)充點(diǎn)不存在拐點(diǎn)極小值間斷點(diǎn)水平漸近線:垂直漸近線:定理4.11(柯西中值定理)

使得4.5柯西中值定理與泰勒公式(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且4.5.1柯西中值定理若函數(shù)f(x)及

F(x)滿(mǎn)足:證令整理,得作輔助函數(shù)則在閉區(qū)間[a,b]上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件即使得即由得則例4.34證由由定理的條件得在的某鄰域內(nèi)連續(xù),不妨設(shè)設(shè)x是該鄰域內(nèi)一點(diǎn)故有上式兩端令取極限則在處也連續(xù).注意到于是證畢練習(xí)設(shè)函數(shù)證結(jié)論可變形為使得即存在一點(diǎn)4.5.2泰勒公式

在實(shí)際問(wèn)題中,往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)而多項(xiàng)式函數(shù)就是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)初等函數(shù).首先考慮函數(shù)在一點(diǎn)附近的多項(xiàng)式近似.如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則有令則式(4-1)可簡(jiǎn)寫(xiě)為近似代替復(fù)雜的函數(shù).

式(4-2)可理解為:當(dāng)比較復(fù)雜時(shí),

我們考慮在點(diǎn)附近用n次即其中如果在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)附近,可用一次多項(xiàng)式來(lái)近似,即多項(xiàng)式來(lái)近似.由存在且此時(shí),用定義求導(dǎo)數(shù)，得于是有式(4-3)稱(chēng)為在處的n階泰勒多項(xiàng)式.設(shè)存在,則定理4.12是在處的n階泰勒多項(xiàng)式.其中證只需證令則連續(xù)使用(n-1)次洛必達(dá)法則,有(4-4)式可寫(xiě)成(4-4)式稱(chēng)為帶佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式,(4-4)式中的稱(chēng)為佩亞諾型余項(xiàng).其中定理4.13(泰勒中值定理

)那么使得其中稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng).證利用柯西中值定理證明令且因此如果公式(4-5)變成

其中(4-7)式稱(chēng)為f(x)的n階麥克勞林多項(xiàng)式,(4-8)式稱(chēng)為則f(x)的帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式.而誤差估計(jì)式為稱(chēng)為f(x)的帶佩亞諾型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式.麥克勞林公式的用法:解因代入公式,得例4.35

求

的n階麥克勞林公式.于是注意到估計(jì)誤差其誤差取解因例4.36

求

的2n階麥克勞林公式.于是,由麥克勞林公式得到

解練習(xí)將

的多項(xiàng)式.而

常用函數(shù)的麥克勞林公式解因例4.37

利用帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式，求

解因練習(xí)

計(jì)算