2024年北京順義一中高三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

順義一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4150120結(jié)束后，將答題卡交回。一．選擇題（本大題共10小題，共40=?1．設(shè)集合Axx10，集合B=x0x，則A（）A．3)(B．1,3(()C．(+)D．2．若復(fù)數(shù)z滿足A．1?i，則z的共軛復(fù)數(shù)z=（）B．1+iC．iD．?1+i3．如圖所示，直線l,l,l的斜率分別為k,k,k，則下列結(jié)論正確的是（）123123A．1k2k3kkkB．213C．k2k31D．kkk312的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?)(+)=4．已知角3,4cosπ（）435345?A．B．C．D．555．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間)上單調(diào)遞減的是（）y=cosxD．y=21A．y=x3B．C．y=x2x17中，若a=7，b=8，cosB=，則A的大小為（）6．在ππ5ππ2πA．B．C．D．或63633AB+ACAB?AC”的7．設(shè)點(diǎn)，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“A．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件8．坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰=30m,==10m三角形．若，且等腰梯形所在的平145面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）A．100mC．117mB．112mD．132m9．函數(shù)fxsin2x圖象上存在兩點(diǎn)Ps,t，Qr,tt0滿足r?s=()=()()()，則下列結(jié)論成立的是（）663612A．fs?=?=B．fs?+=?231C．fs+D．fs=62622?+axaxx10．已知函數(shù)f(x)=f(x)=k都恰有兩個(gè)不相等的實(shí)，若對(duì)于任意正數(shù)k，關(guān)于的方程xx+a,xaa數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．無(wú)數(shù)二．填空題（本大題共5小題，共252．函數(shù)y2x)+=?.的定義域是x12．首項(xiàng)為1的等比數(shù)列a中，4a，2a，a成等差數(shù)列，則公比q=.n12313．能說(shuō)明“若sin=cos，則+=k+，其中kZ”為假命題的一組的值是，．14．如圖，這個(gè)優(yōu)美圖形由一個(gè)正方形和以各邊為直徑的四個(gè)半圓組成，若正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)P在四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為.APAB15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDABCD中，點(diǎn)M，N分別在線段?AD和BC上．1111111給出下列四個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N的最小值為2；43②四面體NMBC的體積為；③有且僅有一條直線MN與AD垂直；1④存在點(diǎn)M，N，使△MBN為等邊三角形．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）1()=+16本小題13)已知函數(shù)fxsincosxcos2x．2π45(1)若0，且sin=f)，求的值；2()()(2)求函數(shù)fx的最小正周期，及函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間．3317本小題14在中，已知sinC=，請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使得存在，并解1475答下列問(wèn)題：條件①：a=c；條件②：ba1；條件③：?=bcosA=?．32(1)求A的大??；(2)求B和a的值．18本小題14某校工會(huì)開(kāi)展健步走活動(dòng)，要求教職工上傳3月13月7日微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：(1)從3月13月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；(2)從3月13月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)如圖是校工會(huì)根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)，制作的全校名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名分別為第68142，請(qǐng)指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖（結(jié)論不要求證明）19本小題15)如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面⊥平面，，⊥，DE=3AF=36.(1)求證：⊥平面；(2)求平面BEF與平面夾角的余弦值；(3)線段CE上是否存在點(diǎn)P，使得AP平面BEF？若存在，指出點(diǎn)P的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.()()20本小題15已知函數(shù)fx=x+ax?x+1.（1）若曲線y=()在點(diǎn)f(e))處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；fx1af(x)0；（2a0時(shí)，求證：=（3?(?)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21本小題14)已知數(shù)列an，對(duì)于任意的nN+a*，都有anan+22an1，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列．n(1)已知數(shù)列{?{?的前n項(xiàng)和分別為A，B，且a2n1，b=?=?2n1，試判斷數(shù)列A，數(shù)列n??nnnn“”B是否為凹數(shù)列，并說(shuō)明理由；nb(2)已知等差數(shù)列b，首項(xiàng)為4，公差為d，且n為“凹數(shù)列，求d的取值范圍；nn為凹數(shù)列的充要條件是對(duì)于任意的k,m,nN*(3)證明：數(shù)列n，當(dāng)kmn時(shí)，有(?)+(?)(?)nmcmkc>nkc”．nmk順義一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)答案1C2A3B4C5D6B7C8D9C10B12．(?,0)12．213．答案不唯一，如=110，14．?2415．①②④=π4537161）因?yàn)?，且sin=，所以cos=1?sin2=cos2=cos，2?sin2=?，25251431717cos2．)=+=+?=fsincos所以25522550112π2π()=+=+f(x)π==π．（2）fxsin2xcos2xπsin2x，所以函數(shù)4的最小正周期T2222πππ由π+2x+π+，kZ，解得π+xπ+，kZ．24288π5π()fx++kZ．π,kπ所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，8873aca32171）若選擇①②：a=c，ba1，在?=中，由正弦定理=得sinA得sinA==sinCsinC==．．sinAsinCcππ?=ab0AA=，所以因?yàn)閎a1，即，可知；2375acac32若選擇①③：a=c，bcosA=?，在中，因?yàn)橛烧叶ɡ?32sinAsinC2π5π中，bA=?0，即cosA0，可知Aπ，所以A=；在223若選②③：矛盾，故不成立.（2）由（）可知：不能選②③.7π中，a=c，即ac，可知0C，若選擇①②：在321333且sinC=，可得cosC=1?sinC=2，141433311則B=?cos(A+C)=AC?AcosC=?=?，227π43Bπ，則sinB=?B=可知1cos2，27437aabasinBsinA87a=b===ab?a==1=由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以a7；sinAsinB3727333141314π選擇①③：在ABC中，a=c，即ac，可知033C，且sinC=，可得cosC=1?sinC=2，231則B=?cos(A+C)=AC?AcosC=+=，225315且0Bπ，可得sinB=1?cos2B=，又因?yàn)閎cosA=?b=?，則b=5，142235abbsinAsinB25314====7．由正弦定理可得asinAsinB3()=181）設(shè)職工甲和職工乙微信計(jì)步數(shù)都不低于10000”A所以PA．7（2）由圖可知，7天中乙的步數(shù)不低于10000步的天數(shù)共4天.X的所有可能取值為2，X012C232717C14CC1347C242727(=0)==(=)==(=2)==PX,X,X，27C174727CPX的分布列為14278()=++=.EX012777（3）3月3日181）因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面ABCD，平面CDE平面ABCD=CD，⊥CD，DE平面,DE⊥AC所以DE⊥平面ABCD，因?yàn)锳C平面ABCD，所以，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，因?yàn)椤虰D，DB平面CDE，DE平面，所以AC平面⊥.（2）由（）得DE⊥平面ABCD，因?yàn)镈A,DC平面ABCD，所以，，兩兩垂直，DADE以B為原點(diǎn)，,DC,DE為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.xyz因?yàn)镈E=3AF=36，AD3，所以BD32，AF===6.()()()()A(0)，F(xiàn)6E0,36,B3,3,0C0,3,0則，，，()EF=3,0,?26)(BF=?6n=(x,y,z)，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n則y+6z=0()n=6，取z=6得，nx?26z=0因?yàn)锳C⊥平面，所以CA為平面的一個(gè)法向量，CA=(?0)，12?613cos,n==所以，13CAn263213設(shè)平面與平面夾角為，所以cos=cos,n=，1313所以平面與平面夾角的余弦值．13（3）線段CE上存在點(diǎn)P，點(diǎn)P為CE中點(diǎn)，滿足AP//平面，證明如下：CE=?36)，AC設(shè)CP=CE(0，因?yàn)镃P=?,36)AP=AC+CP=?3,3?,36)，=(?3,3,0)(所以由（2）知平面的一個(gè)法向量為()，因?yàn)閚=6AP//平面，，1所以APn=(?3)4+(3?)2+36=0，解得=62所以線段CE上存在點(diǎn)P，點(diǎn)P為CE中點(diǎn)，滿足AP//平面.aa()()()()=+=20）因?yàn)閒x=x+ax?x+1，所以fx=x+.由題知fee1，解得a=0.xef(x)=xx?x+1，所以f(x)x.=（2）當(dāng)a=0時(shí)，x()時(shí)，f當(dāng)當(dāng)，?(?)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減；x+)f時(shí)，，?(?)在區(qū)間上單調(diào)遞增；()=()fx0.所以f10是?(?)在區(qū)間上的最小值.所以axxx+a（3）由（）知，f(x)=xx+)=+.x若a0，則當(dāng)此時(shí)無(wú)極值.若a0，令時(shí)，f，?(?)在區(qū)間上單調(diào)遞增，g(x)=f(x)，1a則g(x)=?x+)時(shí)，，所以?(?)在上單調(diào)遞增..因?yàn)楫?dāng)2gxx()=(?a)=?+=(?)aaeaea0，ag1a0ge因?yàn)樗源嬖?，而xe?a()，使得gx()=0.00f和?(?)的情況如下：0)(0,e?a)xx0x=xfx().+因此，當(dāng)時(shí)，?(?)有極小值f000(?,0).極小值綜上，a的取值范圍是?(?)(+?)12n1n211an2n1為等差數(shù)列，所以A=?==n2，n=?2n1為等比數(shù)列，n21?2?nn=?=1?2n，任意的nN*，都有A+A?2n1=n2+(n+2)2?2(n+)=20，2nn+212A+A2n1A故，所以數(shù)列是為“凹數(shù)列，”nn+2n?2n+2+22n1=?2n0，任意的nN*B+B?2n1=?2，都有nnn+2B+B2n1B“”不是為凹數(shù)列，n故，所以數(shù)列nn+2d,1=4b=b+(?)=+(?)n1dn1d，4（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列?}的公差為b，所以n1n1n1n因?yàn)閿?shù)列n是凹數(shù)列，所以+2對(duì)任意nnN*恒成立，nn?1n+1n4+(?)n?1n2d4+nd4+(?)n1d即+2，n+14?dn4?dn?14?dn112d++d+2d+(?)4d+?0，所以因?yàn)?，即n+1n?1n+1n1122n22+?=?=0，解得d4．所以d的取值范圍為(,4)．n?1n+1nn2?1nnn2?)“”c+nn+22cn1（3）先證明必要性：因?yàn)閚+2?n1n1?cc為凹數(shù)列所以對(duì)任意的nN*，都有，即nk,m,nN*kmn，當(dāng)時(shí)，有，所以對(duì)任意的nn?cn?mmn1)+(