專題16其他競賽綜合真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國競賽強(qiáng)基計(jì)劃專用）

【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】專題16其他競賽綜合真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國競賽+強(qiáng)基計(jì)劃專用）一、單選題1．（2018·全國·高三競賽）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋瑒t、應(yīng)滿足A． B．C． D．【答案】B【詳解】．若，則應(yīng)有或，即或，但，則且.2．（2020·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，設(shè)的所有可能取值構(gòu)成的集合為M，則（

）A．M為單元素集 B．M為有限集，但不是單元素集C．M為無限集，且有下界 D．M為無限集，且無下界【答案】B【分析】利用因式分解可求可求或，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】題中條件即，也即，其中．從而或．因此的取值集合為，選項(xiàng)B正確．故選：B.3．（2019·全國·高三競賽）在正方體的8個頂點(diǎn)、12條棱的中點(diǎn)、6個側(cè)面的中心點(diǎn)、1個體的中心點(diǎn),這27個點(diǎn)中,共球面的8點(diǎn)組的個數(shù)是.A．4462 B．4584 C．4590 D．4602【答案】B【詳解】將立方體放入空間直角坐標(biāo)系中,以體中心為原點(diǎn),8個頂點(diǎn)分別為、、,其中,表示及其置換.由這三個平面將27個點(diǎn)分成三層,對每個共球面的八點(diǎn)組,其在任一層上至多有4個點(diǎn)(因每層上的9個點(diǎn)中無5點(diǎn)共圓),至少在某一層上至少有3個點(diǎn).此3點(diǎn)的外接圓圓心(x,y)只可能在;;;;.故八點(diǎn)共球面的球心只可能在(1);(2),;(3);(4);(5);(6);(7),;(8).記以點(diǎn)為球心、為半徑的球面為.該球面上包含27個點(diǎn)中的點(diǎn)的個數(shù)為.(1).,S(2).(3)(4).(5)(6)(7)(8).綜上,共球面的八點(diǎn)組共有故答案為B4．（2018·全國·高三競賽）已知區(qū)域與的面積分別為、（其中，表示不大于的最大整數(shù)），則A． B．C． D．不能比較與的大小【答案】C【詳解】由題意知，因?yàn)椤?，，所以，或解得或畫出其圖形，可知，故.5．（2019·全國·高三競賽）已知為銳角.則是的（

）.A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】解法1：必要性.取，有.充分性.由三維平均值不等式，有，

（1）

（2）（1）、（2）兩式左右兩邊分別相加左邊，右邊.這說明，（1）、（2）兩式同時取等號，有得但為銳角，故.解法2：解方程求出唯一解便可確定為充要條件.由，有.設(shè)，則，且.∴.解得，舍去.故只有，得，故，.所以，條件是充分必要的.故答案為C二、填空題6．（2019·全國·高三競賽）計(jì)算:=_______.【答案】【詳解】注意到，.兩邊積分得.故答案為7．（2018·湖南·高三競賽）已知n為正整數(shù)，若是一個既約分?jǐn)?shù)，那么這個分?jǐn)?shù)的值等于_____.【答案】【詳解】因?yàn)?，?dāng)時，若，則是一個既約分?jǐn)?shù)，故當(dāng)時，該分?jǐn)?shù)是既約分?jǐn)?shù).所以這個分?jǐn)?shù)為.故答案為8．（2018·湖南·高三競賽）如圖，將一個邊長為1的正三角形分成四個全等的正三角形，第一次挖去中間的一個小三角形，將剩下的三個小正三角形，再分別從中間挖去一個小三角形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基縷墊.設(shè)是第n次挖去的小三角形面積之和（如是第1次挖去的中間小三角形面積，是第2次挖去的三個小三角形面積之和），則前n次挖去的所有小三角形面積之和的值為____________________.【答案】【詳解】原正三角形的面積為，而第k次一共挖去個小三角形，.因此，可以采用等比級數(shù)求和公式，得到答案為.故答案為9．（2019·全國·高三競賽）把函數(shù)的系數(shù)按其自然位置排成兩行兩列，記為二階矩陣．其中，每一個數(shù)字稱為二階矩陣的元素．又記的系數(shù)所組成的二階矩陣為A的平方，即．觀察二階矩陣乘法的規(guī)律，寫出中的元素________．【答案】【詳解】根據(jù)二階矩陣乘法的規(guī)律，知中的應(yīng)是中第i行的元素分別乘以A中第j列對應(yīng)元素的代數(shù)和，則．故答案為10．（2018·全國·高三競賽）設(shè)定義在上，其值域，且對任意，都有，及．則________．【答案】39【詳解】由，知．若，則，矛盾．因此，．則，，，．又，故，，，．因?yàn)?，，所以，，．因此，?1．（2019·全國·高三競賽）如圖，設(shè)圓臺的軸截面為等腰梯形，其中，，．若圓臺的高為，是下底面與夾角為的直徑，則異面直線、所成角的余弦值為________．【答案】【詳解】如圖，設(shè)異面直線、所成角為，向量、的夾角為，以下底面中心為原點(diǎn)、所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則、、、.于是，.因此.而，，故.從而，.故答案為12．（2019·全國·高三競賽）設(shè)為常數(shù).若對一切，有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.【答案】【詳解】注意到故答案為13．（2021·全國·高三競賽）若，則的值為_______．【答案】【詳解】研究二次方程和，即和．因此兩方程的公共根．，故．故答案為：.14．（2021·全國·高三競賽）若一個分?jǐn)?shù)（a，b均為正整數(shù)）化為小數(shù)后，小數(shù)部分出現(xiàn)了連續(xù)的“2020”，例如，就稱它為“好數(shù)”.則“好數(shù)”的分母的第二小的可能值為________.【答案】193【詳解】我們總可以將一個“好數(shù)”適當(dāng)乘一個10的方冪并減去其整數(shù)部分后使之成為一個小數(shù)點(diǎn)后前四位是“2020”的真分?jǐn)?shù)，于是，進(jìn)而，即.若，則且，所以.若，則且，所以.若，則.另一方面，是“好數(shù)”，因此b的第二小的可能值為193.故答案為：193.15．（2021·江蘇·高三強(qiáng)基計(jì)劃）使得等式成立的實(shí)數(shù)a的值為______________．【答案】8【分析】采用換元法（須注意新元的取值范圍），將所給等式轉(zhuǎn)化為整式方程并求解.【詳解】解：由題意可得，，所以，故.設(shè)，則.解得，或（舍），或（舍）所以所以故答案為：816．（2018·全國·高三競賽）設(shè)．且滿足．則的最小值是________．【答案】【詳解】已知等式因式分解得．令．則．從而，或．又點(diǎn)為雙曲線上的點(diǎn)，故所求即為兩圖像間最小距離的平方．如圖所示，顯然，即為所求．故答案為17．（2019·全國·高三競賽）已知函數(shù)與軸有兩個不同的交點(diǎn)，并且，則的值是______．【答案】【詳解】由，得或,根據(jù)題意知則，于是，解得或（舍去）.18．（2019·全國·高三競賽）已知、、是一個直角三角形三邊之長，且對大于2的自然數(shù)，成立．則______．【答案】4【詳解】設(shè)，，，有．

（*）不妨設(shè)為斜邊，則，．可知，，．∴（*）式等價于，即．另一方面，成立，或．因?yàn)椋?，為單調(diào)減函數(shù)，僅在一個點(diǎn)處取，因此，，．故答案為419．（2019·全國·高三競賽）設(shè)實(shí)常數(shù)k使得方程在平面直角坐標(biāo)系中表示兩條相交的直線,交點(diǎn)為P.若點(diǎn)A、B分別在這兩條直線上,且,則_____.【答案】【詳解】由題設(shè)知，關(guān)于的二次多項(xiàng)式可以分解為兩個一次因式的乘積.因，所以，，其中，為待定的常數(shù).將上式展開后比較對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)得.解得.再由得兩直線斜率為，交點(diǎn).設(shè)兩直線的夾角為（為銳角）.則.故或.故答案為三、雙空題20．（2018·全國·高三競賽）閱讀下面一道題目的證明，指出其中的一處錯誤．題目：平面上有六個點(diǎn)，任何三點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)，則這些三角形中有一個的最短邊又是另一個三角形的最長邊．證明：第一步，對已知的六個點(diǎn)作兩兩連線，可以得出15條邊，記為，，…，.第二步，由于任何三點(diǎn)組成的都是“三邊互不相等的三角形”，因此，15條邊互不相等不妨設(shè).第三步，由于“任何三點(diǎn)都是三邊互不相等三角形的頂點(diǎn)”，因此，任取三條邊都可以組成三角形，則、、組成的三角形的最長邊，也是、、組成的三角形的最短邊,命題得證.這三步中，第______步有錯誤，理由是______.【答案】

二或三

第三步有錯誤，理由是：不能推出“任取三條邊都可以組成三角形”或第二步有錯誤，理由是：不能推出.【詳解】不能推出“任取三條邊都可以組成三角形”，比如，從六個點(diǎn)、、、、、中，記、的連線為，記、的連線為，記、的連線為（、、互不相等），則、、未必能組成三角形，即使組成三角形也不是本題所說的“三點(diǎn)兩兩連線”所成的三角形．第二步也有錯誤，理由是三點(diǎn)組成的“單個三角形”內(nèi)部邊長互不相等，不能推出“多個三角形”之間邊長互不相等，因而，“”中的“”也可能有“”．說明：雖然證明有錯誤，但結(jié)論是成立的，可把六個點(diǎn)“兩兩連線”的每個三角形最長邊染成紅色，剩下的邊染成藍(lán)色，然后證明必有同色三角形，又因?yàn)槊總€三角形都有紅邊，所以，同色三角形必有三邊同紅色的三角形，這個三角形的最短邊便又是另一個三角形的最長邊．四、解答題21．（2019·全國·高三競賽）設(shè)異面直線、成角，它們的公垂線段為，且，線段的長為4，兩端點(diǎn)、分別在、上移動.求線段中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【詳解】易知點(diǎn)在過的中點(diǎn)，且與、平行的平面內(nèi).如圖所示，設(shè)、在內(nèi)的射影分別為、，點(diǎn)、在內(nèi)的射影分別為、，則，且的中點(diǎn)即為的中點(diǎn).又，，則.于是，問題轉(zhuǎn)化為求定線段的兩個端點(diǎn)分別在、上移動時，其中點(diǎn)的軌跡.如圖所示，以的平分線為軸，為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.不失一般性，令，.在中，.

①設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則代入式①，化簡整理得.

②這里得到的是橢圓②夾在內(nèi)的弧.在另外3種情形中，同樣可得到橢圓②的另3段弧.綜合得點(diǎn)的軌跡是橢圓.22．（2018·全國·高三競賽）已知自然數(shù)有20個正整數(shù)因子（包括1和本身），它們從小到大依次記作，，，…，，且序號為的因數(shù)為．求自然數(shù)．【答案】2000【詳解】因?yàn)槭堑囊驍?shù)，所以，與是的因數(shù)．于是，，．∴．∵，∴．∴．此時，，．由知，含有1，2，4，5，10，20這六個正整數(shù)因子，所以至少含有2和5這兩個質(zhì)因子．又有20個正因子，，故可設(shè)為（為不等于2和5的質(zhì)數(shù)）、、或．（1）當(dāng)時，①當(dāng)時，，，…，依次為1，2，3，4，5，6，8，10．此時，，與相矛盾．②當(dāng)時，，，…，依次為1，2，4，5，7，8，10，14．此時，，與相矛盾．③當(dāng)時，，，，…，依次為1，2，4，5，8，10，，16或?yàn)?，2，4，5，8，10，16，，與相矛盾．④當(dāng)時，的正因數(shù)為1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，，，，，，…．∴，，，．∴．于是，，不為質(zhì)數(shù)，故．（2）當(dāng)時，，，，．不滿足．（3）當(dāng)時，，與相矛盾．（4）當(dāng)時，，，，，，，．顯然滿足，．∴．故所求的自然數(shù)為2000．23．（2018·湖南·高三競賽）（1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一點(diǎn)，則有.試證明該命題.（2）將上述命題推廣到P為空間上任一點(diǎn)的情形，寫出這個推廣后的命題并加以證明.（3）將矩形ABCD進(jìn)一步推廣到長方體，并利用（2）得到的命題建立并證明一個新命題.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【詳解】（1）如圖①，設(shè)在直角坐標(biāo)平面中，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面上的任意一點(diǎn)，則故.（2）推廣命題：若棱錐PABCD的底面ABCD是矩形，則有.證明：如圖②，設(shè)棱錐的底面ABCD在空間直角坐標(biāo)系的平面上，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，故.（3）再推廣命題：設(shè)是長方體，P是空間上任意一點(diǎn)，則.證明：如圖③，由（2）中定理可得，所以.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明不等式：．【答案】證明見解析【分析】設(shè)，求出再代入的二階泰勒公式，即得解.【詳解】設(shè)，則，，代入的二階泰勒公式，有，．所以原題得證.25．（2019·全國·高三競賽）在直角坐標(biāo)系中，有三只青蛙A、B、C，其起始位置分別為，首先，A以B為中心跳到其對稱點(diǎn)上，然后，B以C為中心跳到其對稱點(diǎn)上，接著，C以A為中心跳到其對稱點(diǎn)上，……依此類推．設(shè)A、B、C第n次跳到的位置分別為，的三邊長分別為a、b、c，面積為S．證明:【答案】見解析【詳解】設(shè)的三邊長分別為.則由題意知

①②③由式①得

④將式④代入式②得

⑤將式⑤代人式③并整理得.其特征方程為，即.解得.則

⑥在式④、⑤、⑥中令n=0，得24解得.故又每只青蛙跳后，三只青蛙所組成的三角形面積不變，即.而，故26．（2018·全國·高三競賽）設(shè)，記.求的值.【答案】【詳解】注意到，.27．（2018·全國·高三競賽）給定正整數(shù),求,其中,表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù).【答案】0【詳解】令.其中,.此時,,所以,.若,則，此時.若,則，此時.若,則.若,則.則.故28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：【答案】證明見解析【分析】利用拉格朗日和三階泰勒公式即可證明.【詳解】證明：設(shè)，則在處帶有拉格朗日余項(xiàng)．三階泰勒公式29．（2018·全國·高三競賽）已知為實(shí)數(shù),且,對的子集,定義.其中,規(guī)定，問：從個這樣的和中至多可以選出多少個,使得其中任何兩個的差的絕對值都小于1?【答案】【詳解】不妨設(shè)所有的.